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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题12立体几何解答题筱真题汇总1.【2 0 2 2 年全国甲卷文科1 9 1 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面4 B C D 是边长为8 (单位：c m)的正方形，E A B,F B&GCD,H D A 均为正三角形,且它们所在的平面都与平面Z B C D 垂直.(1)证明：E F/平面4 B C D；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【答案】(1)证明见解析；(2 停 后【解析】(1)如图所示：分别取4B,8c的中点M,N,连接M N,因为 E4B,FBC为全等的正三角
2、形，所以EM _ L AB,FN _ L BC,E M =F N,乂平面EAB JL平面ABC。，平面E4B n平面4BCD=48,EM u 平面E A 8,所以EM J 平 面 ABC。，同理可得尸N _L 平面4B C D,根据线面垂直的性质定理可知EM尸N,而EM=F N,所以四边形EMNF为平行四边形，所以E F M N,又EFC平面4BCD,MN u平面4B C D,所以EF平面48CD.(2)如图所示:分别取4。,。中点/,乙，由(1)知，E F/M N S.E F =M N,同理有，HE/K M.HE =K M,HG/K L,HG=K L,GF/L N,GF =L N,由平面知识
3、可知，B D 1 M N,M N 1 M K,K M =M N =N L =L K,所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4 倍.因为MN=N L =L K =K M =4VI.E M=8sin60=473.点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d,d=2&，所以该几何体的体积U=(4V2)2 x 4V3+4 x i x 4V2 x 4V3 X 2V2=128V3+学 遮=等 心2.【2022年全国乙卷文科18 如图，四面体4BCD中，A D 1 CD,A D=CD.AADB=B DC,E 为 NC的中点.(1)证明：平面BEO _L 平面4
4、 8；(2)设AB=BC=2,乙4cB=60。，点广在8。上，当?!?(?的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积.【答案】（1）证明详见解析【解析】(1)由于40=C0,E是4 c 的中点，所以4c 10E.A D=CD由于-B D=B D,所以40BWAC0B,.Z.A DB =D B所以A B =C B,故4CJ.BD,由于OEClBO=O,OE,BOu平面BE。，所以AC J平面BED,由于力C u 平面Z C D,所以平面BED J 平 面 4CD.(2)依题意力B=BO=BC=2,乙4cB=60。，三角形4BC是等边三角形，所以 AC=2,A E=CE=LBE=V3.由于=CD,AD
5、 1 C D,所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以D E=LDE2+B E2=B D2,所以DE 1 B E,由于ACnBE=E,4&B E u平面A B C,所以DE_L平面4BC.由于408 三 C O B,所以ZFB4=NFBC,(B F =B F由于=4 尸 8C,所以尸8 4 三 FBC,(A B =CB所以4F=C F,所以EFJ.4C,由于SA”C=1 4 C-E F,所以当EF最短时，三角形AFC的面积最小值.过E作E F 1 B O,垂足为F,在 RtABED 中，-B E -DE =-B D-E F,解得EF=遗，2 2 2所 以 所=卜 _(穿=%B F =2 DF =
6、彳 匚【、I BF 3所以访，过尸作F H 1 B E,垂足为“，则FHD E,所以FH 1 平面A B C,且段=第=：,DE BD 4所以F H=*所以 V lB C =1,SABC-F/=|x i x 2 x V3 Xj =y.3.【2 0 2 1 年全国甲卷文科1 9】已知直三棱柱4BC-A/i G 中，侧面4 4 止 18为正方形，A B =BC=2,E,尸分别为4C和CCi的中点，B F lA iB i.(2)己知。为棱4 i B i 上的点，证明：BF 1 DE.【答案】(%;(2)证明见解析.(1)如图所示，连结/，由题意可得：BF=VBC2+CF2=V 4T T =V5.由于
7、 Z8_L88i，BC1AB,故4B J_平面而BF u-平面BCCiBi，故4 B 1 B F,从而有 4F=TAB?+B 尸 2=V4V 5=3,从而4 c =yjAF2-CF2=V 9 1 =2V2.则AB?+BC2=AC2,AB 1 BC,A 4BC为等腰直角三角形，111 1 1 1S&BCE 5s 4ABe=JX（7X2X2）=1,V F-EBC=J X$ABCE XCF=孑 X 1 X 1=9 由的结论可将几何体补形为一个棱长为2 的正方体4BCM-41B1C1M 1，如图所示，取棱AM,BC的中点、H,G,连结正方形BCC1B1中，G,F为中点，则B F1B 1G,又BF J.
8、C BG=B1，故BFJ平面41B 1G H,而DE u 平面为B1GH,从而Bf1 DE.4.【2021年全国乙卷文科18如图，四棱锥P-4 B C D的底面是矩形，PO _L 底面4BCD,为BC的中点,且 PB 14M.B(1)证明：平面PAM J 平面PBO；(2)若PD=D C=1,求四棱锥P-4 B C D 的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)立.3(1)因为PD1 底面ABC。，A M u平面4BCD,所以 PZ)1 AM,义PB 1 AM,P B CPD=P,所以4M _ L 平面PBD,而4M u 平面PAM,所以平面PAM 1平面PBC.(2)由(1)可知，4 M l平
9、面P B O,所以AM 1BD,从而AOABZkABM,设B M =x,A D =2x,则 等=*，即2/=1,解得刀=玄，所以=AB AD 2因为PD J L 底面ABC。，故四棱锥P-ABC。的体积为V=i x(l x V 2)X l=y.5.【2 0 2 0 年全国1 卷文科1 9】如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形,P为。上一点，ZAPC=90.(1)证明：平面以8 J _ 平面以C；(2)设。8 夜，圆锥的侧面积为行兀，求三棱锥P-4 8 C 的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)O【解析】(1)。为圆锥顶点，。为底面圆心，：.O D 平面4BC,
10、P在DO上，OA=O B =OC,PA=P B =PC,是圆内接正三角形，4C=BC,PAC=PBC,：.AAPC=zBPC=9 0 ,即PB 1 PC,PA 1 PC,PACtPB=P,.PC 1 平面P4B,PC u 平面PAC,.平面P 4 B，平面P4C；(2)设圆锥的母线为l,底面半径为r,圆锥的侧面积为兀 W=6 兀,仪=6,OD2=I2-r2=2,解得r =1,1 =6，AC=2rsin600=V 3,在等腰直角三角形4PC中，AP=-AC=,在R tA P 4。中，PO=y/AP2-OA2=-1,y 4 2.三 棱 锥 P-4BC的体积为V p c =.S“BC=袅枭3=*6.
11、【2 0 2 0年全国2卷文科2 0 如图，已知三棱柱/B C-ZL8 1 G的底面是正三角形，侧面88QC是矩形，M,N分别为BC,8 1 G的中点，P为4/上 一 点.过8 1 cl和尸的平面交N 8于E,交/C于凡(1)证明：AAI/MN,且平面 4 4 W N_ L平面 E 8 1 GF；(2)设。为 4 8 C 1的中心，若4O=4B=6,平面瓦?(尸，且N M P N苦，求四棱锥8-E 8 C/的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)24.【解析】(1)M,N分别为BC,B ig 的中点，又 A 4/B B 1:.MNHAAX,在等边4BC中，M为BC中点，则BC 14M又.侧面B
12、BCiC为矩形，BC 1.BB1,MNHBB、,MN BC,由 MN CAM=M,MN,4M u 平面 24M N BC，平面又：B iC/B C,且B ig 4 求三棱锥。-N8尸的体积.【答案】解：(1)证明：在平行四边形/8CA/中，ZJCM=90 ,：.A B L A C,又 4 B L D4.S.A D Q A C=A,：.ABA,ADC,：ABc.ABC,.,.平面ZCD_L平面4?C；(2)N/CA/=90,:*AD=AM=3&,：.BP=DQ=汕=2夜，由(1)得。C_L48,5L DC VC A,：.DC1,ABC,三棱锥0-ABP的体积V=:S“BP x扣C1 2 1 12
13、 1 1=1x B CxiD C =ix|x i x 3 x 3 x i x 3=l.O O O O O b J1 2.【2018年新课标2文科1 9 如图，在三棱锥P-N 8C中，AB=BC=2近,R4=PB=PC=AC=4,。为NC的中点.(1)证明：尸。_1 _平面/8 C；(2)若点 在棱8 c上，且C=2 M 8,求点C到平面尸的距离.【答案】(1)证明：；/8=8 C=2/，AC=4,：.AB2+BC2=AC2,即/8 C是直角三角形,又。为ZC的中点，OA=OB=OC,；PA=PB=PC,出尸08丝尸。C,:.NPOA=NPOB=NPOC=90,J.POLAC,POLOB,O 8
14、n/C=0,平面/8 C；(2)解：由(1)得 PO_L平面 NBC,PO=y/PA2-AO2=2y/3,在COM 中，OM=y/OC2+CM2-20C-CMcos450=苧.C 1 n c CR.1 2A/5 2VT5SPOM=5 x P x 0M=-x 2v3 x =j ,c_ 1 2 c _ 4Ocaw=-x-x 3 ABC=3-设点 c 到平面 POM 的距离为 d.由%OMC=Vc.po,X SAP0M-d=I x S0CM x P0,解 得 公 竽，点 C到平面POM的距离为子.1 3.【2 01 8 年新课标3文 科 1 9 如图，矩形188所在平面与半圆弧前所在平面垂直，M 是
15、加上异于C,。的点.(1)证明：平面平面8 M C；(2)在线段4 W上是否存在点P,使得M C平面P 8 O?说明理由.【答案】(1)证明：矩形力8 C Q 所在平面与半圆弦前所在平面垂直，所 以 半 圆 弦 前 所 在 平 面，C M u半圆弦前所在平面，J.CM L A D,M 是而上异于 C,O 的 点.A C M 1 D M,D M H A D=D,.C Ml.平面C M u 平面 C A/8,.平面 4W Z)_L 平面 B M C；(2)解：存 在 尸 是 的 中 点，理由：连接8。交NC于 O,取 的 中 点 尸，连接。尸，可得MC必”平面8 C P,O P u 平面5。尸，所
16、以A/C 平面P B D.1 4.【2 01 7年新课标1 文 科 1 8 如图，在四棱锥尸-48 C。中，A B/C D,且/B A P=N CDP=90 .(1)证明：平面以8 _L 平面RW；(2)若 R 4=P D=A B=D C,N/P O=9 0 ,且四棱锥P -Z 8 C Z)的体积为g,求该四棱锥的侧面积.【答案】证明：(1):在四棱锥P-/8 C O 中，N B A P=N C D P=9 0 ,：.ABA.PA,CDLPD,义 ABH CD,J.ABLPD,：PACPD=P,二/夕，平面为O,平面以8,二平面处8，平面/MO.解：（2）设 弘=PD=4B=DC=a,取 4）
17、中点。，连结产。，JPAPD ABD C,乙4尸 =90,平面以2_L平面 RW,.PO_L底面 N8CD,且 AD=加 +&2=缶,pO=la,/四棱锥尸-4 8 8的体积为，由48_L平面以。，得4BU D,1 力 ABCD=-X S四边形ABCD X P。=-xA B xA D xP O =-x a V 2a X a-i a3-3 3 2 3 3解得 a=2,：.PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2f2,PO=V2,:.PB=PC=V4T4=2 VI,该四棱锥的侧面积：S U J =S D+S B+SIYPDC+SPBC=-x PAx PD+-x PAx AB+-x PD x DC
18、+-x BC x PB2-（）22 2 2 2 yj k 2 7 x 2 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 V2 x J8 22 2 2 2=6+2 技1 5.【2017年新课标2文科18如图，四棱锥P-48C。中，侧面双。为等边三角形且垂直于底面N8C。,AB=BC=/D,NB4D=/4BC=90.(1)证明：直线8 c平面以。；(2)若7面积为2 e，求四棱锥P-Z8C。的体积.【答案】(1)证明：四棱锥 P-43 C。中，.,.BC/AD,.【。=平面以。，BCt平面PAD,二直线B C平面为。；(2)解：四棱锥P-/8 C。中，侧面口。为等边三角形且垂直于底面
19、4 8 8,4 B=B C=，D,N B 4 D=N/8 C=9 0.设/D=2 x,M l AB=BC=x,C D=V 2 x,。是力。的中点，连接P O,OC,CO的中点为：E,连接O 则 OE=-x,P O=V 3 x,PE=y/PO2+OE2=今P C。面积为2夕，可得：；PE.CD=2小,即：三 乂 余.岳 =2用,解得x=2,PO=2y3.则 VP ABCD=(BC+AD)X A B X P O=|X 1 x (2 +4)x 2 x 2 73 =45/3.1 6.【2 01 7年新课标3文 科1 9 如图四面体48。中，48 c是正三角形，AD =CD.(1)证明：AC BD；(2
20、)已知N C。是直角三角形，/8=5。，若E为棱8。上与。不重合的点，K A E L E C,求四面体N 8 C E与四面体Z C D E的体积比.D【答案】证明：（1）取/C 中点。，连结0 0、B0,.,Z 8 C 是正三角形，AD=CD,：.DO1AC,BOLAC,；DOCBO=O,平面 8 00,平面 BDO,：.ACLBD.解：（2）法一：连结由（1）知4c，平面08 0,；0E u 平面 08。，J.0ELAC,设 AD=C D=&,则 O C=O N =1,EC=EA,CAEVCE,AC=2,J.ECEAAC2,:.EC=EA=V 2 =CD,是线段/C 垂直平分线上的点，.E
21、C=E/=C O=V 2,由余弦定理得：c os Z C B Z)=BC2+BD2-CD2 BC2+BE2-CE22BCBD2BCBE:B E B D=2,:B E=,:.BE=ED,四面体/8 C E 与四面体AC DE的高都是点A 到平面BCD的高h,VBEED,SDCESBCEt二四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.法二：设 AD=CD=a,W J AC=ABBCBD=2,/。=(7。=。=1,：.BO=V 4 I =V 3,：.BO1+DO1=BD2,：.BOLDO,以。为原点，0 4 为x 轴，0 8 为y 轴，0。为z轴，建立空间直角坐标系,贝 lj C (-1,0,0),
22、D(0,0,1),B(0,V 3,0),A(1,0,0),设 E (.a,b,c),DE=ADB,(O W 入 W l),则(a,h,c-I)=A (0,V 3,-l),解得 E (0,V 3 1,I-A),T-CE =(1,V3A,1-A),A E=(-1,V3A,1-A),：A E L E C,：.A E-C,=-1+3A2+(1 -A)2=0,由 入 0,1,解得2=芯:.DE=B E,：四面体A B C E与四面体A C D E的高都是点A到平面BC D的高h,：DE=B E,:S4DCE=SABCE，四面体/8C E 与四面体A C D E的体积比为I.17.【2016年新课标1文
23、科 18如图，已知正三棱锥尸-Z 8 C 的侧面是直角三角形，以=6,顶点尸在平面/8 C 内的正投影为点。，。在平面以8 内的正投影为点E,连接尸E 并延长交48 于点G.(I)证明：G 是4 5 的中点；(I I)在图中作出点在平面/MC内的正投影尸(说明作法及理由)，并 求 四 面 体 尸 的 体 积.【答案】解：(I)证明：为正三棱锥，旦为顶点P 在平面/8 C 内的正投影,平面 A B C,则 P DA.A B,又 E为 D在平面P A B内的正投影，面 玄 8,则:P D C D E=D,，平面P D E,连接PE并延长交Z 8于点G,则 A B L P G,又 P A=P B,，
24、G是4 8的中点；(I I )在平面以5内，过点E作2 8的平行线交R 1于点尸，尸即为E在平面口。内的正投影.正三棱锥P-A B C的侧面是直角三角形，.P B A.P A,P B L P C,又E F/P B,所以所上以，E FVPC,因此 7 平面以C,即点F为E在平面以C内的正投影.连结C G,因为P在平面/8 C内的正投影为。，所以。是正三角形4 8 C的中心.由(I )知，G是4 8的中点，所以。在C G上，故C O=：C G.由题设可得PC平面刃8,D E L平面以8,所以DE P C,因此尸E=g P G,DE=P C.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且以=6,可得DE=2,
25、PG=3 P E=2 y 2.在等腰直角三角形E F尸中，可得E F=P F=2.所以四面体 P DE F 的体积 V=1 XDEXS&PEF=g x 2 x /X 2 X 2=g.1 8.【2 0 1 6年新课标2文科1 9 如图，菱形N B C。的对角线4 C与8。交于点O,点E、/分别在CD上，A E=CF,EF交BD于点、H,将AD EF沿EF折到E F的位置.(I )证明：A C H D；(I I )若/8 =5,A C=6,A E=,O D=2遮，求五棱锥。-8 C尸E 体积.4D【答案】(I )证明：.菱形Z 8 C。的对角线/C 与5。交于点O,点E、尸 分 别 在。上，AE=
26、CF,：.EF/AC,且 E R L B O将ZDEF沿EF折到 EF的位置，则 D HA.EF,：EF/AC,.,.AC1.HD1；(I I )若 4 8=5,A C=6,则/O=3,BO=OD=4,：AE=AD=AB5,49：EF/AC,.DE _ EH _ DHAD AO OD3-4=15-4-5g 9：.EH=4 ,EF=22EH=DH=3,OH=4-3=1,：HD=DH=3,OD=2 V 2,二满足 2=。2+o 2,则O/。为直角三角形，且 O。LOH,又 OD LAC,ACnOH=O,即 0 O，J _ 底面/B C D,即O。是五棱锥。-N 8 C F E 的高.9底面五边形的
27、面积S=J x A 5 O B +竽 丝=J x 6 x 4+且 要=1 2+弓=曷222 2 4 4则五棱锥。-ABCFE V=-S OD=i x x 2 V 2 =.3 3 4 2D1 9.【2016年新课标3文科19如图，四棱锥P-Z 8C。中，底面/BCD,AD/BC,4B=AD=AC=3,PA=BC=4,M为 线 段 上 一 点，AM=1MD,N为尸C的中点.(1 )证明儿W平面处8；(II)求四面体N-BCM的体积.【答案】证明：(I)取8 c中点E,连结EM EM,为PC的中点，是尸8 c的中位线C.NE/PB,又,：ADBC,J.BE/AD,；4B=AD=AC=3,H=8 C=
28、4,历为线段/上一点，AM=2MD,：.BE=-BC=AM=2,2：.四边形ABEM是平行四边形，：.E M/A B,平面 MEM平面以8,MNu平面 NEM,：.MN/平面 PAB.解：(I I)取/C中点尸，连结凡是以。的中位线，：.NF/PA,NF=PA=2,2：PALABCD,J.NFYABCD,如图，延长8 c至G,使得C G=/M,连结GM,；/A1|CG,.四边形/IGCAf是平行四边形,：.A C=M G=3,又，：M E=3,E C=C G=2,.MEG 的高=V5,S&BCM=|x B C x/i=1 x 4 x V 5 =2A/5,，四面体 N-B C M 的体积 KN.
29、fiGw=|x S CM x NF=g x 2遥 x 2=竽.2 0.【2015年新课标1文 科 18如图，四边形/8 C D 为菱形，G 为/C 与 8。的交点，BEY ABC D.(I)证明：平面ZEC_L平面BED；(II)若/Z8C=120,A E L E C,三棱锥E-/C O 的体积为争求该三棱锥的侧面积.：.A Cr B D,平面 A B CD,.A C-L B E,则 4C，平面B E D,：/C u 平面 A E C,平面/EC_L平面B E D；解：（H）设/8=x,在菱形 N2CC 中，由 48C=120,得 4G=GC=今，G B=G D=,；8E_L 平面 A B C
30、D,J.B E L B G,则aEBG 为直角三角形,：.EG=-AC=AG=x,2 2则 BE=7EG?-BG?-y-x,三棱锥E-ACD 的体积 F=1 x AC-G DBE=X3=半，3 2 24 3解得X=2,即45=2,V ZABC=2O0,：.AC2=AB2+BC2-2AB*BCcosABC=4+4-2x 2 x 2 x(-i)=12,即 AC=V12=2V3,在三个直角三角形E8/,EBD,EBC中,斜边NE=C=E。，JAELEC,；./?为等腰三角形，则/户+二 力 :12,即 2/盾=12,：.AE2=6,则 AE=V6,从 而 得/E=EC=O=V6,，E/C 的面积 5
31、=1 X-EC=1 X V6 x V6=3,在等腰三角形4。中，过 E 作 尸，于凡则 AE=V6,AF=D =g x 2 =1,贝 lEF=J(V6)2-I2=V5,AEAD的面积和EC。的面积均为S=x 2 x V5=V5,故该三棱锥的侧面积为3+2V5.2 1.【2015年新课标2 文 科 19如图，长方体/8C。由ICQI中，AB=16,8 c=10,44尸 8,点 E,F分别在4 3,01G上，A iE=D iF=4.过 E,E 的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)(II)求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】解：
32、(I)交线围成的正方形EFG/7如图所示；(II)作 垂足为 A/,则/M=4K=4,EBi=12,EM=AAt=S.因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10,于是 MH=E M -EM2=6,N=10,HB=6.因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为32 2.【2014年新课标1文 科 19如图，三棱柱4 8 C-4 8 1 G 中，侧面88iG C 为菱形，8 c 的中点为。，且：AOnBCi=O,=1.普 拟 好 题1.如图：四棱锥P-A B C O中,p a _ L 4 D,A B =4 C =2P4 =2,P C=底 A D/B C/B A D=1 5
33、。p 证明：P4 _ L 平面A B C。；(2)求点B 到平面P4 C 的距离.【答案】(1)证明见解析.百【解析】(1)在 P A C V,A C=2,P A=1,PC =V5,=P C2=A C2+P A2,L P A 1 4 C,又PA 1 A D,A C n A D =4,所以PA_ L 平面 4 B C D.(2)A D/B C,.B A D=15 0 A/.A B C=3 0。,又因为A B =A C=2,：./.A CB=3 0。,进而可知在 A B A C B A C =18 0 -A B C-/.A CB=120,所以旌4 8 c =A C-s i nB A C=1 x2
34、x2 xy=V3,SA4PC=P A-A C=“1 x 2 =12设点B 到平面P4 C 的距图为/i,则VB-P4 c =P-ABC=1s&p 4 c ,h=SA84C,P4 =h =所以点B 到平面P4 C的距离为g2.如图，在圆柱。1中，四边形Z 8 C D 是其轴截面，跖 为。1的直径，S L E F L CD,A B=2,B C=a(a 0).E 求证：B E=B F；(2)若直线AE与平面D E F所成角为会求三棱锥4 -B E F 的体积.【答案】(1)证明见解析瑶【解析】(1)证明：连接B 0 在圆柱。1中，8 C J _ 平面C E OF,V E F u 平面 CE DF,:
35、.E F 1 B C,:E F L CD,B C C C D =C,尸 _ L 平面 A B CD,乂 B O i U 平面/B C D,.E F l B Oi，:在 8 E F 中，01为 EF的中点，:.B E=B F.(2)连接DE,，平面DE F,J.A E与平面D E F所成角为乙4 E D =彳,-A D=DE =a=V2 尸_ L 平面/8 C。，A-B E F =A-B OlF +A-B OrE=g A B O i 尸 1 +1 SM B。】,E 0=1 S A B 0 1.E F =1 X X 2=3.如图，在四棱锥P-A B C D 中，平面P4 B 1 平面A B C D
36、,4 B =2,B C=CD=1,A B CD,/.A B C2&=90,(1)证明：P4 J 平 面 PB C；(2)若P4 =P B,求点。到平面P4 C 的距离.【答案】(1)证明见解析.【解析】解：.平面P4 B _ L 平面4 B C D,平面P 4 B C 平面4 B C D 于4 B,旦乙4 B C =90,：.BC LAB,8 c l 平面 P4B,：.BC LAP,又44PB=90,：.AP 1 BP,又 PB CCB=B,：.PA lffiPSC.(2)解：由(l)得BC 1.PB,AP 1 BP,AP 1 PC又PA=PB,AB=2,BC=CD=1,PA=PB=V2.PC
37、=7PB2+8c2=V3,ShAPC=；4P-PC=|x V 2 x V 3 =殍 S AADC=-BC=|x l x l=i又平面PAB _L 平面ABC。，平面P4BC平面ABC。于4B,.点P到平面4BCD的距离即为点P到直线AB的距离，故点P到平面4BCD的距离为凡，则九1 =1,设点。到平面P4C的距离为电，P-ADC=D-PAC2ADC 2，即;x g x l=；X 苧 X/l2，解得：比=在，即点。到平面24c的距离为在.6 64.如图，在四棱锥P ABCO中，四 边 形 为 菱 形，且N4BC=60。，P4 J平面Z8C。，E 为 8 c 的中点,/为 棱 PC 上一点.(1)
38、求证：平面AEF JL平面R1D；(2)当尸为P C 的中点，且4B=AP=2 时，求点P 到平面4E F 的距离.【答案】(1)证明见解析(2替【解析】(1)连接4 C,由题意知A/B C为等边三角形，因为E 为 8 c 的中点，所以/E J _ 8 C,又ADHBC,所以 ZE_L_/。，因 为%_L平面/8 8,A E u平面力8 c。，所以刃_L/E,y i.A P nA D=A,A P,A D c-P A D,所以4_L平面P A D,因为4E u平面/E R 所以平面/7 平面以O.(2)连接8尸，因为 尸分别为8C,PC的中点，所以P B/E F,因为EFu平面力EF,PBC平面
39、Z E F,所以P B 平面4 E F,设点P到平面A E F的距离为h,则点B到平面A E F的距离也为h,因为E,尸分别为8 C,尸 C 的中点，所以4E=V5，E F =P B=1V22+22=V2,A F =P C=y/2,所以期工=*小产_管)2=苧又SAABE=BE 4E=争 点F到平面A B E的 距 离 为=1,所以V三 梭 推L=ixTxl=T又看棱锥F-48E=三梭锥8-4EF=jSh A E F 八=三八,所以立!八=旦 所 以/越，即点P 到平面/E F 的距离为独.12 6 5 55.如图，P是圆锥的顶点，。是底面圆心，48是底面圆的一条直径，且点C是 弧 的 中 点
40、，点。是AC的中点,A B=2,V A =2.V(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面匕4 C J 平面V。.【答案】3 n(2)证明见解析【解析】(1)圆锥的侧面积S i =n r/=n 匕 4 。4 =I T X 2 X 1=2 m底面积S2=irr2=IT-O A2=n x I2=n,故表面积S=S+S2=37T.(2)证明：由圆锥的性质知，V。！平面A B C,因为4 C u 平面A B C,所以I ZO_ L A C,因为4 B 是底面圆的一条直径，所以B C 1 A C又。是4 C 的中点，所以0 D 1 4 C,又V O n O D =O,l/Ou 平面I/O。，。匚平面了。所以
41、4 C J 平面V O D,又4 C u 平面I M C,所以平面匕4 c l 平面U OD.6.如图，在四面体488 中，A B =A D,B C=C D，E为 5。的中点，F为NC上一点.(1)求证：平面A C E 1 平面瓦W；(2)若/B C D =90,A B A D=6 0.A C=由B C=2 6，求点 B 到平面 A C D 的距离.【答案】(1)证明见解析.(2)7 2.【解析】(1)在四面体 Z8 C。中，AB=AD,BC=CD,E 为 8。的中点，则4 E _ L B D,C E 1 8 0,而4 E dCE=E,AE,CE u 平面4 C E,于是得B D 1平面4 C
42、 E,又BD u平面B D F,所以平面4 C E 1平面8 D F.(2)依题意，BC=CD=2,/.BCD=90,则B D =2&,C E =&，又N 8 4 0=6 0。，则A 8 =A D =8。=2或,A.Er.=Vr6z 在在AACCEE中tii，cosZ.-AA ECCT =AE2+CE2-AC2=6-+-2-行12示=V-3-mn s.inZ,-1A1rE,eC =V62AECE 2xV6xx/2 3 3SAEC=AE-CEsmAEC=1 V 6xV 2 x =V2，由(1)得,VB-ACD=15A/i e c BD=,AD2+CD2=12=AC2,即Z7 l C C =90,
43、则S gc。=人。C。=2在，令点B 到平面ACD的距离为h,则匕;-4CD=SA4CD所以点B 到平面ACD的距离为近.4-31-3X2 V 2 h=h=7.如图，在三棱锥P-4 B C中，D,E分别为4&P B的中点，且4。=D B,E C _ L平面A B C.(1)证明：AB 1 PC；(2)若4 c =2B C =2/5EC=2百，求力PC的周长.【答案】(1)证明见解析：(2)5 +V7 +2V3【解析】(1).,力为A C中点，B.AD=DB,：./-ABC=,即4 B _ L B C.：EC l l f r i 4 B C,4Bu平面A B C,：.EC 1AB.；BCCEC=
44、C,：.AB m E B C.又：P C u平面B C E,：.AB 1 PC；(2)如图，延长BC至尸，使得BC=C F,连接PF、AF,YBE=EP,CF=BC,.,.EC/PFS.EC=PF,.EC=1,BC=V3，；.PF=2,CF=V3.EC _L 平面ABC,PF J平面4BF,:CF u 平面4BF,：.PF 1 CF,在 Rt PCF中,pc=VPF2+CF222+(V3)2=V7AB=7AC1-BC2=V12-3 =3,在 Rt 4B尸中，AF=7AB2+B-2=J 32+(2V3)2=V21,在 Rt 4PF中，AP=V/1F2+PF2=在4 4PC的周长为5+V7+2V3
45、.8.如图，在三棱柱 A B C-A i/C i 中，CCX ABC,AC IB C,AC=BC 2,CCX=4,点 D,E 分别在棱441和棱CCi上，且4D=1,CE=3,M 为棱4 丛的中点.求 证:G M J.B 1 D；(2)求三棱锥&-D E B 1的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】YA i C i =BQ,M A i =MBX,：.CXM 1 AXBX,：C C i J _ 平面48道1，GM u 平面占8 修1，.CCi 1 C j M,：B B J/CClt；B B i n A B i =u 平面A B B i A i，GM 1 平面4 4/i B,又B i。u
46、 平面A B B 遇i，/.QM 1 BXD.(2)VC C t 1 平面4 8 C,B C u 平面 A B C,：.CCX 1 B C,又；B C 14 C,A C n C C j =C,1 平面A C C i A.1 1=-x 3 x 2 =3,VA 1_DE B i=VBX-AXDE=5 8 1c l S A 1 DE=2/.B B i C1 M 9.如图，在三棱锥尸一4 8 C 中，/A C B=9 0。,以，平面Z8 C.p(1)求证：平面以。，平面尸8C；(2)若 Z C=8C=R 1=2,M 是 P 8 的中点，求点M 到平面2 1 c 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)1
47、【解析】(1)证明：PAJ 平 面 ABC,B C u平面4BC,：.PA 1 BC,又=90,：.AC 1 BC,：ACryPA=A,AC u 平面ABC,P4 u 平面ABC,，8C_L 平面 P4C,：BC u 平面PBC,平面PAC J_平面P8C；解：由(1)可知，8C_L平面R4C,.B到平面PAC的距离为BC=2,二”是PB的中点，.M到平面P4C的距离为卯C=1.1 0.如图，在直三棱柱ABC 中，E,尸分别为棱A%,8 c 的中点，且G F 1 4 B.(1)求证：A B 1 B C；(2)若48=B C=A A r =2,求点占到平面A E F的距离.【答案】(1)证明见解
48、析Q萼【解析】(1)证明：因为直三棱柱所以e g J平面4 8 C,又48 u 平面48C,所以L A B.又Ci尸 1 4 8,C*n C/=Ci，CG，C/u 平面B C C$i，所以48 1 平面又B C u平面B C gB i，所以4BJ.BC.(2)解：在AABF中，A B =2,F B =B C=1,A B 1 B C,所以4F=+1=遍.在力&E 中，A4i=2,AXE=liC i=V2,A Ar 1 A1C1,所以AE=卜 +=瓜.取/C 的中点。，连接E。，F O,BO,如图所示，所以EOlICCi，E O=CCj=2,F O=A B=1.因为CG 1平面A B C,F O
49、u 平面A B C,所以2 1 F O.又 E O IIC Q,所以 EO I F O,所以 EF=V22+#=花.在 AEF中，c os Z-E F A =之 崇;*=:高 募=/所以sin/EF4x=5 2因为e g l ffi A B C,B O c-Tffi A B C,所以C g 1 B O.因为/8=8 C,。是 4 c 的中点，所以Q4 1B0.又。4nCCi=C,CA,CG u 平面CCM M，所以B O I平面C G 4 4,即 8。是三棱锥B-44止的高.所以4-M E =B-iE =/*2 X/设点心到平面A E F的距离是h,则力九=(x 苧 kk也 E=7解得/：=返
50、.211 1.如图，四棱锥P-4 B C D 中，平面PAB J.平面ABC。，A B|CD,A B 1 A D,A B =3,A D=/3,A P =CD=2/P4B=60。是 CZ 中点，N是 P B 上一点.?，所以SM E F/XV X(1)若 丽=3丽，求三棱锥P-4MN的体积；(2)是否存在点N,使得MN|平面P4D,若存在求P N 的长；若不存在，请说明理由.【答案】1;(2)存在，P/V=y.【解析】(1 ),VP-A M N -VM-P A N )由面P4B _1 _面48(?。且交线是48,y.DA 1 A B,u 面P4B,所以M 1平面P 4 B,又 MD A B,.点