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1、2021-2022学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 4 0.0 分）1.对于x,y 两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下），则线性相关最强的是（）A.-0.8 2 B.0.7 8C.-0.6 9D.0.8 72.函数/（%）=x 仇式的单调递减区间为（)A.(l,4-o o)B.(O/+o o)c.(0,1)D.(8,1)3 .若由一个2 x 2 列联表中的数据计算得K2 =7.2 1 3,则有把握认为两个变量有关系.（）A.9 5%B.9 7.5%C.9 9%D.9 9.9%P(K2 ko)0.2 50.1 50.1 00.0
2、50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 11.3 2 32.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 84 .某校一次高二年级数学检测，经抽样分析，成绩f 近似服从正态分布N（9 6,a 2）,且P（9 0 f 2 1,则()A.ea eb Ina-InbB.blna alnbsina-sinb二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9.设离散型随机变量x 的分布列如右表，若离散型随机变量yX01P0.60.4满足y=2x+i,则下列结果正确的有()A.E(X)=0.4 B.D(X)=0.24 C.E(Y)=1.8 D
3、.D(7)=0.481 0.已知力=(1,0,1),K=(-l,2,-3).c=(2,-4,6),则下列结论正确的是()A.,a l bB.b/cC.上 为 钝 角D.不在五方向上的投影向量为(4,0,4)11.设/(%)是定义域为R的偶函数，其导函数为(，若X 2 0 时，-VJf(x)图象如图所示，则可以使/(%)/。)0)有两个零点，则正实数a的取值范围为四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知函数f(x)=-1%2.(1)当a =0时，求曲线y =f(x)在x=1处的切线方程；(2)讨论函数/(%)的单调性.18 .一袋中装有4个黄球2个红球，现从中随机不放回地抽取3个球.
4、(1)求至少抽到一个红球的概率：(2)求取出的黄球个数X的分布列和数学期望.19 .20 22年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降，国内多地在3月开始陆续发现促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继20 0 9年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天的汽车销售量(单位:辆)如下：第X天345678销售量y辆25030 040 045052259 8 证 明：次=式%-)2=忆1蛭-7 1矛；(2)根据上表中前4组数据，求y关于x的线性回归方程;=b x+(3)用(2)中的结果分别计算
5、第7、8天所对应J,再求;与当天实际销售量y的差，若差的绝对值都不超过5,则认为所求得的回归方程“可靠”，若“可靠”则可利用此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，该回归方程是否可靠？若可靠，请预测第12天的销售量；若不可靠，请说明理由.参考公式及数据：b=力=垢P T,n 1看%=6650,2L疗=8 6.栗i(4r)z 工匕好-22 0.如图，四棱锥P-4BCD的底面是平行四边形，PA 平面/BCD,z ABC=60 ,A B =1,B C=2.(1)证明：平面PCD 1平面PAC；(2)若直线PC与平面PAD所成角的正弦值为空，求二面角C-P D -4的余弦值.42 1.2 0
6、2 2北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心、为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得。分，累计所得分数记为匕方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得。分，三轮累计所得分数记为X.累计所得分数越多，所获得奖品越多.现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为P,每次投篮互不影响.(1)若p =|,甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一、应选择那个方案？2 2 .已知
7、函数/(x)=W(x 0).(1)求函数f(x)的最小值；(2)若不等式/(%)%+alnx+1对于 G (1,+8)恒成立，求Q的取值范围.第4页，共16页答案和解析1.【答案】D【解析】解：由相关系数的绝对值r越大，变量间的线性相关性越强知：各选项中r=0.87的绝对值最大.故选：D.根据相关系数与变量间相关性的关系，即可得答案.本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力，属于基础题.2.【答案】C【解析】解：函数/(x)=x-Znx,x 0,=令(x)=l：0,得0 c x ),再解(x)0得x的范围，即可得到单调递减区间.本题主要考查利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，
8、属于基础题.3.【答案】C【解析】解：2 x 2列联表中的数据计算得K2=7.213,且6.635 7.213 1 02)=-弋=0 2,所以该校此次检测数学成绩不低于102分的人数为800 x 0.2=160.故选：D.由正态分布的对称性可知P(f 102)=0.2,进而求得成绩不低于102分的人数.本题考查正态分布曲线的对称性，属于基础题.5.【答案】B【解析】解：设第一天去4 餐 厅 为 事 件 第 二 天 去 4 餐厅为事件4，第一天去B餐厅为事件B,则(公)=P(42MI)P(&)+P(42|BJP(BI)=0.6 X 0.5+0.8 x 0.5=0.7.故选：B.应用全概率公式求甲
9、第二天去4 餐厅用餐的概率即可.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意全概率公式的灵活运用.6.【答案】A【解析】解：过点。作DE 1 BC的垂线，垂足为E,连接4E,DB CDC=D,DB.DCu平面BCD,所以AD 1平面BCD,B C u平面BCD,所以4 D 1 B C,又DE L BC,AD C DE=D,AD,DE u 平面4DE,所以8C J 平 面 4DE,AE a A D E,所以BC 1 A E,所以点4 到直线BC的距离为4E,因为DB=3,DC=4,DB 1 DC,所以BC=5,又A E xB C =DBxDC,所以4E=募，又ZM=1,DA 1 DE,所
10、以 4E=yjDA2+AE2=y,故选：A.过点。作。E 1 BC的垂线，垂足为E,证明AE 1 B C,由此可得点A到直线BC的距离为4E,第6页，共16页解三角形求AE可得结果.本题考查点到直线的距离，考查学生的运算能力，属于中档题.7.【答案】B【解析】解:3X1.%2 G R,使得/(刀2)2 9(X1)成立，等价于f(x)max 2因为/(x)=(1 x)ex1,所以=ex-1+(1 x)ex-1=xex-1当x 0,/(x)在(一8,0)上单调递增，当x 0 时,f(x)2 匕 1,a b 0,对于4,若 丫 =蜻/n x,且x e(0,+8),则=/?，y x=l=V e-2 0
11、,y在G，l)上存在零点，且y在(0,+8)上递增，二y在(0,+8)上不单调，贝 卜。一 0,y递增，(e,+8)上，y 0,y在(0,+8)上单调递增，.Q ea beb,.,.,0,y在(0,+8)上递增，a-sinx b-sinb,smasb b 0,分别构造y=ex Inx,y=y=xex,y=x sinx,利用导数研究在久e(0,+8)上的单调性，进而判断各项的正误.本题考查命题真假的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9.【答案】ABC【解析】解：由分布列的性质可得，E(X)=0 x 0.6+1 x 0.4=0.4,故 A 正确；D(X)=(0-0.
12、4)2 x 0.6+(1-0.4)2 x 0.4=0.2 4,故 B 正确，丫 =2X+1,E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+l=2 x 0.4+1=1.8,故 C 正确，D(y)=D(2X+1)=22D(X)=4 x 0.24=0.9 6,故。错误.故选：ABC.结合期望和方差公式，以及期望和方差的线性公式，即可求解.本题主要考查均值的性质，方差的性质等知识，属于基础题.1 0.【答案】BD【解析】解：对于4 a=(1,0,1).b=(-1,2,-3).五不=一 1+0 4=一 5 力0,故 A错误；对于B：?=(2,-4,6)=-2(-1,2,-3)=-2 b 故3 阳 故 8 正确；
13、a-c =2+0+6=8 0,故日,下 不为钝角，故 C错误，帷五方向上的投影为兽=推=4a|a|V 2故占t 五方向上的投影向量与五共线同向且模为4加,故可得下在日方向上的投影向量为(4,0,4),故 O 正确.故选：BD.利用向量的数量积的计算公式计算可判断AC,利用共线向量的关系可判断B,先求得口在第8页，共16页五方向上的投影为胃=备=4鱼,可求可得3在五方向上的投影向量为(4,0,4),可判断D.本题考查向量的数量积的计算，考查向量共线的有关内容，考查投影向量的概念，属中档题.1 1.【答案】A B D【解析】解：由图可知函数当0 x 0,当x 3时，/(x)0,当0%0,当x 1时
14、，f(x)0,故要使得/(x)/(%)0时，仅需满足1%3即可.又因为f(x)为偶函数，故-3%0,当 -3时，/(x)0,当一lx 0时，f(x)0,当x 0,故要使得f(x)/(%)0,即f(x)与f(x)异号，故当x 0时，需满足x 一3或者一1%0,故选：A B D.由函数f(x)为偶函数可判断函数在x 0时的单调性及f(x)范 围 从 而 进 行 判 断-f(x)0),则由题意，必有代入原函数得：ex(l -t a nx)=0,即t e r n%=1,cosx故/(X)的极值点为沏=W+kTT,k&Z,易知k为偶数时，X。为极小值点，k为奇数时，X。为极大值点，且极小值蜻。一 a s
15、讥X。随着沏的增大而增大，且/()=1 0,f/(-)=e Z asin-0)有两个零点，只需1 :9 H 4 Q匕(?)=eT-a s讥?0解得 a l2ei-故答案为：(鱼 式 鱼 患.求出f(x)的极值点，只要第一个极小值小于零，第二个极小值大于零即可(因为/(%)的极小值随着1的增大而增大).本题考查函数零点存在性、个数的判断问题，属于中档题.1 7.【答案】解：(1)当a =0,/(x)=1 x3,则f(l)=,即切点为(1,.(2分)/(x)=%2,(3分)/(1)=1即切线斜率k=1,所以切线方程为：y =x-|；(2)/(x)=x2 ax+a=x(x d),令/(x)=0,解得
16、：x =0,x=a,若a =0,显然f(x)单调递增，若a 0,f(x)在区间(-8,a)和(0,+8)单调当%e (a,0)时，f(x)0,当x e (8,0)u(a,+8)时,f(x)0,/(%)在区间(8,0)和(a,+8)单调递增；当x e(0,a)时,f(x)0,f(x)在区间(0,a)单调递减;综上，若a =0时，/(%)在R上单调递增：若a 0时，在区间(一8,0)和(凡+8)单调递增；在区间(0,a)单调递减.【解析】(1)当a =0时，对函数求导，将x =l代入其导函数和原函数，从而得到纵坐标和斜率，继而利用点斜式求解即可；(2)对函数求导，通过未知数的不同范围分别判断函数单
17、调性.本题主要考查利用导函数研究函数切线及讨论函数单调性，属于中档题.1 8.【答案】解：(1)设取出的3个球至少一个红球为事件4,则取到三个都是黄球的事件为3二P(A)=1-P(A)=1 一言=(2)随机变量X可能取值为1、2、3,P(X=1)=等=,P(X =2)=等=|,P(X =3)=g =i,故X的分布列为：X123P1315551 0-1期望 E(X)=l x +2 x j+3 x i=2.【解析】(1)利用古典概型概率公式求三个都是黄球的概率，再利用对立事件概率公式求解；(2)确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求第12页，共16页期望.本题主
18、要考查古典概型概率的计算，离散型随机变量及其分布列，随机变量数学期望的计算等知识，属于中等题.19.【答案】证明：(l)SzLi(Xi-x)2=%(%2x(x+x2)=匕 呼 XjLi 2X(%+E k】x2=xf-2x 4 +nx2=x l-2nx2+nx2=心】xf-nx2.(2)由表中数据可得，M =(3+4+5+6+7+8)=4.5,y=i X(250+300+400+450+522+598)=350,则b=%i?)-竽y=6 6 5-5 x 3 5 =70，a=y-b x =350-70%4.5=35,x?-nx2 86-4x4.5x4.5故y关于x的线性回归方程为;=70X+35-
19、(3)当x=7时，夕 7=70 x 7+35=525当x=8时，久=70 x 8+35=5 9 5,历 _ 丫 7|=3 5，仇-狗=3 JPA2+AD2=V5，故 警=黑，则MN=更，故CN=7MN2+CM2=橐,PA PD io V S所以 coszZWM=CN 4【解析】(1)应用余弦定理求得/C =遮，由勾股定理可得AB _L力 C,进而有CD 14C,根据线面垂直的性质得PA 1 C D,最后由线面垂直的判定和性质证结论.(2)过C作CM 1 AD,垂足为M,过C作CN 1 PD,垂足为N,利用线面垂直证明MN 1 PD,即可知NCNM为二面角C-P D-4平面角，进而求其余弦值.本
20、题考查二面角，考查学生的分析运算能力，属于中档题.21.【答案】解：(l)p=甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和，所以(乂 =3)=(2+2(尹 8.所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为(2)选方案一，则丫 服从二项分布B(9,p),选方案一得分的数学期望为EY=9p,选方案二，每一轮得分只有。和3,能得3分的概率为po=2P2(1 _ p)+p2=3P2-2P3,进行三轮投篮，得3分的次数f 为随机变量，则fB(3,p0),Ef=3po，第14页，共16页进行三轮总得分X=3&,则选择方案二得分的期望为EX=3E=9Po=9(3p2 _ 2p3
21、),显然 EY-E X =9 p-9(3p2-2P3)=9P(p-i)(2p-1),当p=T，E Y-E X =O,两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；当EY E X,方案二期望大，所以甲应该选方案二；当0 p E X,方案一期望大，所以甲应该选方案一.【解析】(1)根据给定条件，将甲得3分的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式计算即可.(2)求出甲选方案一，方案二得分的期望，再比较大小作答.本题主要考查离散型随机变量的数学期望，概率统计的实际应用等知识，属于中等题.22.【答案】解：。):函数/(%)=?(%0),pX+l f,Xf G)=我 一 即=/(x-e),当/
22、(%)V 0,解得O V%V e,当尸(x)0,解得,e,故/(%)的单调递减区间为(0,e),单调递增区间为+8),函数/(%)的最小值为/(e)=1；(2)由(1)得f(N f(e)=l,所以要使得/(%)%+alnx 4-1恒成立，必须满足：/(e)e+alne 4-1=a -e,下面证明：当a%+alnx+1恒成立，ex eXa%+elnx 1,xe xe,只需证明三一%+elnx-1 0,xeeX设9(x)=%4-elnx 1,则W(x)=磊)-e)-e)=/信-1).(x-e),由(1)得 一 1 2 0且只在x=e取等号，.当 0 x e时，(无)0,/(%)单调递增，(p(x)(p(e)=0,综上a e,即a的取值范围是(一8,-e .【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；(2)问题转化为证明器x+-1 2 0,设(x)=言一 x+a nx 1,求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，考查转化思想，是中档题.第16页，共16页