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1、大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新课标文科卷）专题11立体几何选择填空题真题汇总1.【2022年 全 国 甲 卷 文 科04】如 图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网 格 小 正 方形的边长为1,则 该 多 面 体 的 体 积 为（）【答 案】B12C.16D.20【解 析】由三视图还原几何体，如图,故选：B.x 2 x 2=12.2.【2022年 全 国 甲 卷 文 科09】在长方体4BCD-A iB iQ D i中，已知当。与平面4BCD和平面44避 中 所成的角 均 为30。，则（）A.AB=2ADB.与平面力当的。所 成 的 角 为30。C.AC=CB1D
2、.B i。与平面BBiGC所 成 的 角 为45。【答 案】D【解析】如图所示:不妨设48=a,AD=b,44i=c,依题以及长方体的结构特征可知，当。与平面4BCD所成角为4丛。8,BXD与平面441B1B所成角为4。当4,所以 sin30=肃=端,即b=c,B、D=2c=Va2+h2+c2 解得a=V2c.对于 A,AB=a,AD=b,AB=yfZAD,A 错误；对于B,过B作BE 1 4当于E,易知BE，平面力当的。，所以AB与平面ABiCR所成角为4B4E,因为tan4BAE=,所以4BAER30,B 错误；a 2对于 C,AC=Va2 4-b2=V3c，CB1=Vh2 4-c2=V2
3、c，AC H C Bi，C 错误；对于D,B i。与平面B 8 C所成角为N g C,sinzDFiC=含屋=圣 而0 Z叫C 90,所以4叫。=45.D正确.故选：D.3.【2022年全国甲卷文科101甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2 m侧面积分别为S甲和S乙，体 积 分 别 为%和 嗅,.若 六=2,则晟=()A.V5 B.2V2 C.V10 D.4【答案】C【解析】解：设母线长为1，甲圆锥底面半径为人，乙圆锥底面圆半径为2，则 券=察=”2,n四 2所以厂1 =2r2,2mi+271T2则 牛=1,所以=所以甲圆锥的高阳=乙圆锥的高殳=吗,=V T o.故选：C.4
4、.【2022年全国乙卷文科0 9 在正方体A B C D-A iB iC iC i中，E,尸分别为4B,BC的中点，则（）A.平面8/尸1平面BDDiB.平面EF JL平面Z/DC.平面BEF平面4遇CD.平面4 E F平面&C i。【答案】A【解析】解：在正方体A B C D-T B iC iD i中,AC 1 BDRDDi _L平面4BCD,又E F u平面ABC O,所以EFJ.DO1，因为E,F分别为4B,BC的中点，所以E F II4 C,所以EFJLBD,又BD n DDj=D,所以E F 1平面BDDi，又E F u平面BEF,所以平面KF J_平面B D ,故A正确；如图，以点
5、。为原点，建立空间直角坐标系，设48=2,则当(2,2,2),E(2,1,0)，打1,2,0),8(2,2,0),4(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),则 前=(-1,1,0),561=(0,1,2).DB=(2,2,0),西=(2,0,2),砧=(0,0,2),衣=(-2,2,0),柘=(-2,2,0),设 平 面 的 法 向 量 为 沆=(xi，y i，z j,则有同理可得平面4BD的法向量为而=（L -1,-1），平面4 通（7 的法向量为五=（1,1,0）,平面4 传道的法向量为何=（1,1,一 1），则沅.可=2-2 4-1 =1*0,所以平面B
6、1 E 尸与平面4BD不垂直，故 B错误；因为沅与双不平行，所以平面8 透尸与平面4 遇。不平行，故 C错误：因为沅与否不平行，所以平面B i E F 与平面4 C 1 D 不平行，故 D错误，故选：A.5.【2 0 2 2 年全国乙卷文科1 2】已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）A.1 B.|C.3 D.返3 2 3 2【答案】C【解析】设该四棱锥底面为四边形A B C D,四边形A B C D所在小圆半径为八设四边形/8 C O 对角线夹角为a,则S/IBCD A C -B D-sina -A C -B D /3,
7、根据圆截面性质0 0 1 1平面ABC,001 1 0tA,R=OA=y/00i 2+OtA2=yj00 x 2+r2=4,二球。的表面积S=4TTR2=647r.故选：A1 0.【2020年全国2卷文科11】已知NBC是面积为誓的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球O4的表面积为16万,则 O 到 平 面 的 距 离 为（）A.V3 B.-C.1 D.2 2【答案】C【解析】设球。的半径为R,则4TTR2=16兀，解得：R =2.设 ABC外接圆半径为r,边长为a,4BC是面积为竽的等边三角形，|a2 x y =解得：a=3,r=1 x J az-1x 9 =V3,二球心O到平面ABC
8、的距离d=A/R2-r2=V4-3=1.故选：C.1 1.【2020年全国3卷文科09】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4V2 B.4+4V2 C.6+2百 D.4+2百【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形A根据立体图形可得：S XABC S ZADC S 4CDB=-x 2 x 2 =2根据勾股定理可得：AB=AD=DB=2近4DB是边长为2VI的等边三角形根据三角形面积公式可得：S“DB=A B AD sin60=1(2V2)2 =2百.该几何体的表面积是：3 x 2 +2 6 =6+275.故选：C.1 2.【2019年新课标3 文
9、科08如图，点 N 为 正 方 形 的 中 心，EC。为正三角形，平面ECD_L平面ABCD,M 是 线 段 的 中 点，则()A.B M=E N,且直线8/0,EN 是相交直线B.BM丰E N,且直线8M,EN是相交直线C.B M=E N,且直线BM,EN是异面直线D.BM于E N,且直线8/W,EN是异面直线【答案】解：.点N 为正方形N8 c。的中心，EC。为正三角形，平面EC。，平面/8 C D,例是线段的中点，.8A/U平面 8OE,ENu平面 BDE,是8中 DE边上的中线，EN是4 B D E中8。边上的中线,直 线 8W,EN是相交宜线，设=“，贝 l 8D=Va,BE=-a2
10、+-a2=y/2a,yj 4 4：.B M=a,EN=-a2+-a2=a,2 勺4 4:.B M 手 EN,故选：B.1 3.【2 0 1 9 年新课标2文科0 7 设a,B 为两个平面，则a 0 的充要条件是（）A.式内有无数条直线与0 平行B.a 内有两条相交直线与0 平行C.a,0 平行于同一条直线D.a,0 垂直于同一平面【答案】解：对于4 a 内有无数条直线与。平行，aC。或a 仇对于8,a 内有两条相交直线与0 平行，a 0；对于C,a,0 平行于同一条直线，a C B 或a 仇对于O,a,0 垂直于同一平面，a d 0 或a 仇故选：B.1 4 .【2 0 1 8 年新课标1 文
11、科0 5 已知圆柱的上、下底面的中心分别为Q,O 2,过直线。2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.12V2T T B.1 2 n C.8 V 2 i r D.i O i r【答案】解：设圆柱的底面直径为2 A,则高为2 R,圆柱的上、下底面的中心分别为。，O i，过 直 线 的 平 面 截 该 圆 柱 所 得 的 截 面 是 面 积 为 8的正方形，可得：4 R 2=8,解得/?=a,则该圆柱的表面积为：n-（V 2）2 x 2 +2V2R X 2 2=1 2 n.故选：B.1 5 .【2 0 1 8 年新课标1 文科0 9】某圆柱的高为2,底面周长为1
12、6,其三视图如图.圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为N,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从 M 到 N的路径中，最短路径的长度为（）A.2V17B.2V5 C.3 D.2【答案】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长1 6,高为：2,直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面匕从M 到 N 的路径中，最短路径的长度:V22+42=2V5.故 选:B.1 6.【2018年新课标1 文 科 10在长方体中，AB=B C=2,与平面BBiGC所成的角为 30,则该长方体的体积为（）A.8 B.6V2 C.8V2 D.8百【答案】解：长
13、方体中，A B=BC=2,4 G 与平面881GC所成的角为30,即乙4C山=30,可得6.tan3Q可得 B8i=J（2圾 2-22=2夜.所以该长方体的体积为：2 x 2 x 2&=8&.故选：C.1 7.【2018年新课标2 文科09在正方体ZBCD-m S C。中，E 为棱C G 的中点，则异面直线Z E 与 8所成角的正切值为（)【答案】C【解析】AB|CO,4B4E是异面直线AE与 CD所成角,连接B E,设正方体ABCD 4B 1G D 1棱长为2,则 4B=2,BE=V22+I2=V5,AB 1 平面BCE,BE u平面 BCE,AB 1 BE,tan/BAE=.AB 2故选：
14、c.18.【2018年新课标3 文科03】中国古建筑借助梯卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是梯头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）【答案】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是梯头,从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3 边是虚线，所以木构件的俯视图是A.故选：A.19.【2018年新课标3 文 科 12】设 4B,C,。是同一个半径为4 的球的球面上四点，AABC为等边三角形且面积为9迎，则三棱锥。-/8 C 体积的
15、最大值为（）A.1 2 V 3 B.1 8 V 3 C.2 4 V 3 D.5 4 次【答案】解：八处?为等边三角形且面积为9 百，可得当X 4 B 2 =9 后 解得4 8=6,球心为O,三角形/8C的外心为O,显然。在 O O的延长线与球的交点如图：O C=|x y x 6 =2 V 3,O O =J 42-（2 V 3）2=2,则三棱锥。-4 8 C 高的最大值为：6,则三棱锥。-4 8 C 体积的最大值为：1 x x 63=1 8 7 3.3 4故 选:B.D2 0.【2 0 1 7 年新课标1 文科0 6 如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，
16、则在这四个正方体中，直线N8与平面AQ不平行的是（）【答案】解：对于选项8,由 于 结 合 线 面 平 行 判 定 定 理 可 知 8不满足题意；对于选项C,由 于 结 合 线 面 平 行 判 定 定 理 可 知 C不满足题意；对于选项。，由 于 结 合 线 面 平 行 判 定 定 理 可 知。不满足题意；所以选项/满足题意，故 选:A.2 1.【2 0 1 7 年新课标2文科0 6 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）【答案】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半,r=
17、n32X 1 0-i-n.32X6=63n,2故选：B.2 2.【2017年新课标3 文科09已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为（）A.n B.C.-D.-4 2 4【答案】解：圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径/=小 2 _（=与,.该圆柱的体积:K=Sh=n x（曰）2 X 1=.故 选:B.2 3.【2017年新课标3 文 科 10在正方体NBC。-小3 G z 中，E 为棱C。的中点，则()A.4E_LOGB.AELBD C.Ni_L5G D.AyELAC【答案】解：法一：连&C,由题意得
18、8G_L8C，平面SBC。，且 BG u平面B山CG,A B _LSCi，8G_L 平面小 EC81,Z i u 平面 4CBi,故选：C.法二：以。为原点，D 4为x 轴，0 c 为y 轴，。为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体力8 C O-4 5 G。中棱长为2,则 4 (2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),G(0,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),A；E=(-2,1,-2),DCj=(0,2,2),BD=(-2,-2,0),BCi=(-2,0,2),几=(-2,2,0),.N；E扬 1 =-2,A；E-BD=2,A；E.BCr=0,AE-A
19、C=6,：.AELBC.2 4.【2016年新课标1文科07如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是等，则它的表面积是（)【答案】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉之后的几何体，如图:O834-3X7-8小可它的表面积是:-x4n*224-x 7 T -22=17n.故选：A.2 5.【2016年新课标1文 科 11 平面a过正方体49C。-4 8 c o i 的顶点4a 平面C 8 Q,aA 平面力6CD=加，a C 平面力8 8/1=，则加、所成角的正弦值为（）A.B.C.D.-2 2 3 3【答案】解：如图：a 平面C8|。，a
20、n 平面48CZ）=W,aD 平面48小&=，可知：n/C Dt,阳8Q i,是正三角形.所成角就是N CU8i=60.则小、所成角的正弦值为：y.故选：A.26.2016年新课标2 文科04】体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A.12K B.n C.8n D.4n3【答案】解：正方体体积为8,可知其边长为2,正方体的体对角线为V4+4+4=2后即为球的直径，所以半径为6,所以球的表面积为4兀(6 尸=12n.故选：A.2 7.【2016年新课标2 文科0 7 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为【答案】解：由三视图知，空间几何体是一个组
21、合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2 6,在轴截面中圆锥的母线长是 I T 彳=4,.圆锥的侧面积是nX 2X 4=8n,下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,二圆柱表现出来的表面积是nX22+2TrX2X4=2(hr空间组合体的表面积是28TT,故选：C.2 8.【2016年新课标3 文 科 10如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为（C.90 D.81【答案】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱,其底面面积为：3X6=18,侧面的面积为：(3X3+3X V为+62)X2=18+18V5
22、,故棱柱的表面积为：18X2+18+1875=54+186.故选：B.2 9.【2016年新课标3 文 科 11在封闭的直三棱柱4 8 C-4 81G内有一个体积为/的球，若AB=6,BC=8,/4=3,则 k 的最大值是（)A.4n B.C.6n D,等【答案】解：ABBC,4B=6,2 c=8,：.AC 10.故三角形/8 C 的内切圆半径r=6+87-10=2c,2又由AAi=3,故直三棱柱ABC F 山Q 的内切球半径为去此时产的最大值?冗）3=日，故 选:B.3 0.【2015年新课标1文科06】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，
23、高 五 尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛【答案】解：设圆锥的底面半径为r,则9=8,解得r=竺，7 T故 米 堆 的 体 积 为（竺）2X5冷，4 3 n 9V I斛米的体积约为1.62立方，故选：B.3 1.【2015年新课标1文 科11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几
24、何体的表面积为16+20n,则 =（）【答案】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱,其表面积为：1 *4 丘户+1 X n r2+；X 2/-X 2 n H-2 r X 2r+|X n?-2=5 n r2+4 -2,又 该几何体的表面积为1 6+2 0 n,5 n/*2+4 r2=1 6+2 0 n,解得 r=2,故选：B.3 2.【2 0 1 5 年新课标2文科0 6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）【答案】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三
25、棱锥,/.正方体切掉部分的体积为:x|x l X l X l=i,剩余部分体积为1-7 =1-o O.截去部分体积与剩余部分体积的比值为去故选：D.3 3.【2 0 1 5 年新课标2文 科 1 0 已知4 8是球。的球面上两点，4 0 8=9 0 ,C为该球面上的动点，若三棱锥。-A B C体积的最大值为3 6,则球。的表面积为（）A.3 6 n B.64H C.1 4 4 n D.2 5 6 n【答案】解：如图所示，当点C位于垂直于面/08的直径端点时，三棱锥0-48C的体积最大，设球O的半径为R,此时匕r.c=P i O B=：X：x R 2 x R=1 R 3=3 6,故尺=6,则球。
26、的表面积为4 n/e 2=M优，3 2 6故选：C.3 4.【2 0 1 4 年新课标1 文科0 8 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图,【答案】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图,可知几何体如图：几何体是三棱柱.故选：B.63 5.【2 0 1 4 年新课标2文科0 6 如图，网格纸上正方形小格的边长为1 （表 示 工加），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 c w,高为6 c/n 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与【答案】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2,一个是底面半径为2,高为
27、4,组合体体积是：32i r,2+22T r,4=3 4 n.底面半径为3 c m,高为6 c m 的圆柱体毛坏的体积为：3%X 6=5 4 n切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：器#=普.547r 27故选：C.3 6.【2 0 1 4 年新课标2文科0 7】正三棱柱/8 C-小8 1 G 的底面边长为2,侧棱长为h，。为 8c中点，则三棱锥4-BOG的体积为（）A.3 B.-C.1 D.2 2【答案】解：正三棱柱4 8 C-4 8 1 G 的底面边长为2,侧棱长为遮，D 为 BC中点,二底面 B iDC i 的面积：!x 2 x V 3 =V 3,A到底面的距离就是底面正三角形的高：V
28、 3.三棱锥A -B Q C i的体积为：g X百 x6=1.故选：C.3 7.【2 0 1 3 年新课标1 文 科 1 1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（)1 6+1 6 n D.8+16T T【答案】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.二长方体的体积=4 X 2 X 2=1 6,半个圆柱的体积=1 x 22X n X 4=8 T T所以这个几何体的体积是1 6+8 1 T；3 8.【2 0 1 3年新课标2文科0 9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-中z中的坐标分别是（1
29、,0,1）,(1,1,0),(0,1,1）,（0,0,0）,画该四面体三视图中的正视图时;以z Ox平面为投影面，则得到正视图可以为（)【答案】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-型中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1.1),(0,0,0),几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以z Ox平面为投影面，则得到正视图为:3 9.2 0 2 1年全国甲卷文科1 4 已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30兀 则该圆锥的侧面积为【答案】397rVK=1TT62-h=307r I=V/i2+r2=J(|)2+62=13:，SzrrZ=7 T x 6 x
30、=397r.删2故答案为：397r.h40.2021年全国乙卷文科1 6 1以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.图 图【答案】（答案不唯一）选择侧视图为，俯视图为,如图所示，长方体4 BCD-4 i B i G(D i 中，A B =BC=2,BBX=1,E,尸分别为棱/Cr,B C 的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥E-4 D F.故答案为：.4 1.【2 0 2 0 年全国2卷文科1 6】设有下列四个命题：p i：两两相交且不过同一点的三条直
31、线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.P 4：若直线/u 平面a,直 线 平 面 a,则，则 下 述 命 题 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.Pl A P4Pl A P2-1P2 V p3-ip3 V-1P4【答案】【解析】对于命题P i，可设h与a相交，这两条直线确定的平面为a：若I 3 与 相 交，则交点4 在平面跣内，同理，4与%的交点B 也在平面a 内，所以，A B c a,即 u a,命题P i 为真命题;对于命题P 2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题P2为假命题；对于命题P 3,空间中两条直线相
32、交、平行或异面，命题P3为假命题；对于命题P 4,若直线m J平面a,则n i垂直于平面a内所有直线，.直线I u 平面a,.直线m，直线I,命题P4为真命题.综上可知，P1AP4为真命题，P1AP2为假命题，rP 2 V p 3为真命题，rP3 V-1P4为真命题.故答案为：.4 2.【2020年全国3卷文科16】已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为【答案】4 兀【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC=2,4B=4C=3,且点A/为 BC边上的中点，设内切圆的圆心为0，由于4M=V32-I2=2 V 2,故SMBC=1x
33、2 x 2V2=2V2,设内切圆半径为r,则：111SZABC=SZAOB+SABOC+S&AOC=爹 AB x r+x BC x r+x AC x r=1 x(3 +3+2)x r =2V2,解得：r =苧，其体积：V =7 T.故答案为：-y T T.4 3.【2 0 1 9 年新课标3文 科 1 6】学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体/8 C)-4 8 i G Oi 挖去四棱锥O-E F G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,，分别为所在棱的中点，Z 8=8 C=6 c w,Z a=4 c?n.3。打印所用原料密度为0.9 g/c/.不考虑
34、打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.【答案】解：该模型为长方体力8。)-4囱 挖 去 四 棱 锥 O-E F G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H,分别为所在棱的中点，A B=B C=6cm,44I=4CTM,.该模型体积为：匕 4 BCD-d B1 C1 D1 O-EFGH=6 X 6 X 4-工 x(4x6-4xx3x2)x3=1 4 4-1 2=1 3 2 (c w3),V3O 打印所用原料密度为0.9 g/c?3,不考虑打印损耗，二制作该模型所需原料的质量为：13 2X 0.9=118.8(g).故答案为：118.8.4 4.【20 19年新课标1 文 科 1
35、6 已知乙4 c 8=90 ,P为平面4 B C 外一点,P C=2,点尸至I J/Z C 3 两边/C,8 c的距离均为旧，那么P到平面Z 8 C 的距离为.【答案】解：4c 8=90,尸为平面/8 C外一点，P C=2,点尸到N/C 8两边/C,8 c的距离均为国,过点尸作P D _ LZ C,交N C于。，作P E _ L 8 C,交BC于E,过尸作尸O_L平面N 8 C,交平面/8 C于O,连结 O。，OC,则 PZ)=PE=V5,：.C D=C E=O D=O E=J22-(V3)2=1,：.P O=y/P D2-O D2-=V2.：.P到平面A B C的距离为V I故答案为：V2.
36、45.【2018年新课标2文 科16已知圆锥的顶点为S,母线S 4 SB互相垂直,SN与圆锥底面所成角为30.若 SA B的面积为8,则 该 圆 锥 的 体 积 为.【答案】解：圆锥的顶点为5,母线S 4 S 8互相垂直，8的面积为8,可得：SA2=8,解得S4=4,5/与圆锥底面所成角为30.可得圆锥的底面半径为：2 g,圆锥的高为：2,则该圆锥的体积为：K=x 7 T x(2V3)2 x 2=8n.故答案为：87T.46.【2017年新课标1文 科16】已知三棱锥S-N 8 C的所有顶点都在球。的球面上，S C是球。的直径.若平面SC/J平面SC8,SA A C,S B=B C,三棱锥S-
37、/8 C的体积为9,则球。的表面积为.【答案】解：三 棱 锥 的 所 有 顶 点 都 在 球。的球面上，S C是球。的直径，若平面S O J_平面SC8,SA=A C,S B=B C,三棱锥S-1 8 C的体积为9,可知三角形S 8C与三角形S/C都是等腰直角三角形，设球的半径为八可得g x g x 2r x r x r=9,解得厂=3.球O的表面积为：411/=36冗.故答案为：3 6Tt.4 7.【20 17年新课标2 文 科 15 长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球O的表面积为.【答案】解：长方体的长、宽、高分别为3,2.1,其顶点都在球。的球面上，可知长方
38、体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为：,3 2 +22+12=5.则球。的表面积为：4*（当）2兀=14 n.故答案为：14TT.4 8.【20 13 年新课标1文 科 15 已知/是球。的直径N8 上一点，A H：H B=1：2,平面a,H为垂足,a 截球O所得截面的面积为n,则球。的表面积为.【答案】解：设球的半径为R,8=1：2,.平面a 与球心的距离为京，a 截球O所得截面的面积为n,时，r=1,故由尺2=产田得火2=口+（初2,.收=（球的表面积S=4 W?2=.故答案为：4 9.【20 13 年新课标2 文 科 15】已知正四棱锥0-4 8。的体积为苧，底面边长为旧，则以。为
39、球心，。力为 半 径 的 球 的 表 面 积 为.【答案】解：如图，正 四 棱 锥 的 体 积 上 领=，百 xb）XOH=苧，2在直角三角形 04/中，O A=V 0 H2+A H2=J（）2+（y）2=V 6所以表面积为4 口户=2轨：故答案为：24 n.模拟好题，.1.在正四棱锥P-4 B C 0 中，A B =2 五,若正四棱锥P 4 B C 0 的体积是8,则该四棱锥的侧面积是（）A.V 22 B.2V 22 C.4 寂 D.8722【答案】C【解析】如图，连接/C,BD,记4 C n B D =。，连接。P,所以。P J 平面/B C D.取 BC的中点E,连接O E,P E.因为
40、正四棱锥P-4 B C。的体积是8,所以g 4 B 2-0 P =|0 P =8,解得。P =3.因为B E =B C =2,所以在直角三角形P O E 中,P E =7 0”+B E2=技 短=V T T，则4 P B C 的面积为（B C P E =3 X X V i l =V 22,故该四棱锥的侧面积是4 V 22.故选：C2.如图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）正视图 侧视图7俯视图A-T B.6 C.y D-i【答案】A【解析】根据三视图作出几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体为三棱锥P-A B C 与直三棱柱力BC-D EF拼接而成的几何体，且P4_L平面ABC
41、,AB 1 BC,PA=AB=BC=2,AD=1,所以，该几何体的体积为V=i x l x 23+ix 22x l =.故选：A.3.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段48=8,C,。,。为线段AB的四等分点，则该圆台的表面积为（）【答案】A【解析】设圆台上底面半径为r,下底面半径为H,则 2nr=g x 2TT x 2,2nR=1 x 2TT x 4,解得：r=1,R=2,二圆台上、卜.底面面积分别为：Sj=nr2=7T,S2=TIR2=4zr,又圆台的侧面积S3=色当M=6TT，：.圆台的表面积S=Si+S2+S3=11兀-故 选:A.4.如图，在圆锥S。中，4C为圆锥的底面直径，a
42、C=4,4SAC为等腰直角三角形，8 为底面圆周上一点,且N4CB=60。，/W为S4上一动点，设直线BM与平面SAC所成的角为仇 则 sin。的最大值为（）A.在 B.正 C.邈 D.这5 5 5 5【答案】C【解析】如图，过点 B 作 8。1 AC 于点 D,连 MD,：SO I 平面ABC,BD a n A B C,：.S0 A.BD,乂BD 1 AC,AC nSO=0,AC,SO cFffiSOC,：.BD 1 平面S O C,又：MD u 平面SOC,：.BD 1 M D,故4BMD为直线BM与平面$4C所成的角，在中，MD越小，8越大，sin。越大，当M0 1 S 4 时，MO最小
43、，此时sin。最大，=4,S4C为等腰直角三角形，又4ACB=60,在 Rt ABC中，BC=2,在 Rt BCD中，CD=1,则=3,在等腰直角三角形ZDM中，MD=A D xsin-=/62访 2-4故选：B.1 0.如图，在四面体Z8CD中，/.B C D=90,4B J平面BC。，A B =B C =C D,P 为 4 C 的中点，则直线8P 与 所 成 的 角 为（）【答案】D【解析】在四面体力 8CO 中，4B 1 平面BCD,CD u 平面B C D,则AB 1 C D,而/BCD=90。，BPBC 1 CD,又A B C B C =B,4B,B Cu平面4 B C,则有CD 1
44、 平面力B C,而BP u 平面ABC,于是得CD I B P,因尸为NC的中点，即4 c l B P,而4CnCD=C,AC,CCu平面4CD,则B PL 平面4 C D,又4。u 平面A C O,从而得BP _ L 40,所以直线B P与AD所成的角为宗故选：D1 1.若过圆锥的轴SO的截面为边长为4 的等边三角形，正方体ABCD-&B1C1D1的顶点4 B,C,D在圆锥底面上，公,当，的，/在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（）A.2V2 B.3V3 C.2（3夜 -2 D.2（3V 6-2V2）【答案】C【解析】根据题意过顶点S和正方体上卜两个平面的对角线作轴截面如卜所示:所以SE =S
45、F =EF =4,4 E =4/=6 0 ,所以E。=2,SO =V 42-22=2 百,A 1 4 C Q 为矩形，设4 4 1=x,所以A C=AC =鱼 X，所以4。1=亨，所 以 警=攀，即 普=4，即 受=，解得 =2（3 夜一 2 8）.EO SO EO SO 2 23 故选：C.1 2.手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，4F =B i F=2 或，4 B =4 4 i =2A D=4,P,Q,M,N分 别
46、 是 棱。山,B B 4/的中点，则 异 面 直 线 与 A/N 所成角的余弦值是（）【答案】B【解析】分别取棱C C i，的中点G,H,连接力”，H Q,NH,MG,GH.易证四边形APQH是平行四边形，四边形MNHG是平行四边形,则ZHIIPQ,GHWMN,故4AHG是异面直线PQ与 AW所成的角或其补角.因为4/=BiF=2V2，AB=AAi=2AD=4,所以4H=V30-GH=3V2.AG=276.cosZ.AHG=30+18-24 _ 2V152xV30 x3V2-15故异面直线PQ 与 M N所成角的余弦值是警.故选：B1 3.在矩形MNKZ,中，MN=4,ML=4V3,A.B、C
47、、D 分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，使得点K、L,M、N 重合于点P,则该几何体的外接球表面积是（）A.187r B.167r C.207r D.227r【答案】c【解析】解：折叠后K、L 重合于P l，M.N 重合于P 2,平面BDP1与平面BDP2沿BD折叠后重合后得平面BDP,得到如图，c又因为AK、A L 垂直BP,OP,CP，,即CM、C N 垂宜BP,DP,所以2P_L平面BDP,CP J_平面BOP,所以A、C、P 三点共线，所以AP=CP=2,AC=AP+CP=4,BD=4,AE=AD=BC=273,由该三棱锥对棱相等，所以三棱锥是长方体内的一部分，设长方体长
48、宽高分别为a、b、c,外接球半径为R,则 2R=，a2+b2+c2,（a2+b2=42因为 /+C?=（2百）2 ,所 以+82+c2=2 0,所以R=花，c2+a2=f2V3所以外接球表面积为S=20TT,故选:C1 4.在三棱柱4BC-&B1C1中，R E分别为48,841的中点,若4&=4。=2,DE=y 6,则OE与C g所成角的余弦值为（）A.且 B.渔 C T D.迪34 3 8【答案】D【解析】如图所示，取点BC的中点尸，连接。F,EF,因为三棱柱ABC-&B1C1 中，CE/fCF.CxE=CF,所以，四边形GEFC是平行四边形，所以，CCEF,所以乙DEF异面直线CE与e g
49、 所成的角或其补鱼，在 DE尸中，可得EF=AAV=2,OF=AC=1,DE=瓜由余弦定理可得coszDEF=气-V=巫.2x76x2 8所以，OE与e g 所成角的余弦值为苧故选：C.1 5.在三棱锥4 B C D中，A B,A C,力。两两垂直，A B =A C =A D=2,若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为()A.4兀 B.87 r C.(2 4 -1 6或)兀 D.(4 8 3 2夜)兀【答案】D【解析】如图示，以Z为原点，荏，而，而分别为X y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,0,2),D(0,2,0).设与三棱锥各棱均相切的球的球
50、心为。(x,y,z),半径为厂，过。作O O/，面于O,则O i(x,y,0).在底面力8。中，即平面x o y内，直线8。方程为：x+y=2,Oy),所以0/=所以户=。2 =001 2 +0/2,即(竽y+z2=2 过。作于E,过。作OEL/C于尸，过。作O G_ 1 _ Z D于G,过。作。于由 OF=。4 得：x2+y2=N.同理可得:xz+z2=r2（）,y2+z2=r2.联立可得x=y=z.x=2-V 2y=2-密z=2-V 2r2=12-8V2所以该球的表面积为4兀/=47 r（12-8企）=（48-32企）兀.故选：D1 6.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体所