《2023届新高考数学一轮复习宝典：知识点汇编.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届新高考数学一轮复习宝典：知识点汇编.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三数学f复习秘籍一、集合与函数板块二、不等式板块三、数 板 块四、三角函数板块五、平面向量板块六、解析几何板块七、立体几何板块八、箧计幅率板块九、导敷板块一、集合与函数板块 一）集合1 .集合的定义：一般地.把确定的、不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合，这些对象称为元素。2 .集合中元素的三大性质：（1）确定性（2）互异性（3）无序性3 .元素与集合的关系（1）属于：如果4是集合力的元素，记作a e/,读 作“。属于集合力”。（2）不属于：如果a 不是集合力的元素，记作。任月，读 作“a 不属于集合力”。4常用数集常见数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号表示NAT 或 N+ZQ
2、R5 .集合的表示方法（I）列举法（2）描述法（3）ve n n 图示法6.子集与真子集（1）子集：一般地，对于两个集合4 8,如果集合4中的任意一个元素都是集合8的元素，称集合4为集合B的子集，记作4口5 （或B 口 A）（2）真子集：如果集合A GB,存在元素xB,且元素x不属于集合A,我们称集合A 与集合B有真包含关系，集合A 是集合B的真子集。记作A B （或 BmA）,读 作“A 真包含于B”（或“B真包含A”）。用韦恩图表示如下图（3）集合相等集合相等：如果集合力是集合8的子集，且集合6 也是集合力的子集，此时，集合力与集合8中的元素是一样的，因此集合/与集合8相等，记作4 =8。
3、注：运用集合相等解有关问题时，要注意检验元素的互异性。7 .集合中子集的个数由个元素组成的集合力则有：力的子集的个数是2”；真子集的个数是2 -1;非空子集的个数2 -1;非空真子集的个数2-2。8 .并集（1）并集的定义：一般地，由所有属于集合彳或属于集合A 的元素组成的集合，称为集合力和集合8的并集,记作4U 8,用韦恩图表示如图:（2）并集的运算性质/U 8=8U N 4 1 1 0 =力力U 8 =8 o/13AJA=A(4 U 8)皂/；(4 1 1 8)二3 4U(CM=U9 .交集（1）交集的定义：一般地，由属于集合/且属于集合8的所有元素组成的集，称为集合片和集合8的交集，记作
4、4n8。用韦恩图表示（2）交集的运算性质 40 8 =8 r MA?A=A 4 c 10=0(4 4 n8=A AQB 4 n(Q/)=01 0 .补集（1）全集的定义：含有所研究问题中涉及的所有元素的集合称为全集，记为U。（2）补集的定义：对于一个集合4,由全集U 中不属于集合X 的所有元素组成的集合称为集合力相对全集U 的补集，记作Q；/。用韦恩图表示（3）补集的运算性质 AUCA=U ACCb,A=0（4）摩根定律：q（/nB）=（q/）U（G 方）Q（/i U8）=（Q/）n（G*）1 1 .集合的运算律（1）交换律：ACB=BrA 彳 U 8 =8 L U（2）结合律：/n（8nc）
5、=（/n5）nc JU（5UC）=（JU5）U C。）分配律：/i n（Buc）=（/i n ）u（/i n c）/u（snc）=（力U 5）n（/u。）(二)、函数的枇含1 .函数的定义：一般地，设/,8是非空的实数集,如果对于集合4中的任意一个数X,按照某种确定的对应关系/,在集合6 中都有唯一确定的数和它对应,那么就称/:力-6 为从集合4到集合8的一个函数，记作：J =/(A),x e Ao其中，“叫做自变量，x的取值范 围/叫做函数的定义域；与x的值相对应的乎值叫做函数值，函数值的集合/任),/叫做函数的值域。2 .构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。3 .区间区间表示：以下实
6、数。和人叫做相应区间的端点开区间：1 a xb=(a,b)闭区间：.d a S x W b =半开半闭区间：(1 a xb =(a,b；J =(-半闭半开区间：(1 a xb =,6)；卜|a x -t z,+oo)4 .函数的表示函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图像法。(2)函数三要素1 .定义域具体函数定义域的常见类型：a.分式中分母不为零b.偶次根式非负c.当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集抽象函数常见类型a.已知/(K)定义域，求/(g(力)定义域b.已知/(g(x)定义域，求/(x)定义域c.已知/(g(.明定义域，求/()定义域2.对应关系
7、-函数解析式的求法(1)待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 配 凑法：已知复合函数/g(x)的表达式，求/的解析式./g(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数/(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域 换 元法：已知复合函数/g(x)的表达式时，还可以用换元法求/(X)的解析式(4)代入法：求已知函数关于某点或某条直线的对称函数时，一般用代入法(5)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象时,则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如/(x)、互相为相反数，
8、如/()、/(-x),通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得/(力 的解析式。3.函数的值域(1)值域的概念：值域是由定义域和对应关系/(共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注定求的是史义城范内的酉物值的范(2)函数求值域的方法二次函数求值域(配方法，图像法)根式求值域(换元法，平方法，单调性法)分式求值域(分离常数法，判别式法，有界法，基本不等式法)(3).函数的性及1.函数的单调性(I)函数单调性的定义：一般地，设函数y =/(x)的定义域为/,如果对于定义域/内的某个区间。内的任意两个自变量七、%，当王,与 时，都有/(&)/(匕)，那么就说“X)在区间。上是增函数(减函
9、数)注意：单隹定义关性是变量大小与对应壮数值大小是否一改，扪,则 增.娟 反 只I t(2)函数最值的定义1.最大值：一般地，设函数y =/(x)的定义域为/,如果存在实数M 满足：对应任意的xw/,都有/(X)f(x)的周期 T=2,-同/(+)=(k*0)=/(x)的周期 T=2|a b|/(x +a)=肾科=/)的周期7=4同1 一/若一个函数有两个对称性，则必为周期函数a.相邻对称轴间为半个周期b.相邻对称中心间为半个周期c.一个对称轴和与之相邻的对称中心间为四分之一个周期(4),井本初等的数I .指数运算(1)次方根与分数指数暴一般地，如果x=a,那么X 叫做。的次方根，其中 1,且
10、GN式子仍 叫 做 根式，这里叫做根指数，a叫做被开方数。(2)根式的性质：与 我 之间关系：a.当为偶数时,a 2 0b.当为偶数时.后 表示a的正次方根c.当为奇数时,表示a的次方根 注意事项a.=b.O 的任何次方根都是0,记 作 而=0 a ,n =2 k,keZc.(防)=,。2 0；/=叱3。)d.0的正分数指数早等于0,0 的负分数指数募没有意义。(3)对于任意实数r,$,均有下面的运算性质 a=a(a 0,r,seR)(d )=ars(a 0,r 5 e R)(a b)r=arbr(a 0,b Q,r w R)2 .指数函数的概念(l)j，=a S 0)且(。工1)叫做指数函数
11、，其中x 是自变量，为常数，函数定义域为A。指数函数y =ax定义a 0 a 0 时，优 1x 0 时，a1 0 时，出 1x 1/(幻=/(内一。)一./(一 2)=/(工)的周期7=6回图像(2)指数函数底数变化与图像分布规律 N 0,log则：0 b a d 0,且a w l),那么数人叫做以。为底N的对数，记作：log“N=6其中。叫做对数的底数,叫做真数。(2)对数lo g a N(a 0,且a w l)具有下列性质：0和负数没有对数，即N 01的对数为0,即log=0底的对数等于1,即log.a=l(3)对数的运算法则已知 log 历、logfl N(。0 且 a w l,M、N
12、Q log。(MN)=log“M +loga N log_ 果=log“M-loga N log。M =log M(4)对数公式对数恒等式：=Nlog“N=61换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在。0,M 0的前提下有：a.logfl M =k)g j Mn(eR)b.logu M =(c o,c*1)lo g c.log b=!(a 0,a/l,b 0,b w l)bg4.对数函数(1)对数函数定义：一般地，函数J，=log“x(a 0,且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域(0,+a)(2)对数函数性质对数函数J，=log&x定义a 10 a 1 时，log。x 0
13、；当 0 x l 时，logux 1 时，logax 05.年函数(D赛函数概念：形如，=(a e R)的函数，叫做幕函数，其中a为常数.(2)号函数的性质图象分布：森函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.森函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于,，轴对称)；是奇函数时，图索分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.过定点：所有的号函数在(0.+8)都有定义，并且图象都通过点(U).单调性：如果a 0,则号函数的图象过原点，并且在 0.*，。)上为增函数.如果a l时，若0 x l,其图象在 直 线x上方，当时，若0 x l,其图象在直
14、线y =x下方.作差变形:将/($)-/(覆)(或三)-/()进行简变形,变形的方向应有利于判断整个差式的符号，常见的变形方法有因式分解、配方、有理化等定号:确定/(%)-/&)(或/伍)-/&)的正负，必要时要进行讨论下结论：根据函数单调性的定义得出结论3.分段函数的概念:一个函数的表达式可以分成几个式子，把这类函数叫做分段函数，分段函数的问题，要根据函数的定义域分段 x、x w 0,l(1)例如函数用解析法可表示为,=卜 _/.；w(2)用图象法表示这个函数，它由两条级段组成，如图所示像这样的函数，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数
15、.4.复合函数(1)如果函数y =/W)的定义域为4函数=g(x)的定义域为。，值域为C且 时,称 函 数y =/g(“为)，=/(“)与”=g(x)在。上的复合函数，其中叫中间变量,“=g(.r)叫 做 内 层 函 数,叫 做 外 层 函 数。简而言之，复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数.例如：y =二i可看成函数y =4与二次函数 =r-1复合而成的函数J，=22间可看成指数函数j，=2与一次函数 =2x +l复合而成的函数p =b g 3(/+x)可看成对数函数)，=1。3与二次函数，/=/+工复合而成的函数(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当函数“=g(x)的值
16、域C和函数)，=/()的定义域4的交集不为空集时，二者才可以复合成一个复合函数。(3)求解涉及分段函数的复合函数解析式求法的一般步骤如下：将内层函数代入外函数，并写出外函数的定义域；将内层函数解析式代入，并写出内层函数的定义域；逐段解不等式,求出各段的定义域；将上述求得的各段的定义域整理合并，写出复合函数解析式。(6),几料“见画数1.取整函数定义:设x e凡用卜 表示不超过X的最大整数，则称j，=x 为取整函数,又称高斯函数.函数)，=卜 的定义域是R,值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x =x +a,a 202.抽象函数(1)抽象函数的概念：抽象函数是指没有给出函数的具
17、体解析式，只给出一些体现函数特征的式子的一类函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤如下：取值:设西,马是给定区间内的两个任意实数，且为%)(6)、的数图像及其应用1.函数图像变换(1)平移变换左加右减，上加下减(2)对称变换函数y =/(x)与函数y =T)的图像关于抽对称函数y =f(x)与函数，=-f(x)的图像关于x轴对称5函数y=x)与函数y=-/(r)的困像关于坐标原点(0,0)对称y=|/(M|的图像是将函数/(M的图像保留x轴上方的部分不变，将 轴下方的部分关于 轴对称翻折上来得到的)，=/(可)的图像是将函数/(X)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于
18、y轴对称得到函数y=/(|x|)左边的图像即函数j，=/(|x|)是一个偶函数2.零点定义及零点存在定理(1)对于函数y=/(x),我们把使/(x)=0的实数X叫做函数),=/(x)的零点.强调：虫!不是点，而是对应方程的根，是由数图像与工点交点的横坐梯.(2)零点存在定理：如果函数y=/(x)在区间 小句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(h)0,那么函数/=/(x)在区间(a,b)内盗 式 一个零点。3.二分法找函数零点范围(1)二分法：对于区间,回 上连续不断且/(a)./(b)0的函数/(X),通过不断地把函数/(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
19、进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的近似解就是求函数/(x)零点的近似值.(2)用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤：确定区间 a,句.验证/(.)./()(),给定精度.求区间(&)的中点石.计算/(%).若/(演)=0,则占就是函数/(x)的零点；若/(“)./($)/(巧)0,则令。=(此时零点与6(演,)判断是否达到精确度,即若卜-4 ,=/(.X)的图像与y=g(x)的困像有公共点O 函数y=/(x)-g(x)有零点。二、不式(一)、不答大住It1.性质1：如果ab,那么b6(对称性)2.性质2：如果。6,b ct那么ac(传递性)3.性质3：如果。6,那么a
20、+cb+c(可加性)推论：如果。b且c d,那么a+c8+d4.性质4：如果。b且c0,那么ac历(可乘性)注意：不等式两端同乘一个数或代数式务必确保为正，则原不等式符号不变，否则将变号。推论：如果。力0且c d 0,那么ac/W 15.性质5：如果a b 0,那么a 0,方0(可方性)6.性质6:如果 0,a，那么,0 仇那么1 0 !(可倒数性)注意，4符号相同,取倒数a b a b后不等号发生改变，异号保持不变。7.判断两个实数大小的等效条件：a ba-b0；a =b a-b=0；a b a-b 0；-|x|2(a,b 同 号)；a h(2)+0力 0)或)Q,bQ)a b要点诠释：”2
21、+从2 2 可以变形为MW上 互2.均值不等式及其变形(1)均方平均数：Q(x,j，)=6(2)算术平均数：4口,力=亨(3)几何平均数：G(x,y)=(4)调和平均数：-+*y以上四个平均数满足如下关系：Q(xty)A(x,y)G(x,y)H(x y)其中算术平均数之几何平均数称之为均值不等式，注意均值不等式在使用时满足。“一正、二定、三相等“，以上四个不等式按照大小关系任意取其中两项均成立，注意取等号条件为X =J,。3.求最值当时为定值时，M+/与a+b有最小值;当/+与a+b为定值时，M有最大值。4.不等式证明基本方法：(1)比较法：通过作差与作商进行大小比较：作差：“0”作比较作商：
22、变量同号与“I”作比较(2)利用综合法，分析法证明不等式：综合法：利用弄些已经证明过的不等式和不等式的性质或所给条件，推导出所要证明的不等式成立。其思路 是“由因导果”，从“已知”推 出“未知”。分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备，从而判断原不等式成立。其思路 是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，如果能够肯定这些充分条件巳具备，即可判定原不等式成立。6.通过识题利用反证法，换元法，放缩法，构造函数法，数学归纳法证明不等式：常见放缩法包括(1)直接放缩；(2)添减项放缩；(3)部分项放缩；(4)利用重要结论放缩：利用均
23、值不等式。三、(一八数列的糖念1.数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。2.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。3.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质(1)确定性：一个数是否数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：数列中的数的排列是有次序的4.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：小，为，。”，或简记为 4 其中凡 是数列的第项。注意：/与q的含义完全不同，%表示一个数列，/表示数列的第项5.数列的分类(1)根据数列的个数分：有穷数列
24、，无穷数列(2)根据数列项的大小分：递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列6.数列的通项公式：如果数列 ,的第八项。”与之间的关系可以用一个公式/可()来表示，那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式。7.数列%的前项和：指数列 凡 的前项逐个相加之和，通常用S,表示，即5.=%+叼+.+q。“与S,的关系：当 =1 时 q=E；当”22 时，4=(0+生+。”-1+。”)一 (+=S,-S“T 故(S i,n -1 Sn-Sn_,n 2且 e N8.数列与函数(1)数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上(2)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式(3)数列的图象是落在y轴右侧的一群
25、孤立的点(4)跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式 二，号差数列的定义及性友I.等差数列的定义：一般地，加果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。符号语言形式：对于数列 为,若41T,之2,d为常数)或*|一q=d(e N.,d为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。2.等差数列的通项公式：首相为4,公差为d 的等差数列%的通项公式为:当 工0 即彳工0 时，S”是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线j，=4 1+&-上的一群凡=q+(-l)d(
26、G M)等差数列的前项和公式:S1 t=叫山=啊+吗里3.等差数列的通项性质：等差数列 4 中，公差为d,则(1)若见，夕,qe N.,且】+=p+夕,贝 I 勺+。“=册+4 ,特别地，当1+=2时+a”=2%，(2)下标成公差为机的等差数列的项4,为”,4+.,组成的新数列仍为等差数列，公差为 H(3)若数列 4 也为等差数列，则 ,6，3,土耳，(A力为非零常数)也是等差数列(4)%+&+%，卬+%+%，%+%+%，.仍是等差数列(5)数列口勺+6 (Z b 为非零常数也)是等差数列4.等差数列的求和性质:等差数列/中，公差为d,则(1)连续4 项的和依然成等差数列，即工,5然“,5”一
27、5派，一成等差数列,且公差为Fd(2)若项数为 2/1，则 S2 n=n(an+a“+J,S儡-5奇=d,-7-=乌S科。”+|(3)若项数为 2-1,则邑1=(2-1)/，S奇=叫，S照=(-1)(,S奇-S 偶=,，=-偶 一 I5.等差数列中的函数关系(1)等差数列 q 的通项公式是关于的一次函数(或常数函数)等差数列 a“中，%=q+(-1)=0 时,一次函数单调增，%为递增数列b.当dVO时，一次函数单调减，/为递减数列(2)等差数列 6 的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数(或一次函数)则：Sn=A n2+Bn(/,8 为常数)当d=0 即/=0 时，S.=Bn =)叫,S
28、,是关于的一个一次函数；图象在直线y=q x 上的一群孤立的点。孤立的点。a.当d 0 时S”有最小值 b.当d 1 0 夕 1递减，则C或0(?1(4)下标成等差数列且公差为，”的项q 吗“，组成的新数列仍为等比数列，公比为g”(5)若 ，他 是项数相同的等比数列，则他,、*、y (4 是常数且A w O)、出、叫(?wM,m是常数)、可也 、恃 也是等比数列3.等比数列前项和的性质(1)等比数列 q 的前和为S,则3。“工尸加一%，仍是等比数列(2)前项和公式：S.=kq-k(3)相邻无项和的比值与公比夕相关：设 S=4+|+4 6+4.*,7 =Q“|+4.2+-+4.*,4 .I+-+
29、.+%*四、三角函数板块 一)，任介与度L角度的概念基础(1)任意角：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角(3)轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角(4)终边相等的角：终边一样的角，加减3 60度的整数倍(5)区域角：一定范围的角(6)判断角的象限：着终边落在第几象限2.弧度制s i n(-c t)=-s i n ac o s(-a)=c o s as i n(2 -a)=-s i n ac o
30、 s(2 -a)=c o s as i n(-a)=s i n ac o s(4-a)=-c o s as i n(+a)=-s i n ac o s(4+a)=-c o s a.(n s i n 12 a )-c o s a(乃1 c o s(2-a)=s m as i n 12 +a)=c o s a(n c o s (2 +a )=-s m a“奇变偶不变，符号看象限”，说明：先将诱导三角函数式中的角统一写作 卷土a无论有多大，一律视为锐角，判断”工士a所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负2(1)张度制概念：长度等于半径长的瓠所对的圆心角叫做1瓠度的角当为奇数是，“奇变”，正变余
31、，余变正(2)角度制与瓠度制的转 换:4=180。(3)扇形弧长面积公式：l=ax rf S =1/r 当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可4.和差角公式 二)、任叁介的三介爵数1.任意角三角函数定义如图，在平面直角坐标系中，。是任意角，终边上任意一点P(除原点)的坐标为它 与 原 点 的 距 离 为+产0),那么上叫做a的正弦，记做s i n a,即s i n a =；r r土叫做a的余弦，记做c o s a,即c o s a=日；r r 叫 做a的正切，记做t a n a,即t a n a=2；x x特别地，角。终边上与单位圆的交点坐标为(x,y),K J s i n a =y,c o
32、 s a =x,t a n t z =-2.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：s i n2 a +c o s2 a =1 ,(s i n a c o s a)=1 2 s i n a r c o s a(2)商数关系：t a n t z =-c o s a(3)常见变形形式：s i n2 a=I -c o s2 a =(1+c o s a)(l -c o s a).sin a=co st1 +c o s a s i n a.，t a n2 a 2 1s i n-a -；,c o s-a =-l +t a n_a 1+t a n a3.诱导公式s i n (a +2攵%)=s i n a c
33、 o s(a +=c o s a(1)和角公式;i n (a +/?)=s i n a c o s p+c o s a s i n c o s (a 4-/7)=c o s a c o s p -s i n a sin pt a n(a +/7)=t a n a+t a n 01 -t a n a t a n f t(2)差角公式s i n(t z -/?)=s i n t z c o s/7-c o s t z s i n pc o s (a -P)=c o s a c o s p+s i n a s i n 0t a n(a-/?)=s-/?1 +t a n a t a n 夕5倍半角公式
34、(1)二倍角公式 s i n 2 a =2 s i n a c o s ac o s2 a=c o s2 a -s i n2a =2 c o s2a-l =l-2 s i n2at a n 2 a2 i a n a1 -t a n2 a(2)降森扩角公式1 .cs i n a c o s a =s i n 2 a2(3)半角公式.，1-c o s 2 as i n-a =-2,1+c o s 2 ac o s-a =-2呜=土.1 -c o s a2对称中心(攵应0)(%e Z)A/r +0)(Aw Z)(t e Z)ac o s =.21+COS6Z2a s i n a 1 -c o s a
35、/在八 4t a n =-=-(万能公式)2 1 +c o s a s i n a=0),角(P 的终边过点(.,),特殊地，若 a s i n a +bco sa =la2+b2 或-x/t?+则 t a n a =2i.正弦定理-=-=2 R(其中R为三角形外接圆半径)s i n A s i n B s i n C2.余弦定理co s A常用的几个公式2 bc-s i n a C O S T=J2s i n YI 4.co sB=2 a cs i n a 土 百c o s =2 s i n a I 3,c o s C=la b/3 s i n a c o s =2 s i n a +I 6
36、)3.正余弦定理的变形(1)和比:ba +ba+b+cs i n J s i n B s i n C s i n J +s i n B s i n 4+s i n 8+s i n C(2)余弦定理变形:c i1-b2+c2-2 bcco sA(三)、三介的数图像性及正弦函数y=s i n x正弦函数y=c o s x正切函数y=t a n x(x /k +g )在 0,2 旬上的图象h产一4X/xf-7v=-lv=tanr定义域(-c o,+a )(-00,+00)值域-1.1E+0 0)周期性T =2冗T =2兀T =n奇偶性奇函数偶函数奇函数单调增区间左 乃 一 日.2壮+力(*w Z)i
37、k/c-T T,2 A z r (a Z)+k7r,+k (k e Z)单调减区间2 A/r +g,2 A;r +学(k eZ 2 kn,2 kn -eZ)无对称轴x=krr+g(k G Z)x=kn(k e Z)无b2=a2+c2-2 a c c o s 5c2=a2+h2-2 a bco sC4.三角形内角和定理(1)内角和定理：4+6 +。=乃(2)和差角变形：s i n 力=s i n(8 +C),c o s =-c o s(5 +C)五、平面向激块(一)，平面向量的樵含1.概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段。2.性质：
38、大小，方向确定则向量确定，平移不会引起向量的改变。3.向量的表示：(1)几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度。(2)字母表示法：注意起点在前，终点在后。/84.向量共线或平行：通过有向线段置力的直线，叫 做 向 量 的 基 线。/如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线,或平行.向量力平行于向量了，记作才/“。说明：共缓向量的方向相同或相反。注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同。5.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记 作.LTA B _6.单位向量：,一 两7.零向量：长度为0的向量叫零向量，
39、记作：0,注意零向量的方向是任意的。8.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。二)、面力量的级性运算1.向量的加法:(D向量加法的三角形法则：已知向量a,b,在平面上任取一点A,作A B=a,再作向量B C,则向量AC叫做a,b的和(或 和 向 量)，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC(2)向量求和的平行四边形法则：巳知两个不共线的向量a,b,作AB=a,AD=b,则d,B,0三点不共线，以AB,A D为邻边作平行四边形N B C O,则对角度上的向量AC=a+b这个法则叫做向量求和的平行四边形法则。向量的运算性质：向量加法的交换律：a+b=b+a向量加法的结
40、合律：(a+b)+c=a+(b+c)关于 0：a+0=0+a=a已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第 个 8、Qj向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则。旦 工2.向量的减法：(1)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a.零向量的相反向量仍是零向量。(2)差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量。推论：一个向量BA等于它的终点相对于点。的位置向量0A减去它的始点相对于点。的位置向量0 B,或简记“终点向量减始点向量”。(3)一个向量减去
41、另一个向量等于加上这个向量的相反向量。向量的数乘数乘向量：实数4和向量a的乘积是一个向量，记 作 a,且A a的长|人 矶=|人|*同向量共线的条件：如果a=、b,则ab；反之，如果ab,且b不等于0,则一定存在唯一的一个实数4,使a=b。3.向量的运算率：交换律：a+b=b+a,ab=ba,(Xa)b=A(ab)分 酉 己律：(a+b)c=ac+bc,ax(b+c)=axb+axc,(a+b)xc=axc+bxc 三，面向量的国心i.重心：中线交点已知4 B,C是不共线的三点，G是A4BC内一点，若GA+GB+GC=0,则G是A4BC的重心。若0为平面内任意一点，OG=1/3(OA+OB+O
42、C),G点坐标(%+；+专，+彳+2.外心：外接圆圆心，垂直平分线交点已知。是2L4BC内一点，满足|GA|=|GB|=|GC|,则点G为力3 C的外心。3.垂心：高的交点已知G是A4BC内一点，满足GA.GB=GB.GC=GA.GC,则点G为垂心。4.内心：角平分线交点。是A4BC内心的充要条件是。A.懦 一 轮=O B.(赢-静=备-群=0G为平面内任意一点，G o q詈 处,0点坐标(一+?+%,吗+%a+b+c V a+b+c a-b+c)(3)向量求和的多边形法则:六、解析几何板块（一）,直谓方程1 .直线的倾斜角对于一条与X 轴相交的直线，X 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫做这
43、条直线的倾斜角。倾斜角a c O 7）,规定与x 轴平行或重合的直线的帧斜角为0。2.直线的斜率（1）不是1的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k表示，即=t a n a,倾斜角为:的直线的斜率不存在。当k =0 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；当 0 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随”的增大而增大；当*，=,则点此（/J o）到/的距离=,一%|。7.两条平行线间的距离已知4名是两条平行线，求（4 间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离。（2）设4：Ax+Bv+C1 =0,/,:Ax+Bv +C、=0,贝 1/,与 之间的距离 d=,-1 21 不+注:
44、两平行直线方程中,X 前面对应系数要相等。8.中点坐标公式：若两点1（西,乂）出（七,当）且线段8 6的中点坐标为伍 力，则.*=,y=旦 产，则此公式为线段巴 优的中点坐标公式。二），的方程I .圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。2.圆的三种方程：标 准方程：（x a）2+（j，b）2=2,圆心坐标为（a,b）,半径为夕 6 0）；一般方程：/+/+必+怎,+=0（0 2+炉一4/0）,圆心坐标为（一弓,一 弓），半径7D2+2-4F1 2；直径式方程：若力&,乂）.8（七,为），则以线段4 8 为直径的圆的方程（、-）（七）+（尸 凹）3-，2）=0。三）、直级
45、与的位置关系才三料，相声、，切、相交1.几 何 法（根据圆心到直线的距离和半径关系来确定）设半径为，的圆其圆心（。,6）到直线小+&+仁=0 的距离为4,则.=卜：+8.+口,那么：IA2+B?d/7 二 T7；（2）=1=直线与圆相切；（3）d o 直线与圆相离。2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）.f Ax+By +C =0由，,消兀得到一兀二次方Q：2+“K+,=0,p x?+”+,=0 判别式为,则：（1）-+（i）-=厂（l）A Oo直线与圆相交；（2）A =0 o直线与圆相切；（3）A 直线与圆相离。四）、需 的位置关系共*五肿，外青、外切、相交.内
46、切，内含具体判定只能用几何法，即根据两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定.设两圆q,Q 的半径分别是凡（不妨设,）且两圆的圆心距为d,则：/?+=两圆外离，没有公共点：公切线4 条。=/?+=两圆外切，有I 个公共点；公切线3 条。R-r d 闺丹）的点的轨迹；2.与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0 e l）1.到两定点不尼的距离之差的绝对值为定值2a（l）与定点和定直线的距离相等的点的轨迹.图形严-a2*x=r,cWf纪0、60)a b十 芯=l(a 0,60)y2=2 px(p0)范围-a x a,-b y a,y eRxQ,y eR中心原点0(0,0)原点0(0,0)无
47、顶点(o,0),(0,+/)(a,0),(-a,0)(0,0)对称轴X轴，y 轴X轴，J，轴X 轴焦点耳(Y,o),玛(c,o)耳(-c,o),(c,o)F例准线T准线垂直于长轴，且在椭圆外.x =l准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.一 K2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2 c(c2=a2-b:)2 c(c2=a2+Z?2)焦准距为P离心率e=(0 e 1)e-通径过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，长度为 二a2P2.圆锥曲线的“垂径 定 理”已知不过原点。的直线与椭圆+=1 交于4 3两点，河 为 弦 的 中 点，则直线为6与直线O M的斜率之a bg2积k.AB 卜0四=
48、一左。注：当。=方=时，该公式内容即为圆的垂径定理；这里不要求a b,即该结论对焦点在x 轴和焦点在j，轴上的椭圆均适用；若椭圆改成双曲线-E=i，则 相 应 的 结 果 就 是*=4（焦点在*轴上）或*“-*。“=4 （焦点在a b a b轴上）o3 .弦长的一般计算公式（1）纵截式弦长 AB =l+k2|x,-x2|=/l+k2-+x j-4.0 q =J l+L 专（2）横截式弦长A B=卜+1片一闾=小1 +/.（乂+必）2一 4 必必（*0）（3）抛物线的焦点弦焦点在x 轴上，开口向右：|/6|=演+x,+p =-y?（a 为倾斜角）。si n a焦点在i，轴上，开口向上：I=yt+
49、y2+p=（a 为快斜角）e c o s a七、立体几何板块 一），停见几何体第构情在1.几何体的分类：多面体和旋转体。多面体的定义：由若干个平面多边形围成的几何体。旋转体的定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。2.相关概念：面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边。顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线。3.柱体、锥体、球体、台体的结构特征结构特征棱柱棱锥棱台定义两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱.有一面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥.
50、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.底面两底面是全等的多边形多边形两底面是相似的多边形侧面平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两底面是全等的多边形与底面是相似的多边形与两底面是相似的多边形过不相邻两侧棱的截面平行四边形三角形梯形4.多面体的表面积、体积公式名称侧 面 积（%）全面积（SQ体 积（K）棱柱棱柱直截面周长WS f ls +2S 底S&+=5在 低 面 小直棱柱chSgh棱锥棱锥各侧面面积之和s何+s底1 g,产力正棱锥-ch,2注意事项：区分斜高与体高、侧棱长.棱台方-各侧面面积之和正棱台；(c +