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1、第二节两条直线的位置关系【考试要求】1 .能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2 .能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3 .探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【高考考情】考点考法：两条不同的直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小.核心素养：逻辑推理、数学运算Q一知谓梳理二 1&/爰 一 o归纳知识必备1 .两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线人h,若其斜率
2、分别为A”k2,则有人=笈当直线人心不重合且斜率都不存在时，r注 解 1两条直线相互平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.两条直线垂直：如果两条直线人心的斜率存在，设为,k2,则有4 2=-1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为o 时，/a/2 1.注 解 2两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在的情况.2 .两条直线的交点的求法直 线 z：4 x+6j+G=0,；2：4x+反 y+G=0,则九与乙的交点坐标就是方程组 的解3 .三种距离公式(l)q(x”7 1),R人 xz，两点之间的距离：”闾=7(苞一吊)十 (%一)(2)点&(不，)到直
3、线/：4Y+如+。=0的距离：d=14%+砌）+C y#+4注 解3应用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式.平行线/x+3 y+G =O与 而+如+C =0间距离：d=I .注 解 4两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x,y的系数必须对应相等.4 .线段的中点坐标公式x,+x2x=-，若点P,R的坐标分别为（X”必），（在，必），线段尸户的中点 的坐标为（X,力，则 y=21 2为线段的中点坐标公式.5 .与对称问题相关的两个结论点尸（荀，必）关于A（a,6）的对称点为尸（2 a 一m，2 8 一于;设 点 尸（荀，关 于 直 线/=京+8（4/0）的 对 称 点 为P（/,/
4、）,则有、,丫。k=-i,B =0,得 a(a1)1 X 2=0,由 4G 4 C W 0,得 a(a 1 1)1X6W0,所以lh=a(a1)a(a 1)-1X 2=0,-1 X 6 0a2a2=0a(a 1)W6,可得a=-1,故当 a=-l 时，l、l”(2)方法一：当 a=l 时，7,：x+2y+6=0,72：x=0,Z 与乙不垂直，故 a=l 不成立;当 3=0 时，71；y=3,72：xp 1 =0,乙不垂直于4,故 a=0 不成立;当 a W l 且 a 7 0 时，|Z：y=%2 x3,l2z y=1-a x-(a+1),/刘、1 /2由；-=-l，得 a=Q.2 1 a 32
5、方法二：由44+8笈=0,得 a+2(a1)=0,可得己=金.,规律方法1 .已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行=两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直Q 两直线的斜率之积等于一1.提醒：当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法ARC提醒：在判断两直线的位置关系时，比例式T 与 ，7 的关系容易记住，在解答选择题、直线方程2 27,：4 x+3 y+&=0（4 +4 /）2 272：4 x+5 y+G=0（4 +8,W O）/与 4平行的充要条件4 5G/、7=万 工不(4 8 G关0)力 2 互 仿Z与
6、4垂直的充要条件A iA2+BtB2=Q乙与乙相交的充要条件A t B.7（4 民#0）力 2%1 与 A重合的充要条件4 5 G,、7=3（4 8 G W 0）力 2 2 Q填空题时，建议多用比例式来解答.，对点训练1.已知直线4%+帆一6=0 与直线5x2y+z?=0 垂直，垂足为(3 1),则的值为()A.7 B.9 C.1 1D.-7【解析】选 A.由直线4 x+如-6=0与直线5x2y+z?=0 垂直得，20 2加=0,即s=1 0.直线 4 x+1 0 y6=0 过点（力 1）,所以 4 1+1 0 6=0,即 1=1.点（1,1）又在直线 5*2+=0 上，所以-5 2+=0,即
7、=7.2.已知两条直线L：ax0+4=0和 办（al）x+y+6=0,求满足下列条件的a,6 的值.（1）7,72,且直线，过点（-3,-1）；1、L，且坐标原点到这两条直线的距离相等.【解析】（1）因为所以a（a1）6=0,又因为直线上过点（-3,-1）,所以一3 a+8+4 =0.故a=2,b=2.（2）因为直线A的斜率存在，1 匕,所以直线2 的斜率存在，所以左=左，即=l-a又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所 以 人 心 在 y 轴上的截距互为相反数，即；=6.故 a=2,8=2 或且=|,8=2.7考 点 二 两条直线的相交及距离问题陆缘互动 典例2 （1）直线/经过原点，且经
8、过两条直线2x+3 y+8 =0,xy l =0的交点，则直线/的方程为（）A.2x+y =0 B.2x y =0C.x+2y =0 D.x2y =0【解析】选 8.联立方程2x+3 y+8=0,x y 1=0,x=-1,解得：所以两直线的交点为（-1,-2）,y=一2,2 0所以直线的斜率为R=2则直线1的方程为y=2 x,即2x-y=0.直线/过点P（l,2）,且 A（2,3）,B（4,一5）到/的距离相等，则直线/的方程是（）A.4 x+y 6 =0B.x+4 y 6 =0C.3 x+2y 7=o 或 4 x+y 6=oD.2x+3 y 7 =0 或 x+4 y 6 =0【解析】选C.由
9、条件可知直线,平行于直线A B 或过线段A B 的中点，A B 的斜率为尸 =一 4,当直线，A B 时，/的方程是y 2=4(xl)即4 x+y 6=0；，一42+1 3 3当直线/经过线段A B 的中点(3.T)时，/的 斜 率 为=-，/的方程是y-2-5(x1)即 3 x+2y 7=0,故所求直线的方程为3 x+2y 7 =0 或 4 x+y 6=0.(3)已知点P(2,-1)和直线/：(m+l)x+(l-m)y+m-3 =0,求当m为何值时，点P到直线/的距离最大，最大值是多少.【解析】/的方程可化为m(x y+l)+x+y 3 =0,xy +l =0,f x=l,由 得,x+y 3
10、=0,l y =2,即直线/恒过定点Q(L 2),因为直线P Q 的斜率3=3,所以当直线P Q _L/时，点P 到直线/的距离最大,可得m+1m 1X (-3)=-1,解得 m=-2,故当m=-2 时，点P 到直线/的距离最大，此时1的方程为x-3 y+5=0,.|2 3 X (1)+51 I 取大值为 d=-=-=VT o .一 题多变本例(3)中，改成最小值时求直线/的方程.【解析】点 P 到直线/的距离最小时，/经过点P,所以 2(m+1)(1 m)+m 3 =0,所以 m=g ,此时直线1的方程为3 x+y-5 =0.，规律方法1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方
11、程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.提醒：点一(X 0，%)到直线x=a 的距离d=|x。一a|,到 直 线 的 距 离 d=|引；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.对点训练1.若P,0 分别为直线3+4 y-1 2=0 与6 x+8 y+5 =0 上任意一点，则I 闱的最小值为()9 1 8 29 29A-5 B-T c-
12、w D-T3 4 1 2【解析】选 C.因为工=-,所以两直线平行，将直线3 x+4 p 1 2=0化为6 x+8 y 6 8 5I 24 5 1 2924 =0,由题意可知|闻的最小值为这两条平行直线间的距离，即 孱 J,所以I图弋6-十8-i u29的最小值为m.2.(一题多解)已知直线尸 A x+24+l 与直线y=-1 x+2 的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(y=kx+2k+1,【解析】方法一：由方程组4 1 ,”尹 2,24k“2A+1 1 24 4解得 ，一(若2什 1=0,即k=-,则两直线平行)，所以交点坐标为(5 7 H7 ，6 4 十 1 Z 十 1 1 1T 7
13、 V7 ).又因为交点位于第一象限，所以 解得一 3.2A+1 6 A+1 6 2、2什 1“方法二：如图,已知直线y=；x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点/（4,0）,6（0,2）.而直线方程y=Ax+2A+1 可变形为yl=A（x+2）,表示这是一条过定点户（一2,1）,斜率为A的动直线.因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段4?上（不包括端点），所以动直线的斜率k 需满足krAkk,v.因为履=一：,媪=W.所以一：I /_ n Id=y1 2.设点 C（t,t2）,则点 C（t,t2）至【x+y2=0 的距离 d-忑-=y2,得i t+t2-2|=2,所以/+f=4 或
14、 t2+t=0,解得 ti=-1,t2=上 舁 五，t3=乙 乙1,=0,所以使得力回的面积为2 的点C的个数为4.答案：4【加练备选】已知点尸（4,a）到直线4x3y1 =0 的距离不大于3,则 a 的取值范围是一【解析】由题意得，点。到直线的距离为|4X4-3 Xa-l小?+(-3)-|1 5-3 a|5又1 5-3 a|5W3,即|1 5-3 a|W1 5,解之得O W a W l O,所以a 的取值范围是 0,1 0 .答案：0,1 0 7 考 点 三 对称问题多维探究高考考情：对称问题主要包括中心对称和轴对称，它常与两条直线的平行与垂直综合出现在选择或填空题中，试题难度中等.角 度
15、1 点关于点的对称 典例3 过点尸(0,1)作直线/使它被直线/：2x+y 8=0 和乙：x 3 y+1 0 =0 截得的线段被点夕平分，则 直 线/的 方 程 为.【解析】设直线Z 与直线/的交点为/(a,8 2血，则由题意知，点力关于点尸的对称点8(一a,2a6)在心上，把 6点坐标代入直线心的方程得一且一3(2a6)+1 0=0,解得a=4,即点力(4,0)在直线/上，所以由两点式得直线/的方程为x+4y 4=0.答案：x+4y 4=0角度2点关于线的对称 典例4 点/(2,5)关于x+y+l =0 对称的点的坐标为()A.(6,3)B.(3,-6)C.(6,3)D.(6,3)【解析】选
16、 C.设点P(2,5)关于x+y+l=0 的对称点为Q(a,8),.b5 ，-、-，一 即尸(2,5)关于x+y+l =0 对称的点的坐标为(一b 3，a-2则解得 丁a+2+丁8+5+1=0,6,-3).角度3 线关于点的对称 典例5 已知直线/：2x 3 y+l =0,点4(-1,-2),则直线/关于点力对称的直线加的方程为，【解析】在直线，上取两点3(1,1),r(1 0,7),B,C 两点关于点/的对称点为3 (3,-5),r (-1 2,-1 1),所 以 直 线 位 的 方 程 为 1T 即 2x-3 y-9=0.答案：2x 3 y 9=0角度4线关于线对称典例6 （1）（20 2
17、1 成都模拟）与直线3 x 4 y+5=0 关于x 轴对称的直线的方程是（)A.3 x 4y+5=0B.3 x 4y 5 =0C.3 x+4y 5 =0D.3 x+4y+5 =0【解析】选 D.设所求直线上点的坐标（x,力，则关于x 轴的对称点（无 力在已知的直线3*-4y+5 =0 上，所以所求对称直线方程为3 x+4y+5 =0.（2）直线2x y+3 =0 关于直线x y+2=0 对称的直线方程是【解析】设所求直线上任意一点尸（筋 力，则户关于x y+2=0 的对称点为（吊，人）,中-与+2=0,乙 乙x x0=(y j b)，得曲y-2,%=x+2,由 点 户（苟，加在直线2x y+3
18、 =0上，所以 2（y 2）（x+2）+3=0,即 x 2y+3=0.答案：x 2y+3 =0规律方法1 .点关于点对称的求解方法若点M（x“y）和点N（x,y）关于点P（a,b）对称，则由中点坐标公式得 进而求y=2b y”解.2.点关于直线对称的解题方法若两点Mx”y j 与 B（X2，y?）关于直线/：A x+B y+C=0 对称，则由方程组fA（中）+B （小+C=0,可得到点P 1 关于直线/对称的点P z 的坐标（X2,可（其中B WO,x ）.3 .线关于点对称的求解方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出
19、一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.提醒：“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可 统 称 为“中心对称”.教师专用司4.求 直 线/关 于 直 线/对 称 的 直 线 的 两 种 方 法(1)在直线人上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线1的对称点，再用两点式写出直线A的方程.(2)设 点P(x,y)是直线乙上任意一点，其关于直线/的对称点为P(x“y)(P i在直线上上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x,y表示出x”y“再代入直线/的方程，即得直线4的方程.多维训练1.唐代诗
20、人李顽的诗 古从军行开头两句说，“白日登山望烽火，黄 昏 饮 马 傍 交 河 诗 中隐含着一个有趣的数学问题一 一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(1,-4),若将军从点A (1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x +y =3.则“将 军 饮 马”的最短总路程为.【解题指南】作出图示，先求得点B关于直线x +y =3的对称点C的坐标，在 直 线x +y =3上取点p由对称性可得|PB|=|PC|,则|PA|+|PB|=|PA|+|PC|AC|,根据两点间距离公式，即可得答案.【解析】
21、如图所示，设 点B关于直线x+y =3的对称点为C(a,b),2 2由 已 知b+4 ，解得b=b即点C(7,“，在直线x +y =3上取点P,由对称性可得|PB|=|PC|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|e l A C I =d(1 7)2+(2-4)2 =2 7 1 7 ，当且仅当A,P,C三点共线时，等号成立，因此“将军饮马”的最短总路程为2 5.答案：2 1 72 .已知入射光线经过点M(3,4),被直线/：x y +3=0反射，反射光线经过点N(2,6),则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为.【解析】设点M(3,4)关于直线/：x y+3 =0的对称点为M
22、(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以b-4a-(-3)-3+a b+42 21 =1,+3=0,a=l,解得心即M，(l,0).又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为Ex 121即 6 x y 6 =0.答案：6 x y 6=03 .(一题多解)已知直线方程3 x 4 y+7 =0,求与之平行且在x轴、y轴上的截距和是1的直线1的方程.【解析】方法一：设存在直线7：-+3=1,则a+b =l和一已=7组成的方程组的解为aa b a 4=4,b=3.x v故/的方程为7 =1,即3 x 4 y-1 2 =0.4 O方法二：根据平行直线系方程可设直线/为3 x 4 y +c =0
23、(c W 7),则直线/在两坐标轴上截距分别对应的是c c c c金，-，由一鼻+=1,知 c=-1 2.故直线/的方程为3 x 4 y 1 2 =0.O x O x【加练备选】L 已知直线/：2 x-3 y+l=0,点 A(1,-2).求:(1)点A 关于直线/的对称点A的坐标；(2)直线m：3 x 2 y 6 =0 关于直线/的对称直线m 的方程;(3)直线/关于点A 对称的直线的方程.【解析】(1)设 A (x,y),f y +2 2中 广L则 ，Cx 1 y 2 .2 X 3 X +1=0,、乙 乙(3 3x =，1 3 3 3 4解得，即A(工，/)4 i o i oy=i?(2)在
24、直线m 上取一点M(2,0),则 M(2,0)关于直线/的对称点必在m 上.设对称点为M (a,b),则a+2 b +02 X(-)-3 X +1=0,b-0 2f 6a=,1 3 6 3 0解得3 0 即设 m 与/的交点为N,则由2 x 3 y +l =0,3 x 2 y 6 =0,得 N(4,3).又 m 经过点 N(4,3),所以由两点式得直线m 的方程为9 x 4 6 y +1 0 2 =0.(3)方法一：在/：2 x 3 y +l =0 上任取两点，如 P(l,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P,N 均在直线，上.易 知P(-3,-5),N(-6,7),由两点式可得的方程为2x 3y 9=0.方法二：设Q(x,y)为，上任意一点，则Q(x,y)关于点A(l,2)的对称点为Q(-2 x,4 y),因为 Q 在直线/上，所以 2(2 x)3(4 y)+l=0,即 2x 3y 9=0.2.求经过点A(2,1),且与直线2x+y 1 0=0垂直的直线/的方程.【解析】因为所求直线与直线2x+y 1 0=0垂直，所以设直线方程为x 2y+c=0,又直线过点 A(2,1),所以有2 2 X l+c =0,解得c=0,即所求直线方程为x 2y=0.