《2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (九).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (九).pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年全国卷I高考理科数学模拟试题9学校:姓名：班级：考号：第 I 卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人|得分-一、选择题（共 12题，每题5 分，共 60分）1.已知 abl,1,Qlg a+41g b,4s+lg alg Zdlg t ig 加 16,则A.0 ts B.OVzWs C.0X t D.0sW-2 .已知i是虚数单位，则（萼）2在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 .设函数f （工）=x-e-x,直线y =m x+n是曲线y =f （%）的切线，则m +九的最小值是A.-B.1 C.1-i D.1+44 .已知集合 4=x
2、，-2尸3 0 ,集合户 x|lo g 2（尸 1）2 0 ,则 4 c B=A.x|2W/3 B.x|2xW3 C.x|lx3 D.x|TWx 0,。）的一条渐近线与圆（小 2+（阳）2=1相切则此双曲线的离心率为.三、解答题（共 7 题，共 70分）评卷人得分17.（本 题 12分）在ZL4BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2 b,又sinA,sinC,sinB成等差数列.（1）求 cos（B+C）的值；（2）若S4ABC=求c的值.18.（本 题 12分）如图,在四棱锥片A BC D中，A B C D,A BV A D,平面川?徵_L平面PA D,A PA D-A A P
3、D,是阳的中点,尸是 加 上的点,且 止 上 2。6.（1）证明价L 平面A PB;（2）在上是否存在一点K,满足尿=4 衣，使得平面牙平面力如?若存在,求出实数儿的值;若不存在,请说明理由.19.（本 题 12分）甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮,每局游戏的规则如下：甲、乙两人从装有4 个红球、1 个黑球（除颜色外完全相同）的袋中轮流不放回摸取1 个球,摸到黑球便结束该局,且摸到黑球的人获胜.（1）若在一局游戏中甲先摸,求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定:第一局甲先摸,第二局乙先摸,每一局先摸并获胜的人得1 分,后摸并获胜的人得2 分,未获胜的人得0 分,求此轮游戏中甲得分才的
4、概率分布及数学期望.2 0.(本 题 1 2 分)已知椭圆C：W+*l(a b 0)的左、右焦点分别为Fi (T,0)、Fz(l,0),且过点 E(，W),过原点0 且斜率为k(k W0)的直线1 与椭圆C交于P、Q两点,A、B为椭圆的左、右顶点，直线A P、A Q 分别与椭圆的右准线交于M、N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积是定值；(3)证明：以M N 为直径的圆经过椭圆内的一个定点.2 1 .(本题 1 2 分)已知函数/(x)=a x-(3 X)I n x+&x(1)求函数/(x)的单调递增区间；(2)当炉1 时,试判断函数f(x)的零点个数,并说
5、明理由.请考生在第22、2 3三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。2 2 .(本 题 1 0分)已知4 6是 x 轴正半轴上两点04 在 2的左侧)，且|/倒=a(a 0),过A,6分别作x 轴的垂线,与抛物线，=2 px(p 0)在第一象限分别交于D,。两点.(1)若炉P,氤 A与抛物线卜 2 Px的焦点重合,求直线位的斜率；若。为坐标原点，记4。口的面积为51,梯 形/腼 的 面 积 为 W,求f1的取值范围.2 3 .(本 题 1 0分)已知椭圆注+白 1 (a 6 0)的离心率为;,右顶点M到左焦点的距离为3,直 线1与椭圆C 交于点、A,
6、B.(1)求椭圆。的标准方程.设直线场,物的斜率分别为k“k2.若 俏 4 2+9=0,求A B的最小值.参考答案1.B【解析】因为 a b l,力1,所以 i=l g A 4 1 g ZF=l g(4 a A)+3 1 g b 0.由 4 sHg a l g A=4 1 g 5+f i g田 1 6,得广 1 g a+-(f l g Zz-l g a l g Z?)+4=1 g a+-l g b f-l g a)+4=l g a+(l g 6)+4,所以 t r445=4 1 g Z?-(l g Z)2-4=-(l g 62)-0,当且仅当 1 g M 2,即占 1 00 时等号成立，所以
7、0tWs,故选B.【备注】无2.D【解析】本题主要考查复数的代数运算和复数的几何意义,考查的学科素养是理性思维和数学探索.(誓)三严翦(力J哼)2 苴等=；争，其在复平面内对应的点为专号，在第四象限,故选D.【备注】无3.C【解析】无【备注】无4.A【解析】本题主要考查一元二次不等式和对数不等式的解法及集合的交运算,考查的学科素养是理性思维.通解 由题意可得大 x|T 水3 ,庐 x|x2 2 ,所以/in庐 x|2 W K 3 ,故选A.秒解 因为对数中真数大于0,所以集合8中的元素大于1,所以则日-1。门用故排除选项C,D;又 2 6 4,2 G 6,所以2 E A C B,排除选项B.故
8、选A.【备注】无5.A【解析】本题考查函数的极值、等差中项及对数的运算；因为等差数列 an 中的的,。的25是函数/(%)=：/-4 乂2+6 x-1 的极值点，所以等差数列 an 中的%,。4025是方程尸(无)=产 一 8 x+6 =0 的两根，则。1+。4025=8，即&2013=4,则lo g 2 a2013=2;故选 A.【备注】无6.D【解析】按红红之间有蓝、无蓝这两类来分情况研究.(1)当红红之间有蓝时，则有A,A：=2 4种情况；(2)当红红之间无蓝时,则有日A 犯犯上2 4 种情况.因此这五个人排成一行,穿相同颜色衣服的人不能相邻，共有2 4+2 4=4 8 种排法.故选D.
9、【备注】无7.A【解析】本题考查充要关系的判断以及线线、面面位置关系的判断，考查考生的空间想象能力与逻辑推理能力.若直线a 相交，设交点为P,则PEa,PGb.又 aua,k S,所以PG 0,故 a,相交.反之,若a,相交,则a,6 可能相交,也可能异面或平行.故“直线a 和直线6 相交”是“平 面。和 平 面 相交”的充分不必要条件.【备注】无8.C【解析】本题主要是考查循环结构程序框图.按照程序框图执行,b依次为0,1,3,3,3,1 9,5 1,故输出b的值为5 1.【备注】无公 差 d 的方程组,是求解等差数列问题的常用方法)解得J d9.C【解析】本题主要考查等差数列的通项公式,考
10、查的学科素养是理性思维.解法一 设等差数列 4,的公差为d,则由题意可得，I+:技，疔黑上：?二郎、3(方法总结:将已知条件转化为关于首项团、+1 0 a)+(%+1 1 a)+&+IZa)=8 4_ 5 2，所以一 53 5+3 9=(3 1+4(/)+(3 1+8 0 0=2 3 1 +1 2=2 X+1 2 x1=4 0,故选 C.解法二 由 a i+a 2+a 3=3 a 2=3 6,得愈=1 2,由 a u+a i2+a i3=3 a i2=8 4,得 0),由 得 2 k 2 j3 k 又 BF，BFZ、所 以 江,A=-l,解得 k-或 A=-g(舍去)，所 以 所 1,斤 后
11、即 8(1,V 5),所以BR|=J(1 +2/+3=2 祗|BFz =J(l-2)2 +3=2,所 以 质 的 周 长 为|/8|+|仍|+|诚|=|/H+2 a+|i|+|跖|=2 界|仍|+|弧|=2+2 遍+2=4+2 次.故选 C.【备注】无1 1.D【解析】解法一 如图1,以瓦I而为邻边作平行四边形OA M B,连 接OM,则 而=04 +OB=a b,0 后 有 0 K、且M,0,4 三点共线,所以而=-V 5而,则 而=而=-争 3+。).连 接OF,由图易知0 A/KF,则麻=-a Aa,所 以 次=O K +乔 咛(歼 6)-k(l+争 a 争 所 以 方=OF-04=-(
12、l+y)a-孚A a=-(2+争 a-b,故选 D.c解法二 如 图2,以4 8的 中 点 为 坐 标 原 点 照 平 面 直 角 坐 堂，设0(0,V 3),4(-1,0),5(1,0),A l,2+2 V 3),所 以 初 二(T,一次)，方=(1,一百)，/=(2,2+2 73).设格曲通则 皿系二倔解得忆学I 3 1 所以标=-(2+争 O A-OB,即 格 _ (2+争a-b,故 选D.【备注】无1 2.A【解析】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用以及平面向量的相关知识，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.试题用向量的几何性质创设解三角形的情境,注重通性通法,全面考查逻
13、辑推理和数学运算等核心素养,为考生灵活运用数学知识、思想方法解决问题提供了空间.延 长4 8至 点 也 使 得A B=BM,取4 C的中点N,连接,则 .首先将已知向量表达式变形,据此推出 点。在直线也V上,从而将问题转化为求力点到直线，眦的距离问题,然后由余弦定理以及三角形面积公式通过等面积法求出I而I的最小值.解 法 一 延 长4 3至点、M,使 得A片BM,取 芯 的 中 点N,连 接M N,，比.则 询=2荏,A N =A C,所 以 而=三前尼=上加+上 丽.x+y 2 x+2 y x+y x+y因 为 工+工=1,所以必从三点共线，即。点在直线物V上x+y x+y因此I而 的最小值
14、即4点到直线腑的距离，作A HLM N,垂足为H,则 的长即|而|的最小值.易知外蛆经力笫则 S后SA/A B-A C-si n J=1 x 3 X 6 X si n 1 2 0 考.由余弦定理可得 M N BOyly-+62-2 x 3 x 6 x co sl 2 0=3 V 7,因此有义3 V 7 x代 ,解 得 川 故AD的最小值为解法二 由 而 =A B+丁 前，得x+y 2 x+2 y|前|2=(二)2|荏 +()2|尼 +2 .二.片厢.A C=%+冷)-x+y 2 x+2 y x+y 2 x+2 y(x+y)2(2 x+2 y)2妥=9 竽 产 三 令 警 名 十,则(4-。-(
15、2+2。5(一)声0.易知|而 取 得 最 小 值(x+y)2 x2+2 xy+y2 x2+2 xy+y2时,y#0,所以当*0时,令表0,则(4-t)渭-(2+2 1)仆(1)=0,依 题 意 有/=-(2+2 1)2-4(4-f)(l-1)0,解 得,若,因 此|同今 所 以而竽,故而的最小值为竽.【备注】【解后反思】本题给出了两种解法，其中解法二解题过程复杂繁琐,部分考生很难做出正确结果;解法一的解题过程相对简单，需要考生认真分析题目中给出的向量表达式，在原三角形的基础上,通过延长边A B以及取边4 C 的中点,结合三点共线的条件,确定。点所在的直线，再利用余弦定理、三角形面积公式即可求
16、得结果.1 3.1 2【解析】本题考查直线方程的基础知识、点的轨迹的判断和其方程的求解、直线与圆的位置关系等，考查化归与转化思想、数形结合思想.首先确定直线/过定点，再由已知条件求点C 的轨迹方程,进而求解.由（4+2 ）广（4 -）厂4 4-8=0 得 4 （产厂4）+“（2 8）=0,则；得=o）所以直线（4+2 ）户（4 -）尸4 乂 -8”0 经过定点M（4,0）,设。为坐标原点，却 明 最 小：则秋L 做此时|A B=2 7 2 5 4 2=6.解法一 设法4,3）,8（4,-3），以*,力，由IM=2 1 BC,可得J（x-4）2 +（y-3）2=2 j Q-4）2 +（y +3/
17、,化简得点C 的轨迹方程为（4）?+（产5）?=1 6,则点C的轨迹是圆心为（4,-5）,半径为4的圆，易知圆心（4,-5）在直线四上,因而C 点到四的最大距离为4,故/灰面积的最大值为：X 6X 4=1 2.解法二 设 BC=x,贝 ij A C=2.x,由余弦定理知 36=/+（2X）2-2 x 2 x c o s Z.A C B,得7=-,从而S 册-2 x-s i n/l 毋/竺比竺史=-9 X 段任,其 中 簪 仝 可 以 看 成5-4cos 44 cB 2 5-4cosZJlCB-CQSLACB-COSLACB4 4单位圆上的点（c o s/笫 s i n/坳 与 点 G，0）连线
18、的斜率,可求得其最小值为-所以43面积的最大值为1 2.【备注】【规律总结】本题所求的圆通常被称为阿波罗尼斯圆，在各级各类考试中经常以距离之比的形式来呈现.1 4.1 0 0【解析】符合题意的情况有两种：2名医生、3名护士和3名医生、2名护士.选取2名医生、3名护士的方法有髭 熊=4 0（种），选取3 名医生、2名护士的方法有星 鬣=60（种），所以满足题意的选取方法共有4 0+60=1 0 0（种）.【备注】无1 5.4 J i【解析】设 C D=a,A D=b,则 的 面 积 食 工 2 a b=a b=y2.由于 C D LA D,C DLBD,A DC BD=D,所以缪，平面A BD,
19、将三棱锥04 劭补形为受个长方体,如图，则该长方体的体对角线/满足/=2 a 2+）2 2 位 a 乐4（当且仅当a=l,左应时取等号）.设该三棱锥外接球的半径为R,则庐该三棱锥外接球的表面积京4 /2 4 n ,即该三棱锥外接球表面积的最小值为4 n .【备注】求解本题的关键有以下几点：（1）能够根据三角形的面积确定出三角形4 6c 的底边与腰长的数量关系；（2）能够想到将三棱锥补形成一个长方体；（3）知道长方体的体对角线与三棱锥外接球半径之间的关系.1 6.2【解析】由题意知，双曲线土5 1 (a0,60)的一条渐近线方程为b x-a y=Q,因为双曲线的渐近线与圆(户8)2+S i)一
20、相切,所以圆心(-8,-1)到b xa 尸0的 距 离 户 粤 粤=1,可得y/a2+b2会遮多卷 3/，又-c-a,所 以c-a,二台4,又 el,所 以2.【备注】无17.sin4sinC,sin8成等差数列，.飞皿4+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c；又a=2 b,可得b=|c,14*A B+C =TT,J B+C 7i A；A cos(5+C)=cos(n /I)=cos/1=1；(2)由(1)得cosA=-：，sin后 萼；4 4而S/MBC=b c s in A =c2=解 得 c=4企.即c的值为4 a.【解析】本题考查等差数列，诱导公式,正余弦定理,三角形的面积公
21、式.(1).,sinA,sinC,sinB成等差数歹!J,.sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2 c,b =-c,由余弦定理得cosA=cos(B+C)=-cos4=(2)由(1)得 sin/=半;由三角形的3 4 4 4面积公式得c=4V2.【备注】无18.解：如 凰 取 必 的 中 点M,连接，跖施.因为6 是阳的中点,所以磔 A B,伤 抑.又 A B=C 2 2 F庐6,所以 DFA B,所以，止 加又 DF/A B,所以 M E/DF,所以四边形.如喏是平行四边形,所以)加.因为/必方/加数所以PD-A D,所以M DVPK.因 为 平 面/腼 JL平面PA D,平
22、面48徵C平面PA D=A D,A B LA D,所以/员L平面PA D,所以，物_L/B.又PA Q A B=A,必u 平面PA B,46u平面PA B,所以，初_L平面PA B,所 以 见 平 面/B.存 在 点K.由 可 知EFM D,EF仁平面A PD,.3平面PA D,所以哥平面A PD,根据题意,取上靠近点尸的三等分点K,连接EK,KF,因 为 普=尊=*所 以 掰 小.i C r C Z又 4 七平面PA D,使 平 面PA D,所以“平面A PD,又 FKC E2 F,所以平面以五平面A PD,此 时 尿=|JCC.故儿=1,满 足 尿=使得平面夕4平面A K）.【解析】本题考
23、查四棱锥中线面垂直的证明以及面面平行的探究性问题，考查考生的空间想象能力、推理论证能力.（1）线面垂直的证明要从线线垂直的证明入手,即证明站与平面/阳内的两条相交直线分别垂直，即可证明必，平面4 阳;（2）根据题意及（1）中的结论可得跖场，取 上 靠 近 点。的三等分点K,连接EK,KF,证明FK/PD,从而证得平面回力平面A PD,即 得 4=|.【备注】【素养落地】试题要求考生能根据题干中的信息正确分析出图形中的基本元素及其相互关系,对逻辑推理、直观想象等核心素养要求较高，培养考生观察、分析空间图形的能力.1 9.（1）记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件4易知黑球被摸到的情况有5种,且
24、被甲摸到的情况有3 种，所以P（力）=1故甲在该局获胜的概率为|.随机变量才的所有可能取值为0,1,2,3,则 P/0）=|x|=+P（庐 1）二 x。=工 p（庐2）=x 2 =&,5 5 25 5 5 25（省3）=|x|=晟，所以才的概率分布为J0123p62 592 542 562 5数学期望E 3=X 0+J x 1+嚏X 2+於X 3 得【解析】无【备注】无2 0.（1）因为E在椭圆上,所以 2 a=|E F J +1 E F 2 1 =J(4+l)2 +()2+J所以 a=2,b2=a2-l=3,所以椭圆C的方程为(2)设 P(x o,y o),又 A(2,0),B(2,0),则
25、 k p A=-7 ,k p A XQ+2 XQ-2 XQ+2 XQ-2 X0-4号1）2+（手）2=4,因为学+衿,所以=3（呼）=5（就-4）,所以3 k p B=-：是定值.4由 P（x o,y o）,得 Q （-x o,-y o）,又 A（-2,0）,椭圆右准线的方程为x=4,所以直线A M 的方程为y=W（x+2），解得M（4,生），%。+2 XQ+2直线A N 的方程为y=（x+2）,解得N（4,翳）.所以以M N 为直径的圆的方程为（x-4）2+y-3 （汽+1）邑 3 （屈 吟）2.XQ+2 XQ-2 X0+2 XQ-2化简得（x-4）2+y2-6 卢+为 y+3 6 X 且
26、X八0,XQ+2 XQ-2 XQ+2 XQ-2由 知，七*卷=轰-*Xo+2 X0-2 XQ-4 4所以圆的方程为(x-4)2+y2-6 (-4+包；)y-2 7=0,X0+2 X0-2令 y=0,得(x-4)2-2 7=0,解得 x=4 3 g,易知点(4-3 8,0)在椭圆。+4=1 内，4 3所以以M N 为直径的圆过椭圆内的定点(4-3 V3,0).【解析】无【备注】无2 1.(1)易知函数 H x)=a2-(3 a+l)l n Jf+a(aG R)的定义域为(0,+8),Xf，(X)-w+3 3a+l _ ax2-(3a+l)x+3 _ (ax-l)(x-3)x2 x x2 x2当
27、a=0时，/(x)岑，令 f (x)0,得 0 水3,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,3).当a 0,得 0 0时，f(才)=处等2 0 等价于(r 3)0,若乂3,即 a；时，由f(x)0 得 x 3 或 0 3,即 0 a；时，由 f (x)0得 0 所以函数f(x)的单调递增区间是(0,3),0+8).综上，当 a W O 时，函数f(x)的单调递增区间是(0,3);当 0 0),Xf(入)=妇磬,令f(x)=0,得 产 1 或产3,当 x 变化时,f (x)和 f(x)的变化情况如下表：X(0,1)1(1,3)3(3,+8)f(X)+0-0+/,(.V)单调递增 极大值 单调递减
28、 极小值 单调递增所以当 0 xW3 时,f(x)W/U)=T 3 时，A e5)=e5-2 0+l 25-l-19=12 0,所以/1(x)在(3,+8)i 只有1 个零点.综上，当天1 时，函数F(x)的零点个数为1.【解析】本题考查应用导数求函数的单调区间、研究函数的零点个数，考查分类讨论思想、化归与转化思想.(1)求导数后解不等式f(x)0,需要分类讨论解决；(2)先求函数/X x)的极值,再根据f(x)的极值与单调性求解.【备注】【名师指引】对于含参的导函数的零点是否在定义域内，零点将定义域分为哪几个区间,往往需要分类讨论进行判断,如本题第（1）问需要根据a 的不同取值求函数f（x）
29、的单调递增区间.2 2 .由 题 意 知 吗,0）,贝 U嘱+&0）,%,p）,贝 I 弓+a,加+2 2 苏,又8 FP,所以如=空润=V3-1.2 2 设 直 线C D的方程为尸k/b（k中0）,口X L刃），（出,.由F 2，消去乂得女丁-2+2 夕炉0,（y=2 p xt所 以二而-8 p kb 0,得 kb 4.又力+理二系,7 17 2=-,由%+2=0,力 大 2 二 0,可知 A 0,Z?0.因为|5=V1+f c2 I xx21 =鼠1+H,点。到 直 线 的 距 离 气 黑，所以 W l+H -J=那.又 笈苫（+理）I -y21 =1 Y 开华所以也=慢.$2 2P因为0
30、 助音，所以0 自 ：.故2的取值范围为（0,；）.【解析】无【备注】无2 3 .解：（1）设椭圆的半焦距为c,由题意得 2 =5，解得l a+c=3 匕=1二 ZV3,椭 圆 C 的标准方程为。+t=L4 3由题意知，直 线1的斜率不为0,设其方程为产/（由，7 1）,5（X 2,%）.p=m y 4-n由 J 立+日一,得（3 +4）y+6/7 7 Z 7 y+3z?-12=0,I 4 3 二力+理 二 一；7 1 力 及 二：九4 二（6 加）2-4（3输 4）（3 2-：12）=48（37 2-7+4）0.（判别式大于0 是3mz+4 3mz+4直线与椭圆有两个交点的前提条件）:巴吟X
31、j*2 322.k k厂 当 为 _ _ _ _ _ _ _ 及 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _咕 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _*1 2（%I-2）（X2-2）（m y1+n-2）（my2+n-2）m2y1y2+（n-2）（y1+y2）+（n-2）23n2-122 翦%-=充 崇=普=T，解得炉1.（利用根与系数的关系得到两根而 球+S）（高 器）+（n-2）z 4 g 2/4 g 2）4之和与两根之积,设而不求,整体代入,是解决直线与圆锥曲线位置关系问题的通法）*.直 线1的方程为户科+1,直 线1过定点（1,0）,此时，7 1+/2-3-m6?
32、z+4；,yyr-3-7n?+4I/切=Vl +m2 1 yry2 =V1+m2 V O i +y 2)2-47 172=V1+m2J(-)2+=五 不 滔.俘”叁=与 野=4 洛 警 4(1-4-)23 (当且仅当炉0时取等号)，(指明、(3m2+4)2 3m 2+4 3?n2+4 3m2+4取得最值时的条件)|4?|的最小值为3.【解析】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、直线和椭圆的位置关系、弦长公式,考查的学科素养是理性思维.第(1)问，根据条件列出方程组,解得疔2,c=l,进而求得椭圆C 的标准方程;第(2)问,联立椭圆和直线的方程,根据根与系数的关系得到力+先和九%利用点4 6的坐标表示出左和k2,把衣也整理成用两根之和与两根之积表示的形式,进而求得直线方程为产吁1,利用弦长公式把整理成关于参数加的函数,求出最值.【备注】无