《五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题21立体几何解答题(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题21立体几何解答题(含详解).pdf（66页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题2 1 立体几何解答题一、解答题1.（2022高考北京卷第 17 题）如图，在三棱柱A B C A gG中，侧面B CGg为正方形，平面8 C G 4_ L平面A B B A，A B=B C=2,M,N分别为A 4,A C 的中点.求证：平面B CG4；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求直线A 8 与平面8MN所成角的正弦值.条件：A B L M N；条件：B M =M N.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.2.（2022年浙江省高考数学试题第19 题）如图，已知A B CD和 COEE都是直角梯形，A
2、B/D C,D C H E F ,A B =5,D C =3,E F =1,Z B A D =Z C D E =60,二面角厂一 C 一5的平面角为6 0.设 M,N分别为A E,8 c 的中点.（1）证明:F N 1 A D；（2）求直线8M与平面A DE所成角的正弦值.3.（2022年全国高考甲卷数学（文）第 19 题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底 面 是 边 长 为 8（单位：c m）的正方形，均为正三角形，且 它 们 所 在 的 平 面 都 与 平 面 垂 直.证 明：斯/平 面 488；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.4.（20
3、22新高考全国I I 卷 第 20题）如图，P。是三棱锥尸-43 C的高，P A=P B，AB1AC,EP B的中点.（1）证明：Q E/平面PA C；若 N ABO =N CBO =3 0,P O =3,9=5,求二面角 CA 3正弦值.5 .（2022新高考全国I 卷 第 19 题）如图，直三棱柱A B C-A 46的体积为4,AABC的面积为2也.求 A 到平面A B C的距离;（2）设。为 4c的中点，A A=A B,平面A B C,平面4 5 与4，求二面角A 3 0。的正弦值.6 .（2022年高考全国乙卷数学（文）第 18 题）如图，四面体A B CO中,AD 1 C D,AD=
4、C D,Z A D B =ZBDC,E 为 AC 的中点.（1）证明：平面平面AC。；（2）设 A B =80 =2,N A C 8 =6 0。，点 F 在 B D 上，当 A F C 的面积最小时，求三棱锥产一A B C的体积.7.（2021年新高考全国H卷 第 19 题）在四棱锥Q-A 8co 中，底面43 8是正方形，若A D =2,QD=QA=y/5,QC=3 .（1）证明：平面。4。，平面A B C D ；平面角的余弦值.8.（2021年新高考I 卷 第 20题）如图，在三棱锥A-8 C 中，平面平面B C D,A B=A D,O为 应）的中点.证明：O A L C D；（2）若AO
5、CD是边长为1等边三角形，点 E在棱A D上，D E =2 EA,且二面角E-B C-D的大小为4 5 ,求三棱锥A-8CD的体积.9.（2021年高考全国甲卷文科第19 题）已知直三棱柱A B C-A 5G中，侧面川 乃 乃 为正方形,A B =B C =2,E,F 分别为 A C 和 C G 的中点，B F A.A.B,.(1)求三棱锥F -E B C的体积;(2)已知。为棱A 片 上的点，证明：B F Y D E.10.(2021年全国高考乙卷文科第18 题)如图，四棱锥P-A B CD的底面是矩形，P D J J氐面A B C D,M 为 B C的中点，且 依，A M.(1)证明：平面
6、平面P B D；(2)若 。=心=1,求四棱锥PA 3 C。的体积.11.(2021高考北京第17 题)如图：在正方体A 5CO-A gGA 中，E为4。中点，B g与平面CDE交于点尸5(1)求 证：尸为B Q的中点；(2)点 M 是棱4 乃|上一点，且二面角 一 尸。一后的余弦值为好，求 禁 的 值3 A 41 2.(2020年高考课标I 卷 文 科 第 19 题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AAB。是底面的内接正三角形，P为。上一点，Z A PC=9 0(1)证明：平 面%8 _ L 平面以C；设。=0,圆锥 侧面积为百兀，求三棱锥P-A8 C 的体积.1 3.(2020年
7、高考课标H卷 文 科 第 20题)如图，已知三棱柱A8 C-4 B1C 1底面是正三角形，侧面B8 1c l e是矩形，M,N分别为8 C,比G的中点，P 为 AM 上一点.过&Q和 P的平面交A B 于 E,交 A C 于 F.(1)证明：A A i/MN,且平面 4 A M N _ L 平面 E Bi G F；T t（2）设。为 4 Bi G 的中心，若 AO=A8=6,4。平面E Bi J F,且/M P A/=，求四棱锥B-E B G F的体积.31 4.（2020年高考课标H I 卷 文 科 第 19 题）如图，长方体A 8 C O -44G，中，点 E，f分别在棱D R,BB1上,
8、且 2D E=E E,B F =2 F B、.(1)当A B=B C时，EF A C；点 G 在平面4 E 厂内.15.（2020年新高考全国I 卷（山东）第 20题）如图，四棱锥P-ABC D 的底面为正方形，P D _ L 底面ABC D.设平面PA D与平面PB C的交线为/.（1）证明：/_!_ 平面P D C；（2）已知P D=AD=1,Q为/上的点，求 P 8 与平面Q C D 所成角的正弦值的最大值.16.（2020年新高考全国卷H数学（海南）第20题）如图，四棱锥P-A B C D的底面为正方形,P D,底面ABC D.设平面PA D与平面PB C的交线为I.（1）证明：/1
9、平面。（：；（2）已知P D=AO=1,Q为/上的点，QB=y/2 ,求 P B 与平面Q C D 所成角的正弦值.1 7.（2020年浙江省高考数学试卷第19 题）如图，三棱台D E F A B C 中，面 4。尸（7 _ 1面 4 8（：,Z A C B=Z A C D=4 5 ,D C =2 B C.(I)证 明:E F 1.D B；(I I)求 D F 与面D B C所成角的正弦值.18.(2020天津高考第17 题)如图，在三棱柱A B C-A B C中，CG，平 面 相 C，AC J _ 8 C,A C =8 C =2,CG=3,点 2 E分别在棱肥和棱C上，且 A D =1 C
10、E =2,M 为棱4片的中点.(I)求证：C,M B,r；(11)求二面角8-8 q-的正弦值；(I I I)求直线AB与平面。片E所成角的正弦值.19.(2020江苏高考第24 题)在三棱锥A B CD中，已知C B=C O =石，比=2,O为班的中点，A O 1平面3 c 0,A O =2 ,E为 A C的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;若 点 F在 比 上，满足M =、C设 二 面 角 八 OE-C的 大 小 为 求 s i n。的值.2 0.(2 0 2 0 江苏高考第1 5 题)在三棱柱A B C-A 4G中，A B V A C,g C J 平面A B C,E,尸分别是A
11、 C,B Q的中点.(1)求证:EF|平面 M G；(2)求证：平面A&C，平面ABB一2 1.(2020北京高考第16题)如图，在正方体A 8C D-44C,A 中，E 为 8片的中点.(I)求证：8匕/平面4 9 e；(H)求直线朋 与平面A RE所成角的正弦值.22.(2019年高考浙江文理第19题)如图，已知三棱柱ABC-A.B.C,平面4ACC 平面ABC,N/WC=90。,ZS4c=30。，AA=AC=AC,E,尸分别是AC,A4 的中点.(I)证明：E F L B C；(II)求直线E F与平面A.BC所成角的余弦值.23.(2019年高考天津文第17题)如图，在四棱锥尸-ABC
12、D中，底面ABCD为平行四边形，A P 8 为等边三角形，平面P4C_L平面P S,P A Y C D,8=2,AD=3.设 G,H 分别为P B,AC的中点，求证：G 平面R4。；（2）求证：孙，平面P C D；（3）求直线AD与平面P A C所成角的正弦值.-C2 4.（2 0 1 9 年高考上海第1 7 题）如图，在长方体A B C。A4GA中，M为 3 片上一点，已知8M=2,A =4,CD=3,A 4,=5.求直线AC与平面A3CD的夹角；求点A到平面M C的距离.2 5.（2 0 1 9 年高考全国I I I 文 第 1 8 题）图 1是由矩形A D E B,R t/V I B C
13、 和菱形B F G C 组成的一个平面图形，其中A 8 =L B E=B F=2,Z F B C=6 0 .将其沿A B,B C 折起使得B E 与 B F 重合，连结D G,如图2.（1）证明：图 2中的A,C,D,G四点共面，且平面A B C J _ 平面B C G E；（2）求图2中的四边形A C G D 的面积.图12 6.（2 0 1 9 年高考全国I I 文 第1 7 题）如图，长方体ABC0-A4G2的底面A8CD是正方形，点 E在棱A4上，8，员（1）证明：B E _ L 平面 若 A E =A E,A B =3,求四棱锥E 65GC的体积.（2 0 1 9 年高考全国I 文
14、第 1 9 题）如图，直四棱柱488-A4GR的底面是菱Z B A D=6 O,E,M ,N分别是B C,B Bt,的中点 证明：MN平面CQE；求 点 C到平面GDE的距离.2 8.（2 0 1 9 年高考江苏第1 6 题）如图，在直三棱柱A B C-A BC中，D,E 分别为B C,AC的中点，A B =BC.求证：A 石 平面D E Q；（2）BEA.C,E.2 9.（2 0 1 9 年高考北京文第 1 8 题）如图，在四棱锥尸-A3CD中，B 4 _ L 平面A8CD,底面A B C。为菱形，E为 CD的中点.（I）求证：30,平面P4C；（H）若 NABC=6 0 ,求证：平面946
15、,平面Q4E；（I I I）棱 依 上是否存在点F，使得C E/平面R4E?说明理由.（2 0 1 8 年高考数学江苏卷第 2 5 题）（本小题满分1 0 分）如图，在正三棱柱A B C-4 B 1 Q 中，AB=AAr=2,点 P,Q分别为a 山，B C 的中点.（1）求异面直线BP与 AG所成角的余弦值；（2）求直线9 与平面AQQ所成角的正弦值.A（第22题）ABCD-A 4G R 中，A4,=AB,ABt BtCt.3 1.（2018年高考数学江苏卷第15题）（本小题满分14分）在平行六面体求证：（1）A8平面（2）平面AB4 A 平面A8C.（第15题）3 2.（2018年高考数学浙
16、江卷第19题）（本题满分15分）如图，己知多面体ABCA笈G，A A B，G C均垂直于平面ABC,ZA3C=120,AA=4,C,C=1,AB=BC=B1B=2.（1）证明：A&J_平面A g e；（2）求直线A q与平面ABB,所成角的正弦值.4 16分，第 2小题满分8分）（2 0 1 8 年高考数学上海第1 7 题）（本题满分1 4 分，第 1 小题满分已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，半径为2,（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；（2）设 PO=4,OA,是底面半径，且 NAQB=9 0,M 为线段A3的中点，如图，求异面直线PM与 O B所成的角的大小.3 4.（2 0 1 8
17、 年高考数学天津（文）第 1 7 题）（本小题满分1 3 分）如图，在四面体 ABQD中，AA8C是 等 边 三 角 形，平 面 A 8 C _ L 平 面 ABO,点 M 为 棱 AB的 中 点，A B =2,A D =2 6,N BAD=9 0 .（1）求证：A D L B C-,（2）求异面直线BC与 MD所成角的余弦值；（3）求直线CO与平面A 3。所成角的正弦值.A3 5.（2018年高考数学课标m卷（文）第19题）（12分）如图，矩形A3CD所在平面与半圆弧8 所在平面垂直，M是8 上异于C,。的点.（1）证明：平面4W O,平面（2）在线段AM上是否存在点P,使 得 平 面 尸应
18、）？说明理由.3 6.（2018年高考数学课标H卷（文）第19题）（12分）如图，在三棱锥尸一 ABC 中，AB=B C =2 血,PA=P B=P C =A C=4,。为 AC 的中点.（1）证明：PO_L 平面 ABC；（2）若点M在棱B C 上,且MC=2 M B，求点C到平面P O M的距离.B 乂 3 7.（2018年高考数学课标卷I（文）第18题）（12分）如图，在平行四边形ABCM中，A B A C =3,Z A C M =9 0 .以AC为折痕将A O 0折起，使点M到 达 点。的位置，且A B L D A.（1）证明：平面ACD_L平面A 8C；2（2）。为线段A上一点，P为
19、 线 段 上 一 点，且3P =OQ=1 D 4,求三棱锥Q 的体积.7万、%8.（2018年高考数学北京（文）第18题）如图在四棱锥P-ABCD中，底面A B C D为矩形，平面_ L平面ABCD,P A PD,PA=PD,E,F分别为AD,P B的中点.求证：P E L B C x（I I）求证：平面平面PCD；（川）求证：E E 平面P C D.2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题2 1 立体几何解答题一、解答题1.(2022高考北京卷第17题)如图，在三棱柱ABC A g G中，侧面B C G g为正方形，平面8CG4 _ L平面ABBA，AB=BC=2,M,N分别
20、为A 4,AC的中点.求证：平面B C G 4；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求直线A8与平面8MN所成角的正弦值.条件：A B L M N；条件：B M =M N.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】解析：(1)取AB的中点为K，连接M K,N K ,由三棱柱A B C-4 4 G可得四边形A B 4 4为平行四边形，而 与=M4,，BK=KA,则 M K H B B,而 M K u 平面 C B gG，8 g u 平面 C B gG，故 MK平面 C&?IG，而 C N =N A,B K =K A,则 N K/B C,同理可得 NK 平面,而 N
21、K C M K =K,N K,M K u 平面 M K N,故平面MKN平面CBgG,而MNu平面M K N,故MN平面CBgC,(2)因为侧面C B B g为正方形，故CB工,而CB u平面C B B ,平面C B B 1平面ABB.A,平面C B B g c平面ABB.A,=8耳，故CB _L平面，因为N K H B C,故NKJ_平面因为ABi 平面故NK_LA3,若选，则 A B LM N,而 N K 上 A B,N K C M N =N ,故4 6，平面入长，而 M K u 平面M N K,故ABLMK，所以 A B L 3 4,而 CBJ.Bq,C B c A B =B,故 8用_
22、1.平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,阳=（0,1,2）,设平面B N M的法向量为n=（x,y,z）,则3 M =on-B M 0从而Vx+y=0y+2z=0取 z=1则 3=（-2,2,-1）,设直线AB与平面BNM所成的角为8,则sin 0-cos/n,AZ?|=4./I 2x3 3若选，因为N K H B C,故NK_L平面ABBA，而K M u平面MMV,故 N K L K M ,而 BM=B K =1,NK=1,故 B、M =N K ,而 5|B=MK=
23、2,M B =M N,故 ABBM NAMKN,所 以/8月”=/1”=90。，故而 C B 上 BB,C B c A B =B,故 84_L 平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,加（0,1,2）,故 丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,设平面B N M的法向量为n=（x,y,z）,丽=0-B M =0 x+y=0y+2z=0,从而V取 z=-l,贝加=（一2,2,1）,设直线A B与平面B N M所成的角为6,则sin 0=|cos（n,4倒=白=|【题目来源】2022高考北京卷第17题【题目栏目】立体
24、几何空间角 直线与平面所成的角2.(2022年浙江省高考数学试题第19题)如图，已知ABCD和CDEE都是直角梯形，A B/D C,D C/E F,AB=5,DC=3,EF=,/B A D =NCDE=60。,二面角尸OC5的平面角为6 0 .设M,N分别为AE,BC的中点.(1)证明：FN L A D；(2)求直线8例与平面ADE所成角的正弦值.【答案】解析：(1)过点E、。分别做直线。C、AB的垂线E G、并分别交于点交于点G、H.四边形 ABCD和 EFCD都是直角梯形，ABIIDC,CD”EF,AB=5,DC=3,EF=,4 4。=NCDE=60。，由平面几何知识易知，DG=A”=2,
25、NEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90，则四边形 EFCG和四边形 DCBH是矩形,.在 RQEGD和 RQOH4,EG=DH=2.DC 1C F,D C LC B ,且C E cC 5=C,O C L平面B C R/B C E是二面角/一。一 8的平面角，则NBCF=60,.是正三角形，由)C u平面4 B C O,得平面A3C_L平面8CF,N是BC的中点，F?V J_3C,又。CJ_平面BC尸，F N u平面B C F,可得F N上C D,而BCcC=C,F N，平面ABC。，而A D u平面ABCE./W J_AO.（2）因为FN_L平面ABC。，过点N做AB平行线N K,所以以
26、点N为原点，NK,N B、N F所在直线分别为x轴、）轴、z轴建立空间直角坐标系N-肛z,（后3、设A（5,6,0）,8（0,百,0）,。（3,-6,0）,现1,0,3）,则 加 3,-,-I 2 2J,AD=(-2,-2 ,0),)E=(-2,百,3)设平面 ADE 的法向量为万=(x,X z)n-AD=O,|-2 x-2岛=0 彳 异,平面平面ABC0=AB,EM u平面E 4B,所以EM_L平面A B C 3,同理可得FNL平 面 根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知E M/F N,而 E M =F N,所以四边形MNF为平行四边形，所以E F/M N,又平面ABCD,M
27、Nu平面M C O,所以E F/平面 ABCD.（2）如图所示:分别取 A ,Z）C中点 K,L,由 知，E F/M N R E F =M N ,同理有，H E/K M,H E=K M ,H G U K L,H G =KL,G F i/LN,GF=L N ,由平面知识可知，B D L M N ,M N 1 M K ,KW=MV=N L =LK,所以该几何体的体积等于长方体M切也-E F G”的体积加上四棱锥B-M V F E 体积的4 倍.因为M N =NL=LK=K M =4 及，E M=8 s i n 6 0 =4 7 3，点B到平面M NEE的距离即为点B到直线MN的距离d,d=2 五,
28、所以该几何体的体积V =（4 V 2）2x4 7 3+4x 1x 4x 4 x 2 V 2 =1 2 8 x/3+73=x/3 .【题目栏目】立体几何 线面、面面平行的判定与性质 直线与平面平行的判定与性质【题目来源】2 0 2 2 年全国高考甲卷数学（文）第 1 9 题4.（2 0 2 2 新高考全国I I 卷 第 2 0 题）如图，P。是三棱锥尸A8C的高，P A =P B ,ABLAC,E 是 P 3的中点.（1）证明：O E/平面PAC；（2）若 Z A B O =N C B O =3 0。,尸 0=3,2 4 =5,求二面角 C-AE-B 正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）装 解
29、 析：（1）证明：连接8。并延长交AC于点。，连接。4、P D，因为PO是三棱锥PABC的高，所以P O _ L 平面A8C，AO,5Ou平面A 8 C,所以P O J.A O、P O L BO,又 P A =P B，所以尸OAw尸0 3,即。4 =。8,所以/。1 8 =/0区4,又 A B _ L A C,即/B A C =9 0,所以N Q 4 B +N Q 4 D =9 0 所以 N O D 4 =N Q 4 D所以A O =OO,即A O =OO=QB,所以。为BD的中点，又0EZ平面P A C,P E u平面R4C，所以0 E 平面P A C 解：过点A作4/0 P4-B因为尸0
30、=3，A P =5,所以。4=JAP2一p o?=4,y八ABD=2 O A =8,则4）=4,4 5 =4百，所以A C =12,所以0（2班,2,0）,B（4 7 3,0,0）,P（2 瓜2贝1 立=卜 百,1 4），A B=（4 ,0,0）,衣=（0,12,0）,一 /、n-A E =3 /3 x+y d设平面A E 3的法向量为力=（x,y,z）,贝 卜n -A B 4Gx=0,N O 3 A +N O n 4 =9 0,又E为心的中点，所以OE/PD,如图建立平面直角坐标系，又 N O B A =N O BC=3 0,所以3),C(0,12,0),所以3百,1,|),-z =02，令
31、 z =2,则 y =-3,x =0,所以 G =(o,-3,2)；、m-AE-3/ia+b+c-0 厂设平面A E C的法向量为w?=,则“2，令a=百，则c =6 ,/?=0,m-AC=nb=Q所以m=(J5,0,-6 1nm-124 7 3所 以 书 叼=丽=而次rr设二面角C-4石一8为6,由图可知二面角C-AE-B为钝二面角,所以c o s 6 =-土 叵，所以s i n（9 =U13 13故二面角C AE 8的正弦值为口 ：13【题目栏目】立体几何 空间角 二面角【题目来源】2022新高考全国I I卷 第20题5.（2022新高考全国I卷 第19题）如图，直三棱柱AB C-A4G的
32、体积为4,AA/C的面积为2枝.（1）求A到平面A BC的距离；（2）设D为AC的中点，A&=A 8 ,平面4 B C _ L平面瓦4 ,求二面角A8DC的正弦值.【答案】（1）V 2立2解析：（1）在直三棱柱A B C AgG中，设点A到平面4B C的距离为力,1n 5 1 1则匕 4 BC=S ,8 0.=工 =匕 A 8 C=S A8C，A A =_%BC A BCA-/I j/f C 3 o C 3 /4 n U 3 AA/JC I 3 r i o v-/i|/|C|43解 得 力=血，所以点A到平面AB C的距离为血；取48的中点已连接A E,如图，因为A 4 1=A 6,所以又平面
33、A B C J_平面,平面AB C n平面且AEU平面A BB|A，所以M _L平面A BC,在直三棱柱AB C-A4G中，平面A BC,由B C u平面A B C,8。匚平面4 8。可 得 短，8。，B B B C ,又A E,B B u平面且相交，所以BC_ L平面,所以BC,R 4,3 B1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图,由(1)得A E =0，所以 A A =A B=2,43=2 0,所以 B C =2,则 A(0,2,0),A,(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以 A C 的中点。(1,1,1)，则 而=(1,1,1),丽=（0,2,0）辰=（2,
34、0,0）,设平面A B D的一个法向量次二 （x,y,z卜则m-BD-x+y +z=0m B A=2y =0可取 2 =(l,0,-1),设平面BDC的一个法向量3 =（a,b,c）,则m B D=。+匕+c =0m-B C =2 a=0可取”=(0,1,1),则COS （机,北m-n1 1|z n|-|n|V 2 x /2 2 所以二面角A%)一C的正弦值为=*.【题目栏目】立体几何 空间角 二面角【题目来源】2022新高考全国I卷 第19题6.(2022年高考全国乙卷数学(文)第18题)如图，四面体A8CO中,AD 工 CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E 为 AC 的中点.(1)证明
35、：平面BED，平面ACD：(2)设4 8 =8。=2,NAC8=60。，点尸在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥产一A 3C的体积.【答案】(1)证明详见解析 手解析：【小问1详解】AD=CD由于AD=CO,E是A C的中点，所以AC_LE.由于,由于 DEcBD=D,DE,BD 平面BED，所以AC，平面BED，由于A C u平面A C Z),所以平面BE。_L平面AC。.【小问2详解】依题意A5=3=3C=2,NACB=6 0 ,三角形ABC是等边三角形,所以 AC=2,AE=CE=1,BE=百由于/!O=Cr,A_LC。，所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以。石=1.DE2+BE2
36、=BD2 所以 DE 上 BE,由于A C cB E=E,A C,B E u平面A 8C，所以OE_L平面ABC.由于AOBMAICDB,所以 N F B A =N F B C,B F =B F由于 中，因为)=2,故 X7=1,故 CO=6,因为 QC=3,Q C2=Q O2+O C2,故 AQOC 为直角三角形且 Q O J.O C,因为 0。0 4。=0,故 Q。，平面A B C D,因为Q O u平面。4 ,故平面QAD1平面ABQ).在平面A B Q 9内，过。作 O77/C。，交 8 C 于T,则 O T L A。，结合中的Q O,平面ABC。,故可建如图所示的空间坐标系.则 0(
37、0,1,0),0(0,0,2),B(2,-1,0),故Be=(-2,l,2),BD=(-2,2,0),设平面Q BD的法向量G=（苍y,z）,n BQ=0 a f-2 x +y+2z=0_ _ 即n-B D =O|-2 x +2y=0取 x=l,则 y=l,z=；,故=,；而 平 面 的 法 向 量 为 正=（1,0,0）,故8 s（风”=！=3.二面角B-Q O -A的平面角为锐角，故1 X22其余弦值为【题目栏目】立体几何立体几何的综合问题【题目来源】2021年新高考全国H卷 第1 9题8.（2021年新高考I卷 第2 0题）如图，在三棱锥A-B C O中，平面至 ，平面BCD,AB=A
38、D,O为 比）的中点.证明：O A Y C D；（2）若AOCD是边长为1等边三角形，点E在棱4）上，D E=2 E 4,且二面角E-B C-。的大小为45。,求三棱锥A-B C D的体积.【答案】解析：因 为AB=AD,。为BD中点，所以AOLBD因为平面ABDCI平 面BCD=BD,平面ABDJ_平 面BCD,A O u平面ABD,因 止 匕A O平 面B C D,因为C D u平面B C D,所以AO_LCD 作EF_LBD于F,作FM_LBC于M,连FM因为 AO_L平面 B C D,所以 AO_LBD,AOCD所以 EF_LBD,EF1CD,BEcCD=。，因此 EF_L平面 B C
39、 D,即 EF_1_BC因为 FMJ_BC,E W I EF=F，所以 BCJ_平面 E F M,即 BC_LMFT T则N E M F为二面角E-BC-D的平面角，ZE M F=-因为=AOCD为正三角形，所以AOCD为直角三角形1 I 1?因为 BE=2E,尸=-(1+)=-2 2 3 32从而 EF=FM=r.4 0 =13QAO_L平面 BCD,所以丫 =!4 9 5.8 =-x lx lx lx 7 3=【题目栏目】立体几何 立体几何的综合问题【题目来源】2021年新高考I 卷 第 20题9.(2021年高考全国甲卷文科第19题)已知直三棱柱A B C-4 A G 中，侧 面 为 正
40、 方 形,A B =B C =2,E,F 分别为 A C 和 CG 的中点，B F(1)求三棱锥产一 E B C 的体枳;己 知。为棱4 片 上的点，证明：B F D E.【答案】(1)；(2)证明见解析.解析：（1）如图所示，连结A F,由题意可得：BF=NBC2+C F?=071=石,由于 A B _ L 8 B 1,BCLAB,B B C B C=B,故 平面 BCC4,而 BEu平面 8CC4，故 A3,BE，从而有 AF=JAB2 +BF2=3,从而 AC=JAF2-CF2=V T=2 及，则A B2+B C2=A C2,：.A B 1 B C ,ABC为等腰直角三角形,12（2）由
41、（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCM-4片6M,如图所示，取棱A,3c 的中点 H,G,连结 A,”G,G d，正方形B CC4中，G,/为 中点，则又8尸 J.4 5，A 4 ngG =4,故 班 _L平面4 G，而 O E u 平面A&G,从而B F r D E.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直,我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.【题目栏目】立体几何 立体几何的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷文科第19题10.（202
42、1年全国高考乙卷文科第18题）如图，四棱锥P-A B C。的底面是矩形，底面ABCD，M 为 8 C 的中点，且 P B L A M.（1）证明：平面mVW_L平面PB。；（2）若 PD=OC=1,求四棱锥P ABC。的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）巫.3解析：（1）因为电_ 1_底面4?。，A M u 平面A 8 C O,所以 D _ L A M,又 P B L 4 W，P B C P D =P,所以AA/_L平面而A A/u 平面所以平 面 上 J_平面P3Z）.（2）由（1）可知，40_1_平面所以 A A/_ L 8 9,从而 ADABAABM，设=x,AO=2x,则 则 =空
43、，即2/=1，解得x=所以AO=&.因为底面ABC。，故四棱锥A B A D 2P A B Q)的体积为V=g x(lx 夜 卜 1 =?.【点睛】本题第一问解题关键是找到平面Q 4A/或平面P M 的垂线，结合题目条件P B L 4 W，所以垂 线 可 以 从 中 产 生，稍加分析即可判断出A _L平面PBD，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出AD W 4 5 M,从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积.【题目栏目】立体几何 立体几何的综合问题【题目来源】2 0 2 1年全国高考乙卷文科第1 8题11.（2 0 2 1高考北京第1 7题
44、）如 图：在正方体ABC。-A 4 G A中，E为4a中点，4 G与平面CDE交于点F-（1）求 证：/为8C的中点；（2）点 是 棱 上 一 点，且二面角加 一尸。一的 余 弦 值 为 手，求 黑 的 值.【答案】（1）证明见解析；（2）券=：,解 析：如图所示，取 的 中 点 广，连结DE,EF；FC ,由于ABC。4 4 G2为正方体，E,尸为中点，故E/I I C D,从而E,F,C,。四点共面，即平面C D E即平面C ttE五，据此可得：直线B|G交平面CDE于点尸，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F 重 合,即点尸为BQ中点.（2）以点。为坐标原点，方向分别为x轴，）
45、轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系。一肛z,不妨设正方体的棱长为2,设 黑 =2(0 4/141),A 4则：M（2,22,2）,C（0,2,0）,F（l,2,2）,E（l,0,2）,从 而：MC=（-2,2-2A,-2）,CF=（1,0,2）,FE=（O,-2,0）,设平面A/CF的法向量为=（%，x，z j,则：m-MC-2x+（2-2 4）y 2Z=0m-CF=%+2Z=0令4设平面CEE的法向量为：=(x2,y2,z2),则：n-FE=_2 y2=0n-CF=x2+2Z2=0去).【题目栏目】立体几何 空间点、直线、平面之间的位置关系,平面的基本性质【题目来源】2021高考北京第17题
46、9i i 3,整理可得：（丸1）=一，故2=:（/1=舍v 4 2 21 2.(2020年高考课标I 卷文科第 19题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，MC 是底面的内接正三角形，P为D O上 一 点,ZAPC=90.（1）证明：平 面 平 面 力C；设。=0，圆锥 侧面积为百兀，求三棱锥P-A8C的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）逅.【解析】（1）连接。4,QB,0C,Q O为圆锥顶点，。为底面圆心，.0D_L平面ABC,.P在。上，OA=OB=OC,:.PA=PB=P C,.ABC是圆内接正三角形，.AC=3C,APAC卷APBC,ZAPC=ZBPC=90,即 P8_LPC
47、,B4_LPC,PACPB=P,;.PC 平面 PAB,PC u 平面 PAC,平面 PAB _L 平面 PAC；（2）设圆锥的母线为/，底面半径为r,圆锥的侧面积为开=6肛厂/=6，0。2=/2 _/=2,解得，=,/=/,AC=2rsin60=有，在等腰直角三角形APC中，=AC=-.2 2.三棱锥P A 3 c的体积为四8X3-3X4正2X1-3-1-3D【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.【题目栏目】立体几何 立体几何的综合问题【题目来源】2 0 2 0 年高考课标I 卷 文
48、科 第 1 9 题1 3.（2 0 2 0 年高考课标H卷 文 科 第 2 0 题）如图，已知三棱柱A B C-4 B 1 Q 底面是正三角形，侧面8 8 1 G C是矩形，M,N分别为B C,B iC i的中点，P为 A/M上 一 点.过&G和 P的平面交AB于 E,交 A C 于 F.（1）证明：A A 1/M N,且平面 4 4 M N J _平面 E B iG F；71（2）设。为A 1&C 1 的中心，若 A O=A 8=6,A O 平面E B iQ F,且N M P N=,求四棱锥B-E B iQ F 的体积.3【答案】（1）证明见解析；（2）2 4.【解析】（1）：分别为3 C,
49、4G的中点，的”台 片又 A 4 1 /IBB,.MN A A 在等边 4436 3 M 为 BC中点，则 BCLAM又.侧面BBCC为矩形，B C BBt M N H B B、M/VL3C 由 =M N,AM u 平面 A A M N：.B C _L 平面 AAM N又B.CJIBC,且q G Z平面 ABC,BCu平面ABC,.4G 平面 ABC又B u 平面E BF,且平面 8 0/c平面ABC=EF：.BCEF EF/BC 又BC J_平面 AAMNFJ_ 平面 AAMN.Fu 平面 EBGF，平面EgC _L平面44MN(2)过M作PN垂线，交点为 ，AO 平面 E81C/AOu平面
50、 AAM N,平面 4AMN c平面 E81GF=NP:.AOHNP 又,:NO/APAO=NP=6;。为 AA4G 的中心.ON=g4Gsin60=；x6xsin60=百 故：ON=AP=则 A=34P=3 百，平面EB|G尸J_平面A AMN,平面EB|G尸C平面A AMN=NP,M H u 平面 A/MN平面FF AP又 在等边AAbC中=BC AM即 ：尸=APBC V 3 x6AM -3K2由（1）知，四边形E 8 C尸 为梯形四边形EBCF的面积为：S四 边形码纤=Eb；4 G N P=_x6 =2 4VB-EGF=S四 边 形EEQF ，为 M 到 P N 的距离 M=2 V L