2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.pdf-淘文阁

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1、专题9.2 直线与圆的位置关系(知识点讲解)【知识框架】1.考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.【核心素养】2 .考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养.3 .与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养.【知识点展示】圆的方程1 .圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.2 .圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(M,半径为r,则该圆的标准方程为：(x a)2 +(y-份 2 =(2)方程(x-a)2 +(i)2=产表示圆心为CQ 万半径为r 的圆.3 .圆的一般方程(1)任意一个

2、圆的方程都可化为：x2+y2+D x+E y+F =0 .这个方程就叫做圆的一般方程.(2)对方程：/+V+6+4+/=0.若。2 +2 4/0,则方程表示以(一 g,-g)为圆心,|VD2+2-4 F为半径的圆；若。2+七2-4 尸=0,则方程只表示一个点(一今，-1)；若+后2 -4/0 ,则方程不表示任何图形.4.点A(x 0,%)与。C的位置关系(l)|A Q/。点 4 在圆外=(与一 4)2+(%一切2 /二.圆的方程综合应用1 .圆的标准方程为：(x-a)2+(y-0)2 =/2 .圆的一般方程.：x2+y2+D x+E y+F =O(2+E2-4 F 0 ).3.点6(%,%)

3、到直线/：A x+5.v +C=0的距离:1A xo+Byo+C|d A?+B2三.直线与圆相切1 .直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2 .几何法：圆心到直线的距离等于半径，即 =/；3 .代数法：=(),方程组有一组不同的解.四.直线与圆相交及弦长1 .直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2 .几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d(),方程组有两组不同的解.五.圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为G、C2,圆心距为d =|G G|，半径分别为火、r(Rr).(1)两圆相离：无公共点；d R+r,方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；d=R+r,方程组有一组不同的解.(3)两圆相

4、交：有两个公共点；R-r d R+r,方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；d=R-r,方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；U W d 0）,则忑=亍=a=2,r=正+（后=3,故圆C的方程为5-2）2+y2=9.【总结提升】涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的垂直平分线上.题型三：直线与圆相切例6.（2020全国高考真题（理）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（）A.B.C,D,拽 5 5 5 5【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐

5、标为（“M）M 0,可得圆的半径为“，写出圆的标准方程，利用点（2,1）在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2 x-y-3=0的距离.【详解】由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为（a,a）,则圆的半径为a,圆的标准方程为（x力+仃.由题意可得（2-“y+（l-a）:,可得/_ 6 a +5=0,解得。=1 或。=5,所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,圆心0 4）到宜线2 X-7-3的距离均为4 1 2 x i：-3|=半;圆心（0 5）到直线 2

6、x-,-3 0 的距离均为4 =|2 x 5-5-3|_ 2 /53 甘圆心到直线2 x -y-3 =0的距离均为=甲=述；V 5 5所以，圆心到直线2 x-y-3 =0的距离为平.故选：B.例7.【多选题】（2 0 2 1.全国.高考真题）已知直线/:奴+与，-产=0与圆。：/+=/,点43份，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离 D.若点4在直线/上，则直线/与圆C相切【答案】A B D【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位

7、置关系为合+从,严的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心c（o,o）到直线/的距离=Va2+b2若点A（a,6）在圆C上，则/+从=/，所以 =方十寸=巾Ja+b则直线/与圆C相切，故A正确;若点A（a,6）在圆C内，则/+，所以 =,卜|,则直线/与圆C相离，故B正确;yja-+b-2若点A（a,幼在圆C外,则/+/户,所以d=，巾ja+b则直线/与圆C相交，故C错误；若点4（。力）在直线/上，贝4 /+从一，=0即a2+b2r2,所以d=777=卜|,直线/与圆C相切，故D正确.故

8、选：ABD.例8.(2020浙江高考真题)设直线/：y=h+0)与圆 Y+9 =1和圆(x-4)2+V=1均相切，贝ijk=b=_【答案】3 3【解析】【分析】用 2 6由直线与两圆相切建立关于,b的方程组，解方程组即可.【详解】设Ct-.x2+y2=,C2：(x-4)2+/=1,由题意，G C到直线的距离等于半径，即=1，器M所以|旬=|必+4，所以左=0(舍)或者6=-2%,解得k=也力=-巫.3 3故答案为：B；-空3 3【规律方法】判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之

9、后利用4判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.提醒：上述方法中最常用的是几何法.题型四：直线与圆相交及弦长例9.(2023全国高三专题练习)过圆C:(x-l)?+y2=i外一点p作圆C的两条切线，切点分别为A,8.若 BW为等边三角形，则过。(2,1)的直线/被尸点轨迹所截得的最短弦长为.【答案】2五【解析】【分析】先根据/A PC=30。，可得尸点轨迹方程为圆，再数形结合可知当/与CD垂直时，/被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可【详解】由题意知c(l,o),连接尸C,因

10、为以8为等边三角形，所以/C=30。，所以|C H=2,所以尸点s i n 3 0轨迹的方程为(x-i y +y 2=4.因为(2-1+1 2=2 )与圆(“一1)2+(丫一1)-=3相交所得的弦长为加，则【答案】2【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于根的等式，即可解得?的值.【详解】圆(x-l)2+(y-l)2=3的圆心坐标为(U),半径为|1 -1 +7/7圆心到直线x-y+m=0(加 0)的距离为七尸=正，由勾股定理可得因为机 0,解得m=2.故答案为：2.【规律方法】1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得

11、到一个一元二次方程.在判别式d0的前提下,利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为八则弦长/=2产二?.题型五：圆与圆的位置关系例 1 1 2 0 2 2 广西桂林模拟预测（文）圆G:/+V-I 4x =0 与圆6:（x-3）2 +（y-4/=1 5 的位置关系为（）A.相交 B.内切 C.外切 D.相离【答案】A【解析】【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由 G：f+y 2 _ 4x=0 与圆C 2：（x-3）2+（y-4）2=15,可得圆心G（7,0），G（3,4）,半径4

12、=7,4=后,则|C C 2|=J（7-3）2 +（O-4）2 =4 0,且旦一4 =7-7 15,/?,+=7 +7 15,所以R 2-K|G G|0）d=J =1 5 3 5。到/的距离广屋，解得f =,所以/的方程为y=-=x+=,3+而 4 4 4当切线为，”时，设直线方程为乙+y+P =0,其中p 0,k0,由题意，J1+公伙+4+pJ1+Fk=-解得，,，y=7 25一X-24 24当切线为时，易知切线方程为x=-1,常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.2.两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方

13、程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题.3.公共弦长要通过解直角三角形获得.题型六：直线、圆的综合应用例13.（2020 全国高考真题（理）已知。x2+y2-2 x-2 y-2 =0,直线/：2x+y+2=0,2为/上的动点，过点尸作。M的切线尸A尸8,切点、为A,B,当|*W|-|4 3|最小时，直线A 8的方程为（）A.2 x-y-1 =0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+l=O【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A P,反M共圆，且根据|P M HAB)=4S.M=4|即可知，当直线M

15、y(yl)=O,即x2+/-y-l =O,两圆的方程相减可得：2 x+y+l=0,即为直线A8的方程.故选：D.例14.(2 0 2 2.全国.高考真题)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于V =。对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=l有公共点，则。的取值范围是.1 3【答案】【解析】【分析】首先求出点A关于了 =。对称点4的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：4(-2,3)关于丫=。对称的点的坐标为砥-2,2 4-3),8(0,a)在直线y=a上，所以A B所在直线即为直线/,所以直线/为丫 =胃工+。，

16、即(a-3)x+2 y-2 =0；一2圆 C:(x+3)2+(y+2)2=l,圆心 C(-3,-2),半径/=1，|-3(tz-3)-4-2 a|依题意圆心到直线/的距离d =、=3=；41，J(a-3)-+2 2i即（5 5）4（a-3）-7 +2 2,解得314 a34 ,即a e 1 3；故答案为：g 弓例 15.（2022.河南嘟州四中高三阶段练习（文）已知圆C:x2+y 2-4 x-2），+l=0,点尸是直线y=4 上的动点，过 P 作圆的两条切线，切点分别为A,B,则|A4 的最小值为.【答案】3 3【解析】【分析】根据圆的切线的性质，结合三角形面积S酗册“=2|%与金

17、地形”B C =g k 8|C P|,化简可得|钻|=酱,进而得到恒回=、1-向,根据|AB|最短时，|CP|最短求解即可【详解】圆 C:*2+y2-4x-2y+l=0,即（x-2）?+（y-l7 =4,由于B4,PB分别切圆C 于点A,B,则|刚=|P3|,CAA.PA,C B 1 P B,所以S四边形叱=25次.=|小照，因为|。卜|出=厂=2,所以际边形”8 c=2附又 PC L A B,所以跖 =；|4 圳CP|,所以附=j1 M|C P|,即.1”.|=4曲1PAi=4,1I 同，所以|A6|最短时，|C“最短，点 c 到直线y=4 的距离即为|CP|的最小值，所以1

18、 0 =3,所以|用的最小值为4产1=例 1 6.(2 0 2 3 全国高三专题练习)已知线段A8的端点8的坐标是(5,1),端点A在圆0:(x-l p+(y-3 了 =4上运动.(1)求线段A B的中点P的轨迹G 的方程;(2)设圆G与曲线G 的两交点为M，N,求线段M N的长：若点 C在曲线C?上运动，点。在 x 轴上运动，求|A 0+|C。的最小值.【答案】(l)(x-3)2+(y-2)2=l(2)|MN|=竽(3)7 2 9-3【解析】【分析】设 4a,%),P(x,y),可得：；：，代入圆 G：(x-l)2+(y-3)2=4 化简即可；联立方程(xl Y+(y 3)2=4 和

19、(乂 3)2+(丫 2)2=1,得 M N所在公共弦所在的直线方程2 x-y 3 =0,再由弦长公式可求得结果；(3)作G 关于*轴得对称点。2(3，-2),连接CC与 x 轴交于Q点，根据时|4 9+|困之|。0 2 卜3 求解即可.(1)设尸(x,y),点 A 在圆 G：(x-iy+(y-3)2=4,所以有：(%-1 丫+(%-3)2 =4 ,P 是 A,B的中点，一为+5A 一2，即V_ A i12*=?一:，得尸得轨迹方程为:%=2 y-l(x-3)2+(y-2)2=l；(2)联立方程(x-iy+(y-3)2=4和(彳-3)2+(广2)2=1,得知/7所在公共弦所在的直线方程27-

20、3=0,连接C C?与x轴交于Q点，点。即为所求，此时|A Q|+|C 0|N|c C|-3 =囱-3,所以|4 Q|+|C Q|的最小值为a-3.【规律方法】(-)最值问题1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如 =三形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=a x+b y形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+0-力2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.2.求解形如IP M+IP N(其中M,W均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“

21、动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.(二)求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.注：从高考命题看，与圆相关轨迹问题，往往与圆锥曲线有关.(三)几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.

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