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1、第 三 节 空 间 直 线、平面的平行【考试要求】1 .会利用直线、平面平行的判定与性质定理解决问题.2 .会利用面面平行的判定与性质定理解决问题.【高考考情】考点考法：高考命题经常是以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式，通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质.考查转化思想、空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力.核心素养：直观想象、逻辑推理、数学抽象Q、知 福 机 理 一 话,_ o1.直线与平面平行的判定与性质归纳知识必备判定性质定义定理图形a-/b-/7a-/pa/_ _ _ _/uL._/LLJ条件a G a=0a u a，Z 4 a ,且 a 6a
2、 aa a ,a u ,a C =b结论a/ab/aa P l q=0-b2.平面与平面平行的判定与性质n注 解 1如果两个面平行，那么分别在两个平面内的直线平行或异面.判定性质定义定理图形口44/7/口条件a C =。a u ,bu B,aC b=P,aa 6，a C l y=a,a ,au 8 a ,b a6 C l y=b结论a a a/ba/a智 学变式探源1.必修二P 1 4 2 练习T 12.必修二P 1 4 1 例 51.（改变题型）下列命题中正确的是（）A.若 a,8 是两条直线，且 a 儿那么a 平行于经过8 的任何平面B.若直线a 和平面。满足a a ,那么a 与 a内的任
3、何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,8 和平面a 满足a 6,a/a,M a,则 6 a【解析】选 D.A 中，a 可以在过6 的平面内，错误；B中，a 与 a内的直线可能异面，错误；C中，两平面可能相交，错误；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b/o,正确.2.（改变图形）如图，平面。平面,A,。是。内不同的两点，B,是 内不同的两点，E,少分别是线段4 8,的中点，则下列所有判断正确的编号是（）当/反功共面时，直线4 7 班；当|力。=2 C D 时，E,b 两点不可能重合；当 切 是 异 面 直 线 时，直线）一定与。平行；A C,8。一定平行.4A.B.C.D.
4、【解析】选 A,对于，当 A B,切共面时，则平面/故C A 平面a=4&平面/施C A 平面?=BD,因为平面a 平面,所以力勿劭，所以正确；对于，如图，当四=2 时，=2|成立，而此时,厂两点重合，所以错误;%D对于，如图，连接/，取 4 9 的中点四连接用，E M,F M,因为反尸分别是线段4 6,CD的中点，所以E M/BD,F M/A C,因为 施,施a ,A Ca a,皮七,所以E M/P,F M/a,因为平面a 平面,所以F M/,因为E MF M=M,所以平面E F M/,平面E F M/a,因为砒：平面度所以直线跖一定与。平行，所以正确；对于，当A B,缪是异面直线时，A C
5、,初一定异面，所以错误.慧 考四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力3.（线面平行判定）如图所示，已知正方体/故归G 中，E,尸分别是它们所在线段的中点,则满足4%平 面 初 的 图 形 为（）A.B.C.D.【解析】选 C.中，平移4 尸至。尸知U 与平面初后只有一个交点，则/夕与平面做后不平行;中，在正方体力比9 4 8 4 中，E,b 分别是它们所在线段的中点，则易知4 尸,而4 6。平面 BD、E,D、E u 平面 BD、E,故 4 p平面 BD、E；中，同 平 移 至D F ,知D、F 与平面初夕只有一个交点，则4 少与平面BD、E 不平行；4.（面面平行判定定理）
6、如图，在棱长为1的正方体4 6 微 4 A G 中，M,N分别是4 几 4 6的中点，过直线劭的平面。平面4 妮 则平面a截该正方体所得截面的面积为（）MPiH J VA./B.I C.m D.迺o N【解析】选 B.如图1,取 5 G的中点,G 的中点凡 连接跖，BE,D F,B Q,则跖3，B.D J/BD,所以E F BD,故必，劭在同一平面内，连 接 照,因 为 肌 分别为4，5 G的中点，所以 ME A B,且 ME=A B,所以四边形力废物是平行四边形，所以A M/BE,又因为庞仁平面质及A 处平面BD F E,所以4/平面能阳 同理4 V 平面值阳 因为4 J/C 4 34 所以
7、平面用邠平面 应闽L 1 、历 、后BD=y2,E F=-5=+，D F=BE=，,等腰梯形而硬如图2,!M/ZY/DV此、A B图1D G H B图2过 ,尸作物的垂线，垂足分别为，G,则四边形夕郎为矩形,所以 FG=7D D(?=5 _1 3/4-8 =4故所得截面的面积为:X俘+啦 义 半 .5.（面面平行的性质定理）如图所示，P是三角形力比所在平面外一点，平面。平面力比；a 分别交线段为，外,加 于4 8 ，若 用 ：A A =2：3,则五”：丛.等于（）A.2 ：2 5 B.4 ：2 5C.2 ：5 D.4 ：5【解析】选 B.平面。平面4 闱 平面为8 与它们的交线分别为4 9，4
8、 6,所以4 8/B ,B （PA 4同理 B C /BC,易得/B C ,S c-S 械.=（而 j =丁 J 25 6.（探究平行关系）如图，直三棱 柱/跖/B C中，为边长为2的等边三角形，A A=4,点、E,F,G,分别是边4 4 ,A B,BB ,A B,回的中点，动点尸在四边形如掰内部运动，并且始终有 彼平面/+A,则动点P的轨迹长度为（）A.4 B.2 /3C.2 n D.2【解析】选 A.因为版/C,所以的平面4 C T A；取。B 中点A；因为MN CC,所以网，平面业K A,从而平面助物V 平面/S A,即动点尸的轨迹为线段小；因此长度为4.。、才点棵度悟法培优,。7 考点
9、一 平行关系命题真假判断I 自主练透1 .在空间中，a,b,c 是三条不同的直线，。，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A.若 a/c,c/a,则 a/aB.若 au a,忆 8,a ,则 a/b，.箱 all a、bH B、a ,则 a8D.若。,au a,则 a【解析】选 D.本题中的线面可以放在正方体中判断.对于A,a 可能在平面。内，故 A 是假命题；对于B,a,6可以平行或异面，故 B 是假命题；对于C,a,8 可能平行、异面,、相交，故C是假命题；对于D,若。,au a,则。与 没有公共点，则 a ,故 D 是真命题.2 .下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面平
10、行，则这两条直线平行B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行【解析】选 C.在A选项中，两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B 选项，如图，在正方体A BC）A、B C 以中,平面力曲M和平面8s A与 8 山所成的角相等,但这两个平面垂直；对选项C,如图,设 a C B=m,1/a,/,过/作两个平面分别与。和尸交于直线a,b,则 有1/a,1/b,则 a6,尽而得a,a/m,所以/加.D 选项中两平面也可能相交.3.在正方体/比D48G中，/V,0分别是棱C，
11、加的中点，点尸在劭上且8 尸2=可 劭，则 下 面 说 法 正 确 的 是（填序号）.O版V 平面43G G 0 平面43G 4 R 三点共线；平面初即平面 t：【解析】如图，对于，连接物V,A C,则,连接4 队CN,易得4 W,C V 交于点尸，即网匕平面加C 所以肱平面4%是错误的.对于，由知必“在平面 C内，由题易知A N/G 0,且 4比 平面A PC,G W平面A PC.所以6 0 平面A PC是正确的.对于，由知，A,尸，三点共线正确.对于，由知初上平面4 T,又眩上平面网Q 所以平面MNQ/平面4 r是错误的.答案：，规律方法1 .结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.2
12、.通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.7考点二 直线与平面平行|讲练互动典例1 (1)一棱长为4 的正四面体木块如图所示，P 是棱V A 的中点，过点P 将木块锯开，使截面P F E D 平行于棱V B 和A C,则截面P F E D 的面积为()A.2 B.2m C.2 3 D.4【解析】选 ，P是棱V A 的中点，过点P 将木块锯开,使截面P F E D 平行于棱V B 和 A C,V B 平面P F E D,V B u 平面V B A,平面V B A A 平面P F E D=P F,所以V B P F,同理可得：V B D E,A CE F,A C P D,所以E F P D,
13、P F D E,所以四边形P F E D 是平行四边形，且 P,F,E,D 均是中点,又因为正四面体对棱互相垂直，所以V B L A C,所以P F _ L E F,所以四边形P F E D 是边长为2的正方形,所以该四边形面积为4.(2)(2 0 2 1 深圳模拟)在四棱锥P-A B C D 中，P A,平面A B C D,A A B C 是正三角形，A C 与 B D 的交点为M,又P A=A B=4,A D=C D,点N是 C D 中点.求证：M N 平面P A D；求三棱锥M-P B C 的体积.c【解析】因为A A B C 是正三角形,所以B A=B C,又因为A D=C D,所以B
14、 D 所在直线为线段A C 的垂直平分线，所以M 为 A C 的中点，又点N是 C D 中点,所以M N/7 A D,又A D c平面P A D,M N 4平面P A D,所以M N 平面P A D.A A B C 是边长为4 的等边三角形，且M是A C 的中点，所以S 幽=；X 4 x 1 X 4s 力?6 0 =2 3，P A,平面 A B C D,P A=A B=4,所以 VM-PBC=VP.M BC=W X SAHBCX P A X 2 3 X 4=o o o，规律方法1 .判断或证明线面平行的常用方法.(1)利用线面平行的定义(无公共点).利用线面平行的判定定理(a Q a ,be
15、a ,a b=a a).(3)利用面面平行的性质(a B ,a u a =a/B ；a B ,a u B =a a ).2 .用判定定理证明线面平行的步骤|自主完善，老师指导(1)作辅助直线.将直尺放在所证直线上，往所证平面内整动，同时观察与平面内哪条直线壬红(一般是三角形的三边或中线)，最后根据需要取点连线.(2)证线线平行.(3)证线面平行.注意不要忽略所证直线不在所证生面内.，对点训练1.如图，在四棱锥 P-A B C D 中，底面 A B C D 为梯形，A B C D,N B A D=6 0 ,A B=2,C D=4,E为 P C 的中点.求证：B E 平面P A D.Ep【证明】设
16、 F 为 P D 的中点，连接E F,F A.因为E F 为A P D C 的中位线，所以E F C D,且 E F=）C D=2.又A B C D,A B=2,所以A B E F,乙故四边形A B E F 为平行四边形，所以B E A F.又A F c平面P A D,B E Q 平面P A D,所以B E 平面P A D.2.（2 0 2 1 临汾模拟）如图，在四棱柱A B C D-A B C D 中,底面A B C D 是边长为2的正方形，0”E 分别为 B D,A 3 的中点,A B _ L B D,A A,=4,Z A,A B=6 0 .证明：0 正平面B J B C C；（2）求四棱
17、柱A B C D-A B C D 的体积.【解析】（1）连接AC，B G,因为。为 BD的中点，所以。为 AC的中点，又 E 为 A B 的中点，所以在 A B C 中，0 E B C“而 B G u 平面B i B C C”0 网平面B B C C”所以0 出平面B.B C C,；连接B D,则四边形B B R D 为平行四边形，则 B D B D，又 A B _ L B D，所以 A B _ L B D,在Z A i A B 中,A A,=4,Z A,A B=6 0 ,A B=2,由余弦定理可得A B=、/1 6+42 X 4 X 2 X,=2*,所以 A B 2+A E=A 6,即 A,
18、BAB,而 ABCBD=B,所以 AiB_ L平面 ABCD,则四棱柱ABCD-ABCD 的体积为V=2 X 2 X 2，=8m./考点三平面与平面平行讲练互动 典例2 (金榜原创 易错对对碰)(I)如图所示，平面a 平面B,点AW a ,点CW a ,点BW B,点D d B,点E,F 分别在线段 AB,CD 上，且 AE ：E B=CF ：F D.(1)求证：E F 平面B；(2)若 E,F 分别是AB,CD 的中点，AC=4,BD=6,且异面直线AC,BD 所成的角为6 0 ,求E F 的长.(I I)如图所示，平面a 平面B,点A da,点C ea,点Be B,点 DdB,直线AC,B
19、D 异面，点 E,F 分别在线段AB,CD 上，且 AE ：E B=CF ：F D.(1)求证:E F 平面B；(2)若 E,F 分别是AB,CD 的中点，AC=4,B D=6,且AC,BD 所成的角为6 0 ,求E F 的长.【解析】(1)(1)当AB,CD 在同一平面内时，由平面a 平面B，平面a A 平面ABD C=AC,平面B f l平面ABD C=BD 知，AC/7 BD.因为 AE ：E B=CF ：F D,所以 E F BD.又 E F Q B,B DuB,所以E F 平面B.当AB与 CD 异面时，如图所示，设平面ACD H A平面B=D H,且 D H=AC,因为平面a 平面
20、8,平面a C 平面ACD H=AC,所以ACD H,所以四边形ACD H 是平行四边形，在 AH 上取一点 G,使 AG ：G H=CF ：F D,连接 E G,F G,BH.又因为 AE ：E B=CF ：F D=AG ：G H,所以 G F H D,E G BH.又 E G AG F=G,BH AH D=H.所以平面E F G 平面B.又E F u 平面E F G,所以E F 平面B.综合可知，E F 平面B.(2)如图所示，连接AD,取AD 的中点M,连接ME,MF.因为E,F 分别为AB,CD 的中点,所以 ME BD,MF 7/AC,口 1 1且 ME=BD=3,MF=-AC=2.
21、所以N E MF 为AC与BD 所成的角或其补角,所以N E MF=6 0 或 1 2 0 .所以在E F M中，由余弦定理得E F=NME+MF?2 ME MF cos N E MF=/32+22 2 X 3 X 2X1=V 1 3 6，即 E F=V 7 或 E F=V 1 9 .(H)参见(I)；参见(I )(2).【点拨】问题(I)与(H)的区别在于直线AC,BD 是否共面.典例3 如图所示,在三棱柱ABC-ABG 中，E,F,G,H 分别是AB,AC,AB,A C 的中点,求证：(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面 E F Ai 平面 BCH G.【证明】(1)因为G,H 分别是
22、AB,A C 的中点,所以G H 是 ABC的中位线，所以G H BC.又因为BCBC,所以G H BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F 分别是AB,AC的中点,所以E F BC.因为E F Q 平面BCH G,BCu 平面BCH G,所以E F 平面BCH G.因为 AG E B,且 AG=E B,所以四边形A.E BG 是平行四边形，所以A茁 G B.因为AiE。平面BCH G,G Bc 平面BCH G,所以AiE 平面BCH G.因为 AiE AE F=E,所以平面E F Ai 平面BCH G.【一题多变】在本例条件下，若 D 为 B G 的中点，求证：H D 平面&ABB
23、”【证明】如图所示，连接H D,A,B.因为D 为 B G 的中点，H为A C 的中点,所以H D AB又 H D Q 平面AiABB”A】B u 平面&ABB,所以H D 平面A.ABB,.教师专用面面平行的判定方法(1)面面平行判定定理及其推论；线面垂直的性质定理：ALa,/_ LB=a B.提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明的是在一个平面内的两条直线是相交直线./对点训练1.(2 02 2 重庆模拟)如图，四棱柱ABCD-ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形,E,F 分别.D E D F在线段D B,D D i上，且 丽=CG=7 ，G在 C G 上且平面AE F
24、 平面BD G 则三=(),1 cl 2 八 1A.-B.-C.D.-zS O O T：【解析】选 8.因为在四棱柱ABCD-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E,F分别在线段D B,D,广 D E D F 1卜 日 =-E B F D,2 所以E F BD”平面AD D A平面BCG B”因为G在C G 上且平面AE F 平面BD G,所以AF BG,wJG D F 1所 以 元=瓦=3 -2.（2 02 1 玉林模拟）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC,AB1 BC,P,Q 分别是 AB,CD 的中点，ZS P Q=6 0,AB=2 3 ,BC=2,AD=1,SB=SA=,点 M,N分别是S B,CB的中点.求证：平面AMN 平面S CD.【证明】因为M,N分别是S B,CB的中点，所以MN S C,MN Q 平面S CD,S Cu 平面S CD,所以MN 平面S CD,又AD CN 且AD=CN,所以AD CN 为平行四边形，所以AN D C,AN 4 平面S CD,D Cu 平面S CD,所以AN 平面S CD,又 AN AMN=N,AN,MN u 平面AMN,所以平面AMN 平面S CD.