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1、2021-2022学年福建省福州市八县（市）高 二（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.如图，已知全集U =R,集合4=口,2,3,4,5,B=x|（x +l）Q-2）c b B.c b a C.a b c D.c a b5.设a,b E R,则使a 6成立的一个必要不充分条件为（）A.Ina Inb B.2a 2bC.a b 1D.a b+16.举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往4、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学
2、不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（）A.216 B.180 C.108 D.727.已知函数/（x）=1%；：g ；，若函数9。）=f（x）+%7n恰有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A.0,1 B.（-1,1）C.0,1）D.（-c o,18.在乒乓球的一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先得2分的一方为胜方.甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一个回合的比赛中，甲得1分的概率为|,现在决胜局比赛中，甲、乙的比分暂时为9：9,则最终甲以13：11赢得比赛的概率为()A 里243 R 22413 C 丝729 n-27219二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9.下
3、列说法正确的是()A.在回归直线方程y =_ 0,85x +2.3中，y 与具有负线性相关关系B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大C.已知随机变量X 服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=2 0,则p =|D.随机变量X 服从正态分布N(4,l),若P(X 5)=0.2,则P(3 X 0,b 0,且a +b =l,贝 l ()A.a b 2 V2 D.+54 2-a b1 1 .甲箱中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙箱中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分 别 以 4 和公表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事
4、件；再从乙箱中随机取出一球，以5 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则()A.事件B 与事件&相互独立 B.P(4|8)=：C.P(4 2 B)=盘 D.P(B)=/1 2 .定义在 R 上的偶函数/(x)满足/(I +2%)=/(3 -2%),当 x G 0,2 时，f(x)=2-x,设函数g(x)=e-lx-2l(2 x 6),则()A.函数/(x)图像关于直线x =2 对称B.函 数 的 周 期 为 6C./(2 0 2 3)+f (2 0 2 2)=-1D.f(x)和g(x)的图像所有交点横坐标之和等于8三、填空题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)1 3 .已知函数则()的值是.1
5、4 .函数丫=1。82 0 2 2(%-1)+4 的图像恒过定点，点 在基函数,=/。：)的图像上，则 2)=-第 2 页，共 16页15.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在南宋时期数学家杨辉1261年 所 著 的 详解九章算法J)一书中出现这一规律，而欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如下图，在由二项式系数所构 成 的“杨辉三角”中，第11行中从左至右第5与第6个 数 的 比 值 为.11 11 2 113 3 11 4 6 4 1第 5 行 1 5 10 10 5
6、 1行行行行行01234第第第第第16.已知变量y关于的回归方程为y=ebo-5,若对y=於尸。两边取自然对数，可以发现Zny与x线性相关.现有一组数据如表所示，当工=5 时，预测y值为.X1234yee3e4e6四、解答题(本大题共6小题，共70.()分)17.已知集合4=x|y=ln(2-尤)+,B=xa x 0恒成立，求实数?n的取值范围.20.巡路交通安全法实施条例/第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了 100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人
7、，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人.(1)完成下面的2 x 2列联表，并由表中数据，依据小概率值a=0.01的独立性检验,能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？开车时使用手机 开车时不使用手机 合计男性司机人数女性司机人数合计(2)采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时使用手机的女性司机人数，求X 的分布列和数学期望.参考数据:P(JC2 卜)0.150.100.05 0.025 0.010 0.0050.001k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87
8、910.828参考公式：/2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n(ad-bc)2,其中n=a+b+c+d.21.“东方味王”餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一套新产品.该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废.公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的日销量(单位：百份)，假设该新产品每日销量相互独立，得到右侧的柱状图：(1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为其单位：百份),求f 的分布列和数学期望；(2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份、28百份两种方
9、案中应选择哪种？第 4 页，共 16页天数2 2.近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了.相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神.为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了.经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到.为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：假设每名同学在专注度监测中出现走
10、神情况的概率均相等；约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分.请回答如下两个问题：(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为4(比如：匕表示累计得分为1分的概率，2表示累计得分为2的概率，几6 N*),试探求：(l)P n+i-2 的通项公式；(II)匕 的通项公式.答案和解析1 .【答案】D【解析】解：由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为A n QB，:A=1,2,3,4,5 ,B=x|(x +l)(x -2)0 =x|-l x 0 时
11、，y=l o g 3 X为增函数，满足条件C.当x0时，f(x)为减函数，不满足条件.。当x0时，y =/+l 为减函数，不满足条件.故选：B.分别判断函数的奇偶性和单调性即可.本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数的性质进行判断是解决本题的关键,是基础题.4.【答案】A【解析】解：-a =1.50 2 1,b=l o g081.2 c b.故选：A.根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小.本题考查三个数的大小的判断，考查幕函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.【答案】C【解析】解：当a b 时，bia bib不一定成立，因为a,b有可能为负
12、数，2不是必要条件，2a 2b成立，B是必要条件，a b-l 成立，C是必要条件，a b+1不一定成立，。不是必要条件，反之，在C中，当a b-l 成立时，a b不一定成立，比如2.9 3-1 成立，但2.9 3 不成立，即C不是充分条件，满足条件.若2a 2 成立，贝|a b 成立，即B是充分条件，贝情是充要条件，故选：C.根据必要不充分条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.6.【答案】A【解析】解；由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往4、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆
13、至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法鬣 川=240种，其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为北=24,故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为240-2 4 =216.故选：A.根据题意分析，利用间接法求解即可.本题考查排列组合及其简单计数问题，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：g(x)=/(x)+%-m恰有两个不同的零点，二方程g(x)=/(x)+x -m =0有两个不同的实根，即方程/(X)=-X+7 7 1有两个不同的实根，y-/(x)与y =-x+m有两个交点，在平面直角坐标系在作出y =/(x)的图象，再平移直线y =-x+m,观察y =/(x)与y =-x
14、 +m有两个交点时，故选：D.得m e (-o o,1 ,将函数的零点个数转化成方程根的个数，再将方程根的个数转化成两图象交点的个数,再数形结合即可求解.本题考查函数的零点与方程的根的关系，方程的根个数与图象交点个数相互转化，化归转化思想，数形结合思想，属基础题.8.【答案】C【解析】解：由题意可得，甲、乙的比分暂时为9：9,其后比分为1 0：1 0,1 1：1 1,1 3：1 1,则甲、乙的比分9：9后，甲乙又进行了6场比赛，每场比赛结果相互独立，前2场甲一胜一负，中间2场甲一胜一负，最后2场甲连胜，故最终甲以1 3：1 1赢得比赛的概率为 x；x|xx；x|x|x；=M.故选：C.甲、乙的
15、比分9：9后，甲乙又进行了6场比赛，每场比赛结果相互独立，前2场甲一胜一负，中间2场甲一胜一负，最后2场甲连胜，再结合相互独立事件的概率公式，即可求解.本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题.9.【答案】ABD【解析】解：对于4：由于回归直线方程y =_ o,8 5 x +2.3中，直线的斜率卜=0.8 5,所以y与x具有负线性相关关系，故A正确；对于B：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大，故B正确；第 8 页，共 16页对于C：已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,所以p：30,解 得 也 故C错误；lnp(l p)=20 3对
16、于D：随机变量X服从正态分布N(4,l),若P(X2 5)=0.2,P(x3)=0.2,则P(3 X 5)=0.6,故。正确.故选：ABD.直接利用回归直线的线性相关正相关和负相关的定义，相关性的强弱的应用判断4和B的结论，利用二项分布的应用建立均值和方差的关系式求出结果判定C的结论，利用正态分布的概念求出P(3 X 0,b 0,1=a+b 2Vaft ab 2ab,2(a2+b2)(a+b)2=1,a2+b2 当且仅当a=b=1时取等号，.B错误,C,2a+2b 2V2a-2b=2V2a+d=2 V 2.当且仅当a=b=：时取等号，正确，D,.竺+:=竺+三+122+1=5,当且仅当a=g
17、时取等号，.力 正确，a b a b 3 3故选：ACD.由基本不等式判断A C D,由重要不等式判断B.本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，属于中档题.11.【答案】BD【解析】解：由题意得P(4)=：,P(A2)=l，。(甸=/，先A1发 生,此时乙袋中有5个红球，3个白球和3个黑球，则P(B|七)=V，先4发生，此时乙袋中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P(BM2)=V，先&发生，此时乙袋中有4个球，3个白球和4个黑球，贝k(8|&)=1.P(A2B)=P(BIA2)P(A2)=故C错误;P(B)=P(B|4 i)P Q 4 i)+P(B/2)P(4 2)+
18、P(B|4 3)P(4)=5，故。正确；尸 出)=曙=普臀=举=?故3 正确；v 11 7 P(B)P(B)9P G 4 3B)=P(B M 3)P(4 3)=蔡，P(4 3)P(B)H P(4 B)，故 4 错误：故选：BD.由题设求出P(4)，P(B|4)，(i =1,2,3),利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可.本题考查命题真假的判断，考查条件概率、全概率公式、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 2.【答案】AD【解析】解：由/(*)定义域为R,f(l +2 x)=/(3-2 乃可得f(l +x)=f(3%),f(l +x +1)=/(3 x 1),即f(
19、2 +x)=f(2 x),则函数/Q)图象关于直线x =2 对称，A正确；由f(2 +x)=f(2-x)以及f(x)为偶函数可得f(2 +x)=f(2 -x)=f(x-2),则/(x +4)=/(x),即 函 数 的 周 期 为 4,8错误；由周期性知,f (2 0 2 3)+/(2 0 2 2)=/(2 0 2 0 +3)+/(2 0 2 0 +2)=/(3)+/(2),又/(2 +1)=/(2-1),即 3)=f(1)=1,则f(2 0 2 3)+,(2 0 2 2)=1 +0 =1,C错误；函数g(x)的定义域为(2,6),g(2+x)=e2+x2=exi=g(2 -x)=e2x2=ex
20、,可得函数g(x)图象关于直线x =2 对称，分别画出/(x)和g(x)的图象如图所示：由图可得f(x)和g(x)的图象有四个交点，且关于直线x =2 对称，则所有交点横坐标之第1 0页，共1 6页和等于2 x 2 +2 x 2 =8,0正确.故选：AD.由题设得/(2 +x)=/(2 -乃即可判断4选项；由 对 称 性 结 合 奇 偶 性 得+4)=/(%)即可判断B选项；利用周期性及解析式求出函数值即可判断C选项；先求得函数g(x)图象关于直线x =2对称，画出/(x)和g(x)的图象得到有四个交点，且关于直线x =2对称,即可判断D选项.本题考查函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题
21、.1 3.【答案】1【解析】解：根据题意，函数则 出)=t，/(/(!)=r(-i)=i-|=p故答案为：p根据题意，由函数的解析式计算可得答案.本题考查函数值的计算，注意函数解析式的形式，属于基础题.1 4.【答案】4【解析】解：当 1 =1时，则x =2,y =4,P(2,4),设f(x)=%。,代入P(2,4)得2 a =4,a=2,/(x)=x2,二 f (2)=4,故答案为：4.利用对数函数的图象和性质求出P(2,4),再设出幕函数解析式，求解即可.本题考查对数函数的图象和性质，幕函数解析式的求法，属于基础题.1 5.【答案【解析】解：由题意知第1 0行的数就是二项式(a+b)i i
22、的展开式中各项的二项式系数,故第1 1行第5个 数 为 第1 1行第6个数为C*,可得第1 1行中从左至右第5与第6个数的比值为小=C11 7故答案为：由题意知第11行的数就是二项式(a+b p】的展开式中各项的二项式系数，可得第11行第5个数为C f,第11行第6个数为C&,即可求解.本题主要考查归纳定理的应用，以及二项式系数展开式系数，属于基础题.16.【答案】e75【解析】解：-y=hiy=bx-0.5,令 z=Iny=bx 0.5,列表格如下，故工=1+2+3+4=2 5,-=1+3+4+6=3 5)4 4X1234z=Iny1346故 3.5=2.56-0.5,故 b=I，故当x=5
23、时，z=Iny=x 5 0.5=7.5,故 y-e7-5,故答案为：e7-5.z=y =b x-0.5,化为线性相关，结合回归直线过样本点的中心求b,再预测即可.本题考查非线性回归与线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点.属于中档题.17.【答案】解：.l x 2,.4=x|-l x 2 ,若Q=1,则8=x|l%3,4 U B=x 1%2a+1,A a 1,a 2a 4-1若B 中 0,则 a 2 1,-1 a p,2a+1 +1 =以(2/)8-r(一表)r =Cr.2s-i yX1 6T,r =0,1,，8,令 1 6 则r =0
24、,3,6,所以展开式的有理项为 7 =28x1 6=2 5 6 x1 6,T4=Cl-25(-1)3X9=-1 7 9 2 x9,T7=Cg-22(-l)6x2=1 1 2 .【解析】(1)选择：根据组合数的运算性质即可求出n 的值，选择：根据二项式系数的性质以及已知即可求出r i 的值，选择：根据二项式系数和公式即可求出n 的值，再令x =l,即可求出各项的系数和；(2)求出展开式的通项公式，令 的指数为整数，由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到有理项的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.1 9 .【答案】解：(1)y =/Q)是定义在R 上的奇函数，当x 0 时,/(x
25、)=3,+a(a e R)./(0)=3 +a =l +a =0,得a=-1,即 x 0 时，/(x)=3X 1,若x 0,W J/(-x)=3-x-l =-f(x),即f(x)=-3 r +L(%0),财。)=匕二3 0 时，f(x)=3X-1 为增函数，当 x 0 得/-x)-/(4 -m x)=f(mx-4),即/x m x 4,即/(1 +m)x)+4 0 恒成立，即判别式/=(1 +m)2 -1 6 0,得(m +I)2 1 6,得一 4 m +1 4,得 5 m 6 6 3 5,所以依据小概率值a =0.0 1的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关.(2)采用分层抽样从开
26、车时使用手机的人中抽取8人,其中的男性司机人数为：8 x2515+25=5人；女性司机人数为：8 x1515+25=3人.由题意可知：X的所有可能取值为0,1,2,3,因为P(X=O)W/；p(x =i)=警 若;P(X =2)=萼=最 p(x =3)=口=表.则X的分布列为:X0 12 3P51 5 1 512 8 2 8 5 6 5 6则 E(X)=0 xlx+2 x 邕+3 X 专 号【解析】(1)先完成列联表，计算出公，再与6.63 5进行大小比较，进而得到开车时使用手机与司机的性别是否有关;(2)先求得随机变量X的所有可能取值及其相对应的概率，进而得到X的分布列，再利用随机变量期望公
27、式即可求得X的数学期望.本题考查独立性检验与离散型随机变量的分布列与期望，是中档题.第 14页，共 16页2 1.【答案】解：(1)根据题意可得，f的所有可能取值为2 4,2 5,2 6,2 7,2 8,2 9,3 0.=2 4)=-X -=,P(f=2 5)=工 x 三 x 2 =三，7 10 10 100)10 10 50=2 6)=x -x 2 +x =,=2 7)=x -x 2 +x x 2 =,7 10 5 10 10 100 7 10 5 10 10 25=2 8)=x i x 2 +|x|=,P(f=2 9)=|x i x 2=,P(f =3 0)=|x i =,f的分布列如下:
28、2 42 52 62 72 82 93 0p131 777411 0 0501 0 02 52 52 52 5E(f)=2 4 x 击+25 X 26 X 系+2 7 X +2 8 X 寮 2 9 X /+30X=2 7 4(2)当每两天生产配送2 7 百份时，利润为：1 Q 17(2 4 x 2 0 -3 0 x 60)x +(2 5 x 2 0 -2 x 60)x +(2 6 x 2 0 -1 x 60)x +2 7 x1 172 0 x (1-)=51 4.4 百兀.100 iooy 当每两天生产配送2 8 百份时，利润为：1 2 17(2 4 x 2 0 -3 x 60)x +(2 5
29、 x 2 0 -2 x 6)x 4-(2 6 x 2 0 -2 x 60)x +(2 7 x7 100 k 7 50 k 7 100 k2 0 -1 x 60)X +2 8 x 2 0 x|=4 9 2.8 百元.由于51 4.4 4 9 2.8,所以选择每两天生产配送2 7 百份.【解析】(1)根据相互独立事件概率计算公式，计算出f的分布列并求得数学期望；(2)分别计算出配送2 7 百份、配送2 8 百份所获利润，由此作出决策.本题主要考查离散型随机变量的概率分布即期望，是中档题.2 2.【答案】解：(1)由题意每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为0.9,取全班同学在三次专注度监测中完
30、成签到的总人次数为随机变量X,由二项分布的特征可得X 服从二项分布8(1 50,0.9),取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量匕利用x 与y 的关系可得y =2 X +1 x (iso-X)=1 50 +x,E(Y)=1 50 +E(X)=1 50 +1 50 X 0.9 =2 8 5分.(2)(I )依题意P i=0.1,P2=0.9 +0.1 x 0.1 =0.9 1,Pn+2=0.1 Pn+1+0.9Pn,Pn+2 P n+1 =0.9(Pn+1 匕)，又 2 -P i=0.8 1,(Pn+1-匕 为等比数列，Pn+1-Pn=0.81 X(-0.9)-1=(-0.9)n
31、+1,(U)由题意可得：P2-P1=(-0.9)2,P3-P2=(-0.9)3,.,Pn-Pn-l=(-0.9)n,将上面的这n-1个式子相加可得：Pn-Pi=(-0.9)2+(-0.9)3+(-0.9)4+.+(_0.9尸=急(1 一(-O.9)T),匕=0,+急(1 一(一0-9)-1)=合一赛(一0.9)-1.【解析】(1)设全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X,则X8(150,0.9),在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量匕 则y=2X+1 x(150-X)=150+X,求出E(X),从而求出E(y)；(2)得到分+2=0.1Pn+1+0.9%,构造出Pn+2-Pn+1=-0.9(Pn+1-Pn),从而得到等比数列，求出 Pn+i-匕 的通项公式，进而用累加法求解 匕 的通项公式.本题主要考查随机变量的分布列，随机变量的均值，概率统计的应用等知识，属于中等题.第 16页，共 16页