《2022-2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义（苏教版必修第一册）专题01 直线的对称问题(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义（苏教版必修第一册）专题01 直线的对称问题(含详解).pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 1 直线的对称问题【知识点梳理】知识点一：点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点）关于点。（*，）的对称点为尸（当，必），则根据X,+X,中点坐标公式，有V _ X+为%-2可得对称点Px2,%）的坐标为（2与-不，2%-y）知识点二：点关于直线对称点 P（x/）关于直线/：+By+C=O对称的点为P（w，%），连接P P，交I于M 点,则/垂直平分kkpp=-1PP，所以P P J L/,且 M 为 P P 中点，又因为M 在直线/上，故可得 占+x,y,+v2，解出A -+B _ +C=02 2（,%）即可.知识点三：直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标
2、公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.知识点四：直线关于直线对称求直线仁以+外+c=0,关于直线个 公+ey+f =0（两直线不平行）的对称直线4第一步：联立4，4 算出交点尸（与，为）第二步：在 上任找一点（非交点）Q（西，乂），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点。（，当）第三步：利用两点式写出右 方程知识点五：常见的一些特殊的对称点（X，y）关于X轴的对称点为（X，-y）,关于y 轴的对称点为（-X,y）.点（X，y）关于直线y=x 的对称点为（y，X）,关于直线=-x的对称点为（_y,-X）
3、.点（X，y）关于直线x=a 的对称点为（2 a-x，y）,关于直线y=b 的对称点为“，2 b-y）.点（x，y）关于点（4,3 的对称点为（2 a-x，2 b-y）.点（x，y）关于直线x+y =%的对称点为（4-，k-x）,关于直线x-y =&的对称点为（Z+y,x-k）.【题型归纳目录】题型一：点点对称题型二：点线对称题型三：线点对称题型四：线线对称【典型例题】题型一：点点对称例1.点A（l,2）关于点P（3,4）对 称 的 点 的 坐 标 为.例2.求点P（4,5）关于例（3,-2）对称的点Q的 坐 标.例3.（2022逢国高二课时练习）直线/经过已知点2 2,-3）,且被两条已知直
4、线3x+y-2=0,x+5y+10=0截得的线段恰以P为中点，求直线/的方程.例4.（2022 江苏高二课时练习）已知点A在x轴上，点8在y轴上，线段A 8的中点M的坐标是（2,-1）,求线段A B的长.例5.（2022 江苏高二课时练习）若点A在x轴上，点B在y轴上，A 8的中点为P（2,-1）,求48的长度.题型二：点线对称例6.（2022 北京市十一学校高一阶段练习）点尸（2,0）关于直线/:x+y+l=0的对称点。的坐标为（）A.（-1,-3）B.（-1,-4）C.（4,1）D.（2,3）例7.（2022江 苏 福 二）已知入射光线经过点M（-3,4）,被直线/：x-y+3=0反射，反
5、射光线经过点N（2,6）,求反射光线所在直线的方程.例8.（2022 江 苏 高 二）点（3,9）关于直线+3-10=0对 称 的 点 的 坐 标 是.例9.（2022 全 国 高二单元测试）点4 2,2）关于直线y=x+2的 对 称 点 的 坐 标 为.例10.（2022 上海格致中学高二阶段练习）一条光线经过点A（3,5）射到直线x+y+l=0上，被反射后经过点3（2,1）,则入射光线所在直线的方程为例11.（2022 浙江绍兴高二期末）如图，在等腰直角AABC中，4?=AC=2,点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点尸出发，经 B C、C A反射后又回到原点P.若光线QR经过 A B
6、C 的内心，则4 P =（2 0 2 2 江 苏 高 二）己知AABC的顶点8（5,1）,AB边上的高所在的直线方程为x-2 y-5=0.（1）求直线A5的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中.角4 的平分线所在直线方程为x+2 y-13 =0边上的中线所在的直线方程为2 x-y-5 =0,求直线AC的方程.例 13.（2 0 2 2 全国高二课时练习）已知直线/：3 x+4 y-l=0 和点（1）求经过点P,且与直线/平行的直线的方程；（2）求经过点P,且与直线/垂直的直线的方程；（3）求点P关于直线/对称的点的坐标；（4）若正方形A 8 C。的边A8在直线/上，且点P为正方形
7、A B C。的中心，求直线AO和。C的方程.例 14.（2 0 2 2 全 国 高二课时练习）证明下述命题，并给出结论的几何解释：（1）如果A（X o，%）关于直线/：y=x+。的对称点为B,贝 I j B 的坐标为（%-友为+力）；（2）如果A（%,%）关于直线/:y=x+。的对称点为B,则B的坐标为（一为+4-%+6）.例 15.（2 0 2 2 全 国 高 三专题练习）已知直线/：入一3 y+l=0,点 A （1,-2）,求点A关于直线/的对称点A 的坐标.题型三：线点对称例 16.（2 0 2 2 全国高二课时练习）直线2 x+5 y-3 =0 关于点（-1,2）对 称 的 直 线 方
8、 程 是.例 17.（2 0 2 2 宁 夏 银川唐徐回民中学高一期末）直线*-2 丫-3 =0 关于定点M（-2,l）对称的直线方程是例 18.（2 0 2 2 上海市行知中学高二阶段练习）直线以+y+3 a-l =0 恒过定点M,则直线2 x+3 y-6 =0 关于M点 对 称 的 直 线 方 程 为.例 19.（2 0 2 2 江 苏 高二）直线2 x+3 y-6 =0 关于点（1,1）对称的直线方程为（）A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0 D.2x+3y-4=0例 20.（2022 全 国 高 三专题练习）直线3x-2y=O 关于点,（）卜寸称的直线
9、方程（）A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0C.x-y=0 D.2x-3y-2=0例 21.（2022 四川省绵阳江油中学高二阶段练习（理）直线/：y=2x+3关于点尸（2,3）对称的直线厂的方 程 是（）A.2x-y-5=0 B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0 D.2x+y+5=0例 22.（2022 河北邢台高二阶段练习）已知点M 是直线 一尸1 =0和直线2x+y-5=0的交点.（1）求过点M 且与两坐标轴截距相等的直线/的方程；（2）直线/与直线x+3y+l=0关于点加对称，求直线的方程.题型四：线线对称例 23.（2022 全 国 高 三专题练习）已知直线4：x-y+3=
10、O,直线/:x-y-l=0,若直线4关于直线/的对称直线为4，则直线的方程为.例 24.（2022 全 国 高 二课时练习）已知直线，：x-y=0,4：2x-y-2=0,贝以关于/对称的直线方程为例 25.（2022 黑龙江牡丹江市第三高级中学高二开学考试）直线y=关于x=l对称直线/,直线/的方 程 是（）A.Gx+y-2=0 B.j3x+y+2=0C.x+/3y-2=0 D.x+y +2=0例 26.（2022 江苏无锡市第一女子中学高二期中）两直线4：2x-y+l =O,/2：y=x,则直线4关于直线4对称的直线方程为（）A.2x-y+l=0 B.x-3y+l =0 C.2x-3y+2=
11、0 D.x-2y-=0例 27.（2022 浙江兰溪市第一中学高二阶段练习）求直线x+2y 1=0关于直线x+2y+l=0对称的直线 方 程（）A.x+2y 3=0B.x+2y+3=0C.x+2y 2=00.x+2y+2=0例 28.（2 0 2 2 安徽省六安中学高二期末（理）直线y=2 x+l关于直线y=x 对称的直线方程为（)A.x-3 y+l =0 B.x-3 y-l=0 C.x-2y-l=0 D.x-2y+=0例 29.（2 0 2 2 江苏高二课时练习）已知直线/,x+y 1=0,直 线 5 2 x-y+3=0,求直线，2 关于直线。对称的直线/的方程.例 30.（2 0 2 2
12、全国高二课时练习）已知直线/：x-y 1=0,4：x-y+3 =O,/2:2 x-y-l=0.（1）求直线4 关于直线/的对称直线的方程；（2）求直线4 关于直线/的对称直线Y的方程.例 31.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知直线/:kx-y+l +2k=0（k&R）,当&为 1 时，求直线加：3 x-2 -6=0 关于直线/的对称直线m的方程；例 32.（2 0 2 2 安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线/：x+2 y-2 =0 和 直 线 八 y=x-2.（1）求直线/关于点A（l,l）对称的直线4的方程；（2）求直线/关于直线乙对称的直线的方程.专题0 1 直线的对称问题
13、【知识点梳理】知识点一：点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点）关于点。（*，）的对称点为尸（当，必），则根据X,+X,中点坐标公式，有V _ X+为%-2可得对称点Px2,%）的坐标为（2与-不，2%-y）知识点二：点关于直线对称点 P（x/）关于直线/：+By+C=O对称的点为P（w，%），连接P P，交I于M 点,则/垂直平分kkpp=-1PP，所以P P J L/,且 M 为 P P 中点，又因为M 在直线/上，故可得 占+x,y,+v2，解出A -+B _ +C=02 2（,%）即可.知识点三：直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称
14、的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.知识点四：直线关于直线对称求直线仁以+外+c=0,关于直线个 公+ey+f =0（两直线不平行）的对称直线4第一步：联立4，4 算出交点尸（与，为）第二步：在 上任找一点（非交点）Q（西，乂），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点。（，当）第三步：利用两点式写出右 方程知识点五：常见的一些特殊的对称点（X，y）关于X轴的对称点为（X，-y）,关于y 轴的对称点为（-X,y）.点（X，y）关于直线y=x 的对称点为（y，X）,关于直线=-x的对称点为（_y,-X）.点（X，y）关于直线x=
15、a 的对称点为（2 a-x，y）,关于直线y=b 的对称点为“，2 b-y）.点（x，y）关于点3,3 的对称点为(2a-x，2 b-y).点(X，y)关于直线x+y=z的对称点为(Z-y，k-x),关 于 直 线=Z的对称点为(+y，x-k).【题型归纳目录】题型一：点点对称题型二：点线对称题型三：线点对称题型四：线线对称【典型例题】题型一：点点对称例 1.点A(l,2)关于点P(3,4)对 称 的 点 的 坐 标 为.【解析】解:设 点4(1,2)关于点尸(3,4)对称的点为B(x,y),则点P为A B的中点.134.2.4=少I 2mlx=5.y=6.点A(l,2)关于点P(3,4)对称
16、的点的坐标为(5,6).故答案为：(5,6).例2.求点P(4,5)关于M(3,-2)对称的点Q的 坐 标.【解析】解：设点Q的坐标为(x,y),v P(4,5)关于例(3,2)对称的点为Q ,；4+xJ=-为尸。的中点，故 2,-2=山I2(x=2解方程组可得 八，即Q(2,-9),y=-9故答案为：(2,-9).例3.(2022嚏国高二课时练习)直线I经过已知点P(2,-3),且被两条已知直线3x+y-2=0,x+5)，+10=0截得的线段恰以P为中点，求直线/的方程.【解析】当斜率不存在时，直线/：x=2,代入直线力+八2=0得：y=T ：代入直线x+5y+10=0得：y=-y ,所以中
17、点不是点P,当斜率存在时，设直线/：y=Z(x-2)-3,联立y=A:(x-2)-33x+y-2=02Z+5k+3一4/一9；/+3x=得：y=_ 10+5联立卜得：对1 因为截得的线段恰以P为中点，x+5y+10=0=72k-3y 5k+所 以 学?+当 里=4,解得：=4,所以直线/：y=4（x-2）-3,即：y-4x+ll=0Z+3 5攵 +1例4.（2022 江苏高二课时练习）已知点A在x轴上，点8在 轴上，线段AB的中点M的坐标是（2,-1）,求线段A3的长.【解析】在平面直角坐标系中，A O L B O,则AABO为直角三角形，且A8为斜边，故|A8|=210Ml=2百+（-1）2
18、 =2亚.例5.（2022 江 苏 高 二课时练习）若点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为尸（2,-1）,求A8的长度.f x+0=2x2 f x 4【解析】解：设A（x，0）,B（0,y）.因为4 8的中点为P（2,1）,所以八 二，；、得 一；0+y=2x（-1）,y=-2,所以 A（4,0）,B（0,-2）,从而 AB=J（0-4）2 +（-2-0）2=245.题型二：点线对称例6.（2022 北京市十一学校高一阶段练习）点P（2,0）关于直线/:x+y+l=0的对称点Q的坐标为（）A.(-1,-3)B.(-1,-4)C.(4,1)【答案】AD.(2,3)【解析】设点P（2,0）关于
19、直线x+y+l=0的对称点的坐标为（。,则fe-0。一2x(T)=7。+224+,=解 得：二 二；所以点Q的坐标为（T 一3）故选：A.例 7.（2 0 2 2 江 苏 福 二）已知入射光线经过点（-3,4），被直线/：x-y+3 =0 反射，反射光线经过点N（2,6）,求反射光线所在直线的方程.【答案】6 x-y-6 =0【解析】解：设点加（-3,4）关于H线/:x-y+3 =0的 对 称 点 为 则 反 射 光 线 所 在 直 线 过 点,所以Z?4-1-71=-1”，解得4 =10 叱-妇 4+3 =06=0,即(1,0),I 2 2又反射光线经过点N（2,6）,所以“w=W =6,2
20、 1所以所求直线的方程为y 0=6（x-1）,即6 x-y-6=0.故答案为：6x-y-6=0.例 8.（2 02 2 江 苏 高 二）点（3,9）关于直线x +3 y-1 0=0 对称的点的坐标是.【答案】（T,-3）【解析】设点（3,9）关于直线x+3 y-1 0=0 对称的点的坐标是（“力）,则h-9)-=3；一 3 0 7 ，解得3+a,9+b 1 八 _-+3 x-1 0=02 2a=-6=-3 所以点（3,9）关于直线X+3 -1 0=0 对称的点的坐标是（-1,-3）.故答案为：（-1,-3）例 9.（2 02 2 全 国 高二单元测试）点 4 2,2）关于直线y =x+2 的对
21、称点的坐标为【答案】（。，4）=7【解析】点4 2,2）关于直线y =x+2 的对称点的坐标为（出与，则.+2 ，解得-=-F 22 2故对称点的坐标为（。，4）.故答案为：（。，4）.a=0b=4例 1 0.（2 02 2 上海格致中学高二阶段练习）一条光线经过点A（3,5）射到直线x+y +l=0 上，被反射后经过点8（2,1）,则入射光线所在直线的方程为【答案】8 x-5 y +l=0【解析】解：设点5（2,1）关于直线x+y+l=O的对称点为（%,%）,Z1+lA+i=o2 2则 A,x0-2解得 3（-2,-3）则入射光线所在直线的方程为：y-5=青|（-3）,即 8x-5y+l=0
22、故答案为：8x-5y+l=0.例11.（2022 浙江绍兴高二期末）如图，在等腰直角 ABC中，AB=AC=2,点P是边AB上异于A、8的一点，光线从点尸出发，经BC、C4反射后又回到原点 尸.若光线QR经过 ABC的内心，则AP=【答案】272-2【解析】根据题意，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点P关丁直线B C的对称点为N，关于y轴的对称点为M ,如下所示:则A（0,0）,8（2,0）,C（0,2）,不妨设尸则直线8C的方程为设点N坐标为（x,y）,则上大乂（-1）=-1,且=_ 2答+2,整理得y=x m,y=-x-m+4x-m 2 2解得x=2,y=2-m,即点N（2,2%）,
23、又M（-加,0）；设 ABC的内切圆圆心为，则由等面积法可得（2+2+2夜）=g x 2 x 2,解得，=2-夜;故其内心坐标为（2-血,2-收），由M,N及A A3C的内心三点共线，即登;2y,整理得/一2?（&7）=0,2+m 2-l2+m 7解得机=0（舍）或20-2，故AP=2夜-2.故答案为：2应-2.例12.（2022 江 苏 高 二）已知AABC的顶点8（5,1）,AB边上的高所在的直线方程为x-2 y-5=0.（1）求直线AB的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中.角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=08 c边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0,求直线
24、AC的方程.【解析】（1）解：因为4 8边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB的斜率为=-2,又因为AABC的顶点3（5,1）,所 以 直 线 的 方 程 为：y-l=-2（x-5）,所以直线A8的方程为：2x+y-=0.（2）解：若选：角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0,2x+y-ll=0 x+2y-13=0 x=3y=5,解得所以点A（3,5）,吉|x(-3)=T x_LA 8,C/A B,且点P到直线A D和C D的距离等于点P到直线A B的距离，可设直 线 犯 的方程为4x-3y+Cs=0,直线CO的方程为3x+4y+C4=0,点P到直线AB的距离为13,+4
25、-1=T则点P到直线AD的距离.；3 +03|=6 解得C|=5或-7,V 1 6+9 5点尸到直线CD的距离。=4,解得CL-13或T（舍去）,V 9 +1 6 5所以直线A O的方程为4 x-3 y +5 =0或4 x-3 y-7=0,直线C O的方程为3 x+4 y-1 3 =0.例1 4.（2 02 2 全 国 高二课时练习）证明下述命题，并给出结论的几何解释:（1）如 果 关 于 直 线/：y =x +8的对称点为B,则B的坐标为（%-反 +6）；（2）如果A（%,%）关于直线/:y =x+b的对称点为B,贝I JB的坐标为（-%+a-x 0+6）.【解析】（1）证明：设点,则线段A
26、B的中点为M%+m%+2 2,直线/的斜率为1,山题意可得“一 吃 ,解得n+y=m+x +hm=ya-b/、n_x+b 即点 8(%22几何解释如下:解：设点则线段A 8的中点为Mx +?yn+n2 2,直线/的斜由题意可得 为.1m-x0 +为 _,解得0+62机=y +b,、n-x +b,即点 8(-%+6,-5+b)，2几何解释如下:B(-y0+b,-x0+b)（沏,出）例1 5.（2 0 2 2 全 国 高 三专题练习）已知直线/：2%3了+1=0,点A （一X1,-2),求点A关于直线/的对称点4的坐标.【解析】设 A(x,y),由题设有-y-+-2-X -2=_ -1,X+1 /
27、,整理得C x-1 c y-2 .八2 x-3 x-+1 =02 232 xx-3+y2+1 6 7=0W 解得3 3x=-1 34y =1 3所以H(3W3 )4 .题型三：线点对称例16.(2 0 2 2 全 国 高二课时练习)直线2 x+5y-3 =0 关于点M(-1,2)对称的直线方程是【答案】2 x+5y-1 3 =0【解析】设对称直线为/：2 x +5)，+C 0 =0,则有|8 +C0|_|-2+5x 2-3|V22+52 V22+52解这个方程得C=-3 (舍)或 C 0=-1 3.所以对称直线/的方程中2 x +5y-1 3 =0故答案为：2 x+5y-1 3 =0例 1 7
28、.(2 0 2 2 宁 夏 银川唐徐回民中学高一期末)直线*-2 丫-3 =0 关于定点例(-2,1)对称的直线方程是.【答案】.2丫+11=0【解析】在直线上取点2 3,0),点尸关于(-2,1)的对称点为尸(-7,2)过 P，与原直线平行的直线方程为x-2 y+l l =0,即为对称后的直线.故答案为：x-2 y +l l =0例18.(2 0 2 2 上海市行知中学高二阶段练习)直线以+)，+3-1 =0 恒过定点加，则直线2 x+3 y-6 =0 关于M点 对 称 的 直 线 方 程 为.【答案】2 x+3)，+1 2 =0【解析】由依+y +3 a-1 =0 得：(x+3)+(y-l
29、)=0,当x =-3 时，y=l,.-.(-3,1)；设直线2 x+3 y -6 =()关于M 点对称的直线方程为2 x +3 y +C =0,/4 +9解得:C =1 2 或 C =6 (舍),.直线2 x+3 y-6 =()关于M 点对称的直线方程为2 x+3 y+1 2 =0.故答案为：2 x+3 y +1 2 =0.例19.（2 0 2 2 江 苏 高二）直线2 x+3 y-6 =0 关于点（1,1）对称的直线方程为（）A.3 x 2 y +2 =0 B.2 x +3 y +7=0C.3 x 2 y 1 2 =0 D.2 x+3 y-4 =0【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的
30、坐标为（x，丁），则其关于点。,1）对称的点的坐标为（2-x,2-y）,以（2-327）代换原直线方程中的。丫）得2（2-力+3（2-力-6 =0,即2 x +3 y-4 =0.故选：D.例20.（2 0 2 2 全 国 高 三专题练习）直线3 x-2 y =0 关于点；,0 卜寸称的直线方程（）A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0C.x-y =0 D.2x-3y-2=0【答案】B【解析】设所求直线上任一点为a，y）,则其关于点（g，。）对称的点为因为点在直线3 x 2 y =0 上，所以3 停-x 1-2（-y）=0,化简得3 x-2 y 2 =0,所以所求直线方程为3 x-2 y 2
31、 =0 ,故选：B例21.（2 0 2 2 四川省绵阳江油中学高二阶段练习（理）直线/：），=2 x+3 关于点尸（2,3）对称的直线1的方 程 是（）A.2 x-y-5=0B.2x+y-5 =0C.2 x y +5=0 D.2 x+y +5=0【答案】A【解析】因为/和/关于点P 对称，则两直线平行，可设/方程为2 x-y+6 =0 （方 中3）,点尸到两直线的距离相等,|2 x 2-3 +3|2 x 2-3 +则 石厂BF解得=-5或 3 （舍去）,所以直线/的方程是2 x-y-5=0.故选：A.例 2 2.（2 0 2 2 河北邢台高二阶段练习）已知点M 是直线x-y-l =0 和直线2
32、 x +y-5=0 的交点.（1）求过点M且与两坐标轴截距相等的直线/的方程；（2）直线/与直线x+3 y +l =0 关于点M对称，求直线的方程.TA:-y-1 =0 ix=2/、【解析】（1）由。二 八，得 即 M 的坐标为2,1,2 x+y-5=0 y =l当截距为0 时,设直线/的方程为y =，代入点（2,1）可得=1,所以宜线/的方程为y =g X ,即x-2 y =0,当截距不为。时，设直线/的方程为土+2=1,代入点（2,1）可得 =3,a a所以直线/的方程为：+W =l,即x+y 3 =0,综上所述，直线/的方程为*-2 y =0 或x+y-3 =0：（2）设直线厂的方程为x
33、+3 y +?=0 （加4 1）,所以L尸=,解得加=ii或机=i（舍去），VW Vio所以直线厂的方程为x+3 y-l l =0.题型四：线线对称例 2 3.（2 0 2 2 全 国 高 三专题练习）已知直线4：x-y +3 =O,直线/:x-y-l =0,若直线4 关于直线/的对称直线为4,则直线4的方程为.【答案】X-y-5=0.【解析】由题意知 4,设直线，2：x y+机=0（aH3,/H H 1）,在直线4 上取点”（0,3）,设点M关于直线I的对称点为”,力），b-3,则 二 八 ,解得。=4,6 =-1,即（4,1）,Q +0 b+3 -1=02 2将 旅（4,-1）代入4 的方
34、程得4+1 +加=0,?=-5,所以直线4的方程为x-y-5 =o.故答案为：x-y-5=0例 2 4.（2 0 2 2 全国高二课时练习）已知直线/：x-y =0,（：2 x-y-2 =0,贝股关于/对称的直线方程为【答案】x-2 y+2=。【解析】联立x-y=02-解得x =2y =2.直线/与4的交点坐标为（2,2）,在直线乙 上任取一点（0,-2），其关乎直线/的对称点为（-2,0）,2-0由点（2,2）和点（-2,0）,可得 =再荀Q +2）,即x-2y+2=0.故答案为：x-2y+2=0.例25.（2022 黑龙江牡丹江市第三高级中学高二开学考试）直线y=1 x关于x=l对称直线/
35、,直线/的3方 程 是（）A./3x+y 2=0 B.x+y+2=（）C.x+岛-2=0 D.x+3+2=0【答案】C【解析】如图，直线y=与直线x=l交于点A（l,弓），直线y=过原点（0,0）,因为直线y=4 x与直线/关于直线x=l对称，所以原点关于直线x=l的对称点为8（2,0）,且直线/过点4、B,6n则直线I的斜率为,_y_，1-2-V所以直线/的方程为y-0=-3（x-2）,即 x+/3)-2=0.（2022 江 苏 无锡市第一女子中学高二期中）两直线：2x-y+l=0,/2：y=x,则直线4关于直线4对称的直线方程为（）A.2 x-j+1 =0 B.x-3y+l=0 C.2x-
36、3y+2=0 D.x-2 y-l =0【答案】D八 “f2x-y+l=0 fx=-l【解析】联立方程,，解得，y=x b=-i在直线4：2x-y+1 =0 上任取一点(0,1),其关于l2.y =x 的对称点为(1,0),则直线4 关于直线4 对称的直线方程为y=m(x-l),即X-2y-1 =0故选：D.例 27.(2022 浙 江 兰溪市第一中学高二阶段练习)求直线x+2yl=0 关于直线x+2 y+l=0 对称的直线 方 程()A.x+2y3=0 B.x+2y+3=0C.x+2y2=0 D.x+2 y+2=0【答案】B【解析】设对称直线方程为x+2y+c=0,1 1 +1 1|c-l|，
37、.一 I-I-解得 c=3或 c=1 （舍去）.Vl+22 V1+22所以所求直线方程为x+2y+3=0.故选：B例 2s.（2022 安徽省六安中学高二 期 末（理）直线y=2x+l关于直线y=x 对称的直线方程为（）A.x-3y+l=0 B,x-3 y-l=0 C.x-2 y-=0 D.x-2y+l=0【答案】C【解析】解：联立方程 1 2彳+1得即宜线y=2 x+l与直线y=x 的交点为(T,T)设直线y=2 x+i的点(0,1)关于直线y=x 对称点的坐标为5,%),上 二)b+i2 2所以、，解得%=1,%=0A z l=_ix0所以直线y=2x+l关于直线y=x 对 称 的 直 线
38、 过 点(1,0)所以所求直线方程的斜率为所以所求直线的方程为y=；(x-l),即x-2 y-l=0故选：c例 29.（2022 江苏高二课时练习）已知直线。，x+y1=0,直 线 b 2xy+3=0,求直线，2关于直线/对称的直线/的方程.【解析】由x+y-l=0,2+3=0 解得2X-,；3 所以直线/过点尸（-；2 55）又显然。（一1,1）是直线/2上一点，设点0 关于直线/的对称点为Q（M,加）,玉 1%+1则2%一 1x0+l2解得X.=0,c 即 Q(0,2).1%=2,因为直线/经过点P,所以由两点式得它的方程为x-2 y +4=0.例 30.（2022 全国高二课时练习）已知
39、直线/：x-y-1 =0,4：x-y +3=O,l2:2 x-y-l=0.（1）求直线4 关于直线/的对称直线的方程;（2）求直线&关于直线/的对称直线的方程.【解析】（1）因为，所以/：/.设 直 线 的 方 程 为 x-y +c=0(c*3,且cw 1).在直线4 上取点M（0,3）,设点M关于直线/的对称点为Ma,b）,则匕-3,-xl=-1“八 A 2,解得。+0 8+3 八-1 =()2 2Q=4b=-l即点”的坐标为（4,-1）.把点M 的坐标代入直线/；的方程，得4-（T）+c=0,解得c=-5,所以直线的方程为x-y-5=0.（2）由2 x-y-l=0 x-y-1=0 侍x=0
40、y=T所以4 与/的交点坐标为A（0,-1）.另取4 上不同于A 的一点8（1,1）,设关于/的对称点为,加 +1 +11 =0,得m=2n=0即点8 的坐标为(2,0).所以过A(0,-l)与？(2,0)的 直 线 的 方 程 为 y=：?x(x-2),0 2即 x 2y 2=0.例 31.(2022 全国高三专题练习)已知直线/：京-y +l+2Z=0伏/?),当攵为1 时，求直线如 3x一2p一6=0 关于直线/的对称直线M 的方程；f3x 2y 6=0 x=12【解析】由已知直线/的方程为x-y+3 =0,联立 一 c可得，所以点(12,15)在直线w 上,x-y+3 =0 y=15在
41、直线加3 k 2厂 6=0上取点(2,0),设点(2,0)关乎直线/：、一)，+3=0 的 对 称 点 为(%,%),则%-2一比+3=0 2 2解 方 程 可 得:，所以点(-3,5)在直线加上,%=5所以直线加的斜率为 备15-|5=(2,故直线W 的方程为：y-5 =j2(x+3)；化简得2x-3y+21=0,所以直线W 的方程为2x-3y+21=0.例 32.(2022 安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)已知直线/：x+2y-2 =0 和 直 线 y=x-2.(1)求直线/关于点A(l,l)对称的直线4 的方程；(2)求直线/关于直线4对称的直线人的方程.【解析】(1)解：因为直线/关于点A(l,l)对称的直线与直线/平行，所以设直线4 的方程为x+2y+?=0,在直线/上取点8(0,1),则点8(0,1)关于点A(l,l)的对称点C(2,l)必在直线4 匕所以 2+2x1+?=0,解得，=-4,故所求直线，2的方程为X+2y-4=0；(2)解：由 +：一；。解得交点网2,0),在直线/上取点M（。4），设M（M）关于宜线4 的对称点b+a.-=-2则 6：1 2，解得。=3,。=一 2,所以N（3,2）,-1 =1.a又直线4 过点P（2,o）,所以4=J=-2,3 Z所以直线4的方程为丫 0 =-2（一 2）,即2 x+y-4 =0.