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1、2022年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满 分 54分，第 1 6 题每题4 分，第 7 1 2 题每题5 分)1.已知二=l+i (其中，为虚数单位)，则 25=.2.双曲线-y2印 的实轴长为3.函数幻=0 0 5%7 府%+1的周期为 _ _ _ .4.已知a e R ,行列式|；|的值与行列式|；：|的值相等，则.5.已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为.6.已知一0八，贝!2=+2)，的最小值为.x+y-l 0 -7.二项式(3+x)的展开式中，V 项的系数是常数项的5 倍，则=.a2x-,x 08.若函数/(x)=0 为奇函数，则实数。=.0,x=09
2、.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1 项，球 类 3 项，田径类4 项共8 项项目中随机抽取4 项进行检测，则每一类都被抽到的概率为.10.已知等差数列甩 的公差不为零，S“为其前项和，若$5=0，则 S(i=0,1,2,100)中不同的数值有一个.11.已知九 0 ,|a|/?|-|c|-A.，且a.B=0,c-a-2 ,c b ,则 4=1 2 设函数f(x)满 足/(x)=/()，定义域为。=0，田)，值域为A若集合y|y=/(x),x+lxe0,a可取得A 中所有值，则参数a的取值范围为.二、选择题(本题共有4 题，满分20分，每 题 5 分)每题有且只有一个正确选项.13.若集合
3、 A=-l,2),3 =Z，则 Ap|B=()A .-2,-1,0,1 B.-1,0,1 C.-1,0 D .-114.若实数、b 满足a 6 0 ,下列不等式中恒成立的是()A .a+b 2 ab B.a+b 2 ab D .+2 b-A B C。中，P、Q、R、S 分别为棱A B、B C、BB、C O 的中点，联结AS,B、D.空间任意两点M、N，若线段M N 上不存在点在线段A S、片。上，则称M N两点可视,则下列选项中与点A 可视的为()A.点P B.点3 C.点R D.点Q16.设集合C=(x,y)|(x-k)2+(y-G)2=4|k|,keZ存在直线/,使得集合。中不存在点在/上
4、，而存在点在/两侧；存在直线/,使得集合Q中存在无数点在/上；()A.成立成立 B.成立不成立C.不成立成立 D.不成立不成立三、解答题(本大题共有5题，满分76分).17.(14分)如图所示三棱锥,底面为等边AABC,。为AC边中点，且PO_L底面ABC,A P=A C=2 .(1)求 三 棱 锥 体 积/；(2)若M为8 c中 点，求PM与面PAC所成角大小.18.(14 分)/(x)=log,(+x)+log3(6-x).(1)若将函数/(x)图像向下移，(，0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数。，m的 值.(2)若“-3且4*0,求解不等式/(x),J(6-x).19.(14
5、分)在如图所示的五边形中，A D =B C =6,AB =20,。为 相 中 点，曲线CD上任一点到O距离相等，角Z D A B =Z A B C=120,P ,Q关于O M对 称；(1)若点尸与点C重 合，求NPO3的大小；(2)P在何位置,求五边形面积S的最大值.M在/上，左、右焦点分别为耳(-垃,0)、舄(,0).(1)a=2,A M中点在x轴 上，求点M的坐标；(2)直线/与y轴交于5,直线AM经过右焦点玲，在 丛&W中有一内角余弦值为g,求=l(a/?0)，直线/:x+y-4&=0，=下端点为 A,b；(3)在椭圆 上存在一点P到1/距离为d，使|P耳|+|PR|+d=6，随a的变化
6、，求”的最均存在正整数i 1,1,满足a+1=2an ai,q=l,a2=3.(1)求处可能值；(2)命 题 ：若4,%,6成等差数列，则氏 30,证明p为 真，同时写出逆命题4,并判断命题q是真是假，说明理由；(3)若 .=3,(meN*)成 立,求数列%的通项公式.2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满 分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1,已知二=l+i（其中i为虚数单位），则22=_2-2 i _.【思路分析】直接利用共辗复数的概念得答案.【解析】z=l+i,贝物=l-i,所以25=2-2i.故答案为：2-2,.【试题评价】本题考查
7、了共辗复数的概念，是基础题.2.双 曲 线 丁 =的实轴长为 6.【思路分析】根据双曲线的性质可得“=3,实轴长为2a =6.【解析】由双曲线1-丁=i ,可 知：。=3,所以双曲线的实轴长2a =6.故答案为：6.【试题评价】本题考查双曲线的性质，是基础题.3.函数/1。）=2%-5出2%+1的周期为 _7C _ .【思路分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得了（X）=COS 2x4-1,从而根据周期公式即可求值.【解析】/*（x）=cos2 x-s in2 x+1 =cos2 x-s in2 x+cos2 x+s in2 x=2cos2 x=cos 2x+l,T=TV.故答案为：兀.2【试
8、题评价】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题.4.已知ae R ,行列式|；：|的 值 与 行 列 式 的 值 相 等，则“=.【思路分析】根据行列式所表示的值求解即可.【解析】因为I；|=24-3,I：；）|=，所以2a-3=。，解得。=3.故答案为：3.【试题评价】本题考查了行列式表示的值，属于基础题.5.已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为_2 4万 一.【思路分析】由底面积为9万解出底面半径R =3,再代入侧面积公式求解即可.【解析】因为圆柱的底面积为9万，即;,所以R =3,所以S例=2乃=24.故答案为：24万.【试题评
9、价】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题.6.已知 +一：（）,贝!|2=左+2），的最小值为.【思路分析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可.【解析】如 图 幅：由x-%0 ,x+y-.O,可知彳亍域为直线x-y=O的左上方和x+y-l=()的右上方的公共部 分，；,即图中点A(g,g),当目标函数2=1+2)，沿着与正方向向量4=(1,2)的相反向量平移时，离开区间时取最小值,即目标函数z=x+2y过点，1)时，取最小值：1+2x1=3.2 2 2 2 2故答案为：3.2【试题评价】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题.7.二项式(3+x)
10、”的展开式中，V项的系数是常数项的5倍，则 =式.【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值.【解析】.二项式(3+x)”的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，即C；x3T=5C，x3,即12=5x9,.-.=10,故答案为：10.【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.crx-.x 0为奇函数，则实数。=.0,x=0【思路分析】由题意，利用奇函数的定义可得/(-幻=-/,故有=-/(1),由此求得。的值.a2x-x 0，为奇函数，(一%)=-/(工)，o x=0/./(-1)=_/(1，即。(。_1)=0，求得 4=0 或 4=1 .-l
11、,x 0 x-l,x0综 上，4=1,故答案为：1.【试题评价】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.9.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1 项，球 类 3 项，田径类4 项 共 8 项项目中随机抽取4 项进行检测，则每一类都被抽到的概率为-._ _ 7【思路分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果.【解析】从游泳类1 项，球 类 3 项，田径类4 项 共 8 项项目中随机抽取4 项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C；C；C+C：C：种，而所有的抽取方法共有C：种，故每一类都被抽到的概率为C.C C&C c；C=m ,故答案为：!.【试题评价】本题主要考查古典概率
12、及其计算公式的应用，属于基础题.10.已知等差数列%的公差不为零,S“为其前”项 和,若 Ss =0，则 S(i=0,1,2,100)中不同的数值有 9 8 个.【思路分析】由等差数前项和公式求出q=-2d,从而S,=；(/5 n),由此能求出结果.【解析】.等差数列 ,的公差不为零，S“为其前项和,S,=0,5x4/.S5=5q H J=0,解得q=-2 d,sn =+d=-2 nd+1 2 d =_ 5),.w0,.-.(z O,1,2，100)中 S0=Ss=O,S2=S3=-3 d,Sj =54=-2 d,其余各项均不相等，:.S.(i=0,1,2，100)中不同的数值有：101-3=
13、98.故答案为：98.【试题评价】本题考查等差数列的前项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力,是中档题.11.已知/l0,a=h=|c|=2 ,且 7 5 =0,c-a=2 ,c b=,则 丸=【思路分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果.【解析】由题意，有无B=o，则 4，设=e,a.c=2 同同加。=2,b c-n 忖同cos(-夕)=1,则 矍 得，t a n，2由同角三角函数的基本关系得：cos，：,贝(I M 1 =|M|51cos。=4小一y =2,r=V 5 ,则 人 框.故答案为：/5.【试题评价】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题.1
14、2 设函数f(x)满 足 f()=/()，定义域为。=0,+oo)，值域为A若集合y|y=/(x),X+1xe0,0 可取得A 中所有值，则 参 数 的 取 值 范 围 为 _ 怨 3”)_.【思 路 分 析】由 x=一 可 得 =与1，可 判 断 当 K.与1 时，一!一；当x+1 2 2 x+1 20,x 更 J ；从而可得A=y|y=/(x),X G0,时，参数。的最小2 x+1 2值为苴二1,从而求得.2【解析】令 x=一 得，x=二 1 或 =述 二1(舍 去)；x+2 2当 X.占 一 时,-=避二 ,故对任意 X.一,2 x+1 /5-1+1 2 22+都存在毛 0/-；-/-；
15、=%),故/*)=/(/)，2 x+1故 A=y|y=f(x),xe0,汽1,而当 0,x-=二,2 2 x+l V5-1 1 t 22故当A=y|y=/(x),x e L O，0 时，参数”的最小值为空,故参数 的 取 值 范 围 为 号 ,+oo)，故答案为：与 ,+8).【试题评价】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题.二、选择题(本题共有4题，满 分20分，每 题5分)每题有且只有一个正确选项.13.若集合4=一 1 ,2),3 =Z，则 Ap|8=()A .-2,-1,0,1 B.H ,0,1 C.-1,0 D .-1【思路分析】根据集合的运算性质计算即可
16、.【解析】=,2),B=Z,.Ap|f i=-1,0,1 ,蝇：B .【试题评价】本题考查了集合的交集的运算，是基础题.14.若实数“、。满足。0,下列不等式中恒成立的是()A .a+b 2 ab B.a+b 2 ab D .+2/?0，所以。+.2疯，当且仅当。时取等号，又。6 0 ,所以a+b2&i,故 A 正 确，8 与笥吴，-+2b.2.-x2b=2 b,当且仅当色=2分,即。=劭时取等号，故CD错 误，故 选：A.2 V2 2【试题评价】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.15.如图正方体A8C ABCQ中，P、Q、R、S分别为棱AB、B C、BB、CD的中
17、点，联结AS,B Q .空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线段AS、8Q上，则称M N两点可视，则下列选项中与点。可视的为（）X RA P BA.点P B.点8 C.点R D.点Q【思路分析】线段MN上不存在点在线段AS、BQ上，即直线MN与线段AS、片。不相交，因此所求与。可视的点，即求哪条线段不与线段AS、8Q相 交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断.【解析】线 段 上 不 存 在 点 在 线 段AS、瓦。上，即直线MN与线段AS、用。不相交，因此所求与。可视的点，即求哪条线段不与线段4 S、瓦。相 交，对A选 项，如 图，连接4/、P S、R S,因为P、S分 别 为
18、他、CD的中点，.易证4Q/PS,故A、“、P、S四点共面，.尸 与 於 相 交，.A错误;APR对3、C选 项，如 图，连接R 8、D B ,易证口、B1、B、A四点共面，故QB、RR都与BQ相 交，.8、C错 误；APR对D选 项，连接R。，由A 选项分析知A、A、P、S四点共面记为平面A R P S ,。仁平面A R P S，。任平面A Q P S，且 A S u 平面A Q P S，点 R e A S ，.Q Q 与 A S 为异面直线，同理由B,C 选项的分析知。卜 鸟、B、A 四 点 共 面 记 为 平 面 54,.Qe平面31818A,。平面）百5 4，且 8Qu平面 百 区 4
19、，点任8 Q ,.A Q 与耳。为异面直线，故 2。与 A S，B Q 都没有公共点，选项正确.APR故 选：D .【试题评价】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题.16.设集合C =（x,y）（X-k）2+（y-k2）2=4 k,kwZ存在直线/,使得集合。中不存在点在/上,而存在点在/两侧；存在直线/,使得集合Q 中存在无数点在/上；（）A.成立成立 B.成立不成立C.不成立成立 D.不成立不成立【思路分析】分=0，4 0,左 0,求出动点的轨迹，即可判定.【解析】k I、k2的增大幅度均大于2M,二只要上 大到一定程度，就会存在/使得成立；圆心（左,左 2）在抛物
20、线上，且左、e 的增大幅度均大于2M,，Q 中的圆会夹在两条抛物线之间，,不存在直线/满足，故 选：B.【试题评价】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.三、解答题（本大题共有5 题，满 分 7 6 分）.17.(14分)如图所示三棱锥，底面为等边AA8C,。为A C边中点，且PO_ L底面A8C,A P=A C=2 .(1)求三棱锥体积-s c；(2)若M为8 c中 点，求P M与面P A C所成角大小.B【思路分析】(1)直接利用体积公式求解；(2)以O为坐标原点，0 8为x轴，O C为)，轴，O P为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解.【解析】(1
21、)在三棱锥尸-M C中，因为PO_ L底面ABC,所以PO_ LAC,又O为A C边中点，所以 P A C为等腰三角形，又AP=AC=2.所以A P A C是边长为2的为等边三角形，；.PO=6，三 麒 体 积/_ 树=京.呢/0=9 2 2*方=1 ,(2)以。为坐标原点，0 3为x轴，O C为y轴，O P为z轴，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,N/3),B(G,0,0),C(0,1,0),M(,1,0),2 2丽=(等，；，一.，平面PAC的 法 向 量 加=(6,0,0),设 直 线 与 平 面PAC所成角为，,3则直线P M与平面P A C所成角的正弦值为s in 0=PM B|=
22、B,PM-OB 0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数。，m的值.(2)若。-3且,求解不等式f(x),J(6-x).【思路分析】(1)写出函数图像下移机个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出机和”的值.(2)不等式化为1083 3 +彳)+1083(67),1083(“+6-)+1084,写出等价不等式组，求出解集即可.【解析】(1)因为函数/(x)=kg3(a +x)+log3(6-x),将函数/(x)图像向下移风?0)后，得y=f(x)-m =log3(a +x)+log,(6-x)-m的图像，由函数图像经过点(3,0)和(5,0),所 以 詈 亡 弋 飞,log3(5+a
23、)+0-/w=0解 彳 导。=-2,机=1.(2)a -3 且 a w O 时，不等式/(x)/(6-x)可化为log3(a +x)+log3(6-x),log3(a +6-x)+log3 x等价于t z +x 06-x 0t z +6-x 0 x 0(a+x)(6-x)x(a+6-x)，解得x -ax 0a(x-3).O当 3 v av 0时，0 v a v 3 ,3 v a +6 V 6，解不等式得一凡,3,当。0时，-0 ,。+6 6 ,解不等式得3,x6；综上知，一3 a 0时，不等式f(x),J(6-x)的解集是3,6).【试题评价】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系
24、数的不等式解法与应用问题，是中档题.19.(14 分)如图 A D=3 C =6,AB=2(),N A 8 C =N O A B =120,。为 A B中 点，曲线C M。上所有的点到。的距离相等，A B,P为曲线C M上的一动点，点Q与 点。关于O例对称.(1)若 Q在点C的位置，求N P O B的大小；(2)求五边形M Q A 5 P面积的最大值.【思路分析】(1)在AOBC中,直接利用余弦定理求出。尸,再结合正弦定理求解；(2)利用五边形CDQW，的对称性，将所求的面积化为四边形PMVC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题.【解析】(1)Q 在点 C 的位置,O
25、B=10,BC=20,ZABC=120,AOPB中,cos ZOBC-05?+BC?-0C2 x OB x BC1 IO?-。?2 2x10 x6=n O C =14;2 OP师,OC _ BC 10 _ 14sinZOBC-sin/POBsinNPOB-sin 120=sin ZPOB-,ZPOB=arcsin14 14(2)连接OQ,OP,曲线CM。上所有的点到。的距离相等,OQ=OP=OD=OM=14点 Q 与 点。关 于。/V/对 称,S&QOM=S&POM，SMOM=SM O M，设 AQOM=APOM=a,ZQOA=ZPOB=%a,S WQABP=+SA Q O/1)1 1 71=
26、2xOM xOQx sin a+OAxOQx sin(a).35=196sin(2+140 cos=A/5 8 0 16 sin(bG)，直线/:x+y-4立=0，下端点为A,M在/上，左、右焦点分别为平-夜,0)、月(夜，0).(1)a=2,AM中点在x轴 上，求点M的坐标；(2)直线/与y轴交于3,直线4 0经过右焦点工，在4 s M中有一内角余弦值为：，求b；(3)在椭圆 上存在一点P至I/距离为d，使|P/+|P g|+=6，随。的变化，求”的最小值.丫2 v2【思路分析】(1)由题意可得椭圆方程为?+与=1,从而确定点的纵坐标,进一步可得点M 的坐标；(2)由直线方程可知B(0,4/
27、2)，分类讨论cos Z B A M=g 和 cos N B M A=|两种情况确定b的值即可；(3 )设 P(a cos 6,bs in。),利 用 点 到 直 线 距 离 公 式 和 椭 圆 的 定 义 可 得|acos 6 或 也.4 7(3)设 P(a cos 6,bs in e),由点到直线距离公式可得la cos e+n 4 =6_2 f l(很明显椭圆在直线的左下方,则-竺巴也警二=6-2“,_ 应即 4应-后 +/s in(6+)=6近-2 0 a ,a2=b2+2 ,J2a 2 -2 s in(，+p)=2 l2 a-2 2 ,据此可得 6-1 s in g+)=2a-2,I
28、s in +h 1 2,1 ,da。-1整理可得(a-l)(3a-5),0,即掇b-,3从而d=6-2a.6-2x*=.即 d 的最小值为 .3 3 3【试题评价】本题主要考查椭圆方程的求 解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题.21.(18分)数列 6 对任意 e N*且.2，均存在正整 数 列 口，-1,满 足%=2 4-a,4=1 ,a2=3 .(1)求应可能值；(2)命题p：若 q,%，4 成等差数列，则出 30,证明p 为 真，同时写出p 逆命题 q,并判断命题q 是真是假，说明理由；(3)若外,=3,(m e M)成 立，求数列 ,的通项公式.【思路
29、分析】(1)利用递推关系式可得%=5,然后计算4 的值即可；(2)由题意可得q=2-l(l,8,eN*),则为=2 4-a,30,从而命题为真命题，给出反例可得命题4 为假 命 题.(3)由题意可得心=2%,用-4(公,2利)，*=2 a2m-aJ(j2 m-l),然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式.【解析】(1)%=2%-q =5,a4=2 a3-a2=7 或%=2%-q =9.(2)at,a2,a,a4,a5,ab,心为等差数列，=2,a“,a9=2%a*=30 4 30.逆命题q:若佝4,恒 成 立：当=1 ,a2 ,明显成立，假设 n=k 时命题成立
30、，即 4 ak_ a2 a,0,则 ak+l-ak=2 ak-a,.-ak=ak-a,0,则 ak+l ak,命题得证.回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1.若 j =2 m-1 ,则 a2 m=2 a.+a,=2o2m_1+ai a2 m_ I -4 矛 盾,2 .若j=2 m-2，则 ,=3 -,生=3-2%.=3 ,.,.i =2z?-2,此时 02 mL 2 a2m-a j=2 x3m-3 =5 x 3 5x3 2n=2 k+l,k w N*,n=2 k,ksN3.若 j 2 m-2 ,贝！）2%3”T,j=2 m-,，%“+2=2%”*1 （由（2）知对任意?成立）,4 =2%-%，事实 上：ab=2Z5-a,矛 盾.综上可得。5x3 2n=2 k+l,kwN.32 n=2 k,keN”【试题评价】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题.