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1、2021届高考理科数学培优卷（新课标全国III卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 N=x 0 x =c o s 2x +|,、=t a n|2 x-工 中，最小正周期为兀的所有函数为（）A.B.C.D.8.如图，网格纸上小正方形的边长均为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为（）M!B正 视 图：!11一1门1（俯 视 图，3侧视图IBtD.49.已知 cos2a=为锐角，则 sine+c o s a=()叱 或 半唔c 或3B53 310,直线l过点（0,2）,被圆。:/+/一 4%一 6
2、 9 =0截得的弦长为2百,则直线I的方程是（）414A.y=x+2 B.y=-x+2 C.y=2 D.y=x+2 或 y=211.已知耳乃是椭圆与双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且忸用炉闾，线段2+包咫的垂直平分线过心.若椭圆的离心率为乌，双曲线的离心率为，则 q 2 的最小值为（）A.瓜 B.3 C.6 D小相（；）+112.已知函数为定义在区间（-1,1）上的奇函数，则加的值为（）A.-l B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.x+-3 0,13.若x j 满足约束条件卜x+”6 4 0,则 z=上 士 2 的取值范围为.x-y 2 0,X1
3、4.(3x的展开式中的常数项为.1 5 .在四棱锥P-488中，平面尸/D，底面488,菱形488的两条对角线交于点。.已知 尸 4 =尸。=川A D =2,则三棱锥P-/O。的 外 接 球 的 体 积 为.1 6 .设有下列四个四：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.A：过空间中任意三点有且仅有一个平面.心：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p3：若直线/u 平 面a,直线?_L平 面a，则?则 下 述 命 题 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.月八2 4口人P 2 F2Vp3 V PA三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考
4、题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.1 7.(1 2 分)已知等差数列 氏 的前项和S,=；(l+)+/,等比数列也 的通项公式为=3 ,且 其 前n项和为&eN*.(1)求数列 ,的通项公式；(2)若c“=(-1 严 4/+3,且对于任意的正整数”,q +c2+c 6 0)的上、下顶点分别为4(0,1)和 8(0,-1),且其Q-b2离心率为2(I)求 椭 圆E的标准方程.(H)点P是直线歹=2上的一个动点，直线尸4 P 8分别交椭圆E于两点(4 S C。四点互不重合)，请判断直线CQ 是否恒过定点,若过定点，求出定点的坐标；否则,
5、请说明理由.2 1.(1 2 分)已知函数/(x)=ev,g(x)=x 2-5%+1.(1)求函数尸(x)=&2 的单调区间.设函数G(x)=g x)+叭 x)，讨论该函数在区间 2,4 上的零点个数.(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.2 2 选修4-4：坐标系与参数方程(1 0分)在平面直角坐标系x O y 中，曲 线 C 的参数方程为F=3 c o s (夕为参数).以坐标原点为极 y=3 s m e点，X 轴正半轴为极轴,建立极坐标系，直 线/经过点Z(2,且与极轴所成的角为a .(I)求 曲 线 C 的普通方程及直线/的参数方
6、程；(H)设直线/与曲线C 交 于 两 点，若|/回+|/同=2 遍,求直线/的普通方程.2 3.选修4-5：不等式选讲(1 0分)已知函数 f(x)=|2 x -3|+|x -4|,g(x)=|x +2 02 0a|-|x +2 01 9 a l (a e R).解不等式/(x R 5;(H)若存在x“w eR,使得/(x j=g(x 2)成立,求实数a的取值范围.答案以及解析一、选择题1 .答案：D解析：*/A=x|0 x 2,B=x M x -1)W。=x O 令-I ,.t A c B=x|0 3 000+20 x-0.1 x2,B|J O.l x2+5x -3 000 2 0,化为/
7、+50 x -3 0000 0，解得 x *1 50 或x 4-2 00(舍去).故最低产量是1 50台.5.答案：D解析：圆的方程化为(x-1 7+y 2=i,所以圆心为(1,0)泮 径 为 1,根据条件，W：)XT=1,J(l +a)2 +1解得a=-l.6 .答案：C解析：.向量d =(1,3),6 =(4,?),且他一(5-杨2=3 2-5石=o,即石。=a-b,S110 =4+3 m,m =2,b=(4,2).设向量a与b 夹 角 为 e,。0,兀 ,则 10=|G B|cos e=亚 716+4 cos，=而 2石 cos，V2 7tcos，=3=,2 4故选：C.7.答案：A解析
8、：=cos|2x|=cos2x,最小正周期为兀；由图像知y=|cosx|的最小正周期为兀；片 cos（2x+|的最小正周期7=，=兀；y=tan（2 x-；）的最小正周期丁 吟 故选 A.8.答案：B解析：由题图中的三视图可得该多面体是三棱锥S-Z 2 C,其直观图如图，故其体积1 1 2%=-x xlx2x2=.故选 B.3 2 39.答案：D解析：(sina+cosa)2=1 +2sinacosa=1 +sin2a,sin 2a=,故 sin a +cos a.3 3因为cos2a=,a 为锐角，所以310.答案：D解析：圆。:/+/-以-6 9 =0 的圆心坐标为（2,3）,半径为2.：
9、直 线/过点（0,2）,被圆C:x 2+/-4 x-6 y +9=0 截得的弦长为2 6,点（0,2）在 y 轴上，圆 C 与丁轴相切,.圆心到直线I 的距离为1,且直线/的斜率存在.设所求直线/的方程为 =丘+2,即k x-y +2=0,L!=1，解得X =0 或3 所求直线方程为y=3+2 或 =2.故选D.Jk2+1 3 311.答案：C解析：设椭圆长轴长为2%,双曲线实轴长为加2,不妨设点尸在第一象限，如图.由题意可知阳用=|EP|=2 c,又因为|耳上+内卜=2%,寓P|一|玛尸|=四,所 以2 e2 _ 21 c _ 4a,a2+c2 4（2c+a2）a,+c2设 尸|+2。=2%
10、,闺P|_ 2c=24 所以 g+2-c+2a2 2ca2 2ca28c%+4a；+c2 r 2%c 2.+_ 2=2 也=上Z e/C 24,又 因 为 c 2a2 y c 2a2,当 且 仅 当 c 2%2.e2-r 即c=2/时等号成立，所以q 2 的最小值为6.故选c解析：因为/（X）为奇函数，定义域为（-1,1）,所以0）=0,所以2.。，所以加+1 =0,所以加=一1 .经检验，当机=一1时，/（一%）=一/（不），即当初=-1 时，/（X）为奇函数成立.二、填空题13.答案：-,3l_3 J解析：根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.z=g表示阴影部分内的点XM（x,y）与点
11、力（0,-2）连线的斜率,结合图象可知z=kDM e 勺如的/,由可得8（3,0）,所 以 矶=者 =|由 x +2 y-3=0,可得 以 上=3,故z e 2,3x-y =O 0-1|_ 3解析：的展开式的通项&产（-1 广 2 5，（3 7,则（3才-1）（：-1）的展开式中的常数项为 3 x （-1）4 x 2 i x C；-（-I p x 2。x C；=31.2 43岳1 5.答案：6 4解析：取 4）的中点E,连接O E,P E.在菱形/B C D 中，A C V B D,即4 0，。，所以N。的外接圆的圆心即为点E因为=P。E为 的 中 点，所以尸，.又因为平面 4 01底面N88
12、,平面HOD底面Z 8 C ）=/O,P E u 平面P 4D ,所以P _ L 平面/8 C Z）,贝 I I 三棱锥P-/。的外接球的球心G在 PE上.设E G =x,外接球的半径为R由PA=PD=3 A D=2 ,得 PE=-s/32 I2=2-7 2 ,所以 R =2 /2 x=lx2+12,解得 x=.所8以R=2&-3 =+区,所以三棱锥P-4 0。的外接球的体积为8 83 3 1 8 J 641 6.答案：解析：解法一对于“，由题意设直线4 c 4 =4,4c/3=8,4 c 4 =C,则由C/2=4,知秋,2共面，设此平面为a ,则由Be 4,4 u a,知 B e a,由。/
13、，u a,知C e a,所以 u a,所以4皿？4 共 面 于 ,所以Pi是真命题.对于小，当 加 暗 C 三点不共线时，过“帅。三点有且仅有一个平面；当 加 贴。三点共线时，过加喈 0 的平面有无数个，所以也是假命题，一必是真命题.对于P 0 若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以必是假命题，是真命题.对于,若直线/=平面a,直线加平 面 ,则机,/,所以，是真命题，r%是假命题.故P1Ap4为真命题,四八。2为假命题，W 2 V pJ为真命题，P 3 V 四为真命题综上可知，真命题的序号是.解法二对于“，由题意设直线4 c =,4 c/3=8,4 c 4=C,则 加
14、防 C 三点不共线，所以此三点确定一个平面a ,则/e a,Bw a,C w a,所以直线B C u a，C 4 u a,即4 u c ,人u a ,4 u a ,所以“是真命题,以下同解法一.三、解答题17.答案：在 S“=；(1 +)+/中，令=1 得，%=S=1 +f,令=2 得，S2=1+a2=3+t 9 即2=2,令 =3 得，S3=%+4 +%=6+f,即。3 =3,因为数列%是等差数列，所以2a2=+%，解得 =0,所以 q=1,”=(EN*).由题意知，I1Tn+=b+b2+4 +&=37；+3,所以V 严 震 二 严=(7严1 1一 十 Jn。+1当 n 为偶数时,当 为奇数
15、时,(1 1 W1 1 W1 1)(1B T2)也 T j T3 r4J Tn Tn+J1 1 1 2/2 5(晨 3 3+2 3 _ 333 _3%，所 以 J tn-l ni+，即(?-1)yjni 2 0,B P (所?-1 +1)(所 m 1 2)0 ,所以 0 4 yJm-1 2 ,即 1 V?0,W-1X6.函数尸(对=等的单调递减区间为(_0 0 )和(6,+8),f(x)单调递增区间为(1,6).(2)由题意，得 g，(x)=2x-5 .令 G(x)=g 0,得 x ；令/(x)0,得 x (4).作出函数力(X)在 2,4 上的大致图像，如图.当一口 a W e 时,G(x)
16、=gx)+af(x)有一个零点;e e2 3当=W-下时,G(x)=g&)+4(x)有两个零点;J 2当”-万时,G(x)=g )+af(x)有一个零点；e，2 1当Q二 时,G(x)=g 口)+af(x)没有零点.4 e 22.答案：(1)消去参数e,得 曲 线 C 的 普通方程为/+=9.,、x=l+rcosa,依题意，知 点 A 的直角坐标为(1,3),故直线/的参数方程为 厂 (t 为参数).y=y/3+tsinax=+/cos oc(2)将直线 厂 代入+y2=9,得+(273 sin a+2coscr)Z-5 =0.y=J3+，sina则 4+L=-(2 6 sin a +2 co
17、s a),/2=-5.所以 z。+g=,21=j a+j-%=(2V3 sin a +2 cos a)2+20=J8sin2 a+4 g s i。2 a+24=2指.所以 8 sin2 a +4后 sin 2a=8 sin a(sin a +G cos a)=0.所以 sin a=0 或 sin a +V5 cos a =0,所以 tan a =0 或 tan a =-G .所以直线/的方程为y=6或歹一6 =-6(工 一 1),即、=6或 瓜+-2 6=0.23.答案：(I)由题可得函数 3x+7,x 一,23x+1,x4,2/(X)=4,i 7?当 x 5,询 军 得 xN 4,所以x=4;2当x4 时，3x-7 5,解得x2 4,所以x 4.综上，不等式的解集为卜|x 4 1 或(II)由 1可 得 函 数/而 /()=/g(x)=|x+2 020a|-|x+2 019a|,、5#,52 2二.实 数a的取值范围为（-8,-u -,+oo12 2