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1、专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(知识点讲解)【知 识 框 架】【核 心 素 养】1.结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.2.结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养.【知 识 点 展 示】(-)不等式的性质1.实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数”和 6,如果 一 是正数，那么如果a-6 是负数，那么如果a6 等于零，那么=。2.不等关系与不等式我们用数学符号2 、W”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3.比较大
2、小的常用方法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.(2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论.*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.4.判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断.5.求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时.一般是利用整体思
3、想，通 过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.6.不等式性质(1)对称性：a仪(2)传 递 性:ab,Hc=ac.(3)可加性：ab=a+cb-c.(4)可乘性：ab,cOnadbc；ab,cOnacbc.(5)加法法则：ab,cda+cb+d.(6)乘法法则：ab0,6d0 nadbd.(7)乘方法则：a60=a6(z?CN,庐2).(8)开方法则：G b 0=船 的(nWN,2 2).(二)不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式.(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说
4、明方程有没有实根.(4)写：利 用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.*2.分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.1 0 9/(x)g(x)O,黑 g(x)_S_0.於)、1 0,g(x)包(x g(x)O 或|AA)=Og(x)WO.0)和|ax+b2c(c 0)型不等式绝对值不等式：x|a与 x|0a 0a01 。JC|Qa JC|jca 或 z V a1r|R|ax+b Wc(c0)和 ax+b 2 c(c0)型不等式的解法|ax+b W c=c Wax+bWc(c0),I ax+b|2 c=ax+b2c 或 ax+bW-
5、c(c0).2.绝对值不等式的应用如果a,b 是实数,那么|a+b|W|a|+|b|,当且仅当abO时,等号成立.（四）几条常用结论1.倒数性质的几个必备结论 力，而（2）a0.（3（4）0 axb 或 6/x/?b09 mOt 则b h+m b b-m（1）_ 0）.a a+m a atna a+m(2)T.；b b+ma a tn-b bm【常考题型剖析】题型一用不等式表示不等关系例 1.（2010浙江 高考真题（文）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额
6、相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_ _ _ _ _ _ _【规律总结】用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤：审题.通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量.找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等.列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示.题型二:比较数或式子的大小例 2.（2022.全国.模拟预测（理）已 知 则 下 列 结 论 正 确 的 是（）aA B.log.a log(,bbbC lo g lo g*D,b-/7 c d,下列选项中正确的是()A.a+d b+
7、c B.a+cb+dC.ad bc D.acbd例 5.(2014 四川 高考真题(文)若4 b 0,c d B.D.一 一c d c d d c d c例 6.【多选题】(2021河北高三二 模)若 实 数。满足 f b，则下列选项中一定成立 的 有()【规律总结】1.判断不等式的真假.(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件.(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例.2.证明不等式(1)要
8、在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.3 .求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.4 .掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.题型四：不等式的
9、解法例 7.(2 0 2 0 全国高考真题(理)设集合 B=x2x+a0,且 A C 8=x H 人 1 ，则()A.-4 B.-2 C.2 D.4例 8.(广东高考真题(理)不等式上一1|+卜+2性5的解集为.例 9.(2 0 1 9 天津高考真题(文)设XWR,使不等式3/+-2 0 成立的X 的取值范围为.例 1 0.(2 0 2 2.上海.高考真题)不等式上一c(c0)的几何意义:数轴上到点xi=a和x2=b的距离之和大于c的全体，IX-a|+|x-b|xa (xb)|=|ab|.(3)图象法：作出函数y i=|x-a|+1x用和丫2=。的图象，结合图象求解.题型五：绝对值不等式的应用
10、例11.(2022陕西交大附中模拟预测(理)已知则“凶 1且3 2”是“|x+y|3的()条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要例 12.(2022浙江高考真题)已知a,6 e R,若对任意x eR,a|x-b|+|x-4|-|2 x-5|N 0,则()A.a3 B.a,b,b3 D.al,h仪(2)传 递 性:ab,Hc=ac.(3)可加性：ab=a+cb-c.(4)可乘性：ab,cOnadbc；ab,cOnacbc.(5)加法法则：ab,cda+cb+d.(6)乘法法则：ab0,6d0 nadbd.(7)乘方法则：a60=a6(z?CN,庐2).(8)开方法则
11、：G b 0=船 的(nWN,2 2).(二)不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式.(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写：利 用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.*2.分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.1 0 9/(x)g(x)O,黑 g(x)_S_0.於)、1 0,g(x)包(x g(x)O 或|AA)=Og(x)WO.0)和|ax+b2c(c 0)型不等式绝对值不等式：x|a与 x|0a 0
12、a01 。JC|Qa JC|jca 或 z V a1r|R|a x +b W c(c 0)和 a x +b 2 c (c 0)型不等式的解法|a x +b Wc=c W a x +b W c (c 0),I a x +b|2c=a x +b 2 c 或 a x +b W -c(c 0).2.绝对值不等式的应用如果a,b是实数,那么|a+b|W|a|+|b|,当且仅当a b O时,等号成立.(四)几条常用结论1 .倒数性质的几个必备结论 力，而(2)a0.(3(4)0 axb 或 6/x /?b09 mOt 则b h+m b b-m(1)_ 0).a a+m a atna a+m(2)T.；b
13、b+ma a tn 1 （）,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）B.l o g l o g C.l o g,a l o g,b【答 案】D【解 析】【分 析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详 解】因为所以对于 A：0 -0,所以l,所 以y =在(0,”)上为增函数，bb又a b,所以故B错 误；b b对于 C：l o -l o g.f e=l o g a+l o g h=l o g ah,b a b b b因为11,而1,所 以l o g”劭 l o g l =0,b3 力所以 l o g l o g ,故 c 错
14、 误；对于 D：/7-1-(。一口=6-“+!-工=(-6)(匕 警ba a b)b a ab因 为。一Z?0,ab 1,所以人=即人 _4 +1 0,.*.%2+y2+1 2(x+y 1).1 (a 1)(+1)由“一 片 一 当 a=l 时，a=：当 一1 。1 时，a*；当 a I 或 0 a V l 时，a 6cd,下列选项中正确的是()A.a+d b+c B.a+c b+dC.adbc D.a o b d【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】Q 3 2 l 0,但3+0=2 +1,3x O b o d,a c,b d,所以 a +c O+d.B 正确.Q 3 0
15、2 -l 2,但30 x(-l)2 x(2),D 错.故选:B.例5.（2 01 4 四川高考真题（文）若a b 0,c v d0,则一定有.a b a b a h 一 a bA.B.C.-D.-c d c d d c d c【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系.已知。6 0,c d 0,所以一-1 0,所以一二 一2,故色 9.故选。a c de d e例6.【多选题】（2 02 1.河北高三二模）若实数。，b满 足 /匕，则下列选项中一定成立的有（）A.a2 b2 B.a3 b3 C.ea-b 1 D.I n 0 b）【答案】A D【解析】根据条件，可得0a 力或6 a 0,逐一
16、分析四个选项，即可得答案.【详解】因为 a 4 c d）,所以“3（。一）0,所以a3 Q或 0a-b 0所以0。或匕。0,所以 小,故A正确;若0。,则/）3,故B错误；若0。/7,则4一方0,所以-1，故C错误;因为0。或6 a 0,所以0曰1,b所以 l n（）0,故D正确.故选：A D【规律总结】1.判断不等式的真假.（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件.（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件;二是取值要简单，便于验证计算.（3）若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误
17、，只需举一反例.2.证明不等式（1）要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.（2）应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.3.求取值范围（1）建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围.（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.4.掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零
18、，否则结论不确定.题型四：不等式的解法例 7.（2020全国高考真题（理）设集合 A=xF口WO,B=x2x+a0,且 4（18=川-2人 1，则。=（）A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合4 8,然后结合交集的结果得到关于。的方程，求解方程即可确定实数“的值.【详解】求解二次不等式三440可得：A=xl-2x2,求解一次不等式2x+aW0可得：由于A c 5 =x|-2 4 E ,故：一券=1,解得：a=-2.故选：B.例 8.（广东高考真题（理）不等式,一1|+归+2住5的解集为.【答案】3。2,物）.【解析】2x1,x 2令 力=归 一 1|+卜
19、+2,则 f（x）=3,-2 x(1)当X 2时，由f(x)N 5 得一2%125,解得X l 时，由/(x)N 5 得 2 x+1 2 5,解得此时有x 2；综上所述，不等式上一1|+卜+2 性 5的解集为(-0 0,-3 3 2，+8).例 9.(2 0 1 9 天津高考真题(文)设xeR,使不等式3 x2+x-2 0 成立的x的取值范围为.【答案】(一 1,令2【解析】【分析】通过因式分解，解不等式.【详解】3 x2+x -2 v 0,即(x+l)(3 x-2)0,2即一 1 v x 一,32故x的取值范围是(-1,例 1 0.(2 0 2 2.上海高考真题)不等式土10的解集为.【答案
20、】x|0 x l X【解析】【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】x 1 f x 1 0一八 或 八，解第一个不等式组，得O v x v l，第二个不等式组的解集为空集.x x 0 x 0故答案为：x|0 x l【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式.(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写：利 用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数
21、，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式.(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【易错警示】忽视二次项系数的符号致误3.形如|x-a|+|x-b|2c(或W c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(-8,a ,(a,b ,(b,+8)(此处设a c(c 0)的几何意义:数轴上到点x 尸 a 和 x2=b的距离之和大于c的全体，|Xa|+|x b|x a
22、 (x b)I|a b|.(3)图象法：作出函数y i=1 x a +1 x b|和 y 2=c 的图象，结合图象求解.题型五：绝对值不等式的应用例 1 1.(2 0 2 2 陕西 交大附中模拟预测(理)已知5 r|x|1 且忸 2 是“|x+y|3 的()条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，山|x+y|3&W l,|y|2 可以举反例【详解】解：充分性：若则k+丫区冈+田 3,充分性得证；必要性：若k+y|3,取x=2,y =0.5 满足条件，但不能得出故为非必要条件；综上所述，|x|l,|y|2”是
23、“k+y|3 的充分不必要条件，故选：A.例 1 2.(2 0 2 2 浙江高考真题)己知a,6 e R,若对任意x e R,4|x-b|+|x-4|-|2 x-5|2 0,则()A.a3 B.al,bi,b3 D.a l,3【答案】D【解析】【分析】将问题转换为。次-口才2 x-5|-|x-4|,再结合画图求解.【详解】由题意有：对任意的x w R,有a|x-6 2|2 x-5|-|x-旬恒成立.51 X,X 一2设/(x)=a|x-8|,(x)=|2x-5|-|-4|=-3x-9,|x 4a故选：D.【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元
24、法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|-|b|a b|a i+b|,通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利 用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想.3.求 於)=以+“|+卜+回和_/U)=k+a|一仇+目的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还 是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.