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1、2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列各数中无理数（）7i22A.B.2 72.下列说法不一定成立的是（）C.74 D.时A.若 a b,则 a +c h+cB.若a +c h +c,则C.若 a b,则ac2 be2D.若 ac2 be2 则 a 。3.下列方程中，有实数根的方程是（）A.d+l=0B.yJ x+2-1C.yjx+2=-XX 1D.=厂一1 x 124.已知A（x i,y i）和点B（也，”）是双曲线y =一上的两个点，如果埼 2的大小关系正x确 的 是（）A.y i B.y yiC.y=yi D.无法判断5.为了了解某
2、校九年级40 0 名学生的体重，从中抽取了 50 名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指（）A.40 0 名学生B.被 抽 取 50 名学生C.40 0 名学生的体重D.被抽取的50 名学生的体重6.下列命题中，真命题是（）A.平分弦的直径垂直于弦B.垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C.在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D.经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线8.分解因式：x2-4x=二、填空题（本大题共12题，每题4分，7.计算：-1=_ _ _ _ _满分48分）3x-15=9 0。，那么线段AE的长为.三.解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算:2 1.如图，已知
3、正比例函数)，=履的图象与反比例函数y=9 (x 0)的图象经过点A(a,3),点 B 为 x 轴正半轴上一点，过点B 作轴，交反比例函数的图象于点C,交正比例函数的图象于点。.(1)求 a、值；(2)联结A C,如果B Q=6,求ACQ的面积.y f ./2 2.如 图 1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2 是其侧面示意图，量得底座长A B=11cm,支撑板长B C=8cm,托板长C)=6 c m,托板CO固定在支撑板顶端点C 处，托板CD可绕点C 旋转，支撑板8 c 可绕点B 转动.(1)如果/4B C=60。，ZBCD=7 0 ,求点。到直线A 8的距
4、离(精确到0.1cm)；(2)在 第(1)小题的条件下，如果把线段C。绕点C 顺时针旋转20。后，再将线段BC绕点B逆时针旋转,使点。落在直线4 8 上，求线段8 c 旋转的角度.(参考数据：sin400.64,cos400.77,tan40yo.84,sin37yo.60,cos37yo.80,tan370.75,百 F.73)2 3.已知：如图，AB是半圆。的直径，C 是半圆上一点(不与点4、8 重合)，过点A 作 AOOC交半圆于点 ,E 是直径AB上一点，S.A E=A D,联结CE、CD.(1)求证：C E=C D；(2)如果AD=3 C O,延长EC与弦4。的延长线交于点儿 联结O
5、。，求证：四边形OCF。是菱2 4.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-5 与 x 轴相交于点A,与)，轴相交于点B,抛物线)，=ay2+6 x+c经过 A、B 两点.（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴 另一个交点为C,点P是抛物线上一点，点Q是直线A8上一点，当四边形BCP Q是平行四边形时，求点。的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结Q C,在N0 C B内作射线C。与抛物线的对称轴相交于点D,使得N QCO=NAB C,求线段。0的长.23 25.如图，已知。是N8 4c的边4c上一点，AQ=15,cotZBAC=-,点P是3 4 5 x4射线A8上一点，联
6、结PQ,。经过点A且与。尸相切于点P,与边AC相交于另一点D（1）当圆心0在射线AB上时，求。的半径；3（2）当圆心0到直线A8的距离为一时，求线段AP的长；4（3）试讨论以线段P。长为半径的。尸与00的位置关系，并写出相应的线段AP取值范备用图2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分2 4分）1.下列各数中无理数是（）A.B.C.J4 D.朗272 7【答案】A【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【
7、详解】解：:一是无理数，2，A 正确：22:是有理数，7B错误；=2 是有理数，C错误；V万=3 是有理数，二。错误；故 选:A.【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数，无理数的定义是解题的关键.2.下列说法不一定成立的是（）A.若则a+cZ?+cB.若a+c 匕+c,则a 6C.若 a b,则 ac2 be2D.若 ac2 be2，则 a。【答案】C【解析】【详解】A.在 不 等 式 的 两 边 同 时 加 上 c,不等式仍成立，即a+c h+c,故本选项错误；B.在不等式a+cZ?+c的两边同时减去c,不等式仍成立，即，故本选项错误；C.当c=0时，若a b ,则不等式以2/?/不成
8、立，故本选项正确;D.在不等式a c 2b c 2的两边同时除以不为o的c，2,该不等式仍成立，即 故 本 选 项 错 误.故选C.3.下列方程中，有实数根的方程是（）A.J+I=0 B.y/x+2-1I-X 1C.Jx +2=-x D.-x -1 x -1【答案】C【解析】【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过二次根式的性质可对3、C进行判断；通过解分式方程可对。进行判断.【详解】解：A、P.O,/+1 0,方程/+1=（）没有实数解；B、77+2.0,故无实数解；C、两边平方得x +2 =f,解得石=-1,W=2,经检验，原方程的解为 =-1；D、去分母得x =l,经检验原方程没有实数
9、解，故选：C.【点睛】本题考查了乘方的意义，分式方程，无理方程和二次根式的性质，熟悉相关性质是解题的关键.24.已知4（x i,yi）和点B （及，”）是双曲线y=一 上的两个点，如果x iX 2,那 么 和”的大小关系正x确 的 是（）A.yyz B.”丫2 C.%=”D.无法判断【答案】D【解析】【分析】由于点A（玉，）,5（,必）不一定在同一象限，所以无法判断出y，%的大小.【详解】：4=2 0,.双曲线在第一、三象限，当玉 工2 0时，|为；当0玉时，%；当王0时，J71 y2；综上，无法判断出M，%的大小，故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与
10、性质是解题关键.5.为了了解某校九年级400名学生的体重，从中抽取了 50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指（）A.400名学生 B.被抽取的50 名学生C.400名学生的体重 D.被抽取的50名学生的体重【答案】C【解析】【分析】利用总体的定义直接解题即可，总体是指所要考察对象的全体【详解】要了解九年级400名学生的体重，所 以“400名学生的体重”是总体，故选C【点睛】本题主要考查总体的定义，掌握定义是解题关键6.下列命题中，真命题是（）A.平分弦的直径垂直于弦B.垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C.在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D.经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆
11、的切线【答案】B【解析】【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答.【详解】解：A、平 分 弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；8、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；。、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；故选：B.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识.二、填空题（本大题共12题，每题4 分，满分48分）7.计算：a3-a 1=.【答案】【解析】【分析】根据同底数塞的乘法，可得答案.【详解】解：原式=+-a2.故答案为：【点睛】本
12、题主要考查同底数塞乘法运算，掌握同底数哥乘法运算法则是解题的关键.8.分解因式：x2-4x=.【答案】x(x-4)【解析】【详解】解:x2-4x=x(x-4).故答案为：x(x-4).x9.在函数丫=-中，自变量x取值范围是_ _ _ _ _ _.2x+33【答案】x*-2【解析】【分析】由分式的分母不为0,求出x 的范围.【详解】解：根据题意得，2x+3#),3 X W ,23故答案为：K丰 .2【点睛】此题是函数自变量的取值范围题，主要考查了分式有意义的条件，分母不为0,解本题的关键是列出不等式.3 x-1 5 12【答案】x 1,得：x l,则不等式组的解集为x V l,2故答案为：x
13、中，AB=6,Z B=60,可得BG=3,A G =35=E H，由题意可得，FH=FC-HC=2-l=,进而根据勾股定理可得E F的长.【详解】解：如图，过点4和点E作4GLBC,E H L B C于点G和H,即得矩形AG/E,:在菱形 A8CZ）中，A8=6,ZB=60,.BG=3,A G =3 0 =EH，：.HC=BC-BG-G H=6-3-2=,EF平分菱形面积，E尸经过菱形对角线交点，：.F C=AE=2,；.F H=F C-HC=2-l=l,在RAEFH中,根据勾股定理，得E F =d E H2+F H?=后 工1=2行，故答案为：2币.【点睛】本题考查菱形的性质，含30。角的直
14、角三角形的性质，矩形的判定和性质以及勾股定理.作出辅助线是解答本题的关健.18.如图，已知在ABC中，NC=90。，ZB=30,A C=2,点。是边2 c的中点，点E是边A3上一点，将沿直线。E翻折，点B落在8处，联结A31,如果/4 9。=90。，那么线段AE的长为.【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和锐角三角函数可求解.【详解】解：在ABC中，/C=90。，NB=30。，AC=2,：.AB=4,B C=&A C=2 5.点。是边8C的中点，:.BD=CD=y/j,.将8DE沿直线QE翻折,:.B D=B D=6，点8在 以 点。为 圆 心，8。为 半 径 的 圆 上，如 图，当 点8与
15、点C不 重 合 时，过 点E作E H L B C于，连接 皿AD=ADCD=DB：.Rt/ACDRt/ABD(HL),：.ZD AC=ZD AB NBQ B+N8Q C=1 80。=ZB AC+ZB DC,；NB，AC=NBDB 折叠，：.ZBD E=ZED B:/B D E=/D A C,/.tanZD AC=tanZB D E=-=-=AC DH 2，设 E H=6X，DH=2X,VZ B=3 0,:.B H=6 EH=3x,BE=2&,：BH+D H=BD=6,53 6：.E H=,B E=-,5 5当 点 与 点C重 合 时，ZABD=90,.OE是BC的 垂 直 平 分 线，DE/A
16、C,AE CD-=-1 fBE BD：.AE=BE=AB=2,21 4综上所述：AE=或2.故答案 为：三1 4或2.【点 睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.三.解答题(本大题共7题，满分78分)1 9.计算:-r 5/3 +1 2 j -【答 案】5【解 析】【分 析】先根据负整数指数基的意义、完全平方公式计算和除法运算化为乘法运算，再分母有理化，然后合并即可.【详 解】解：原 式=2忘一一L G+?一(V 3-2)(V 3+2)-3+6+1-2 a +2=2/+石+2-百+1-2&+2=5.【点 睛】本题考查了二次根式
17、的化简，二次根式的分母有理化，负整数指数累，完全平方公式，熟练掌握运算的法则和运算的顺序是解题的关键.2 0.解方程:4 x ,2 2 5 =1 H-9 x 3 x+3【答 案】x=l【解 析】【分 析】因式分解V-9 =(x +3)(x-3),确定最简公分母，化分式方程为整式方程求解【详 解】解：方 程 两 边 同 乘 以(x+3)(x-3)得:4x=x2-9+2 (x+3)-2 (x-3),整理得：X2-4 x+3=0,解 得：X I =1,超=3,经检验：=3是原方程的增根,所以，原方程的解为x=l.【点睛】本题考查了分式方程的解法，通过因式分解确定最简公分母，化成整式方程求解是解题的关
18、键，注意验根是防止出错的根本.2 1.如图，已知正比例函数)，=履的图象与反比例函数y =9 (x 0)的图象经过点A (a,3),点B为x轴x正半轴上一点，过点B作B O L x轴，交反比例函数的图象于点C,交正比例函数的图象于点。.(1)求 、k的值；(2)联结A C,如果8。=6,求 A C Q的面积.3 9【答案】(1)a=2,k=；(2)-2 2【解析】【分析】(1)把点A (a,3)代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；(2)根据8 0=6,求出点B的横坐标，求出。8,代入求出B C,得到。C,根据三角形的面积公式进行计算即可.【详解】解：(
19、1)把点A (a,3)代入反比例函数y=9 (x 0)得，3-,xa解得a=2,3.点 A (2,3),代 入 丫=得，k=；3(2)当 8 =6=y 时，代入得，x=4,.02=4,当 x=4 代入 y=9 得，y=,即 8c=2,x 2 23 9C D=B D -BC=6 -=2 2.4-2).2 2 2【点睛】本题主要考查待定系数法求正比例函数解析式，正比例函数与反比例函数图象的应用；掌握掌握三角形面积公式，根据第一问求解的结果以及BD垂直x 轴，求出8 C,得到。C,解答本题的关键.2 2.如 图 1 一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2 是其侧面示意图
20、,量得底座长A8=11cm,支撑板长B C=8cm,托板长C）=6 c m,托板CD固定在支撑板顶端点C 处，托板C。可绕点C 旋转，支 撑 板 可 绕 点 B转动.（1）如果NABC=60。，NBCD=70。,求点。到直线AB的距离（精确到0.1cm）；（2）在 第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C 顺时针旋转20。后，再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点。落在直线4B 上,求线段BC旋转的角度.(参考数据：sin4000.64,cos400.77,tan400.84,sin3700.60,cos370.80,tan3700.75,百 Z.73)图1图2【解析】【分析】（1）通过作垂线，
21、构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求 出 CM C F,即可求出点。到 直 线 的 距 离;（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可.【详解】解：（1）如图，过。作。交 AB于点M,过点C 作于点N,垂足为M 过点力作 QQJ_CN交 C 8于点Q,垂足为F,在 RtzCNB 中，ZABC=60,BC=8cm,：.CN=CB-sin/A BC=8x 在2=6.92(cm),：/BCN=90-60=30,又,：NDCB=70,ZD C F=70-30=40,在 RtzXDC尸中，ZD C F=40,CD=6cm,：.CF=ac
22、os4036x0.77=4.62(cm),/NDMN=NMNF=NNFD=90,四边形MN尸。是矩形,:.DM=FN=CN-CF=692-4.62=23(a n),即点。到直线 AB 的距离为 2.3a”；（2）把线段CO绕 点 C 顺时针旋转20。后，N C=70+20=90,如图,V BCScrn,CD=6cm,：,tan 4 1 y B eC D 6-=-=0.7 5,BC 8Vtan370.75,：.ZC BD=3T,：/A BC=60。，A Z C B C=60-37=23,答：线段BC旋转的角度为23。.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合矩形的性质求解是解题的关键.2
23、3.已知：如图，A 8是半圆。的直径，C 是半圆上一点（不与点A、8 重合），过点A 作 AZV/OC交半圆于点D,E 是直径AB上一点，且 A E=A O,联结CE、CD.（1）求证：CE=CD；（2）如果AD=3 C O,延长EC与弦4。的延长线交于点片 联结。，求证：四边形OCF。是菱形.【答案】（1）见解析;（2）见解析【分析】（1）由“SA夕可证AOACg/XEAC,可得CE=CD；（2）先求出N A O O=/4EC=108。，可证OOC E,由菱形的判定可得结论.D【详解】证明：(1)如 图1 ,连接AC,/，牙 7/1/八O E B图1OA=OC,：.ZOAC=ZOCAf :A
24、D/OC,：.ZDAC=ZOCAf：.ZDAC=ZOAC,在QAC和E4C中，AD=AE=N A 3。可得 C Q N s B Q C,求出Q N 及 N 坐标，再求C N 解析式及。坐标即可得出答案.【详解】解：（1）在y=x-5中令x=0,得y=-5,令y=0得x=5,；.A (5,0),B(0,-5),将A (5,0),B(0,-5)代入y=a/+6x+c得:0=25a+30+c-5=c解得a=-lc=-5A抛物线的表达式为尸-x2+6x -5；(2)在 y=-2+6x-5 中令 y=0 得 阳=1,X25,r.C (1,0),点尸是抛物线上一点，点Q是直线A B上一点,设 P (t o
25、,-ni2+6 m-5),Q (n,n -5),0+m则BP的中点为（一 丁2-5一 +6L5）,c。的中点为（1 +7 1F0+n-52),2 四边形8C P Q是平行四边形,线 段 的 中 点 即 是C Q的中点,0+m=l+n-5-nr+6/n-5=0+n-5解得或 n=0m=4n-3：.Q(3,-2)；（3）设C D 与A B 交于N,如图:：B(0,-5),C(1,0),Q(3,-2),，C Q=2 及，BQ=3 叵，：ZQCD=ZABC,NCQN=NBQC,A C Q N sgQ C,.CQ_QN 01.2V2 QNBQ CQ 迈-2V2.QN=,3设 N(r,r-5),而 Q(3
26、,-2),.在NQCB内作射线CO,5 5 10NJ ),3 3 3设 CN解析式为)=履+6,将 N(g,-y ),C(1,0)代入得:一九+3 3G=k+b；.CN解 析 式 为 尸-5x+5,令 x3 得 y-10,：.Q(3,-10),：.DQ=-2-(-10)=8.【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN的长度.32 5.如图，已知。是NB4C的边AC上一点，AQ=15,cot/B 4C=，点尸是射线AB上一点，联结P。,4。经过点A 且与QP相切于点P,与边4 c 相交于另一点D.(1)当圆心。在射线AB上时，求。的半
27、径；3(2)当圆心。到直线AB的距离为一时，求线段A P的长；4(3)试讨论以线段P。长为半径的。尸与。的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围.o【答案】(I)2；(2)3 或 6 或9+35备用图(3)当。与。P内含时，OV 4 P 12.当。与0P内切时，AP=1 2.当。与。尸相交时，1 2 V A P V 1 8【解析】【分析】(1)解直角三角形求出布即可.(2)分两种情形：如图，当点O在 射 线 的 上 方 时，当点0在射线AB的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可.(3)求出两圆内切时AP的值，条件。与 A C相切于时A时，AP的值，即可判断.【详解】解：(1)如图:点。在上
28、，P Q是。0的切线,：.PQ L AP,Ap 3cotN%Q=诟=-可以假设 B4=3 Z,P Q=4 k,则 A Q=5%=1 5,.*./:=3,A B4=9,PQ=12,9，。0的半径为一.2(2)如图，当点。在射线A8的上方时，过点。作 QKL A8于 K,过点。作 0 _ L A 8于.0 P Q 是。的切线,D,7 :H 7P KB：.ZPHO=ZOPQ=NPKQ=90。,：.Z OPH+Z QPK=9 0,Z QPK+Z PQK=9 0,PH OH.P H O S 3.武=方设%=2 m，则 A H=P=/?2,PK=9-2m,3m _ 41 2 9-2m3解得，m=-或 3,
29、23经检验，x=一,3是分式方程 解，且符合题意.2 A P=3 或6.如图，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP=9+3历2综上所述，满足条件的AP的值为3 或 2 2 晅2(3)如图，当。尸与OO内切时,cOP PH 1由APHOSAQKP,可得=7，*.,OHLAP,:,AH=PH,：.AP=2PH,QK=2PH,：.PA=QK=12f如图，当。与 AC相切于点A 时,.RtAOAQRtAOPg(HL),：.AQ=PQf：OA=OP,。垂直平分线段AP,：.AP=2AH=Sf观察图像可知：当。与。尸内含时，0VAPV12.当。与。尸内切时，AP=12.当。与O P 相交时，12VAPV18.【点睛】本题相似三角形、全等三角形的判定、圆与圆的位置关系.分类讨论思想是难点.转换证明相似是重点.灵活进行角的