《十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题08三角函数与数列解答题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题08三角函数与数列解答题（解析版）.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题08三角函数与数列解答题.真题汇总一.1 .【2 0 2 2 年全国甲卷文科181记S”为数列 册 的前力项和.已知华+几=2。+1.(1)证明：册 是等差数列；(2)若 口 4，。7，。9 成等比数列，求S九的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)-7 8.【解析】(I)解：因 为 卓+冗=2 即+1,即 2 S”+序=2 凡即+n，当 九 N 2 时,2 s L i +(n l)2=2(n 1)%1T +(n 1)，一得，2 s li 4-n2 _ 2 sz i_ (n-I)2 2n(in+n 2(n 1)Q计i
2、(n 1)即 2 即+2 n 1 =2nan-2(n-1)即+1,即 2(九 一 1)册-2(n-1)册_ 1 =2(几 一 1),所以即一。八 _ 1 =1,n N 2 且？I E N*,所以 斯 是以1为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得 4 =%+3,。7 =。1 +6,。9 =%+8,又。4，。7，。9 成等比数列，所 以 劭 2 =0 4，。9，即(+6)2=(即+3)(的+8),解得勺=1 2,所以册=n _ 1 3,所以s”=-1 2 n+竽=2n2-n =l(n-等，所以，当？I =1 2 或7 1 =1 3 时(SQ mi n=-7 8.2 .【2 0 2 2 年全国乙卷
3、文科1 7】记 A B C 的内角4 B,。的对边分别为eb,c,已知s i nC s i n(A B)=s i nFs i n(C A).(1)若4 =2 8,求 C；(2)证明：2 a2=b2+c2【答案】(1 垮；(2)证明见解析.【解析】由力=2B,s i nC s i n(?l B)=s i nB s i n(C A)可得，s i nC s i nB =s i nB s i n(C 4),而 0 V B V 会所以 s i nB G(0,1),即有 s i nC =s i n(C-A)0,而 0 0,a?=3%,且数列卜鼠 是等差数列，证明：Qn是等差数列.【答案】证明见解析.数列
4、向 是等差数列，设公差为d=国-国=2+%-炳=炳=V i +S -i)V i =兀7s5 E N*)：.Sn=a j n2,(nN*):.当n 2时，an=Sn-Sn_x=a1n2,ar(n l)2=2 a lz t%当n =l时，2。1乂1一%=。1，满 足 册=2。逆 一.斯 的通项公式为册=2 a lM -(n G A T)an 0几 _1 =(2 di?i at)2Q I(ZI 1)a1=2 a1%是等差数列.4.2 0 2 1年全国乙卷文科1 9 设 6 是首项为1的等比数列,数列 满足既=等.已知%,3 a 2,9 a 3成等差数列.(1)求 斯 和%的通项公式；(2)记5”和7
5、 分别为%和 例 的前项和.证明：Tn .【答案】a n=(，T,=会 证 明 见 解 析.因为 斯 是首项为1的等比数列且%,3 a 2,9 a 3成等差数列，所以6a 2 =%+9。3，所以=g +9 a i q 2,即9 q 2 -6q +1 =0,解得q =：,所以a”=(：)nT，所以/=詈 弋.(2)证明：由(1)可得S n=2华=1 一烹)，1-3 2 54=5+i+器+嬴)n=*+1+龄+券，一得打 n=1+a+或+点 一 券=3 L p)_ _ 2 1 _ =l(1_ 2.)_ 1 _,3所以Tn=久 1 一靠)一春,所以“一=久 1_.)一 熹 一 1 1 _ )=一 芯
6、j7,求 4 B C 的面积；(2)若 s i n4+V s i nC=,求 C.【答案】V 3；(2)15.【解析】(1)由余弦定理可得。2 =28=a2+c2 2ac cosl50=7c2,c=2,a=2 /3,48C的面积S=ga cs i nB =V 3：(2)v 4+C=30,sin?l+V3sinC=sin(30 C)+V3sinC=1cosC+sinC=sin(C+30)=v 0 C 30,30 6 +30 60,/.C+30=45,A C=15.6.【2 0 2 0 年全国2卷文科1 7 ZB C 的内角4 B,。的对边分别为a,b,c,已知co s 2 吟+4)+co s Z
7、=*(1)求力；(2)若b-c =g a,证明：/8C 是直角三角形.【答案】4=余证明见解析【解析】(1)因为co s?C+4)+cosA=所以s i M.+co s 4 =即1 co s27 l+cosA=一，4解得 C 0 Si 4 =I，又0 V 4 2 +c2 a2=be，又b-c =a ,将代入得,b2+c2-3(b-c)2=be,即2bz+2c2 Sbe=0,而b c,解得b=2c,所以a=V3c,故。2 =a2+c2,即 ABC是直角三角形.7 .2 0 2 0 年全国3卷文科1 7 设等比数列 斯 满足%+a2=4,a3-at=8.（1）求 a,的通项公式；（2）记S”为数列
8、 bg3。的前项和.若Sm+Sm+1 =Si+3 求 机.【答案】（1）册=3-1；（2）m=6.【解析】（1）设等比数列 a4 的公比为q,根据题意，有+%q 4aAq2-a1=8=1q =3所以 a n=3n-1；(2)令b”=lo gs。”=lo g3 3 T=n-1,所以sn=叫an(n-l)2m(m-l),m(m+l)(m+2)(m+3)根据S m +5*1 =Sm+3,可得-1-=-整理得m?-5m-6=0,因为？n 0,所以m=6,8.【2 0 1 9年新课标3文 科 1 8 4 8C 的内角/、B、C的对边分别为a,b,c,已知“s i n：=6 s i n 4.（1）求 8；
9、（2）若 4 8C 为锐角三角形，且 c=l,求N B。面积的取值范围.【答案】解：(1)tzsin1=bsnA,即为=acosg=bsirt4,可得 sinJcosy=sinSsiiL4=2sincossin4,Vsin40,.cos-=2sm-cos-,2 2 2若 cosg=0,可得8=(2%+l)TI,任Z 不成立，.B 1-sin-=二,2 2由 OVJBVIT,可得 B=：(2)若4BC为锐角三角形，且 c=l,由余弦定理可得 b=J a2 4-1-2a-1-cos=Va2-a+1,由二.角形4 8 c 为锐角三角形，可得a2+a2-1 1且 l+a2-a+1 a2,解得g a 0
10、,求 使 得 的 的 取 值 范 围.【答案】解：(1)根据题意，等差数列 为 中，设其公差为力若 5 9=-4 5，则 5 9=他+y =9/=05,变形可得。5 =0，即。|+4(/=0,若4 3=4,则 仁 竺/=一2,则 an03+(-3)d-2 n+1 0,(2)若 则 n a i+(-1)”，当”=1时，不等式成立，当时，有弓2 4-a i，变形可得(-2)d-m,又由 S 9=-的，即 S 9=(a i+9)x q=9as=-as,贝U有 a5=0,即 a i+4 t/=0,贝U有(-2)萼2 4又由a i 0,则有 W 1 0,则有 2 W W 1 0,综合可得：的取值范围是n
11、 G N).1 1.【2 0 1 8年新课标1文 科1 7 已知数列“”满足m=l,a +i=2 (n+1)a,设d=个.(1)求b i,岳，人3；(2)判断数列 d是否为等比数列，并说明理由；(3)求。“的通项公式.【答案】解：(1)数列 斯 满足m=l,襁卅=2 (n+1)a,an+l由于d=,故：”2,数列 儿 是以6,为首项，2为公比的等比数歹U.整理得：bn=bl-2n-1=2,所 以:6 i=l,bi2,6产4.(2)数列 儿 是为等比数列，由于牛1 =2 (常数)；bn(3)由 得:bn=2n-1根 据 瓦 若.所以：an=n-2 T.1 2.【2 0 1 8年新课标2文 科 1
12、 7】记 S,为等差数列 斯 的前项和，已知-7,-1 5.（1）求 斯 的通项公式；（2）求 S“并求S,的最小值.【答案】解：（1）.,等差数列 中，m=-7,S i-1 5,.a-1,3 a i+3 d=-1 5,解得 m=-7,d 2,an=7+2 （n -1）=2n 9：（2）Va i=-7,d=2,a=2n-9,.,.S,i=久%+an)=1(2 n2-1 6 n)=n2-8=(-4)2-1 6,.当=4时，前”项 的 和 取 得 最 小 值 为-1 6.1 3 .【2 0 1 8年新课标3文 科 1 7 1 等比数列 a“中，a ,a54 .（1）求 “的通项公式；（2）记 S.
13、为 斯 的前项和.若S,“=6 3,求?.【答案】解：（1）二,等比数列“中,0|1 。5 =4。3.lXq4=4X(IX/),解得g=2,当 g=2 时，或=2 一|,当 g=-2 时，a“=(-2)二 为 的通项公式为,a,2 ,或 a“=（-2）（2）记 S“为 的前 项和.当 0 =1,q=-2 时，S 尸4(1-2 _ 1-(-2)_ 1-(-2)”1-S3=-l-2_3=-6；当 q=-5 时，hi 5,G=2-(-5)=7,d=7-(-1)=8,Ss=-1+7+15=21.1 6.【2017年新课标3 文 科 17 设数列*满足3a2+(2 n-1)a=2n.(1)求 处 的通项
14、公式；(2)求数列 券 的前项和.【答案】解：(1)数列 ”满足4|+3。2+(2/7-1)an=2n.“2 2 时，3a2+(2-3)an=2(w-1).2(2-1 )C J n =2./Un-.2n 1当=1 时，a=2,上式也成立.2,如=不？(2)即 =_ _ _ _-_ _ _ _=_ _ _ _ _ _ 12n+l-(2n-l)(2n+l)-2n-l 2n+l工数列 磊 的前项和=(1 一3)+6 一,)+(白一/)=1六=悬.1 7.【2016年新课标1 文 科 17 已知 斯 是公差为3 的等差数列，数列 仇 满足=1,Z 2=p的 儿+计6+1=nhn,(I)求 ”的通项公式
15、；(I I)求 瓦 的前项和.【答案】解：(I)anbt+bn+i nbn-当=1 时，4也+岳=8.1=1,历 号，二 41 =2,又 “是公差为3 的等差数列，C lfi 3 A 7 -1 ,(II)由(/)知：(3/2-1)A/i+i+6n+i nbn即 3b”+i=b“.即数列 儿 是 以 1 为首项，以,为公比的等比数列，.儿 的 前 项 和&=上 半=(1-3 )=?一 册 131 8.【2016年新课标2 文 科 171等差数列 中,。3+。4=4,。5+。7=6.（I）求 a”的通项公式；（I I）设6“=a“,求数列 d的 前1 0项和，其中国表示不超过x的最大整数，如 0.
16、9=0,2.6 =2.【答案】解：（I ）设等差数列 如 的公差为，.。3+。4=4,火+。7=6.解得:+5d=4+10d=6 =1 2,3 斯=-n+-；（I D =*，=6 2=6 3=1,仇=/?5=2,%=加=仇=3,bg=b o=4.故数列 儿 的前 1 0 项和 S i o=3 X 1+2 X 2+3 X 3+2 X 4=2 4.1 9.【2 0 1 6年新课标3文 科1 7 已知各项都为正数的数列 斯 满足m =l,（2 m-1）斯-2%+产0.（1）求2，3；（2）求 的通项公式.【答案】解：（1）根据题意,an2 （2al t+-1）an 2 ar t+=0 当 n=1 时
17、，有 a j _ （2例-1）ai -2s =0，而 =1,则有 1 -（2傲-1）-2a2=0，解可得 2=p当=2 时，有2?-（2。3 -1）2 -2。3=0，又由2=：，解可得。3=：，2 4|7,1 1故。2=彳，6=7；2 4（2）根据题意，a/-（2加1-1）斯-2a”+i=0,变形可得（呢-2a+i）（即+1）=0 即有。=2%+1或m=-I,又由数列 ”各项都为正数，则有 a“=2a+,故数列。“是首项为G =1，公比为，的等比数列,则 a,=lX (1)=(1)故。=()1 2 0.【2015年新课标1 文 科 17已知a,b,c 分别是ABC内角/,B,C 的对边，sin
18、28=2siMsinC.(I)若 a=b,求 cosB；(I I)设 8=90,且。=V L 求48C 的面积.【答案】解：(/)Vsin25=2siiL4sinC由正弦定理可得：啖=?=；=1 0,sinA sinB sine k代入可得(bk)2=2ak*ck,/.b2=2acf ci-bt a=2c,.人 r 工一一 a2+c2_k2 a2+4a2-a2 i由余弦定理可得：cos8=-=y =Zac 2ax-a 4()由(/)可得：h2=2acf；B=90,且。=V L.a2+c2b22 a c,解得 a=c=夜.:.SMBC=-ac=.2 1.【2015年新课标2 文 科 1 7/8
19、C 中，。是 8 c 上的点，。平分NA4C,BD=1DC(I)求 翳(II)若N 8/C=60,求N8.【答案】解：(1 )如图,由正弦定理得:AD BD AD DCsinz.B=sinz.BAD f sinz.C=sinz.CAD，；4。平分 NB4C,BD=2DC,.sinz.B DC 1,-=sinzC BD 2,(II)V Z C=180-(/BA C+N B),ZBAC=60,s in C =sin B A C +NB)=y cosZ-B+；sinz_B,由(I)知 2sinNB=sinNC,.ta nZ5=y,即/8=3 0 .2 2.【2014年新课标1文 科 17 已知 飙
20、是递增的等差数列，他，出是方程x?-5x+6=0的根.(1)求 小 的通项公式；(2)求数列费的前项和.【答案】解：(1)方程x2-5 x+6=0的根为2,3.又 飙 是递增的等差数列，故 a2=2,4 4=3,可得 2 d=l,d=故”,=2+(/?-2)x|=1+1,(2)设数列碌 的前项和为S”S尸学+鄂,=会+品+畀+,+品，-得 抖=吗+同 一 鼎/+品 -却2解得S,=#*1 -/)-舞=2-景.2 3.【2014年新课标2 文 科 17】四边形N8CO的 内 角/与 C 互补，/8=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求 C 和 8D；(2)求四边形4 8 c o 的面积.【答案
21、】解：(1)在8C D 中，BC=3,CD=2,由余弦定理得：BD1=BC1+CD1-28c8 co sC=13-12cosC，在中，4 8=1,DA=2,A+C=-n,由余弦定理得：BD2AB2+AD2-2AB ADcosA=5-4cos4=5+4cosC，由得：cosC=p则 C=60 ,BD=V7；(2)7cosc=p co=p.sinC=siM=4,则 S=-ABDAsnA+BC-CDsmC=x 1 X2x y +1 x3X2x y =28.2 4.【2013年新课标1 文 科 17已知等差数列%的前项和S“满足S 3=0,S5=-5.（.I）求 斯 的通项公式;（II）求数列-的前n
22、 项和.。2几-1。2“+1【答案】解：(I)设数列 “的首项为m,公差为“，则Sn=n的+迎 产.3QI+3d=0(n _ n匚 5(5-1),匚，即解得 m=l，d=7，5al 4-2 d=5 1%+2d=1故 ”的通项公式为 an=a+(/?-1)rf=l+(/?-1 )(-1)=2-n；“）由 U）知。2二2-二（3-2n：（l-2 n）=X七 一 六）从而数列-的前n 项和2n-l2n+l5 =3（5一：）+4-力+.+（看 一a）I/1 1 X “=-（-1-）=-.2 1 2 n-l l-2 n2 5.【2013年新课标2 文 科 17已知等差数列%的公差不为零，m=2 5,且
23、m,an,m3成等比数歹八（I）求 斯 的通项公式；（II）求。1+4+。7+3-2【答案】解：（/）设等差数列 a,的公差为dWO,由 题 意 47117。13成等比数列，,a=%由 3，：.（ai+10d）2=%（%+12d）,化 为 （2ai+25J）=0,.dWO,.,.2X 25+254=0,解得 d=-2.25+(w-1)X(-2)-2n+27.（）由（/）可得侬.2=-2 （3-2）+2 7=-6 +3 1,可知此数列是以25为首项，-6 为公差的等差数列.，S=a I+。4+。7+。3”2=加 什 期 2“25-671+31)-2-=-3/+2 8 拉.?模拟好题01.已知a,
24、b,c分别为锐角三角形ABC三个内角4 B,C的对边，且H e求4(2)若a=V7，b=2,求c；(3)若 cosB 号，求 s in(2 B-4)的值.【答案】(呜(2)3(3端【解析】(I)由于0。会 所 以 sinCHO,由 V5c=2asinCW V3sinC=2sin/sinC,所以sin4=3,且三角形ABC为锐角三角形，2所以4=*(2)在4 A8C中，由余弦定理有 cosTl=h 一 =-7=-=c2 2c 32bc 4c 2解得c=3 或c=-l (舍)，故 c=3.(3)由 cosB=1,可得 sin B=叱,cos2B=cos2B-sin2B=-sin28=2sinBco
25、sB 二手.所以 sin(2B-4)=sn2BcosA-cos2BsinA4V5 1 1 V39 2 i 9，2_ 4遍+百一 182asinC.2.在4BC中，角 A,B,2 的对边分别为 a,b,c,(b+a)(sin4-sinB)=(c-b)sinC.(1)求角Z 的大小；(2)设a=2,8 S&=且：，求 b.2 7【答案】(1)4=余(2)*=【解析】(1)由题设(a+b)(Q h)=(c b)c,即b e =c2 4-h2 a2,所以 c o s/=i+房-，a=匕 又 0 4VTT,故4=g.2bc 2 3(2)由(1)知：0 V B V 则 0/3，2 2 7 7 77而K 7
26、 a二=病b i故r .6 =忑4*亍4=3了 163.定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如 1,5 的一阶和数列是 1,6,5 ,设它的n阶和数列各项和为S”.(1)试求 1,5 的二阶和数列各项和S2 与三阶和数列各项和S 3,并猜想S”的通项公式(无需证明)；若金=一脸 3)【3-),求&的前项和6并证明：三 7 1),由等比数列的前项和公式可得，Sn=12+6 X 3()=3+1+3,n 1-3所以 S J 的通项公式S
27、”=3+1+3.(2)由于 S*=3n+1+3,所以 c“=_1_ =_(-lg3(n-3)lo g3(Sn+i-3)n+l n+2j n+2 n+1则=2一工+工一工+_1-L =_2 1,J n 3 2 4 3 n+2 n+1 n+2 2因为九W N,所以-0,所以：；，n+2 n+2 2 2又7 随的增大而减小，所以当7 1=1 时，7rl取得最大值一；，故一7 3 6 L 64.已知数列%的前项和为1=+1,正项等比数列 瓦 的首项为由,且a/3 +a2 b 2 +a3 b l=14.(1)求数列 册 和 刈 的通项公式；(2)求使不等式bn (土 了 (n2)成立的所有正整数组成的集
28、合.【答案】即=2n2_ 1,：；%=(I)2;(2)(3,4,5,6,7).【解析】(1)因为数列 斯 的前项和为又=+1,所以当7 1 =1 时，ax=2；当n N 2 时，an=n-n-i =2 n-1,故 册 二 院2.,n 2所以。2 =3,a3=5,从而由外+r2 b 2 +a3 b l=14，化为 2b3+3b2+5 3 =14,又因为数列 勾 为正项等比数列且瓦=Q i =2,设公比为q,.且q 0,又2 q2 +3 q 2 =0,解得q=城 q=-2 (舍)，从 而%=(以 (2)当n 2 2时，不等式“(七)2 转化为2 n-2 L记/=第,/(2)=1，/=2,f(4)=
29、%/(5)=2)7(6)=得 f(7)=g,f(8)=g,当 n N 4 时，=f(n)单调递减，所以/(n)(高)成立的所有正整数n组成的集合为 3,4,5,6,7).5 .已知数列 a j 的前项和为,且 2 S“=3 0rl-3.(1)证明数列 an 为等比数列，并求出数列 an 的通项公式；(2)设b=log3an,求数列 斯的前n项和7.【答案】(1)证明见解析，an=3?1【解析】(1)当几=1 时，由 2sl=3Q1 3 可得%=3,由已知 2Sn=3an-3,有 2sH+i=3an+1 3,两式相减得 2an+1=30n+i-3az i，即%+i=3an,因为%=3,所以“丰0
30、,所以臂1=3,所以数列 册 是以3 为首项，3 为公比的等比数列，所 以=37 1；(2)由(1)可得0=log3%2=,所以即bn=n 3%Tn=1 x 3 4-2 x 32+3 X 33 4-.+n x 3n,则 37rl=1 X 32+2 x 33+(”-1)x 3 +n x 3n+1,所以-2 7 =3+32+33+.+3。-71*31=d 2 3 +l|,所以6.6 知数列 a j 的前项和%满足 4%-2Sn+n 2-3 n -4=0,n e N*.数列 4 满 足%=1,2nbn+1=anbn,ne N*.(1)求证：数列 即-n 为等比数列，并求数列 即 的通项公式；(2)求
31、证：bn+1 bn 3-,n&N【答案】(1)证明见解析，an=2n+n(2)证明见解析【解析】(1)当n=1 时，Q=3；当7 1 2 2 时，4Q7LI-+(n-1)2 3(H 1)4=0,n E N*,所以 4(即一-1)2%+2n 4=0 整理得%=2%_j n 4-2.所 以 即-7 1 =2 即一(ri-1)又 一 1=2 H 0,故时?i H 0.所以=2，即 6-m 为等比数歹人所以a 一 n=2,an=2n+nwrt-1 )(2)由题意得以+i =(1+/)%,所以bn+i 与%同号,又因为白1 =1 0,所 以 勾 0,即b“+i -%=会%0,即b+1 以.所以数列 b
32、j 为递增数列，所 以%bx=l,即41+1 勾=bn 最 累加得b n b1 1+,+令,+号,，所 以 篇=套+,+*,两式相减得：篇 后+/+表+/一号=担土一.，1 2所以7 n=2翳，所以b 2 3鼎，所以以+1 以 之 3翳.7.已知数列 斯 为等差数列，a2=3,ai 4=3 a5,数列付工的前项和为配，且满足2 Sn=3 b n-l.(1)求 斯 和 九 的通项公式;若cn=%/b n，数列。的前项和为T ,且7 -兀-3?1 2)故数列付“是 以 1 为首项，3为公比的等比数列，所以b=3-1(7 1 G N+).(2)解:数 列 7 中,cn=an bn=(2 n-1)-3
33、-1.则7 =1 x 3 0 +3 x 3 1+(2 n-3)3n-2+(2 n-1)-3 吁】所以 3 7 =1 x 31+3 x 32+-+(2 n-3)-3n-1+(2 n-1)-3n故一2 7 =1+2(31+32+.+3n-1)-(2 n-1)-3n=-1+2(3 +3 +3 时1)l-3n-(2 n-1)3 =-1+2 -_三-(2 n-1)-3n=(2 -2 n)-3n-21 3所以 7 n=(n-D-3“+lV(-l)n-m 7 n-n-3n=l-3 对 n G N*恒成立.当 n 为奇数时，(1),m=ml 3n=z n m 2)(1)求数列“的通项公式；(2)设垢=数列 加
34、 的前n项和为7 ，求使得T n 0的n的最大值.anan+l【答案】(1)加=2-13(2)5【解析】(1)由题意知(S?+/-S”)-(S n-S n解得 an+i-an2(n 2),又。2-。/=2,所以仅 是公差为2的等差数列，贝 II an=ai+Cn-1)d=2n-13；(2)由题知必-Q九-1 3)(27 1 -1 1)2(2 n-：2 k-l l由 7 n 得；+2 二=K)解得0 a4=一 4,a5=-5,=2；(2)是奇数，理由见解析：(3)不存在，理由见解析.【解析】(1)解：由 题 得=1,=4,=-5,。6 =2.(2)解：C J 2 02 1+。2 02 2 是奇数
35、.理由如下：先证引理1：册的奇偶性与n相同.假设不满足引理1 的最小正整数n=t,即4的奇偶性与t 不同，由(1)7 (也可以写t 2 3这 里 是 为 了 保 证 后 面 用 到 的 2为正整数).若t 为奇数，则 有 为 偶 数，a-2 为奇数，进而有4=4 _ 1-4 _ 2 为奇数，矛盾；若t 为偶数，则有处_ 1为奇数，a 一2 为偶数，进而有4=2 偈-1一 3 a _2 为偶数，矛盾.所以假设不成立，引理1 正确.进而有。2 02 1+。2 02 2 为奇数加偶数，结果为奇数.(3)解：不存在，理由如下.先证引理2：当n为奇数时，册除以3余数为1；当n为偶数时，册除以3 余数为2
36、.假设不满足引理2的最小正整数n=t,由(1)知t 2 7.若t 为奇数，则 由(2)有a.1为偶数且除以3余数为2,4-2 为奇数且除以3余数为1,进而有4=a.1 a 一2 除以3的余数为1，矛盾；若t 为偶数，则 由(2)有a 1为奇数艮除以3余数为1,a.2 为偶数且除以3余数为2,进而有4 =2 a 一1一 3 a 一2 除以3的余数为2,矛盾.所以假设不成立，引理2正确.假设存在n，使得斯=2 0 2 2,由(2)知，r i 为偶数，进而有即除以3的余数为2,而 2 02 2 除以3的余数为1,矛盾.进而有不存在n,使 得%=2 02 2.10.设数列 斯 的前项和为Sn,%=0,
37、a2=1,nSn+1-(2 n+l)Sn+(n+l)S _ i -1=0(n2).(1)证明：%为等差数列；（2）设%=2%在%和 bn+i之间插入个数，使这n+2 个数构成公差为4,的等差数列，求6 的前项和.【答案】（1）证明见解析【解析】(1)证明:因为TI2 时，nSn+1-(2n+l)Sn+(n+l)Sn_i-1 =0,则n(Sn+i-Sn)-(n +l)(Sn-Sn_ D-1 =0,B|Jnan+1 (n+l)an 1=0,n2,因为。2 2al-1=0,则n%+i-(n+l)an-1=0,n E N*.，所以(九一 1)0n-nan_x-1=0,n2.，则一得九%+i 2nan
38、4-几“_i=0,n2,即即+i+an-i=2an,n2,所以 斯 为等差数列.(2)解：由(1)可得 册 的首项为4 =0,公差为=所以即=n-l,所以0=2T,记 的前n项和为则=+3.所 以 也=2.0 +3-Q)+4 0 +*)+(n+1)(0则 -得 箱=2+(丁+y_(n+1)(界.所以=1 5+1)(9=3-(H+3)(0，所以7=6-（九+3）。1 1 1.记AHBC的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,点。在边AC上，且满足DB:DC=2:3:4,ABC(1)证 明:2b2=7 ac(2)求 cosZ-ABC.【答案】(1)证明见解析(2)-或一|【解析】(1)点。在边AC
39、上，且满足0 8:0 4:0(；=2:3:4,所以)8=彳/?,D A=/,D C =,S=jacsinB=fiDs lll6;故ac=/2,B P 2b2=7ac；(2)由图可知 cosADB+CQSLCDB=(2一 一+十 产？=。，2x?x：b 2 x,x勃可得 3a2-8ac+4c2=0,解得Q=2c或Q=C，1。当Q=2c时，b2=(QC=7c2,cosZ-ABC=(2。2+/-7=_ 1.2 2x2cxc 22。当a=：c时，b2=-ac=ci,cosBC=屈 二寸=_ g323 2XyXC 3综上所述coszzlFC=-；或一12.AZBC的内角4 8、C的对边分别为a、b、c,
40、已知acosB=g b s in A(1)求角8的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求4 BC的面积.条件：a=3；条件：b=2鱼；条件：co sC=-g；c=2【答案】(1)B=,(2)答案见解析【解析】(1)由acosB=K b s irvl和正弦定理得 sinAcosB=V3sinFsiri24,因为 0 0，tanB=-3因为0 8 n,所以B=g.o(2)若选条件：a =3；条件：b =2鱼，由(1)B=2,由余弦定理得(2鱼)2 =3 2 +c 2 _ 2 X 3 c X争 解得C =噜 竺，因为答案不唯一，所以舍去.若选条件：b=2 V
41、2;条件：c o s C=|；由(1)8=2，因为 c o s C =0 C i t,所以 s i nC =,3 3由 正 弦 定 理 得?=等，解得c =竺T 2 3由余弦定理得(空)2 =8+2 X 2&a X|，解得a =普丝，则4 4 B C的面积为S =-absinC=生殳也I；2 9若选条件：a =3；条件：c o s C=：；由(1)B=g3 6因为c o s C=0 C i t,所以s i nC =立，所以3 3s i nA=s i n(7 r S C)=sinBcosC+c o s Fs i nC =-x f -)+-x =2 3/2 3 6c 3由 正 弦 定 理 得 标=
42、而，解得c =3。旧+12店,T 11则4 4 B C的面积为S =i a b s i nC =竺 口 也2 22若选条件：a =3；c =2,由(1)B=,0则4 A B C的面积为S =j a c s i nB=|.若选条件：b=2 V 2:c =2,由(1)B=由余弦定理得(22=4 +一 2 x 2 a x争 解得a =旧+近，则4 A B C的面积为S =1 a c s i n 5=1 x 2 x (V 3+V 7)x 方=若选条件：c o s C =-1；c =2,由 8=因为c o s C=0 C )+-x =迤二,2 3/2 3 6由 正 弦 定 理 得 备=高，解得a =皿五
43、达，T-T 5则4 4BC的面积为S=lacsinB=工 x 2 x 配 更 x 工=史旦鸟2 2 5 2 101 3.在a=V 7,N C边上的高为 苧，sinB=苧这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.问题：记N 8C 内角B,C 的对边分别为a,b,c,已知乙4=60。，c=b+l,.(1)求 c 的值；(2)若点。是边BC上一点，且乙-4ABC=g,求的长.【答案】(l)c=3(2)2【解析】(1)解：选条件：a=y/7,c=b+由余弦定理cos/l=土 亡=工，则浜+匕6=0,2bc 2解得b=2,则c=b+1=3；选条件：ZC 边上的高为越，2由三角形的面积公式gb(b
44、+l)sinA=(从解得b=2,c=3.选条件：sinB=苧，由题意可知B +8)=sinAcosB+cosAsinB,V3 2V7,1 V21 3V21=x-F-x=-，2 7 2 7 14V2i由正弦定理得当=2,即 需=占，smC c 3V21 b+i14解得b=2,c=3.(2)选条件：因为CB-NABC=g,所以/4D B=ZJ 1BC+g,cosBa2+c2-b2 7+9-4lac2 x 5 x 32V7-，7s i n B -c o s 2 B =J lT=，贝h+然尧抖富州警由正弦定理禺二4/7sin 乙4 0 8ABsinBsin 乙4 0 83x手3V2T1 4,AD=2；
45、选条件;因为4 4 D B -ZJ48C=g,所以Z 7 1 D B =Z J1 8C+g,cosB。2+1 2-1 2 _ 7+9 4 _ 2V72ac 2xV7x3 7sinB=V 1 -cos2B=Jl -=mil.,A rn f,nz n VzT 1.2V7 V3 321则 s i n Z i 4 D F =s n(Z-ABC H )=x I x =，3y 7 2 7 2 14由 正 弦 定 理 喘=当BsinB _ 3xsinZ-ADB 3&T选条件：si.nZz-AArD.Bn =si n(Z-ABC+I -万、)=x/H Kx 1 +.2V7 x V3 =-3V-H 1 37 7
46、 2 7 2 14由正弦定理当=_4_8_ _ Ad I八j ABsinB -3x.，sinZ.ADB1 sinADB_3 514=2.1 4.在/6C 中，b s i n(8+)=-c o s(8+).(1)求 8 的值；(2)给出以下三个条件：a?-川+c 2 +3c =0；a =百，b =l;右阳。=两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：求 s i n 4 的值；(i i)求。的角平分线8。的长.【答案】(l)B =g；(2)(i)sinA=.(i i)BD=-.14 8【解析】汇，若这三个条件中仅有4由题设百 s i n(B +。+c o s(B +)=2 s i n(B +白=0
47、,而 l,即为错误条件;综上，正确条件为，(i)S 2accosB=a2+c2 b2,则c(3 a)=0,即a =3,又SAABC=a c s i n B -j，可得c =5,所以9-扶+2 5+1 5=0,可得6=7,则-=-、=营，故 s i n A=辿，sm/i sino V3 14(i i)由角平分线的性质知：4 =，7 =?且乙1 8。=或O O J在 4 B D 中 乌=-诉，则sm/l sin 乙48。81 5.在 A B C 中,角4,5,C所对的边分别为a,b,c.在b c o s A+acosB=2 c c o s C,(a +b +c)(a +b c)=3ab,c o s
48、 2 C +c o s C =0 中任选一个，(1)求角。的大小；(2)若c =2,求AB C 周长的最大值.【答案】(l)C =g(2)6【解析】(1)选b c o s A+acosB=2 c c o s C,得 s i n B c o s A+s i n；4 c o s B =2 s i n C c o s CAs i n (1 +8)=s i n C =2 s i n C c o s Cv c e(o,7 i)As i n C W 0/.c o s C =-(0 C C=-2 J 3选(Q+b +c)(a +b c)=3ab=(a +b)2 c2=3ab=c2=a2+Z?2 a hV c
49、2=a2+-2abcosC，cosC=1(0C C=选 cos2C+cosC=0=2cos2c+cosC 1=0=(2cosC l)(cosC+1)=0又 0 V C V 7T所以cosC=p所以C=g(2)由余弦定理知：c2=a2+b2-2ab cosC=a2+62-=(a 4-6)2-3ab由基本不等式知：abW(早)2所 以=(a+匕)2-3ab (a 4-b)2-1(a 4-fc)2=-(a+b)24 4所以：。+6W 2。=4(当且仅当。=6时，等号成立)，所以Q+b+cW 6综上：/8 C 的周长的最大值为6.1 6.在2bsinC=VccosB+csinB,器=丁 两个条件中任选
50、一个，补充在下面的问题中，并解答该cosC 2a c问题.在ABC中，内角4、B、C所对的边分别是a、b、c,且.求角8；(2)若a+c=H，点D是4 c 的中点，求线段BD的取值范围.【答案】(1)条件选择见解析，B=g 评)【解析】(1)解：选，由 2bsinC=V3ccos5+csinB及正弦定理可得 2sinBsinC=百 sinCcosB+sinCsinB,所以，sinCsinB=V3sinCcos因为8、C e(O,;r),所 以,s i n O O,则 sinB=gcosB 0,所以，tanB=8，8=5选，由9 =及正弦定理可得sincosC=(2sinA-sinC)cosB,