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1、1.1直线的斜率与倾斜角【知识点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a ,则a叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0 ,所以，倾斜角的范围是0 4a1 80 .知识点诠释：1 .要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向；x 轴正向；小于1 80 的角.2 .从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3 .倾斜角a的范围是0 4 a 0B.直线的倾斜角。的取值范围为0 4,万C.若一条直线的倾斜角为0,则此直线的斜率为tan6D.
2、若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为，【答案】ACD【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是 0,P）,即。0,乃），所以sinONO,当。中时直线的斜率=tan。，故 A、C 均错误；B 正确；对于D：若直线的斜率 =tan普=6,此时直线的倾斜角为（，故 D 错误；故选：ACD例 3.（2022江苏高二）下列命题中，错误的是.（填序号）若直线的倾斜角为a,则a e（O,幻；若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana.【答案】【解析】【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解.【详
3、解】对于中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为a,则ae O,万），所以错误；TT对于中，当倾斜角a w。）,直线的倾斜角越大，则立线的斜率左越大，且上0：当倾斜角a e（g i）,直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但0,所以错误；对于中，根据直线斜率的概念，可得当ae 0，为目.a w1时，直线的斜率为A =tana,所以错误.故答案为：.例 4.（2 0 2 2 全国高二课时练习）当直线/与x 轴垂直时，直 线/的 倾 斜 角 为.【答案】#90【解析】【分析】根据直线的倾斜角的定义可得答案.【详解】当直线/与x 轴垂直时，直线/的倾斜角为g故答案为：2【技巧总结】（1）倾斜角的概
4、念中含有三个条件：直线向上的方向；x 轴的正方向；小于平角的正角.（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度.（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.题型二：斜率与倾斜角的变化关系例5.（2 0 2 2.江苏.高二）如 图，设直线乙，/2,Z,的斜率分别为左，网,4,则 尤，与，%的 大 小 关 系 为（）C.k2kx k3k k2 k、B.ktk,k2D.k3k2kl【答 案
5、】A【解 析】【分 析】直接由斜率的定义判断即可.【详 解】由斜率的定义可知，匕%2&.故选：A.例6.（2 0 2 2北京市十一学校高一阶段练习）设直线/的斜率为，且-6 左（1，则直线/的倾斜角a的取值 范 围 是（）A-八o兀q兀4 u(2兀B唱U347rC.兀2n4 TD.兀3 7 1i T【答 案】A【解 析】【分 析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详 解】因为直线/的斜率为3且-/.-y/3 tana 的方程即可求得），的值.【详 解】过 两 点A（0,y）、8（2 6,-3）的直线的倾斜角为6 0 则 有 京 =tan 6 0 =6,解 之 得y =-9故答案为
6、：一9例8.（2 0 2 2全国高二课时练习）已 知 直 线/经 过4 2,1）、（帆e R）两 点，求直线/的倾斜角的取值范围.【答 案】。4U件 兀）【解 析】【分 析】先 求 得 直 线/的 斜 率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线/的倾斜角的取值范围.【详 解】直 线，过 A（2,l）,8（1,川）（，“cR）两 点，.直线/的斜率为k =二1-2设 直 线/的 倾 斜 角 为a,则a w 0,兀），且t a n a W l,解 得0 4 a4：或 a M 5+1 4 PB 2+1 2-.L k 2 .2 r M4-2 x +1故答案为：-；，3的 取 值 范 围 是-g，3；例1
7、8.(20 22江苏高二)过点尸(0,7)的 直 线/与 以A(3,2)、3(2,-3)为端点的线段A8有交点，求直线/的倾斜 角。的取值范围.7T【答 案】0,-34彳【解 析】【分 析】作出图形，利用斜率公式分别求 得 勺=1,勺=T,根据题意得至i j ta na 41或ta na N-1,即可求解.【详 解】如图所示，因为户（0，T）,A（3,2）,8（2,-3）,-口 Jr z得a 先7=-2-(-1-)=1,k.=-3-(-1-)-=-1 1 3-0 4 2-0要使得直线/与以A（3,2）、伏2,-3）为端点的线段AB有交点,设直线/的倾斜角为a ,其中 0,%），则满足ta na
8、 V l或ta na N-1,解得O Vawf或 网4 a 乃，即直线/的倾斜角a的取值范围a e 0,f u当，4 4 44依生“八乃 34、故答案为：。，:。丁，L 44）例19.（20 22.全国.高二课时练习）已知点A（2,3）,5（-3,-2）,若直线/过点尸（覃），且与线段A3相交，则直线/的斜率左的取值范围为（）3A.k 2 B.k 43C.l k 2 D.-k 24【答案】A【解析】【分析】首先求出直线R4、P B的斜率，然后结合图象即可写出答案.【详解】解：直 线 出 的斜率怎4=夫=2,直线尸B的斜率 即-=7，因为直线/过点P（U）,且与线段AB相交，结合图象可得直线/的
9、斜率&的取值范围是上 =或出22.4故选：A./例 20.（20 22江苏高二）已知两点4（2,-3）,8（-3,2）,直线/过点 P（l,l）且与线段A8 相交，则直线/的斜率k的取值范围是（）1 1 3A.-4 k B.Z4 Y或 4 2 C.-4 k -D.444【答案】B【解析】【分析】数形结合法，讨论直线/过 A、8 时对应的斜率，进而判断率女的范围.【如下图示，y八B_ O _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1,当 直 线,过 A时，&=2 7 7，A当直线，过 B时/二:j由图知：k 4-4或 k 2 .4故选：B【技巧总结】-k 0 B.Z s co s a 0C
10、.A:s i n 0 D.A s co s a 0【答 案】B【解 析】45,斜 率-a满 足 彳4 _ Q或，其倾斜角为。，斜 率 为2，则（）由题设&=tan a 0,进而确定a 的范围，再判断sina,cosa的符号，即可确定答案.【详解】由题设，Z=tancr 0,c o s a 0,A:sina0.故选：B3.（2022四川.高二期末）过点尸（2,1）和Q（3,4）的直线斜率为（）A.B.C.3 D.-33 3【答案】C【解析】【分析】代入直线的斜率公式即可解决.【详解】过点P（2,l）和Q（3,4）的直线斜率为空 入=汜=3故选：C4.（2022陕西咸阳高一期末）已知三条直线4，4
11、，的斜率分别为勺，k2,与,倾斜角分别为a,人若a /3 y,则下列关系不可能成立的是（）A.B.C.k2 k kt D.卜 3 h k【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】解：由题意，根据直线的斜率与倾斜角的关系有：7 T 7 T当0 4 a /?/5 或乃时，0W&与 自 或 人 的&0，故选项B 可能成立；T T当0 W a /,）时，k3 0 k2 9故选项A 可能成立；当0 。、/7 /万时，k2 k3 0 k t故选项C 可能成立；所以选项D 不可能成立.故选：D.5.(2022黑龙江哈尔滨市第一六二中学校高二期末(文)一直线 过 点(0,3),(
12、-3,0),则此直线的倾斜角为()A.45 B.135 C.-4 5 D.-135【答 案】A【解 析】【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得 到tana=l,即可求解.【详解】设直线的倾斜角为a，由斜率公式，可 得 上=与；=1,即tana=1,因 为0 W a 1 8 0 1所 以a=45,即此直线的倾斜角为45：故选：A.6.(2022.湖北.监利市教学研究室高二期末)已知点A(2,3),8(-2,-l),若 直 线/：y=k(x-1)-2与 线 段A8没有公共点，则 的 取 值 范 围 是()a-H5）B.0 031-C.（5,-K）D.（5,4-00）【答 案】A【解 析】【分 析】
13、分别求出即8，即“即可得到答案.【详 解】直 线/:y=&(x-1)-2经 过 定 点 打1,一2).因为A（2,3）,B（-2,-l）,所以k p A=与早=5,航=坐毕=Z 1 -Z 13所以要使直线/：）=Z Q-1）2 与线段AB没有公共点,只需：kpR k kp,即所以女的取值范围是1;,5）.故选：A7.（2022.全国.高三专题练习）设点A（4,-3）,B（-2,-2）,直线/过点P（l,l）且与线段A 3相交，则/的斜率/的取值范围是（）4 4A.k3 1 或 A 4-4 B.k3 1 或无4 C.-4A:1 D.4&4-13 3【答案】B【解析】【分析】根据斜率公式，结合数形
14、结合思想进行求解即可.【详解】如图所示:j 心 1 (一 3)4 1 (2)因 为*=下 7=_ ，原3=匚 有=1,所以当宜线/过点P（L 1）且与线段A3相交时，/的斜率的取值范围 是 右 1或左4-g,故选：B8.（2 02 2 辽宁葫芦岛高二期末）已知直线 的斜率为1,直线4 的倾斜角比直线4 的倾斜角小15。，则直线4的斜率为（）A.-1 B.-也 C.D.13 3【答案】C【解析】【分析】根据直线4 的斜率求出其倾斜角可求得答案.【详解】设直线4 的倾斜角为。，所以t a n a =1,因为0Y a 18 0,所以a =4 5。,因为直线4的倾斜角比直线4 的倾斜角小1 5。,所以
15、直线4的倾斜角为3 0，则直线h的斜率为t a n 3 0=坐.故选：C.二、多选题9.（2022.江苏.高二）直线/过点P（l,2）且斜率为h 若与连接两点A（-l,-3）,以3,-2）的线段有公共点，则上的取值可以为（）A.-2 B.1 C.2 D.4【答案】A D【解析】【分析】要使直线/与线段A 8 有公共点，则需R丛或根据两点的斜率公式计算可得选项.【详解】解：要使直线/与线段A B 有公共点，则需4 2%或 心 秘,而即产-出3-2=55,即L 宗-2-2=2所以心；5或 小-2,所以人的取值可以为-2或 4,故选：A D1 0.（2022江苏高二）设直线/过原点，其倾斜角为a,将
16、直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转4 5 ,得到直线4，则直线人的倾斜角为（）A.a+4 5 B.4 5-a C.a-1 3 55D.1 3 5。a【答案】A C【解析】【分析】分别在0 4 a 1 3 5。和1 3 5 a 1 80 求得旋转后倾斜角即可.【详解】直线倾斜角a的取值范围为0Y a 1 80。,二当0 4a 1 3 5 时，旋转4 5。后得到4 的倾斜角为：a+4 5-；当1 3 5 a 1 80。时，旋转4 5。后得到。的倾斜角为:c r+4 5 0-1 80=a-1 3 5 .故选：A C.1 1.（2022江苏高二课时练习）（多选）如果直线/过原点（0,0）且不经过第三象限
17、，那么/的倾斜角a可能是（）A.0B.1 20C.90D.6 0【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件确定正确选项.【详解】依题意，直线/过原点，且不经过第三象限，则。=0或90。118（）。，所以ABC选项符合，D 选项不符合.故选：ABC12.（2022全国高二课时练习）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为”=C -G“x io o%,其中Cw表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）,G”表示经口罩out过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）.某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测
18、试，测试结果如图所示.图中点A7的横坐标表示第i 种口罩第j次测试时CO M的值，纵坐标表示第i 种口罩第/次测试时6n的 值（i=1,2,C/L)j =l,2,3,4).4 1：4iO 4 44 2 2：个3 44A12 4 2 3C L)该研究小组得到以下结论，正确的是（）A.在第2 种口罩的4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高B.在 第 1 种口罩的4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高C.在每次测试中，第 1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2 种口罩的颗粒物过滤效率高D.在第3 次和第4 次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2 种口罩的颗粒物过滤效率低【答案】
19、AD【解析】【分析】根据实验数据图表逐个分析选项即可.【详解】分别将原点与图中各点相连.C-C设 线 段 的 斜 率 为%,根据题意有，7=x 100%=1 -的C（Mll即 为 越 小，颗粒物过滤效率越高。由图 知，&l I&I2%13 414!%23 k 2A 后1 自3,所 以 第3次 测 试 中 第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选 项C错误；左4&4,所 以 第3次 和 第4次 测 试 中 笫1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效 率 低，选 项D正确.故选：AD.三、填空题13.（2022.全国高二课时练 习）已知三点A（-l,2）,3（3,4）,C（5,y）共 线，则
20、卜=.【答 案】5【解 析】【分 析】由心M=%AC即可求解.【详 解】因 为A（-l,2）,8（3,4）,C（5,y）三点共线，4 2 y 2 2 y 2所 以 鲍 二 砥,=获询=干=工=5-故答案为：5.TT TF （TT 2 414.（2022全国高二课时练 习）当直线/的 倾 斜 角 共-,y I u l y,y时，则直线/的斜率的取值范围为【答 案】【解 析】【分析】斜率为倾斜角的正切值，根据正切函数值域即可求斜率范围.【详 解】当直 线,的 倾 斜 角 回 找 右用时则直线/的斜率的取值范围为t a 哈,+o o 卜(-a),t a n 等=,故答案为：l,+8)D(-0 0，-
21、6 .1 5.(2 0 2 2 全国高二课时练习)直线4 与直线4：x =2 所成的锐角为3 0。，则直线 的倾斜角为【答案】6 0。或 1 2 0 0#1 2 0 或 6 0 .【解析】【分析】根据直线倾斜角的概念数形结合即可求解.直线4 的倾斜角为6 0。或 1 2 0 -故答案为:6 0。或 1 2 0 -1 6.(2 0 2 2.全国高二课时练习)直线/的斜率为g,将直线/绕其与x 轴交点逆时针旋转6 0 所得直线的斜率是.【答案】飞【解析】【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】解：设直线/的倾斜角为a，a e 0,1 80).因 为 直 线/的 斜 率 为 所 以 t
22、 a n a =6，所以a =6 0 1所以将直线/绕其与x 轴交点逆时针旋转6 0 所得直线的倾斜角为6 0 +6 0 =1 2 0。,所以所得直线的斜率是t a n 1 2 0 =-有，故答案为：-垂）.四、解答题1 7.（2 0 2 2全国高二课时练习）已 知 直 线/经 过 两 点4（2”,/）、仅0,-1）,求直线/的倾斜角的取值范围.【答 案】71 3 7，-4【解 析】【分 析】讨论。=0、。片0研究直线的斜率，结合基本不等式确定对应倾斜角大小或范围.【详解】设 直 线/的 斜 率 为&,倾 斜 角为夕 7 T当=0时，不存在，0 =-；2当Q W 0时,若a 0时,若。ktk5
23、k4 k,.2 0.（2 0 2 2.全国高二课时练习）已知三条 直 线4，4，%的斜率分别为匕，自，&3,倾斜角分别为。，4，丫 ,且&0 ；x e e 时，y =t a n x 0；x（,;r）时，y =t a n x 0 （1）当0 4&|自&时，有a,4，由y =t a n x 在呜）单调递增，有a/（2）当勺&。时，有*p ,丫 w&，兀）T T由y =t a n x 在弓,万）单调递增，-有a/3y（3）当T 8 0 4 h P Y G 0,）由y =t a n x 在 0$单调递增，有/aT T T T（4）当 k、,有a/e q,%）,/e 0,-）T T由y =t a n x
24、 在（彳,万）单调递增，有y a 021.（20 22全国高二课时练习）已知AABC的三个顶点分别为A（T0）,8 0,2）,C（2,4）,求 I BC的三边所在直线的斜率.4 ,、【答案】砥 8 =1，2AC=,卜设=2.【解析】【分析】根据两点间的斜率公式即可求解.【详解】2-0解：边 A3所在直线的斜率为kA li=-=1 ；1 一（一 1）4-0 4边AC所在直线的斜率为kAC=-；2 （一1）J4-2边 8 C 所在直线的斜率为&c =f=2.22.（20 22江苏高二课时练习）经过点P（0,-1）作直线/,且直线/与连接点A（l,-2）,3（2,1）的线段总有公共点，求直线/的倾斜
25、角a和斜率左的取值范围.【答案】。，D ，；一 14 4 1.4 4 ）【解 析】【分 析】根据斜率公式 得%,=工=1,%也=与=-1，由/与 线 段AB相交,率左的范围，进而根据正切函数的性质得出倾斜角范围.【详 解】因 为/“二一：-：1）=_ 1,即8=与笠=1,由/与线段A 3相交，1 0 2 0，/二 所 以 4&4 L =T 4 M 4 1，疗所以 OWtanaWl 或一 ltana0,由于、=1211万在 ，）及（1，乃 均为增函数，一万 3%、所以直线/的倾 斜 角a的范围为：0,-a .1 44）故 倾 斜 角 的 范 围 为一o,1-u73万 ,寸、斜 率k的范围是.知心，4人4号“，由此能求出直线/斜