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1、0.0,3,D.叵82021届高考理科数学模拟培优卷(新课标全国n卷)【满分：1 5 0分】一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 全 集 =3 可,0)的一条渐近线方程为y=一上1,则其离心率为()a 2A.B.2 C.D.y/32 29 .己 知 奇 函 数 y=/()在(一8,0)上 单 调 递 减，若 a =/(l o g 3 j,人=/(lcc =/(lo g,3),则a,b,c 的大小关系是()A.c b a B.a b c C.a c b D.c a()=,求 a:c.1 9.(1 2分)已知双曲线C的一个
2、焦点为(-迅,0),且过点Q(26,2).如图，大，工为双曲线的左、右焦点，动 点 P(x(”%)(%W 1)在 C的右支上，且 行 的 平 分 线 与 x轴,y轴分别交于点M(肛0)(-百 ，0 的解集.(2)若函数f(x)的图像与x轴没有交点,求实数a的取值范围.答案以及解析一、选择题1 .答案：C解析：由已知得。=1,2,3,4,5,有(C u 4)=3,4,5,从而(C 0A)c B =3,5.2.答案：B解析：因为si nx l,x为第二象限角，4 x所以 c osx =-7 1 -si n2r=-Jl-=,V 1 6 4所以 si n 2x =2si nx c ox =2XL=-,
3、故选 B.4 I 4 J 83.答案：C解 析：根 据 所 给 的 数 据 的 分 组 和 各 组 的 频 数 可 知，数 据 落 在 2 7.5,39.5)的有 2 7.5,3 1.5),1 1;3 1.5,35.5),L 共有 1 1 +1 2 +7=30 个数。Q本组数据共有60 个，数据落在 2 7.5,39.5)的 频 率 约 是=g ,故选C o4 .答 案:B解析：因为=4%+S,所以-S,=4 q,即=4 4,且=2,所以数列%是以2为首项,4 为公比的等比数列,所以q=2 x 4 T =2?T ,故选B.5 .答案：A解析：以 他 所 在 直 线 为 x轴，线段45的垂直平分
4、线为)，轴建立平面直角坐标系，设UUttl UUUA(-aO),B(,0),C(x,y),Q AC-B C=1,/.(x +a)x-a)+y-y=,x2+y=a2+1,.点C 的轨迹为圆，故选A.6.答案：D解析：.据2=3,/1),若 g =l可 得 据 邑=2/3,故g/1,若q=-l,则$4=0,不符合题意，故“工1,.皿 二 =12M=3,化简得 1 一/=3(1 /),可得 1 +/=3,解得/=2,一(1 一 7)1 -gi-q516=1-1 6 1-24S4 1 /1-2=1 5 .故 选 D.7.答 案:A解析：根据图中所给三视图，可以确定此几何体为倒置的半个圆锥，那么此圆锥的
5、表面积由三 部 分 组 成，其 中 底 面 半 圆 的 面 积 为 Jx兀 X F =工.侧 面 扇 形 的 面 积 为2 2x j cx lx 22+I2=兀.2 2切面三角形的面积为x 2 x 2 =2.因此该几何体的表面积为1 2 +垦1 兀2 2故选：A.8.答案：C解析：因为渐近线方程为丁=-工力所以22 2因为6=1,所以 a=2.又c?=5,所以，=行，故离心率e =正 故 选 C.29 .答 案:D解 析：因 为 奇 函 数y=fx）在（-C O,0）上 单 调 递 减，且lo g23l,lo g2-=-2 lo g3=-lo g38 O兀4-SOG3-5兀4-兀4-1 2.答
6、 案:B解析：由题意得，/(-x)=-/()=-/(x +2)-l)则/(-x)+/(x +2)=l,故 g(x)+g(2-x)=x)+c o s?/(2 _ x)+co s(7t 若)=1.X/(6 +x)=/(4 +x)+l =/(2 +x)+2 =/(x)+3=-x)+3,凌 TUC.-./(-x)+/(6+x)=3,g(x)+g(6-x)=/(x)+co s 管+/(6-x)+co s 3兀-J =3.Q g219+s437219437=1,/.2S.=4 3 7 x 1,可得S=2令 S=g439219440219+g875219则 S2=g875219+g874219+g43921
7、9Qg439219+g8752191311=3,/.2S2=437x3,:$=又 f(2)=0)+l=l,g438219二且=/+3兀=。,故原式=S+g（2）+Sz=437 八 1311-+0+-22=8 7 4,故选 B.二、填空题13.答案：4解析：,/(a-2b)a(-2b)a=a-25=01+X2-2(1+X2-X)=0.,.X=l,所以 COS值,历=2 42sin a,B)=214.答 案:D解析：根据题意，从 5 名学生中选出4 名分别参加竞赛，分 2 种情况讨论：选出的4 人中没有甲，即选出其他4 人即可，有A：=24种参赛方案；选出的4 人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则
8、甲有3 种选法，在剩余4 人中任选3 人，参加剩下的三科竞赛，有A：=24种，则此时共有3x24=72种参赛方案.综上，总共有24+72=96种不同的参赛方案.15.答案：垂）解析：因为a+2i=l 历，所以a=l f=,即b=-2，所 以 复 数z=a+M=l-2i,|z|=Jl+4=,故答案为书.16.答案：解析：如图所示，几何体可补形为正方体，以 D为坐标原点,0 4,。,。后所在直线分别为*轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系由正方体的性质易得ECJ.AF该几何体的外接球与正方体的外接球相同，外接球半径为且故外接球表面积为3兀.2 A（1,O,O）,E（O,O,1）,F（1,1,1）,
9、8（1,1,O）,C（O,1,O）,则 AE=（-l,O,l）,AF=（O,l,l）设平面 A E F的法向量为 =（x,y,z）,由|_,得|令 z=l,x=l,y=-l,则=LT1 当n-A F=0 y+z=0G 为 EC的中点时E C,则35=1,所 以 这 丽 =（）,可 得 而/平面AEF（也可由平面平行来证明线面平行）.设 G(0,f,l,T)(0 4 f4 1),贝 I AG2+BG2=4r2-6f+5=4 -1 j+2,故当 r=g,AG、BG2的最小值为U.4三、解答题17.答 案：(1 )主 心=咨 勺:.(2c-b)cosA =acosB,由 正 弦 定 理a cos A
10、(2sinC-sin B)-cos A=sin A-cos B2sin C-cos A=sin 3 cos A+cos B-sin A,2 sin C cos A =sin(A+B)Ijr又 4+B+C=兀2sinC-cos 4=sin C sin C w().cos A=而 A w(0,兀)A =2 3(2)由 1 与余弦定理知：cos)=+c T，又a=2石2bc 2.万+。2-20=岳 22/七20即历4 2 0 当且仅当/?=c 时 取 =”号.-.5AABC=1/?csin A5A/3；.面积的最大值为18.答案：(1)由题意得J可取2,3,4,5,6.PC =3)=2x3x26x6
11、噂=4)=2 x3x1+2x26x6518P =5)=2x2x16x6g,P(J=6)=1x1 _ 16636故。z(4,=2)=3x3=-1 7 6x6 4所以4 的分布列为g23456p_4352_9136（2）由题意知n的分布列为123Paa+b+cba+b+cca+b+c2b 3c-T-a+b+c a+b+c53所以E S)=-a+b+c故 a:0:c =3:2:l.-+(3-9-=3.解得a =3 c,a+b+c I 3)a+b+c 9h=2c,1 9.答案：（1）知双曲线的左、右焦点分别为耳（-正,0）巴（布,0）又.双曲线过点Q（262）2 a =侬|一 =J（2石+2+（2-o
12、）2 _ 5（2石一6 2+（2-O）2=4解得a =2 双曲线C的标准方程为-/=1.4由耳（一6。）玛（6o）,得直线PF、方程为y =上%&+6），直线PF2方程为y =上%。-石）,%+A/5 x0 v5即直线 PFX 方程为 yox （x0+后）y+=。，直线 PF?方程为 为 工 -A/5 y0=0 ,由点M（九0）在/耳2用的平分线上，得西+(%+6)2M+5-布)2由-上 机 1 ,以及%2=；毛)I,解得 2 0,y0+(%+/5)2=+2y+4=(-+2),m+45 5-m 姒殂 4 0 1 1 4-j=-=-7=-解 得，*=艮M(,0)V 5?V 5%直 线 的 方 程
13、 为：y-土：*-&),r _ 玉)人0不令 x =0,得 y =一-故点 N(0,一 ),%4%0-()k=_ 2 _ =z-亚-o 国,y =-4(x +7 5),5%由，yX,i-y=14,消去 X 得(5%2-4)y 2+1 0%y +l =0,A =1 0 0 y02-4(5 yo2-4)=8 0 y o?+1 6 0 ,设短(为，%)，：(刍,必)，则 +%=_?%/，,必=v I,，5%-4 5%-4,I y -%I=J(x +)b)2 -4y 力=：2：j，由%泮,+%=一平0,.-.y,0,y2 l,则 鸟s=M 2V X J-=冲 J 4*2 飞,.=1 时，即 P为（2
14、夜,1）时，石。的面积最大值为4回.的 面 积2 0.答案：（1）如图，连接A C 一 交 A C 于点E,连接DE,由于四边形A A C 是平行四边形，所以E 是 A C 的中点.因为D 是 A 3的中点，所以DEOBC因为OE u 平面A OC，BC|u 平面A D C,所以B G 平面AQ C.(2)如图，取 A C 的中点0,连接A。,BO,根据和E IAAC都是正三角形，得 A。，A C，8。L A C.又平面A A C G J.平面A 8C,平面A A C 0C 平面A 8C=A C,所以A。，平面A 8 C，于是AtO l B O.以 0为坐标原点，分别以丽，反，西 的 方 向
15、为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.设 A C =2,则 A(0 Q C(0,l,0),Q 冬 一;,0 6(0,2,我.所 以 而=俘,4 0,丽=俾,-：,西=(乎,(2 2)(2 2 J(2 2 J设 平 面 的 法 向 量 为 机=(%,y,z),则且2G2*他/n/n1、-3 ,、x y =0,令 x =3,则 y =6,z=l,所以机=(3,6,1).x-y-百 z=0设平面DCC,的法向量为 =(a,A,c),.上。，即 西=0则 a-b =02 2 ,令。=3,则 6 =J5,c=-l,所以 =（3,石,-1）.-a+b+/3c=02 2设二面角A-rc-G
16、的大小为e,由图易知e为锐角，则co se=上uk=1 1,因此二面角A -O C -的余弦值为-.m-n 1 3 1 32 1.答案：(1)x)的定义域为(0,+8),(1 +x)(x eA-e)当 a=e 时，/(x)=x er-e(ln x +x),/(x)=-.令尸(力=0,得x =l,所以/(可 在区间(0)内为减函数,在区间(1,+o o)内为增函数.记1=ln x +x,则，=ln x+x在区间(0,+o o)内单调递增,且，ER,所以 y=xex-a(ln x +x)=e -at,令g(/)=e -内，则函数g(f)=e -成在f c R上有两个零点.当a=0时，g(/)=e，
17、在R上单调递增，且g(f)0,故g(f)无零点.当V0时，易知g(f)在R上单调递增，又 g(0)=1 0,g(L)=e -1 0时，由 =一。=0可知g(f)在,=ln a 处有唯一极小值 g(ln a)=(l一In a).若g(f)有两个零点,则g(ln a)e ,易知此时g(x)在区间(0,In a)和区间(I n+o o)内各有一个零点.综上，实 数a的取值范围是(e,y o).2 2.答案：(1)曲线G的参数方程为x =3 cs0，(0为参数).y=si n (pC2 的直角坐标方程为Y+V 8 y +1 5=0,即d +(y-4)2 =l.(2)由(1)知，曲线G 是以G(，4)为
18、圆心，1 为半径的圆.设 尸(3 co sc，si n ),则|P C2|=J(3COSG)2+(si n e-4)2=59(1 -si n 2 0)+卜足2 0-8 si n 0 +1 6)2-8 卜i n/+g J +2 7 .当si n e =-g时,|P C?|取 得 最 大 值 何=3 6.因为|尸。4 P C|+1,当且仅当P,Q,C2三点共线，且 G 在 线 段P Q上时，等号成立.所以心=班+12 3.答案：当=3 时，不等式可化为|3 x-,即|3 x-l|x ,3x 1 x,寻 x .42(2)当”0 时，x)=2 x 1,x 2 一,a2(1 ci)x+l,x 即 la .a要使函数/(X)的图像与X轴没有交点，只需2_o此 时 a 无解.2(1 -a)0,综上所述，函数/(x)的图像与x轴没有交点时，实 数a的取值范围为1 4 a 2.