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1、2023年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填 空 题（共14小题，每题4分，总分值56分）1.14分）（2023上海）函数f（x）的 反 函 数 为（x）+2x,g o）.x-2 x【考点】反函数.【专题】计算题；函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的表达式，解出用y 表示x 的式子，即可得到答案.【解答】解：设厂_ ,可得xy-2y=1,x-2.xy=l+2y,可得x山，将 x、y 互换得f 一1（x）=L 也.y x原函数的值域为yw yl*0，.f-l （x）=l2x,（xO）X故答案为：l+2x,（xO）X【点评】此题考查了求函数的反函数的一般步骤，属于简单题.2.（
2、4 分）（2023 上海）假设全集 U=R,集合 A=x|x21 U x|x40,那么CuA=（0,1）.【考点】补集及其运算.【专题】计算题.【分析】由条件我们易求出集合A,再根据补集的定义，易求出CuA.【解答】解：.集合 A=X|X21UX|XS0=X|X2 1,或 XM）CuA=x|0 x0.从而得出m+9=25,解得m=16.故答案为：16.【点评】此题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a,b,c 关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基此题型.4.（4分）（2 0 2 3 上海）不等式史143的解为 x|
3、x）或 x 0 .【考点】其他不等式的解法.【专题】计算题.【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0,注意分母不为0;再解二次不等式即可.【解答】解：原不等式同解于生1-340X同解于匕2 三。同解于，x（L2x）01 x 0解得x1或 x 或 x 0 AB-AD=AB*(AB+BC)=AB+AB-BC=9-Xo o 乙 乙故答案为u.2【点评】此题是个中档题.考查向量的加法和数量积的运算法那么和定义，表达了数形结合和转化的思想.12.(4 分)12023上海)随机抽取的9 位同学中，至少有2 位同学在同一月份出生的概率为0.985(默认每个月的天数相同，结果精确
4、到0.001)【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】概率与统计.【分析】此题是一个古典概型，试验发生包含的事件数12、至少有2 位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有Ap9种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果.【解答】解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129,至少有2 位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A 9 种结果，A9要求的事件的概率是1 -385cl=085,129 248832故答案为：0.985【点评】此题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个根底题，也是一个易错题，注意此题的运算不要出错
5、.13.4 分)(2023上海)设g(x)是定义在R 上，以 1为周期的函数，假设函数f(x)=x+g(x)在区间 3,4 上的值域为-2,5,那么f(x)在区间-10,101上 的 值 域 为 -15,1U-【考点】函数的周期性；函数的值域.【专题】计算题；压轴题；转化思想.【分析】根据中g(x)是定义在R 上，以 1为周期的函数，由函数f(x)=x+g(x)在区间 3,4 上的值域为(-2,5,结合函数的周期性，我们可以分别求出f(x)在区间-10,-9 ,-9,-8,9,10 上的值域,进而求出f(X)在区间-10,10 上的值域.法二：可根据g(x)是定义在R 上，以 1为周期的函数，
6、研究函数f(x)=x+g(x)的性质，得 f(x+1)-f (x)=1,由此关系求出函数在f(x)在区间-10,10 上的值域即可.【解答】解：法一：g(x)为 R 上周期为1 的函数，那么g(x)=g(x+1)又,函数f(x)=x+g(x)在 3,4 的值域是-2,5令 x+6=l,当 xW 3,4 时，t=x+6R9,10此时，f(t)=t+g(t)=(x+6)+g x+6)=(x+6)+g(x)=x+g(x)+6所以，在以 9,10 时，f(t)e 4,11.(1)同理,令 x-13=t,在当 xW 3,4 时，t=x-13R-10,-9此时，f i t)=t+g(t)=(x -1 3)
7、+g(x -1 3)=(x -1 3)+g(x)=x+g x)-1 3所以，当 t e -1 0,-9 时，f e -1 5,-8 由(1)(2).得到，f (x)在-1 0,1 0 上的值域为-1 5,1 1 故答案为：-1 5,1 1 法二：由题意f (x)-x=g(x)在 R上成立故 f (x+1)-(x+1)=g(x+1)所以 f (x+1)-f (x)=1由此知自变量增大1,函数值也增大1故 f (x)在-1 0,1 0 上的值域为-1 5,H故答案为：-1 5,II【点评】此题考查的知识点是函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性利用换元法将区间L 1 0,-9 上的值域转化
8、为区间 3,4 上的值域问题，是解答此题的关键.1 4.(4 分)(2 0 2 3 上海)点 O (0,0)、Qo(0,1)和点 R o (3,1),记 Q o R o 的中点为 P l，取 Q o P l 和 P R O 中的一条,记其端点为Q i、R”使 之 满 足(|O Q i|-2)(IO R i l-2)0,记Q 1 R 1 的中点为P 2,取 Q 1 P 2 和 P 2 R 1 中的一条，记其端点为Q 2、R 2,使 之 满 足(|O Q2|-2)(IO R 2 I-2)0.依次下去，得至U P l，P 2，P n，那么 l i m|Q0Pn|=V 3.n 8【考点】数列与解析几何
9、的综合；数列的极限.【专题】综合题；压轴题.【分析】由 题 意(I O Q i l-2)(|O R i|-2)0,(|O Q 2|-2)(I O R 2I-2)0.依次下去，那么 Q i、R i；Q 2、R 2,中 必 有 一 点 在(我，1)的左侧，一点在右侧，根据题意推出P i，P 2.P n 的极限为：(g，1),然后求出 l i m|Q0Pn|.n 8【解答】解：由题意(I O Q i l-2)(|O R i|-2)0,所以第一次只能取P 1R 0一条,(|O Q2|-2)(|O R2|-2)0,那么以下不等式中，恒成立的是(A.a2+b2 2a b B.a+b 2V a b C.M-
10、r=D-+r 2a b V a b a b【考点】根本不等式.【专题】综合题.【分析】利用根本不等式需注意：各数必须是正数.不等式a?+b 222a b 的使用条件是a,b e R.【解答】解：对于A；a?+b 222a b 所以A错对于B,C,虽然a b 0,只能说明a,b同号，假设a,b都小于0 时，所以B,C错 a b 0应选：D【点评】此题考查利用根本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：、二定、三相等.16.（5分）（2023上海）以下函数中，既是偶函数，又 是 在 区 间（0,+8）上单调递减的函 数 是（）A，尸叫B.y=x3 C.y=2|x|D.y=c o s x【考点】函
11、数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据题意，将X用-X代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数;求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性.【解答】解:对于产In击函数的定义域为x e R且x w O将x用-x代替函数的解析式不变,所以是偶函数当x 6（0,+8）时，尸 门-六二1,：寸=-ai+2,假设 An）为等比数列那么二A l=a*=q （q为常数），那么ai，a3，a 2 i，和a 2,彻，,Ai aiazn，均是等比数列,且公比均为q；反之要想 An为等比数列那么 A 1-aH2需为常数,即需要a”a 3，a2n-1，和a2,
12、明，,Ai aia2n，.均是等比数列，且公比相等;故 An为等比数列的充要条件是ai,a 3,，a2n-I,.和a2,，a 2 n,均是等比数列,且公比相同.应选D【点评】此题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定.考查了学生分析问题和根本的推理能力.三、解 答 题（共5小题，总分值74分）19.112分）（2023上海）复数z i满 足（z i-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位）,复 数Z2的虚部为2,且Z-Z2是实数，求Z2.【考点】复数代数形式的混合运算.【专题】计算题.【分析】利用复数的除法运算法那么求出Z ,设出复数Z2；利用复数的乘法运算法那么求出Z
13、IZ2；利用当虚部为0时复数为实数，求出Z2.【解答】解：z i-2二1-i(1-i)(1-i)1+i-(1+i)(1-i)=-izi=2-i设 Z2=a+2i(aGR)ziZ2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)iZ1Z2是实数4-a=0 解得 a=4所以 Z2=4+2i【点评】此题考查复数的除法、乘法运算法那么、考查复数为实数的充要条件是虚部为0.20.(12分(2023上海函数f(x)=a2x+b.3x,其中常数a,b 满足abw0(1)假设ab 0,判断函数f(x)的单调性；(2)假设ab V 0,求 f(x+1)f(x)时的x 的取值范围.【考点】指数函数单调性的应用；
14、指数函数的单调性与特殊点.【专题】计算题.【分析】(1)先把ab 0 分为a0,b 0 与 a0,b 0 两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断.把 ab 为 b 0 与 a 0 两种情况；然后由f(x+1)f(x)化简得a2x -2b.3x,再根据a 的 正 负 性 得(2)二 或(2)二;最后由指数函数3 a 3 a的单调性求出x 的取值范围.【解答】解:(1)假 设 a0,b 0,那么y=a2x与 y=b3x均为增函数，所以f(x)=a2x+b3x在 R 上为增函数；假 设 aVO,b 0,b f(x)得 a2x+1+b3x+ia2x+b3x,化简得 a 4 x -2 b 3 x
15、,即(2)K,二 2b,3 a解得x lo g9 ；3 a 假 设 a0,由 f(x+1)f(x)可 得(2)X lo g 二3 a【点评】此题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法.21.(14分)2023上海)ABCD-AIBICIDI是底面边长为1 的正四棱柱，0 1 为 A Q i与BiDi的交点.(1)设 ABi与底面AIBICIDI所成角的大小为a,二面角A-BiDi-A i的大小为0.求证：ta n p =V 2 tana；(2)假设点C 到平面ABiDi的距离为W,求正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的高.3【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算.【专题
16、】综合题；转化思想.【分析】(1)此题由题意画出图形因为A B C D-A i B i C i D i 是底面边长为1 的正四棱柱，0 为 AICI与 B i D i 的交点，且设A B i 与底面A i B i C i D i 所成角的大小为a,二面角A-B Q i-A i 的大小为0,所以应先利用线面角及二面角的定义求出a,B，即可得证；(2)由图形借助面面垂直找到点C在平面ABIDI的位置，利用三角形的相似解出.【解答】解：(1)由题意画出图形为：1 A B C D -A i B i C i D i 是底面边长为1 的正四棱柱，底面为正方形且边长为1,又因为A B i 与底面AIBICI
17、DI所成角的大小为a,A AZ A B i Ara，t a n d =-L,1 1 A,B .C n，(1 )写出 c i，C 2，C 3，C 4；(2)求证：在数列 C n 中，但不在数列 b n 中的项恰为a 2,34.a 2n，；求数列 C n 的通项公式.【考点】等差数列的通项公式；数列的概念及简单表示法.【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想.【分析】(1)利用两个数列的通项公式求出前3 项，按从小到大挑出4 项.(2)对于数列 a“，对 n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7 的形式.(3)对 a n 中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对 b n)中的n从被3 除的
18、情况分类讨论,判断项的大小，求出数列的通项.【解答】解：(1)a i=3x l+6=9；32=3x 2+6=12 33=3x 3+6=15b i=2x l+7=9 b 2=2x 2+7=l 1 b 3=2x 3+7=13Cl=9;C2=l1;C3=12;C4=13(2)解对于 a n=3n+6,当 n为奇数时，设为n=2k+l那么 3n+6=2(3k+l)+7 6 bn当 n为偶数时,设n=2k 那么3n+6=6 k -1+7 不属于 bn.在数列 Cn中，但不在数列 bn中的项恰为22，闻,，a2n，；b 3k-2=2(3k -2)+7=a 2k-ib 3k-i=6 k+5a 2k=6 k+
19、6b 3k=6 k+7:6 k+3V 6 k+5 V 6 k+6 V 6 k+7当 k=l 时，依次有 b i=a i=c i，b2=C2，a2=C3 b3=C4.6k+3(n=4k-3)6k+5(n=4k-2)%-6k+6(n=4k-1)6k+7(n=4k)【点评】此题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法.23.(18 分)(2023上海)平面上的线段1及点P,任取1上一点Q,线段P Q 长度的最小值称为点P到线段1的距离，记作d (P,1)求点 P (1,1)到线段 1：x -y -3=0(3 x X-0D I
20、.根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线x,y 2(之0,o x l).选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A(0,1),B 0,0),C(0,0),D(2,0),根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上,方程是y=x,不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知(1,1)点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是 y=x(0 x41),wxA 2.A(1 x 2),2x-卫(x22)或 xvO,yVO.2 2 2【点评】此题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，此题是一个综合题目.