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1、郑噩O曲数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和 第11卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第 I 卷（选 择 题 共 60分）o|r一、选择题（本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的）1.已知集合 4=(川4 2-21一3 0.8=川1 4 *5,则4 0 8=()A.(7.51B.(-1,1 C.(1.3)I).1.3)2.若 dM2）（2+i）,则z的虚部为()A.2B.4C.2iD.4i3.设a=（打，,0=log：s6,c=8 亍,则()A.B.aZbZcC.cabD.bac4.已知像2,3,5,7这样只能被1和它本身整除的正
2、整数称为素数（也称为质数八设，是正整数.用水工）表示不超过H的素数个数.事实上，数学家们已经证明,当才充分大时.（上）、OK-宙翔 2的解集为（）A-（f+o0）B.（十,+8）C.（,+8）D.（2.+oo）8.在正方体ABCD-A Bi G 口 中，AB=4,0是侧面A ADD 的中心,E,F分别是B C，CCi的中点，点M,N分别在线段O 8.E F上运动，则M N的最小值为（）D,C,oA BA.272 B.3 C.273 D.3M二、选择题（本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命
3、题正确的是（）A.若/（J）=.rsin.r+cos J 贝lj/（工）=sin.r-JTCOS 7十 sin TB.设函数/Q ）=jdn/,若/（io）=2,则 父。=eC.已知函数 f（I）=3/e 则/（l）=12eD.设函数/Q、）的导函数为/（1），且/（H）=+3 2/（2）+l n g则/（2）=i.已知曲线c方程为：艰?Y=I*。）.则下列结论正确的是（）A.若?0,则曲线C为双曲线 B.若曲线C为椭圆.则其长轴长为 T TC.曲线C不可能为一个圆 D.当6 =1时，其渐近线方程为j=f11.大衍数列，来源于 乾坤谱 中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中
4、的太极衍生原理.数列中的每一项.都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列 题.其 前10项 依 次 是0,2,4,8.12.18,24,32,40,50,，则下列说法正确的是（）A.此数列的第20项 是200 B.此数列的第19项 是180C.此数列偶数项的通项公式为生“=2n2 D.此数列的前项和为S“一 -（-D12.函 数/（公=0 1 1 1）一行3 1在区间（0.手）上的最小值为一1且在区间（会兀）上唯一的极大值点为心，则下列说法正确的有（）A.a=l B./G r）在（0 4）上不单调C.ioE（手，竽）D./（aoX l第 n
5、卷（非 选 择 题 共 90分）三、填空题（本题共4小题.每小题5分，共20分）13.曲线/Q ）=/-2 e T e在点（0.八0）处 的 切 线 方 程 为.M.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上.边B3C3上有10个不同的点P Pz,，P”，记 叫=技？=2,-,1 0）311见+如+叫的值为.1 5.函数/（a）=s i n 2 i COS（K+牛）的最小值为.1 6.已知a 0.6 0,a+b+a6=3.则a b的最大值为；贝斗必_4；：3:1必1 13的取值范围是.四、解答题（本即共6小题,共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 7.（1 0 分）
6、已知数列（a/满 足2%+1 =5+1）%（，W N .）,且 卬=1.（1）求 a;（2）若/）“=%+（1）”，求数列 的 前2项 和S3.n2 0.（1 2 分）已知椭圆。：/+=1（。心 0）长轴长为4.P在C上运动.居.R为C的两个焦点.且c o s/Fd的最小值为上（1）求C的方程；（2）已知过点M（0,力（一 ,“/，边AD上一点E满足D E =1 .现将 A8E沿/3 E折起到 P/3 E的位置，使 平 面P B E _L平 面5 C D E.如图所示.（1）求证:P C J _B E；（2）求平面P B E与平面PCE所成锐二面角的余弦值.2 1.（1 2 分）非物质文化遗产
7、是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分.瑞昌剪纸于2 0 0 8年列入第二批国家级非物质文化遗产名录.由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透,瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放.为 弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛.共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中参赛者在3 0分钟内完成规定作品和创意作品各2幅,若有不少于3幅作品人选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获 得4次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练,指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅.其中
8、有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准.（1）从 这1 0幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅试预测该同学在轮比赛中获“巧手奖”的概率；（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率,经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了古，以获得“巧手奖”的次数期望为参考试预测该同学能否进入决赛？擀-XO1 9.（1 2 分）在下列三个条件中任选一个，/是1和*的 等 差 中 项；一c 2 a co s C =0；co s世o t a n DI-co s2C 4-s i n B s i n C=1卜co s 2 A.补充在下面的问题中，并解
9、答问题.在AABC中.内角A,B,C所 对 的 边 分 别 且 满 足 条 件（填写所选条件的序号）.（1）求 角A;若a=g，求锐角 A B C周氏的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2 2.（1 2 分）已知函数f（x）=2xn j-y u T2T存在极值点.（1）求实数。的取值他围；（2）若.r；i是）的极值点.求证:3.r0-2&曷j/,z)(1,乃,0)=jr+&y=0,令 y=-1,则 1=5/5之=1.即=(育，-1.1),由(1)知 平 面P/3E的一个法向量为州=(0,1,0),设 平 面P B E与平面P C E所成锐二面角为心则 c o s O=V
10、 J-=&(12 分)19.解：(1)若选：因为 是1和 捍 纬 的等差中项，b tan B|M2c 1 ,tan A所以7-=l I-pb tan Bnn2sin C I sin Acos B cos Asin 8+sin Acos Bsin B cos Asin B cos.Asin l i 1s i n（A +8）_ s i n Cc o s A s i n B c o s A s i n B化简可得c o s A =4.所 以 人=半 （6分）若选：由正弦定理:原式等价于2 s i n Bs i n C2 s i n A c o s C=0因为 A +B+C=7 T,所以 2（s i
11、n A c o s C+c o s A s i n C）s i n C 2 s i n A c o s C=0,整理化简得c o s A =J,所以A =.（6分）若选：1 s i n?B+1 s i n2C+s i n B s i n C=1 +1 s i n?八，整理得 s i n B s i n C=s i n2 B+s i n2 C s i n2 A,由正弦定理得bc=b2+c2 a2 由余弦定理得c o s A =，所以 A =1 （6 分）（2 ）在AABC中.由 正 弦 定 理：=s i n A s i n B-/-=2=Z =2 s i n B.c=2 s i n（六六一B）.
12、s i n（yK-B）因为 A B C为锐角三角形，所以0V BV手,0与一 BV今解得Be（y.y）.周长/=a+K+c=V *+2 s i n B+2 s i n（1 B）=A/+2 6 s i n（B+,），当B e （营 号）时 B+春e（管 片）.s i n（B+专）e惇斗所以/=7 3+2 7 3 s i n（B +（3+7 3 ,3 7 3 .（1 2 分）2 0.解：（1）由题意得a =2,设|P F,|.P F?|长分别为p,q.则 p +q=2 a，pL-FQ2-4 c2（+q）2 d e?-2 COSZ F,P F2=2 pq=-诉-=2 z,2-=-1空 二-1 =阵
13、一1（当且仅当pq pq（0+q y aP=q时取等号），从 而 当 一1 =，得4=a-/a 4所以=4,1 =3,则椭圆的标准方程为4+当=1.（4分）4 3（2）若直线I的斜率不存在.易得 水 济 一（市 苏=-3.若直线I的斜率存在设其方程为y=k m.（y=kx-m-,联立J工.2 5 2 得（4工+3）1r 2 +8 4加工+4 产-1 2 =0,易知（）恒成立，设 A（i i,），北），则N（/，中）,且 乃+g =瑞,_ 1 2=止+3，O A O B O M （）N=力 1 2 +y一m=才2 +（4 4-tn）（kjC2 4-7 7 2）（kx H-m +kxi+m）=（公
14、 +1）%乃+跳（力+用）=（公 +1）1（上 产 +2 4 二3km-8 痴 _ 1 2公 +4/一1 22 正+3 =4+3一3（4 公+3）+4产-3 _ 4冽2 34 F T 3 4 F+3 *要使上式为常数,必须且只需4加-3 =0,即?=号（一西,乃）.此时（4 O B-（）M-（）N=-3为定值.符合题意综上可知.当切=士 亨 时 能 使 得 若 也 0 8-（法 乐=-3.（1 2 分）2 1.解：（1）由题可知，所有可能的情况有:规定作品入选1幅,创意作品入选2幅的概率P】=c;*a _ 3CFCI-25，规定作品入选2幅,创意作品入选1幅的概率P2=5 -c；C!_ 9C?
15、C?西，规定作品入选2幅创意作品入选2幅的概率P.=故所求的概率p中+费+4=|1（4分）（2）设强化训练后,规定作品入选的概率为Pi，创意作品入选的概率为P3.Mi J P,+P2=f+f +=|,由已知可得强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率 P=C J P1（1-P,）-a P?4-C|P?C l p2（l-2 P2）+CIPI-a Pl=2?!P2（?!+P2）-3（?1 P2）2=3Plp2 3（P P2）2.因为P I+P 2=。q ，且 P l卷4 ,P 2 卷q ，即q等 一P2二L 3 3，,BP 匕/，P W 卷故可得看 P W 4,仔P1P2=P1（f-P i）=
16、-（P1-Y）+得，所 以 凡 能|,令 PiP?-.则 P =-3*+3/=3（!十 I+,在 隔 圜 上 单 调 递 增，所（XP（给3 X（备）*十因为该同学在5 轮比赛中获得“巧手奖”的 次 数 X B（5,P）,所以E（X）=5P 0）有非重根，#wv曰 21n 1,、2ln j-F1变形得。=记 g（i）=则 g，（1r）=-.三，令/（1）=（）,得 工=品,则 g(i)在(0.)上单调递增，在(五，+8)上单调递减故 g(j)m,.x =g(Ve)=,e当 x-*0 时，g(r)-8,所以 g(z)e (8,孥，所以 aC(8,竿 J.(5 分)(2)证明：由题意可得/(j-(
17、,)=21n工 0-。1(,+1=0,得ajc(=21n _r0+1.要证3卫,2 。式Ve 1,即证 3怎 b 一2W2右 In Xo+x0 0,%).先证31a-242才 n o+%,只需证In jr0+1.N o记 l(x)=n+十(1 0)则/()=!.令/Q )=0,得 z=1,所 以“)在(0 J )上单调递减，在（1+8）上单调递增.故=l，所 以 故 原 不 等 式 左 边 证 毕.（7 分）再证 In+j-oe 0（。0 5 ：A/e），由 ）可得，（比）=e，21n.r-3,o所以令/?（jr）=e-21n/一3,则 /（M）=e一工在（0,x+-）上单调递增.又因为，/=
18、e-2 0,（1）=五一4 0,所以土）,，”（.*）=0所以/（.r）在（0,.孙）上单调递减，在（4,+8）上单调递增.又因为*0,/（N）f-|-8;1 f +8，d（_r）f+8,/=e 3Vo.所以 3 x2,13（12）=d（l3）=0,父 2 1 e4 40.所以 e 213In J*3 JT3 1=2（1 JT3）In 4 +2 jrit 记/（x）=2（l x）ln w+2 n G（1 .告），则/（1）=!一21n/一 3 在（1,书 上 单 调 递 减，且/（1）=-1 0,所以仪l3 0.又因为a 0.8（z）f 0.所以夕（N）0.（12分）解法二：原式即证=21n，
19、+1（工11 0,l11r 石）.JC X由（1）可得，g（H）=21n,+lg（而）=./Ve.（_ er 1 ,（z 2）e+2ill s（.r）-j,-，贝 1 J$（上，）-3-.记 厂（彳）=（1-2）/+2,贝 I/（1）=（x-l）e 故 N z）在（0.1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增.3 又因为 r（o）=o,r（y）=与 丝 V O,r 0,所以三4 6（1-,2），八心）=0,即（。-2）e ，+2 =0,所以式工）在（0,工.）上单调递减，在（4,+8）上单调递，1皆-增，所以 S （N）m i n =S （X，i）=p =4 2；-7-，即 S（1）m i n g（#）m ax，1 （4 1）3&所 以 匚 工 21+.故原不等式右边证毕.（1 2 分）X-7pJu 1解法三：即证2 1 n 0+l 0 在（0,+8）恒成立，所以函数（M）e“一2 一1 在（0,+8）上单调递增.所以（以m（0）=0,即eJ 1 0 在（0,+8）恒成立.令 A O）=0解得1=1.所以履/）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，故 A（.r）m i n=A（l）=e 2.乂因为 c-2 2 1 n 2 1,所以 h（x）一2 4。忌V e*“-1.（1 2 分）4