《2022-2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义（苏教版必修第一册）2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义（苏教版必修第一册）2.pdf（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.3圆与圆的位置关系【知识点梳理】知识点一：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点;(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：设。的半径为4，。2的半径为弓，两圆的圆心距为d.当k 臼 “%+2 时，两圆相交;当 4+弓=1 时，两圆外切；当彳+弓 d时，两圆外离；当卜一弓|=d 时，两圆内切；当 一 目 dn寸，两圆内含.知识点诠释:判定圆与圆的位置关系主要是利用
2、几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长.方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长.4.两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.（1）两圆外离时，有 2条外公切线和2条内公切线，共 4条；（2）
3、两圆外切时，有 2条外公切线和1 条内公切线，共 3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1 条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线.【题型归纳目录】题型一：判断圆与圆的位置关系题型二：求两圆的交点题型三：由圆的位置关系确定参数题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长题型五：圆的公切线条数题型六：圆的公切线方程题型七：圆系问题【典型例题】题型一：判断圆与圆的位置关系例 1.（2 0 2 2 广东汕头市潮阳区棉城中学高二期中）己知两圆分别为圆6：/+/=49和圆C2:x2+y2-6x-Sy+9=0,这两圆的位置关系是（）4.相离 B.相 交C.内切O.外切例 2.（2 0 2
4、 2 广西桂林模拟预测（文）圆G：Y+y 2-1 4 x =0 与圆C”（x-3）2+（y-4）2=1 5 的位置关系为（）A.相交 B.内切 C.外切 O.相离例 3.（2 0 2 2 江苏高二专题练习）己知直线/:如+y-m-l =0 与圆M:（x-2）2+（y-2）2=4 交于AB两个不同点，则当弦A B 最短时，圆M 与圆N:x 2 +（y-,”）2 =1 的位置关系是（）A.内切 B.相离 C.外切 D.相交例 4.（2 0 2 2 宁夏银川唐徐回民中学高一期中）已知圆G：x 2 +y 2-4 x-2 y-5 =0,圆C2:x2+j2+2 x-2 y-1 4 =0,则两圆的位置关系是
5、（）4 相离 B.相交 C.内含 D.相切例 5.（2 0 2 2 湖南岳阳高二期末）圆。1：*2 +丁=1 与圆O 2：Y+y J 6 x +8 y +m=0 外切，则实数加=例 6.（2 0 2 2 ,上海徐汇,高二期末）已知圆 C :（x-2）-+（y 2）=1 和圆 C2:x+（y m）=tn（m 0）内切，则m的值为.例 7.（2 0 2 2 全 国 高 三专题练习）已知圆G :/+y 2=4 与圆G：/+y 2-8 x +6 y +，=0 外切，此时直线/:+、=0 被圆6所截的弦长.【方法技巧与总结】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，
6、但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和 r,再根据“与 R+八 d与 R r 的大小关系来判定即可.题型二：求两圆的交点例 8.（2 02 2 江 苏 高二课时练习）若一个圆经过点M（2,-2）及圆Y +y2-6x=0 与圆V+y 2=4 的交点，求此圆的方程.例 9.（2 02 2 全国高二课时练习）求圆/+2-2 一 3 =0 与 圆/+/-4、+2 丫 +3 =0 的交点的坐标.例 1 0.（2 02 2 全 国 高 二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：C,:x2+r+2 x +2 y+
7、l =0,C2:x2+y2-6x+8y+9 =0.【方法技巧与总结】直接联立两圆方程求交点.题型三：由圆的位置关系确定参数例 1 1.（2 02 2 山东聊城二模）已知点P在圆。：X2+/=4 ,点A（-3,0）,B（0,4）,满足P的点P的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0例 1 2.（2 02 2 陕西西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理）在平面直角坐标系xO y中，圆C的方程为f+y2+8x+1 5 =0,若直线y=履上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则 的 取 值 范 围 是.例 1 3.（2 02 2 陕西渭南高二期末（文）已知圆 C j （x
8、3 y+（y+2）2 =l 与圆 C?：（x 7 y+（y 1）2=5 0-4,若圆G与圆G 有且仅有一个公共点，则实数。等 于（）A.1 4 B.3 4 C.1 4 或 45 D.3 4 或 1 4例 1 4.（2 02 2 陕西汉中高一期末）已知点P,Q分别为圆UV+y=l与 O:（x-7 +y 2=4 上一点，则1 尸。1 的最小值为（）A.4 B.5 C.7 D.1 09例 1 5.（2 02 2 全国高三专题练习）已知圆。：/+2=:，圆 加：（x-a）2 +（y-l）2 =l,若圆M 上存在点P,过点尸作圆0 的两条切线，切点分别为A,B,使得=则实数。的取值范围是（）A.-V i
9、5,V i5 B.-百，百 c.G,而 D.-V i5,-V 3 u iAV is j例 1 6.（2 02 2 全 国 高 三专题练习）在平面直角坐标系xQ y中，圆 C与圆O:f+y?=1 外切，且与直线x-/J y+4=0相切，则圆C的面积的最小值为（）7 1 7 1A.B.冗 C.-D.2 万49例 1 7.（2 02 2 全国模拟预测）已知点A 为圆C:f +y2 2 尤-2 y-2 =0 上一点，点M（2-3 帆,4 m），N（2 3 ,4）,m nf若对任意的点A，总存在点M ,N ,使得ZMAN 90,则何一”的取值范围为（）A.2,+o o）B.1,2 C.,+co D.0,
10、例 1 8.（2 02 2 广东南海中学高二阶段练习）已知圆C:。-4）2 +（y+3）2 =1 和两点4-0）、B（a90）（a 0）9若圆。上存在点P,使得N AP 8=9 0。，则。的最小值为（）4.I B.6 C.3 D.4题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长例 1 9.（2 02 2 天津河北二模）圆2-2 x-6y-l =0 和圆G：f+V-l 0 x T 2 y +45 =0 的公共弦的长为.例 2 0.（2 02 2 天津市新华中学高三阶段练习）若圆x?+y 2=4 与 圆/+丁+2 以+4 少-9=0 相交，且公共弦长为2&，贝 Ua=.例 2 1.（2 0 2 2 全国高二
11、专题练习）已知圆。:/+9=4与圆C:f +y 2-x +b y-3 =0 相交于A,B两点,则 sinZ A O8=.例 2 2.（2 0 2 2 广东肇庆高二期末）已知圆0:/+2=4,圆+/+g x+y-6 =0 相交于A,8 两点，则 ZAO 8=.例 2 3.（2 0 2 2 四川省宜宾市第三中学校高二期中（理）圆G：x 2 +y 2+4 x =0与圆C2：x 2 +y 2-2 x-2 y-2 =0交于A B 两点，则直线A 3的方程为.例 2 4.（2 0 2 2 江西赣州高二阶段练习（文）已知圆C1：（x+3 y+（y +2）2=4 与圆C?：（x-l）2+r=9f f l交于A
12、,8 两点，则直线A 8 的方程为.【方法技巧与总结】求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可.这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用.题型五：圆的公切线条数例 2 5.（2 0 2 2 河 南 范县第一中学高二阶段练习）已知圆Ci：x2+y2+2x-4y+1 =0,圆 C2：x2+y2-4 x+4 y-1 =0,则圆G 与圆C2 的公切线有一条.例 2 6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知直线/：x c
13、o s c r +）s i n a =l（O W e 2 万）与圆C:（x-2+（y-6=4相切，则满足条件的a的个数是一个.例 2 7.（2 0 2 2 全 国 高 二专题练习）已知圆O|：f+y 2=1 6 和圆。2：x2+y2-6mx-Smy+24m2=0 WK仅有4条公切线，则实数机的取值范围是（）A.（-,-1）J（1,+O O）B.（-1 1）C.（-o o,-2）=4,0）与单位圆恰有三条公切线，则实数a的 值 为（）A.百 B.2 C.2 夜 D.2 石例 3 1.（2 0 2 2 贵州黔东南高二期末（理）若 圆/+/=1与圆（犬-。）2+（丫-4）2=1 6 有 3条公切线，
14、则正数a=.例 3 2.（2 0 2 2 金 国 高 二）若点。（0,0）,知（3,4）到直线/的距离分别为1 和 4,则这样的直线/共有条.题型六：圆的公切线方程例 3 3.（2 0 2 2 全国高考真题）写出与圆f+丁=1 和*-3）2+（k4）2=1 6 都相切的一条直线的方程例 3 4.（2 0 2 2 广东广州高二期末）写出与圆V+y 2=i 和圆（x 4）2+（y +3）L 16都相切的一条切线方程例 3 5.（2 0 2 2 全国高三专题练习）圆月：/+丁4 x+2 y +l =0 与圆 B:x 2 +y 2 _ 6 x _ i 2 y +4 4 =0,则圆 A与圆B 的公切线方
15、程为.例 3 6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）如图，平面直角坐标系中，已知圆G和圆C2 均与直线/：y=kx及x轴相切，且 圆 和 圆 C?相切于点（4,2）,则两圆心的距离|G G|=例 3 7.（2 0 2 2 全国高二课时练习）己知圆弓：/+丁=1,圆c2:*-4）2 +2 =2 5 ,则 两 圆 公 切 线 的 方 程 为.例 3 8.（2 0 2 2 全国高三专题 练 习（文）已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过点尸且斜率为以人 0）的直线，与抛物线C 交于A,B 两点，设以A F,跖为直径的两圆的内公切线的方程为，若|AB|=5,则直线/的一般方程为.例 3 9.（2 0
16、2 2 全 国 高 二专题练习）若直线/与圆G：（x+i y +y 2 =l,圆C2:（x-1）?+y?=4都相切，切点分别为A、B,则|明=（）A.1 B.&C.陋 D.2 a题型七：圆系问题例 4 0.过 圆/+丫 2-2），-4 =0与V+y 2-4 x +2 y =0 的交点，且圆心在直线/：2 x+4 y-l =0 上的圆的方程是例 4 1.已知圆 G+y 2-2 x-3 =0 与圆 C2 ：x?+V-4 x +2 y +3 =0 相交于 A、B 两点.（1）求公共弦42所在直线方程；（2）求过两圆交点A、B,且过原点的圆的方程.例 4 2.已知圆C,:x 2+y 2+6 x-1 6
17、 =0 C：x 2+y 2-4 x-5 =0.求证：对任意不等于-1 的实数4 ,方程f+y 2+6 x 1 6 +兀1 2+V 一 4 x-5）=0 是通过两个已知圆交点的圆的方程.例 4 3.已知圆 G +4 x-4 y +4 =0 和圆 G：/+2+2x =0.（1）求证：两圆相交；（2）求过点（-2,3）,且过两圆交点的圆的方程.【方法技巧与总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线/1：A d+4 y +G=0 与直线4：4 x+B 2.y +C 2=0 相交于点P,则过点P 的
18、直线系方程为：4（A x +耳、+G）+4（A x +82y +G）=0（4 2+若 3 0）简记为：4 4+电=（#+#x）当4 H o 时，简记为：4+4 2=0 （不含4）（2）圆系方程：若圆G：f +y2+q x+g y +耳=0 与 圆&：/+尸+。2%+刍丫+巴=0 相交于A,8 两点，则过 A,B 两点的圆系方程为：x2+/+D,x+E,y+F,+A（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（2*-1）简记为：C,+2C2=0（-1）,不含 G当；l=-i 时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）/：（-A）x+（g-E 2）y+耳-玛=0注意：与圆C 共根轴/的圆系C/C +ZI/
19、MO【同步练习】一、单选题1.（2022 陕西渭南高一期末）已知圆。1：/+丫 2 =4,圆Q:/+y 2-2 x-2 y-4 =0,则同时与圆01和圆。2相切的直线有（）A.4 条 B.2 条 C.1 条O.0 条2.（2022 上海中学东校高二期末）已知圆：丁+产2奴=8截直线/:x-y =O所 得 的 弦 长为衣.则圆M 与圆+（y-iy=4 的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.（2022 全国高三专题练习）已知圆例的半径为3，且圆M 与圆C：（x-1丫 +2=1和 y 轴都相切，则这样的圆有（A.2 个 8.3 个 C.4 个 D 5 个4.（2022 河 南 二
20、 模（文）已知圆+y2 一日+2y=o 与圆c”f +y2+-2=0 的公共弦所在直线恒过点P,则点P 的坐标为（）A.（1,-1）B.（-1,-1）C.（T 1）D.（1,1）5.（2022 陕西铜川阳光中学高一期末）己知圆G：（x-）2+（y-b）2=4（,匕为常数）与C2:x2+y2-2 x =0.若圆心G 与圆心C2关于直线Xy=0对称，则圆G 与C2的位置关系是（）A.内含 B.相交 C.内切 D.相离6.（2022 湖南长沙一中高三阶段练习）若圆C1：（x-l）2+/=r2（r 0）上存在点P,且点尸关于丫轴的对称点。在圆C2：（x+2 y+（y2）2=l上，则,的取值范围是（）A
21、.石-+B.（石-1,6 C.-1,行|D.(l,l7.（2022 全国高二专题练习）若圆C：/+y 2-6 x-6 y-m=0 上有到（1,0）的距离为1 的点，则实数相的取值范围为（）A.1 8,6 B.2,6 C.-2,1 8 D.4,1 8 8.（2022 全国高三专题练习）若8分别为圆G：（x+6）2+（y-5）2=4 与圆C 2：（x-2 +（y-M=l 上的动点，P 为直线x+y +5 =0 上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A.4 石一3 B.6 C.9 O.1 2 二、多选题9.（2022 全 国 高 二专题练习）已知 beR,圆 g :（x 2+（y=1 6 ,C
22、2:x2+y2=4,则（）A.当人=1 时，两圆相交 B.两圆可能外离c.两圆可能内含 D.圆G 可能平分圆G的周长1 0.（2022 全 国 高 二）点 P 在圆 G：x?+y 2=i 上，点。在圆 G：（x-3）2+（y +4 =1 6 上，则（）4A.两个圆心所在的直线斜率为B.两个圆相交弦所在直线的方程为3x-4 y-5 =0C.两圆公切线有两条D.|PQ|的最小值为01 1.（2022 黑龙江哈九中高二期末）以下四个命题正确的有（）4 直线x-2y +3=0 关于原点对称的直线方程为x +2y-3=0B.曲线6；/+丫 2 +2=0 与曲线G：x 2+y 2-4 x-8 y +%=0
23、 恰有三条公切线，贝 肌=4C.圆V +y 2=4 上有且仅有3个点到直线/：X-丫 +点=0 的距离都等于1D.经过点（1,1）且在x 轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+-2=01 2.（2022 福建厦门高二期末）已知动圆。:。-8$。）2+（丫-4 1 1 02=1,a e 0,2T T）,则（）A.圆 C与 圆/+丁=4 相切B.圆 C与直线x s i n a +y c o s a-1 =0 相切C.圆C上一点M满 足 商=（0,1），则M的轨迹的长度为4兀D.当圆C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1三、填空题13.（2022哈国高三专题练习（文）当圆C:x
24、2+y2-4x+2Ay+2Z=0的面积最小时，圆C与圆。:公+丁=1的位置关系是.14.（2022 全国高二专题练习）己知圆 G：x2+y2+2x+3y+=0,圆 C?：%2+/+4x+3y+2=0,则圆C1与圆C2的 位 置 关 系 是.15.（2022 安徽高二阶段练习）已知圆G:/+（。）2=9与圆G ：&-。）2 +产=1有一条公共切线，则实数a的值是.16.（2022 天津南开中学模拟预测）已知圆G：（x-I）?+-2）2 =4和圆G ：（x-2+（-=2交于A B两点，直线/与直线A 8平行，且与圆G相切，与圆G交于点M,N,则|MN|=.四、解答题17.（2022 云南会泽县实验
25、高级中学校高二开学考试）已知圆C:x2-6x+y2-6y+3=0,直线/:x+y-2 =0是圆E与圆C的公共弦A B所在直线方程，且圆E的圆心在直线y=2x上.（1）求公共弦A 8的长度；（2）求圆E的方程.18.（2022 四川巴中高二期末（文）已知圆G:f +y2+2x+4 y-3 =0,U C2:x2+/-4 x-2 y-9 =0,（1）求圆心C到直线x-y-4 =0的距离；（2）判断圆G与圆G的位置关系.19.（2022 全国,高二课时练习）已知a 0,且圆C|：x+y-2ax 2y+-15=0,圆C2:x2+y2-4（lx-2y+4a2=0.分别求这两圆外离、外切、相交、内切、内含时
26、，实数。的取值范围.20.（2022 全国高二专题练习）已知圆 J：/+丁=0与圆 G：x2+y2+2x+2y-4=0.（1）求证：圆G与圆G相交；（2）求两圆公共弦所在直线的方程；（3）求经过两圆交点，且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.2 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知在平面直角坐标系x Q y 中，点A（）,3）,直线/:y =2 x-4.设圆C的半径为1,圆心在直线/上.（1）若圆心C也在直线y =x-上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上 存 在 点 使|M A|=2|M O|,求圆心C的横坐标。的取值范围.2 2.（2 0 2 2 全国高二课时练习）
27、若圆G :x 2 +y 2=m 与圆C 2：x 2 +y 2-6 x-8y +1 6 =0 相外切.（1 ）求“2 的值；（2）若圆G与 x轴的正半轴交于点A,与 y轴的正半轴交于点8,尸为第三象限内一点且在圆C 1 上，直 线 以 与 y轴交于点M,直线P B 与 x 轴交于点N,求证：四边形A8 MW的面积为定值.2.3圆与圆的位置关系【知识点梳理】知识点一：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点;(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解
28、时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：设。的半径为4，。2的半径为弓，两圆的圆心距为d.当k 臼 “%+2 时，两圆相交;当 4+弓=1 时，两圆外切；当彳+弓 d时，两圆外离；当卜一弓|=d 时，两圆内切；当 一 目 dn寸，两圆内含.知识点诠释:判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦
29、长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长.方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长.4.两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.（1）两圆外离时，有 2条外公切线和2条内公切线，共 4条；（2）两圆外切时，有 2条外公切线和1 条内公切线，共 3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1 条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线.【题型归纳目录】题型一：判断圆与圆的位置关系题型二：求两圆的交点题型三：由圆的位置关系确定参数题型四：求两圆的公共弦方程、
30、公共弦长题型五：圆的公切线条数题型六：圆的公切线方程题型七：圆系问题【典型例题】题型一：判断圆与圆的位置关系例 1.（2 0 2 2 广东汕头市潮阳区棉城中学高二期中）己知两圆分别为圆6：/+/=49和圆C2:x2+/-6 x-8.y +9 =0,这两圆的位置关系是（）4.相离 B.相 交C.内切O.外切【答案】B【解析】由题意得，圆G 圆心（。，0），半径为7；H C2:（-3）2+（J-4）2=1 6,圆心（3,4）,半径为4,两圆心之间的距离为由=5，因为7-4 57+4,故这两圆的位置关系是相交.故选：B.例 2.（2 0 2 2 广西桂林模拟预测（文）圆G：Y+y 2 _i4 x =
31、0 与圆。2：。-3 尸+（丫-4）2为（）A.相交 B.内切 C.外切 D.相离【答案】A【解析】由 G：Y+y 2-1 4 x =0 与圆。2：（工-3）2+（），-4）2=1 5,可得圆心G（7,0），G（3,4）,半径4 =7,%=而，则|C|=J（7 _3）2 +（0 _4）2 =4 应,且 与 一 4=7-后,&+N =7 +7 1 5,所以 鸟-4|G G k4+4，所以两圆相交.故 选:4.例 3.（2 0 2 2 江苏高二专题练习）已知直线/：/加+）机-1=0 与圆M:（x-2 尸+（），-2）2不同点，则当弦AB最短时，圆M 与圆N:f +（y-%）2 =i的位置关系是（
32、）4.内切 B.相离 C.外切 D.相交【答案】D【解析】易知直线/:皿+y-1 =0 过定点尸（1,1）,弦 A 8最短时直线/垂直P M,又怎M=14=1，所以1（一 。=一 1,解得初=1,2 1此时圆N的方程是f +（y-l）2 =4.两圆圆心之间的距离M N =J（2-O f+（2-1-=，乂2-1 石 0=m /F才=2 斤?=衣故答案为：V 3 4【方法技巧与总结】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R 和 r,
33、再根据d与 R+八 d与夫一厂的大小关系来判定即可.题型二：求两圆的交点例 8.（2 0 2 2 江苏高二课时练习）若一个圆经过点用（2,2）及圆x2 +y2-6 x=0 与圆*2 +丁=4的交点,求此圆的方程.【解析】联立V +y2-6 x=0 与/+/=4,解得：2X-34及或，2x=3附，即两圆交点坐标为与4 +4 +2 0 2 七+尸=0/25设圆的方程为：x2+y2+Dx+E y+F =0,将点坐标代入得：(j：4-l)2+(y+l)2=1,所以圆心为 G(-1,一 1),半径为=1；C2:x2+y2-6x+8y+9=0=(x-3)2+(y+4)2=1 6,所以圆心为G(3，-4)，
34、半径为4=4；所以两圆心间的距离为|GC2|=J(-l-3)2+(_ l+4)2 =5,旦4+4=5,因 止 匕|G G|i+。故两圆相外切;1x2+y2+2x+2y+l0%2+/-6%+8+9 =0*、【方法技巧与总结】直接联立两圆方程求交点.题型三：由圆的位置关系确定参数例 11.(2022 山 东聊城二 模)已知点尸在圆O：/+丫 2=4 上，点4_3,0),8(0,4),满足AP_L3P的点户的个数为()A.3 B.2 C.I D.0【答案】B【解析】设点P(x,y),则V+y2=4,且Q =(x+3,y),而=(x,y-4),由 AP_L8P，得AP-BP=x(x+3)+y(y-4)
35、=+V+3x-4y=0,即(+会 2+(丫-2)2=总，3 5故点P 的轨迹为一个圆心为(-,2)、半径为5 的圆，则两圆的圆心距为：5，半径和为5：+2=三9，半径芥为5三-2=1 ：,有1;5：9；,所以两圆相交，满足这样的2 2 2 2 2 2 2 2点 P 有 2 个.故选：B.例 12.(2022 陕西西安铁一中滨河高级中学高三阶段 练 习(理)在平面直角坐标系xOy中，圆C 的方程为尤2 +V +8X+15=0,若直线y=履上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的 取 值 范 围 是.【答案】-&k&B,3 3【解析】由d+y2+8 x+1 5 =
36、0 可得（工+4）2 +/=1,因此圆C的圆心为C（T,O）,半径为1,若宜线 =依上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点,14k I只需点。（一4,。）到直线y=kx的距离d=-U +（y+2）2 =l 与圆 C?：（x-7 y+（y-l）2=5 0-a,若圆G与圆C?有且仅有一个公共点，则实数a等 于（）A.1 4 B.3 4 C.1 4 或 4 5 D.3 4 或 1 4【答案】D【解析】圆6 （x-3 y+（y +2）2=l 的圆心为（3,-2）/=1,圆C?：（工 一 7）2+（丫-1）2=5 0-4 的圆心为6（7,1），1=，5 0 4 ,|C|=J（3-
37、7），（-2-l）2=5,因为圆C 1 与圆G有且仅有个公共点，故圆C 1 与圆C?相内切或外切，故|1-引=5 或 4 +1 =5,从而与=6 或 4 =4,所以 v =j 5 0 a=6 或？；=J 5 0 a=4 ,解得：a=3 4 或。=1 4所以实数。等于3 4 或 1 4 故选：D例 1 4.（2 02 2 陕西汉中高一期末）已知点P,。分别为圆C:Y +y 2 =l 与。:（X-7）2 +V=4 上一点，则I P Q I 的最小值为（）A.4 B.5 C.1 D.1 0【答案】4【解析】圆C 的圆心坐标为（0,0）,半径4 为 1 ；圆D的圆心坐标为（7,0）,半径5为 2；所以
38、两圆的圆心距1=7-0=74+5，两圆外离，所以1阳 喻=7十0=4,故选：A.o例 15.（2022 全国高三专题练习）已知圆O:f +y2=圆 加：（工 一。）2+（）2 =i,若圆M 上存在点4P,过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A,B,使得乙4尸 8=三，则实数a 的取值范围是（）A.-715,715 B.-73,73 C.G,岳 J D.-岳,-6 U l6,厉【答案】D【解析】由题可知圆。的半径为：，圆 M 上存在点尸，过点P 作 圆 0 的两条切线，切点分别为A,B,使得NAP3=60。，则NAPO=30。，在 RtAPAO中，|P=3,所 以 点P在圆一+9=9 上，由于
39、点P也 在 圆M上，故两圆有公共点.乂 圆M的半径等于1,圆心坐标.-3-l|O M|3+l,2 Ja2+.,.ae-底-U小 炳.故选：D.例 16.（2022 全 国 高 三专题练习）在平面直角坐标系xQy中，圆 C 与圆O:f+y 2=i外切，且与直线x-5/Jy+4=0相切，则圆C 的面积的最小值为（）T C T CA.B.冗 C.-D.2449【答案】A|4|【解析】由题可知，（0,0）到直线x-百 y+4=0的距离为/,6、2=2,又因为圆C 与圆。外切，所以圆C 的直径的最小值为2-1 =1,所以圆C 的面积的最小值为万.（；）=（.故选：A.例 17.（2022 全国模拟预测）
40、已知点A为圆。：工 2 +）,2一 2尢 一 2）,-2 =0上一点，点加（一 2-3 帆,4。，N（-2-3,4）,m nf若对任意的点A，总存在点M ,N ,使得Z M A N 90,则加-叶的取值范围为（）4.2,物）B.1,2 C.|，+8）D.。,|【答案】A【解析】由题可得点 ，N 在直线/：4x+3y+8=0 上，圆C 的方程为（x-l）2+（），l）2=4,则圆心C（l,l）到直线/：4尤+3y+8=O的距离d=竽 胃 1 =3,所以圆C 上的点到直线/的距离的范围为1,5.因为对任意的点A,总存在点M,N,使得ZM 4N290。，所以以MV为直径的圆包含圆C,故所以1 例/V
41、 1 =2-3n?+2+3）-+（4,-4 ）-=5|m n|10 得|W 2,故 选:A.例 18.（2022 广东南海中学高二阶段练习）已知圆C:（x-4 +（y+3）2=l 和两点A（-a,0）、8（“,0）（“0）,若圆C 上存在点P,使得NAP3=90。，则。的最小值为（）A.1 B.6 C.3 D.4【答案】。【解析】由NAPB=90。得点尸在圆V+丁=M 匕所以，点P 在圆x2+V=/上，又在圆c 上，所以，两圆有交点，因为圆/+：/=/的圆心为原点。，半径为。，圆C 的圆心为（4,一 3）,半径为1.所以，I。一 1 区 O C a+,Hp|tz-l|5 4 a/?彳，解得。=
42、士 巫.4故答案为：士 画.4例 2 1.（2 02 2 全国高二专题练习）己知圆O:V +y 2 =4 与圆C:/+丁 7 +&）,_ 3 =0 相交于4,B两点，则 s i n 4 4 03=.【答案】姮8【解析】因为圆O：/+y 2=4 与圆C:V +y 2-x +百 y-3 =o 相交于A,B两点,所以直线A 8的方程为：（丁+/-4）-#+9-+石 尸 3）=0,即x-0 y-l =0,所以圆心。（0,0）到弦A 8的距离为d=；,所以弦|AB|=2-1=7 1 5 ,.4+4 15 7所以在AAO3中，|。4|=|。同=2,由余弦定理得cosNAO8=：+：=-3所以 sin ZA
43、OB=-J c o s2 ZAOB=故答案为：叵【答案】120【解析】两圆方程相减得直线A 8的方程为G x+y-2=0,由)一：得出玉=0,x,=J ,即厂+/=44(0,2),B(g,-1),OA=2,。8=43+=2,AB=73+9=2&,cosZAOB=?,则 ZAOB=120.故答案为：120。例 23.(2022 四川省宜宾市第三中学校高二期中(理)圆G：f +y2+4x=0 与圆Cz：x2+y 2-2 x-2 y-2 =0交于A 8 两点，则直线4 3 的方程为.【答案】3x+y+l=0【解析】两圆方程作差可得：6x+2y+2=0,即3x+y+l=。，.1直线A 8的方程为：3x
44、+y+l=0.故答案为：3x+y+l=0.例 24.(2022 江西赣州高二阶段练习(文)已知圆C1：(x+3+(y+2)2=4 与圆C?：(x-l)2+y2=9ffl交于A,B两点，则直线A 8的方程为.【答案】8x+4y+17=0【解析】由圆圆 C1：(x+3)2+(y+2)2=4 nJMx2+/+6%+43+9=0,由圆 C2：(x-l Y +y 2=9 可得/+丫 2 2%-8 =0,联立两个圆的方程上:+?+?：9=,可得：8 x+4 y+1 7=0.x-+y -2 x-8 =0即直线4?的方程为8 x+4 y +1 7 =0,故答案为：8 x+4 y +1 7 =0.【方法技巧与总
45、结】求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可.这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用.题型五：圆的公切线条数例 2 5.(2 0 2 2 河 南 范县第一中学高二阶段练 习)已知圆 Ci：x1+y1+2x-y+1=0,圆 C v.x2+)2-4x+4y-1=0,则圆Ci 与圆C2 的公切线有一条.【答案】3【解析】Ci：(x+1)2+(y-2)2=4,C i：0 2)2+(y+2)2=9,|GC2=(-1-2)2+
46、2-(-2)=5 =r,+r2,两圆外切，故有3条公切线.故答案为：3.例 2 6.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)已知直线/：*o s a +Ai n c =l(0 4 a 2 句与圆C:(x-2)2+(y-6=4相切，则满足条件的。的个数是一 个.【答案】3【解析】由已知直线2：x c o s a +y s i n a =l(0,a wc-8 my+2 4 m2=0 WK仅有4条公切线，则实数m的取值范围是()A.(-o o,-l)=(1,+o o)B.(-U)C.2)=(3,”)D.(-2,3)【答案】A【解析】圆。I：/+=1 6 的圆心 0 1 0,0),半径 4=4,圆。？：
47、x2+y2-6mx-Smy+24m2=O KIS1,L O-,(3/7 7,4/7 2),半径 4 =|w i|根据题意可得，圆0 1、R 相 离,则|GQ|+即5 网 4+1 叫.加？(?,1)U(L+?)故选：A.例 2 8.(2 0 2 2 全国高三专题练习)在平面直角坐标系x Qy 中，圆G：/+/+2苫-6 丫 +6 =0与圆C?：x2+y2-4x+2y+4=0,则两圆的公切线的条数是()A.4 条 B.3 条 C.2 条.1 条【答案】A【解析】圆 G ：(x+l)2 +(y-3 =4 的圆心G(T，3),半径 4 =2 ,圆 C2 ：(x-2)2 +(y +l =1 的圆心。式2
48、,-1),半径=1,|C,C,|=7(-1-2)2+3-(-1)2=5 .显然 ICC+4，即圆 G 与圆G 外离，所以两圆的公切线的条数是4.故选：A例 2 9.(2 0 2 2 贵州黔东南高二期末(文)若 圆/+/=1与圆(%a y+(y-4)2 =6 有 3 条公切线，则正数”()A.-3 B.3 C.5 D.3 或一3【答案】B【解析】由题可知两圆外切，乂圆f+y 2=l 的圆心为(0,0),半径为1,圆(x-4+(y-4=1 6 的圆心为（a,4）,半径为4,:.lcr+42=5，a =3,又。0,a=3.故选：B.例 3 0.（2 0 2 2 全国高三专题练习）若圆（x-a y+（
49、y-l）2=4（a 0）与单位圆恰有三条公切线，则实数a的 值 为（）A.丛 B.2 C.242 D.2 6【答案】C【解析】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切线），因此圆心距 a2+12=2 +1 ,结合 a 0 a=2-2 -故选：C.例 3 1.（2 0 2 2 贵州黔东南高二期末（理）若圆/+丁=1 与圆（*-4）2+（丫_ 4）2 =1 6 有 3条公切线，贝 1J正数a=.【答案】3【解析】两圆有三条公切线，则两圆外切，它 不=5，。=3,又。0，。=3 故答案为：3例 3 2.（2 0 2 2 金 国 福 二）若点。（0,0）,必（3,4）到直
50、线/的距离分别为1 和 4,则这样的直线/共有条.【答案】3【解析】以。为圆心，1 为半彳仝长的圆。方程为r+丁=1 ,以M 为圆心，4为半径的圆M方程为（x 3）2 +（y-4）2 =1 6 ,两圆的圆心距|。M=屈 正=5 =1+4,所以两圆相外切，有三条公切线.所以满足条件的直线,共有3条.故答案为：3.题型六：圆的公切线方程例 3 3.(20 22 全 国 高考真题)写出与圆V+y 2=l和(x-3)2+(y-4)2=1 6 都相切的一条直线的方程【解析】圆Y+y 2=i的圆心为。(0,0),半径为1,圆(-3)2+(丫-4)2=1 6 的圆心0 1 为(3,4),半径为4,两圆圆心距