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1、2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年 级（上）第三次月考数学试卷1.下列图形只是中心对称图形不是轴对称图形的是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形2.下列事件中，必然事件是（）A.|a|0B.任意买一张电影票，座位号是3的倍数C.明天会下雨D.汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯3.如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使04=3。，OB=3 OC）,然后张开两脚，使A、8两个尖端分别在线段/的两个端点上，若CD=
2、4 cm,则A3的长是（）kA I B4.5.6.A.6 cmB.12cmC.SentD.6 cm如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos乙4cB的值为（）A.-2B.-5e 2x5*D邈10已知：如图，AABC中，D E/BC,=|，则AAOE与AABC的面积比为（）A.-3B七C.-5D|对于反比例函数丫=-?,下列说法不正确的是（）A.图象分布在第二、四象限B.当 0时，y随x的增大而增大C.图象经过点(3,-6)D.若点4(*1，%),8(%2，2)都在图象上，且巧%2，则乃7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A,8的坐标分别为(1,2),(3,1),以点。为位似中心，在原点的
3、同一侧按1：3 的相似比将A O A B 放大，则点A的对应点4 的坐标为()A.(3,6)B.(6,3)C.(3,9)D.(9,3)8.如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知4、B两点间的距离为3 0 米,乙4 =a,则缆车从A点到达8点，上升的高度(B C 的 长)为()A.3 0 s i n a 米 B.米 C.3 0 c o s a 米 D.二立米sina cosa9,下列关于圆的说法，正 确 的 是()A.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D.过三点可以作一个圆10 .在A A B C 中，AAC B=9
4、 0,BC =1,AC =3,将A 4 B C 以点 C 为中心顺时针旋转9 0。，得至I D E C,连接BE、力。.下列说法错误的是()A.SA B D 6B.SM DE=3C.BE 1 ADD./-AE D=135 11.反比例函数y =的图象经过点P(-2,3),则卜=.12.在R t A A B C 中，ZC=9 0 ,s i n A=g,贝 i J t a n A=.第2页，共21页13.在一个暗箱里放有?个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3 个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后
5、发现，摸到黄球的频率稳定在3 0%,推 算 机 的 值 大 约 是.14 .如图，在R t a A B C 中，zABC=9 0 ,AA=32,点8、C 在。上，边分别交。于 O、E两点，点 B 是力的中点，则4 ABE=.15 .已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/(单位:与电阻R(单位：。)成反比例函数关系，图象如图所示,则 这 个 反 比 例 函 数 解 析 式 为.16 .如图所示，在力B C 中，AB=6,AC=4,尸是A C的中点，过 P点的直线交A B 于点,若以4、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C 为顶点的三角形相似,则 4Q的长为.17 .计算：-22+(7 T-2
6、0 18)-2s i n 6 0 +|1-V3|18 .先化简，再求值：嘉+9-千 1),其中a =l-疗.19 .长沙作为新晋的网红城市，旅游业快速发展，岳麓区有4、B、C、D、E等网红景点，区旅游部门统计绘制出20 20 年“国庆”长假期间旅游情况统计图(不完整)如下所示，根据相关信息解答下列问题：(1)20 20 年“国庆”长假期间，岳麓区旅游景点共接待游客 万人，扇形统计图中E景 点 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是，并补全条形统计图.(2)在等可能性的情况下，甲、乙两个旅行团在A、B、C、。四个景点中选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表加以说明.长沙市岳麓区202
7、0年国庆旅游情况统计图人数万人20.为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东60。方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔户在北偏东30方向上.(1)求Z4PB的度数；(2)已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？21.如图，点 F 在平行四边形ABC。的对角线AC上，过点尸、B 分别作AB、AC的平行线相交于点E,连接B F,乙ABF=4FBC+乙FCB.(1)求证：四边形ABE产是菱形；(2)若BE=5,AD=8,sinCBE
8、=求 4 c 的长.22.如图，直线y=+b分别与x 轴，y 轴相交于A,B,反比例函数y=0)的图象与直线AB相交于C,。两点，且 C 点坐标是Q,n),tanzBOC=(1)求直线AB及反比例函数的表达式.(2)若 x 轴上有一点P,使NODP=90。，求尸点的坐标.第4页，共21页2 3 .如图，A B是。的直径，点C是0 0上一点，A Q与过点C的切线垂直，垂足为点D,直线。C与A B的延长线相交于点尸，弦C E平分N 4 C B,交A B点F,连接B E.(1)求证：A C平分Z Z M B；(2)求证：PC =PF；(3)若t a n乙4 B C =g,AB=1 4,求线段P C的
9、长.2 4 .有一边是另一边的&倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角.已知R t 4 B C为智慧三角形，且R t A A B C的一边长为V I,则该智慧三角形的面积为:(2)如图，在A B C中，Z C =1 0 5 ,/.B=3 0,求证：A B C是智慧三角形；(3)如图，A B C是智慧三角形，B C为智慧边，4 B为智慧角，4(3,0),点B,C在函数y =上(x 0)的图象上，点C在点8的上方，且点B的纵坐标为V I当AABC是直角三角形时，求k的值.2 5 .二次函数 丫 =a/+b x +4(a丰0)的图象经过点4(一4,0),与)，轴交
10、于点C,点尸为第二象限内抛物线上一点，连接B P、A C,交于点Q,过点P作PD1久轴于点D,(1)求二次函数的表达式：(2)连接B C,当NDPB=24BC。时，求直线5尸的表达式：(3)请判断：震是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明QB理由.第6页，共21页答案和解析1.【答案】A【解析】解：4 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；8.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意.故选：4根据中心对称图形与轴对称
11、图形的概念进行判断即可.本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转 180度后与原图重合.2.【答案】A【解析】解：4 同 2 0,是必然事件，故选项符合题意；8 任意买一张电影票，座位号是3 的倍数，是随机事件，故选项不符合题意；C.明天会下雨，是随机事件，故选项不符合题意；。汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，故选项不符合题意；故选：A.根据必然事件的定义即可判断.本题主要考查必然事件的概念，必然事件是指一定会发生的事件，关键是要牢记必然事件的概念.3.【答案】B【解析】解
12、：OA=3OD,OB=3CO,OA-.OD=BO：CO=3：1,乙AOB=4DOC,AOBS A DOC,.AO _ AB _ 3*OD-CD _ 1,Z8=3C0,v CD=4cm,AB=12cm,故选：B.首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题.4.【答案】D【解析】解：过4作40 1BC于O,.-.AC=V4Z)2+D C2=V10,cosZ-AC BDC _ 1 _ V10AC-710 10故选：D.根据图形得出AO的长，进
13、而利用三角函数解答即可.此题考查解直角三角形，关键是利用三角函数解答.5.【答案】B【解析】解：-D E/BC,A D E s&ABC,AE _ 2 ,EC 3AE 2 一=AC 5输.熙=（些）2=A2=SA ABC 25故选：B.由于D E B C,那么力DE与ABC相似；已知了 AE、EC的比例关系，得出4 E与AC的比例关系，即两相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出所求的结论.本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键是掌握平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似.6.【答案】D【解
14、析】解：A、因为、=一当中的一1 8 0时，），随x的增大而增大，故本选项说法正确；C、把点（3,-6）代入反比例函数得到-6=-吊，等式成立，故本选项说法正确；。、当在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项说法错误；第 8 页，共 21页故选：D.反比例函数丁 =-手 中的-1 8 。时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k /-ADE 2 5,海监船继续向正东方向航行是安全的.【解析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键.(1)在A 4 B P中，求出NP A B、NP B 4的度数
15、即可解决问题；(2)作P H 1 A B交A B的延长线于H.求出尸的值即可判定.2 1.【答案】(1)证明：v E F/AB,BE/AF,二 四边形A B E F是平行四边形.乙4 B F =AFBC +乙FC B,乙AFB=4 FBC +乙FC B,Z.ABF=,AB=AF,平行四边形A B E F是菱形；(2)解：过。作D H L A C于点，如图所示:v sinZ-CBE=2 Z.CBE=30,BE/AC,z.1=乙CBE,-AD/BC,:，z.2=z l,/.42=Z.CBE=30,在 Rt ADH,AH=AD-cosz2=8x =473,DH=AD-sinz2=8 x i=4,2
16、2 四边形A8EF是菱形，CD=AB=BE=5,在Rt CDH中,CH=y/CD2-DH2=V52-42=3,AC=AH+CH=4y3+3.【解析】（1）由外角的性质可得乙4FB=乙FBC+Z.FCB,又因为乙48F=4FBC+乙FCB,易得4B=A F,由菱形的判定定理可得结论；（2）过。作DH 1 AC于点H,先求出NCBE=30。，再由平行线的性质可得42=乙CBE=30。，然后由锐角三角函数定义可得AH,，的长，由菱形的性质和勾股定理得CH的长，即可得出AC的长.本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的
17、判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键.22.【答案】解：（1）如图过点C作CE 1。8于 E,EC=90,:C(2,n),CE=2,OE=n,v tanZ.BOC=2CE 1OE 22 1n 2.7 1 =4,第14页，共21页 C(2,4),将 点。的坐标代入直线A3：y=1%+b中，得4=-1 x 2 +b,b=5,直线A B 的解析式为y=|x 4-5,将 点 C 的坐标代入反比例函数y=：中，得k=2 X 4=8,.反比例函数的解析式为y=%(2)如图2,由(1)知，直线A 8的解析式为y=-+5，反比例函数的解析式为y=契)，联立解得，二j 端普 过点。作O F 1 0 4
18、 于 RS2/.ZOFD=90,.Z,DOF+Z-ODF=90,v Z-ODP=90,:乙 ODP+乙 PDF=90,乙DOF=乙PDF,O FD sDFP,TOF _DF*DF P F 0(8,1),OF=8,DF=1,8 1A i =而,PF=8.OP=OF+PF=8+-=,8 8.p,0).【解析】(1)用锐角三角函数求出O E,进而得出点C 坐标，最后代入直线和反比例函数解析式中求解，即可得出结论；(2)联立两函数关系式求出点。坐标，进而得出。尸=8,DF=2,再判断出A0FDSAD F P,得出比例式，求出P F,即可得出结论.此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函
19、数，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键.c23.【答案】(1)证明：PD切O O于点C,:.0C 1 PD,又 AD 1 PD9OC/AD,0/F/B P:.Z-ACO=Z.DAC.v OC=OA,K Z.ACO=Z-CAOyZ-DAC=Z-CAO,即A C平分NO4B；(2)证明：T4D 1P D,Z.DAC+Z.ACD=90.又 AB为。的直径，.Z.ACB=90.乙PCB+乙4CD=90,Z-DAC=乙 PCB.又 /.DAC=Z.CAO,Z.CAO=Z-PCB.CE平分44 c8,:.Z-ACF=(BCF,Z.CAO+Z-ACF=Z-PCB+Z-BCF,乙PFC=乙
20、PCF,.PC=PF：(3)解：:乙PAC=PCB,Z,P=ZP,PACs A PCB,AC _ PC丽=丽 又 ,tanz.ABC=3AC 4:.一=BC 3.PC _ 4 PB-3，设PC=4k,PB=3 k,贝Ij在R tP O C中，PO=3k+7,OC=7,v PC2+OC2=OP2,(4fc)2+72=(3fc+7)2,二k=6(k=0不合题意，舍去).PC=4k=4 x 6=24.【解析】(1)由尸。切。0于点C,AO与过点C的切线垂直，易证得0C4 D,继而证得A C平 分 皿1B；(2)由条件可得NBCP=NC4B,/.BCF=/.A C F,结合外角性质可得NPCF=NPF
21、C,即第16页，共21页可证得PC=PF；(3)易证PACSP C B,由相似三角形的性质可得到嚷=言，又因为taM4BC=J,所BC PB 3以可得筮=进而可得到普=设PC=4k,PB=3 k,则在RtAPOC中，利用勾股定理可得PC?+0C2=0P2,进而可建立关于左的方程，解方程求出的值即可求出PC的长.此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，是一道不错的中考题题目.24.【答案】四 或 1或争号【解析】解：(1)如图 1,设44=90。，AC J2 X 2=v2ii)BC
22、=近AC=2,则48=y/BC2-A C2=VL111A S=-x v2 x V2=1若AB=V2l)AB=y/2A C,即4 C=1,1 V2,5=-X1XV 2=Tii)BC=V2AB=2,AC=BC?-AB2=V 42=V2111A S=-x V 2 x V 2 =1若BC=V 2,则AB=AC=11 1 S=-x l x l=-2 2(2)证明：如图2,过点C 作CO 1 4B于点D,/.ADC=乙BDC=90在Rt BCD中，4B=30,BC=2 C D,4BCD=90 一乙B=60 Z.ACB=105Z.ACD=Z.ACB-乙BCD=45Rt 中，AD=CD：.AC=yjAD2+C
23、D2=y/2CDBC 2CD =：-V2AC y/2CD.ABC是智慧三角形.图2(3)ABC是智慧三角形，BC为智慧边，4B为智慧角BC=y/2ABABC是直角三角形，4 8 不可能为斜边，即乙4cB中90AABC=90。或4BAC=90当乙4BC=90。时，过 8 作BE 1 x轴于E,过 C 作CF 1 EB于凡 过 C 作CG 1 x轴于G,如图3,Z.AEB=L ABC=90乙 BCF+Z.CBF=ABE+乙 CBF=90/.BCF=/.ABE:B C F s&ABEBF CF BC =v2AE BE AB设?IE=a,则B/7=y/2AE=2av 4(3,0)OE=OA+AE=3+
24、Q 8 的纵坐标为应，即BE=加 CF=V2BE=2,CG=EF=BE+BF=四+V2a,8(3+a,V2)OG=OE-GE=OE CF=3+Q 2=1+Q C(1 4-a,V2 4-V2a)点3、。在在函数y=5上(0)的图象上，V2(3+Q)=(1+a)(V2+V2a)=k解得：%=-2(舍去)，a2=1:.k=4A/2当2B4C=90。时、过 C 作C M lx 轴于过 3 作B N lx 轴于N,如图4,第18页，共21页 Z.C MA=Z.AN B=L B AC=9 0 4 M C A +M A C =乙 M A C +乙 N AB=9 0 Z.MC A=乙 N ABM C A s
25、N AB BC =戏 AB,2 A B 2 =B C2=A B2+AC2 AC =ABA M C A N AB(AAS)A M =BN =V2O M =O A-A M =3-/2设C M =4 N =b,则O N =04+A N =3+b,C(3-V 2,f a),B(3 +b,V 2).点B、C在在函数y =g 上(x 0)的图象上，(3 i)b=V 2(3 +b)=k解得：6 =9 或+1 2k =1 8+1 5 V 2综上所述，k的值为4 e 或1 8 4-1 5 V 2(1)由于不确定鱼是哪条边的边长，故需分3 种情况讨论.每种情况中，不确定长我的边是否为智慧边，故又需要分类讨论.(2
26、)过 C作 A B 边的垂线CD,构造两个有特殊角的直角三角形，即能用CD把各边关系表示出来，易得B C是A Ca 倍.(3)由题意可知B C =/Z 4 B,因此当A A B C 为直角三角形时，A B 不可能为斜边，即只分乙4 8c =9 0。或N a4 c =9 0。两种情况讨论.作辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把B、C的坐标表示出来，再代入y =表十算.本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似和全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，分类讨论思想.解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法.2
27、 5.【答案】解：(1),二次函数y =ax2+bx+4(a*0)的图象经过点4(-4,0),6(1,0),.(a-(-4)2 +b,(-4)+4 =0l a 4-b +4 =0解得：E =-J,.该二次函数的表达式为y=-x2-3%+4；(2)如图，设8尸与y轴交于点 PDy 轴，乙DPB=/-OEB,乙DPB=2(BCO,乙OEB=2/-BC0,乙ECB=乙EBC,BE=CE,设0E=a,则CE=4 Q,:.BE=4 a,在RtZkBOE中，由勾股定理得：BE2=0E2+0B2,:.(4-a)2=a2+I2,解得：a=竺，8 E(O,Q设BE所在直线表达式为y=fcx 4-e(fc H 0
28、),fk-0 4-e=*.s 8,l/c-1 4-e=0ffc=-解得：is 8,le =T 直线BP的表达式为y=-x +8 8(3点有最大值.Q B如图，设PD与AC交于点、N,过点B作y轴的平行线与AC相交于点M,设直线AC表达式为y=mx+n,4(-4,0),C(0,4),解得：c m，,直 线 AC表达式为y=%4-4,M点的坐标为(1,5),:.BM=5,v BM“PN,PNQs&BMQ,第20页，共21页设P(o,一 说 3ao +4)(-4 ci o 0),则N(a,a。+4),_-aW3ao+4-(ao+4)_ _a 2 4 a o _ -(a()+2)2+4,*QB-5-5
29、-5当劭=-2时，器有最大值，QB此时，点尸的坐标为(-2,6).【解析】(1)利用待定系数法即可求出答案；(2)设 B P 与 y 轴交于点E,设O E =a,则C E =4-a,BE =4-a,运用勾股定理可求得。=”，得 出 再 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 答 案；8 8(3)设 P D与 A C交于点N,过点B 作 y 轴的平行线与A C相交于点M,利用待定系数法求出直线A C表达式，再利用BM PN,可得PNQS ABMQ,进而得出翳=瞿=?，QB B M 5设P(Q o,说 3ao +4)(4 a0 0),则N(a(),ao +4),从而得到震=-4,利QB 5用二次函数的性质即可求得答案.本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键.