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1、最新经典试题系列一函数与导数1、已知函数 f(x)=a x +l n x,a e R(I )求函数f(x)的极值;(I I )对于曲线上的不同两点P|(X 1,y J,P2(X 2，y 2),如果存在曲线上的点Q(X o，y(),且 X 1 x 0 x?,使得曲线在点Q处的切线1/PR，则称I 为弦R P2的伴随切线。特别地，当x 0=1X|+(l-%(0 入1)时,又称1为PF 2的卜伴随切线。(i )求证：曲线y =f(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯的；(i i)是否存在曲线C,使得曲线C 的 任 意 一 条 弦 均 有 伴 随 切 线？若存在，给出一条这样的曲线，2并证明
2、你的结论；若 不 存 在，说明理由。2、对于三次函数/(%)=4 3+历/+4 恒成立，求实数用 的取值组成的集合.I n x4、已知函数/(x)=ax+I nx,a e R.(1)求函数/(x)的极值;(I I )对于曲线上的不同两点6(X ,y),8*2，%)，如果存在曲线上的点。(毛,%)，且玉 /%2,使得曲线在点Q处的切线/P旦,则称/为弦46的伴随切线.特别地，当X。=+(1-A)X2(0 2 0)的极值点。(1)求实数b的值；(2)若函数y =/(x)加恰有一个零点，求实数机的范围；(3)当a =1时，函数y =/(x)的图象在x =%(a“0,n e N )处的切线与x轴 交
3、点 是-a“+,0)。若q=l,+问是否存在等差数列%,使 得%+你2+=2 (2一1)+2对一切an w N*都成立？若存在，求出数列&的通项公式；若不存在，请说明理由。8、已知函数/*)=1 1 1。-1)一%*-1)+1。(I)求函数/(x)的单调区间；(I I)若/(x)4 0恒成立，试确定实数k的取值范围；(I I I)证明：历(工-1)%-2在(2,+8)上恒成立；之(_ _)l)占(i +D 4kx-9、已知函数f(x)=e.(e是自然对数的底),(1)若函数“X)是(T,+8)上的增函数，求k的取值范围；(2)若对任意的x 0,都有/(x)0.1 +x (1 +x)(I )求函
4、数(x)在(0,+8)上的最大值;(H)数列 ,中，q=3,%=5,其前项和S“满足S“+S“_2 =2 S“T+2 T(N3),且设bn=-,证明：对任意的 x0,bn f(x),=1,2,；a.Fn2(IH)证明：b.+b,+-+b .1 2 n+4 x12、已知函数/(x)=TW 3,x e 0,2 .(1)求使方程=0 (me R)存在实数解时m的取值范围；(2)设 a*0,函数 g(x)=；ax 3 a2 x,x e 0,2 .若对任意占 e 0,2 ,总存在 e 0,2 ,使f(x,)-g(xo)=O,求实数。的取值范围.13、设函数 f(x)=X?+b l n(x+1),(1)若
5、对定义域的任意x,都有f(x R f(1)成立，求实数b的值；(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；n 1 1 1 1(3)若b =-1,证明对任意的正整数n,不等式+7 T +7 T+.+F 都成立2=K Z 3 14、已知/(x)=2 +l n x,x w(0,e,g(x)=皿，其中是无理数，且e=2.7 1 82 8.,awR.X X(1)当Q =1时，求“X)的单调区间、极值；(2)求证：在(1)的条件下，/(x)g(x)+；：(3)是否存在实数，使/(x)的最小值是-1,若存在，求出的值；若不存在，说明理由.315、已知函数 (a+2)x2+6x-3o2(1)
6、当。2时，求函数/(X)的极小值；(2)试讨论函数y =/(x)零点的个数。16、定义函数尸(x,y)=(l+x)，e(0,+oo).(1)令函数/(x)=F l,log2(x3-3x)的图象为曲线G求与直线4 x +1 5y 3 =0垂直的曲线C,的切线方程；(2)令函数8(*)=尸1,1082(/+2+近+1)的图象为曲线。2,若存在实数b使 得 曲 线 在Xo(xo e(1,4)处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；(3)当 x,y e N*,且 x 尸(y,x).17、已知函数/(x)=ax3+bx2+ex在点/处取得极小值-4,使其导数尸(x)0的x的取值范围(1,3),求：(1
7、)/(x)的解析式；(2)(文 科)x e 2,3 ,求8(幻=/0)+6(加一2口的最大值；(3)(理科)若过点尸(-1,加)可作曲线y =/(x)的三条切线，求实数机的取值范围.1 8、设 函 数 外 力=丁 +5卜)=2/+6,已知它们的图像在x =l处有相同的切线.(1)求函数“X)和g(x)的解析式(2)若函数*x)=/(x)-”g(x)在 区 间3上是单调减函数，求实数机的取值范围。19、若f(x)在定义域(一1,1)内可导，且/(X)o.20、已知函数/(x)=l n(ax +l)+-,x 0 其中 a01 +x(I )若/(%)在x=1处取得极值，求a的值；(H)求fix-)的
8、单调区间；(III)若/(乃 的最小值为1,求a的取值范围.21、已知定义的灯上的函数/(x)满足f(x)=/(4-x),又函数/(x +2)在 0,+oo)单调递减.(1)求不等式/(3 x)/(2 x-l)的解集；(2)设(1)中的解集为4对 于 任 意 时，不等式Y+(f-2)x +l T 0恒成立，求实数x的取值范围.22、已知函数/(x h g ax -g x?-2ax+b(a,b e R)(1)试求函数x)的单调递增区间；(2)若函数“X)在x =2处有极值，且/(x)图象与直线y =4 x有三个公共点，求b的取值范围.23、已知/*)为二次函数，不等式/(x)+20的解集为(一1
9、,；),且对任意a,e R,恒有/(si n t z)/(2 +0 5/?)2 0.数列。“满 足 =1,3 ,1+1=1-(n e N*)/(%)(1)求函数/(x)的解析式；(2)设1,求数列 b的通项公式；a(3)若(2)中数列也,的 前 项 和 为 求 数 列 S,c os(2%)的前项和7；.1 Y2 4、已知函数/(x)=l n(ax +l)+-,x 0,其中。01 +x(I)若“X)在x=1处取得极值，求a的值；(II)求/(x)的单调区间；(III)若 的 最 小 值 为1,求a的取值范围。2 5、已知函数/(x)=al n x +.x(1)当。0时，求函数/(x)的单调区间和
10、极值；(2)当。0时，若对任意x 0,均有ax(2-l n x)4 1,求实数a的取值范围；(3)若a 0).(1)当a =3时，求曲线y =/(x)在点(1 J(1)处的切线方程；(2)讨论函数”X)在区间(l,e )上零点的个数.In X2 8、已知函数/(=-1x(1)试判断函数/(X)的单调性；(2)设加 0,求/(元)在,2 m 上的最大值；1 -I-n 1 -I-n(3)试证明：对V“wN*,不等式n n2 9、已知函数/(x)=普 之 一x (0 X/c o s x在(0,5上恒成立;I I JI(3)求g(x)=-的最大值.sin x x 230、已知函数，去)=无2+(+l)
11、x+lg|+2|(a ER,且aw-2).(1)若/(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数(x)的和，求g(x)和人&)的解析式(2)命题P：函数/(x)在区间(a+1)2,+8)上是增函数；命题Q：函数g(x)是减函数.如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，比较/(2)与3-lg2的大小.31、已知函数/(x)=x+(f0)和点P(1,0),过点尸作曲线y=/(x)的两条切线PM、P N,切点分别x为 M、N.(1)设g(f)=|MN,试求函数g的表达式；(2)是否存在t,使得V、N与40,1)三点共线.若存在，求 出t的值；若不存在，请说明理由；
12、(3)在(1)的条件下，若对任意的正整数。，在区间 2,+丝 内总存在机+1个实数na2,，am,am+i,使得不等式g(“|)+g(%)+g(a,“)-4都成立.n n n33、已知函数/(x)=d 3ax?3(2a+l)x 3,。是常数.(1)若a=；,曲线y=/(x)上点P处的切线与直线2x+3y=0平行，求点P的坐标；试 证 明，对任意常数a,函数y=/(x)在区间(-3,3)存在零点.+sin x34、已知函数/(x)=-b x (a、bwR),2+cos x(1)若/(x)在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680,试求a和b的值。(I I)若(x)为奇函数:(1)
13、是否存在实数b,使得/(x)在(0,-)为增函数，(？-,万)为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；(2)如果当x N 0时，都有/(x)W 0恒成立，试求力的取值范围。JT135、已知了(0,)，求函数y=,+sir?%的最小值以及取最小值时所对应的不值.2 2sinx36、已 知 函 数/)=尸三6 6 0,2(1)求/(x)的值域；(2)设函数g(x)=%2 一a x +a-2,x e o,2。若对任意玉 e 0,2 ,总存在x?e 。,2 ，使/(x,)-5(x2)=0,求实数a的取值范围。37、已知函数 f(x)=L,X(I)判定函数的奇偶性；(II)求函数的值域。38
14、、如图,某小区准备在一直角围墙4 8c内的空地上植造一块“绿地A 48。”,其中4 B长为定值a,8。长可根据需要进行调节(B C足够长).现规划在A A 8。的内接正方形B E F G内种花，其余地方种草，且把种草的面积$与种花的面积名的比值 称为“草花比yS 2(1)设N D 4 8 =，将y表示成。的函数关系式；(2)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少？39、已知函数/(x)=丁+a x与g(x)=A/+c的图象相交于一点P&0)，且r H 0两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)当 r =l 时，求a,b,c.(2)若函数y =g(x)-“X)在(-1,3)上单调递增,求f的取
15、值范围。40、已知二次函数/(x)=a x 2 +b x +l和函数g(x)=y-1 ,(1)若/(X)为偶函数，试判断g(X)的奇偶性;(2)若方程g(x)=x有两个不等的实根X1,X2(X1 超)，贝U 证 明 函 数/(X)在(-1,1)上是单调函数；若 方 程/(X)=O的有两实根为3 4 4(工3 了4),求使七 X 成立的a的取值范围.41、已知定义在R上的函数/。)=/(分 一3),其中a为常数.(1)若 是 函 数/*)的一个极值点，求a的值；(2)若函数/(x)在 区 间(1,0)上是增函数，求a的取值范围；(3)若函数g(x)=/(x)+/(x),x e 0,2 ,在x=0
16、处取得最大值,求五藜a的取值范围.42、已 知 函 数/*)=向7晟，存在正数匕，使得/(x)的定义域和值域相同.求非零实数。的值；4 3 已知向量Q=(1 -t a n4,l),6 =(l +s in2 x +c os 2 x,0),记=(1)求K x)的解析式并指出它的定义域；(2)若a +3=也，且a e(0,)求/(a),8 5 244、已知函数/(x)的导数/(x)=3 x 2 3 a x,/(O)=b.a/为 实 数，l o 0),过点P(1,O)作曲线y =/(x)的两条切线尸、PN，切点分别为M、N.X(1)当，=2时-，求函数/(x)的单调递增区间；(2)设|M N=g。)，
17、试求函数g(f)的表达式;(3)在(2)的条件下，若对任意的正整数，在区间 2,+竺 内，总存在m+1个 数%,%一,明,+”n使得不等式g(%)+g(“2)+g(*J g(a,+J成立，求m的最大值.46、已知关于x的一元二次函数/(x)=a x?-4bx+1.(I )设集合P=1,2,3 和0=-1,1,2,3,4 ,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和万，求函数y =/(x)在区间口,+8)上是增函数的概率；x+y-8 0 内的随机点，求函数y =/(x)在区间 1,+8)上是增函数的概y 0率.47、设函数/3)=五更处.X(I)判断/(X)在区间(0/)上的增减性并证明之；(I I
18、)若不等式04。V 4=I +二7对x e 3,4 恒成立，求实数。的取值范围M；(I I I)设 0。乃,且 a e M ,求证：(2a-1)s in x +(1 -a)s in(l -a)x 048、已知二次函数f(x)=a x2+x.(1)若对任意xrX2 CR，恒有f(笑)4；f(x J+f(X2)成立，求实数a的取值范围；(2)若x w 0,1 时，恒有|f(x)|W l,试求实数a的取值范围.49、已知函数/*)=。1+2+4伍工0/6/?)为奇函数，且/*)在 丫 =1处取得极大值2.(1)求函数y =/(x)的解析式;(2)记g(x)=/。+(4+l)l nx ,求函数y =g
19、(x)的单调区间；x(3)在(2)的条件下，当攵=2时，若函数y =g(x)的图像的直线y =x +小的下方，求机的取值范围。I n X50、已知函数/(犬)=吐x(1)求函数/(X)的单调区间；(2)设a 0,求函数/(x)在 2 a,4 a 上的最小值；(3)某同学发现：总存在正实数a、使/=/,试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围(不需要解答过程).1,1,51、已知函数/(x)=+a x +l,(a 工 0)(1)试判断当。=4时函数/(x)是否有极值，以及当0 a 2，/(2)是函数/C O的两个不同的极值点，若直线AB的斜率不小于-2,求实数
20、。的取值范围。52、已知/*)的定义域为0,1,且满足下列条件：对任意x w 0,总有/(x)2 3,且/(1)=4 若 玉 0,x2 0,X +x2 /(%)+/(X2)-3求：(1)/(0)的值；(2)求证：f(x)0,)(1)求 广(1)；(2)当 1时，求 满 足 尸(x)0的x的取值范围;(3)当 时.讨 论 了一(X)的单调性.56、已知函数/(乃=巴”X(1)若函数在区间伍,。+，)其 中a 0,上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如 果 当 时，不等式/(x)N 上 恒 成 立，求实数k 的取值范围；x +1(3)求证(+1)!(+le -2(e N*).57、设函数/*)对
21、 xwO的任意实数，恒有/(%)-2/()=/+1成立.X(I)求函数/(X)的解析式；(I I)证明函数/(x)在(0,娠 上是增函数.58、已知函数/(x)=log“(x +l)(al),若函数y=g(x)图象上任意点尸关于原点的对称点。的轨迹恰好是函数y=/(x)的图象。(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)当0 4 1 时总有/(x)+g(x)2团成立，求机的取值范围。59、已知实数c 2 0,曲线C:y =与直线/:y=x-c 的交点为P (异于原点。).在曲线C 上取一点6(王,y)，过点，作 4。平行于x轴，交 直 线/于 过 点 2 作。石 平行于y 轴，交曲线C 于巴a 2
22、,%)；接着过点P2作P2Q2平行于x轴，交直线/于0,过点乌 作a 8平行于轴，交曲线C 于鸟(毛，为)；如此下去，可得到点名(%4，4)，4。5，%)，2(x“，y”)，设点尸坐标为(用、石),X =b,Qb X j,且乙 0),设产(x)=x)+g(x).X(1)求函数(灯 的单调区间;(2)若以函数y=尸(x)(x e(0,3)的图象上任意一点尸(%,打)为切点的切线的斜率女恒成立，求实数a 的最小值；(3)是否存在实数m,使得函数y=g(f-)+2-1 的图象与函数y=/(l+/)的图象恰有四个x +1不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。62、已知/(x)
23、=1 x3+a x2-&x+l(x e/?,a、b为实数)有极值，且x =l处的切线与直线x y+l =O平行.(1)求实数a的取值范围；(2)若/,(X)在(2,+oo)上是单增函数，求实数a的取值范围；63、已知函数y=/(x),x,ye N*满足 对任意的 a e N*,a 工 b 都有 4(。)+bf(b)af(b)+bf(a).对任意的n e N*,都有/(/()=3 .求/+/(6)+/(28)的值；(2)令q =f试证明：+g(x)恒成立，求p的取值范围65、已知函数力(x)=T*,/2(x)=d)C 其中 m d R 且 m W。.4x+1 6 2(1)判断函数f i (x)的
24、单调性；(2)若 mv-2,求函数/(x)=/G)+/2(x)(x e -2,2)的最值;(3)设函数g(x)=当m 2 2时，若对于任意的X i G 2,+8，总存在唯一的f2(x x lx2e (8,2),使得g(x i)=g(x2)成 立.试 求m的取值范围.66、已知定义在R上的奇函数/(x)=x3+b x2+cx +d在*=1处取得极值.(I )求函数/(x)的解析式；(I I)试证：对于区间 1,1 上任意两个自变量的值现,，都有(王)一/。2)区4成立；(I I I)若过点P(私),(加、凡且|加|0,2 0，记/(，)=%*2(1)求出左与，之间的关系；(2)若/)在其定义域内
25、是单调函数，试求上的取值范围；(3)解不等式：69、已 知 函 数/(幻=/+2 级+83 a l)J(l)=0,且方程/(x)+1 =0有实根.(I )求证：一3 0)上存在极值，求实数a的取值范围；(II)如果当x N l 时，不等式/(x)N上 恒成立，求实数k 的取值范围.x+171、已知函数/(犬)=；1+%2一2 .(I )设 a n 是正数组成的数列，前项和为S n，其中a=3.若点(%,。3-2%+1)(1 6/0 在函数片/(X)的图象上，求证：点(,S n)也 在 片/(X)的图象匕(II)求函数/(X)在区间(a-l,a)内的极值.X72、已知定义在区间(0,+0 0)上
26、 的 函 数/(外 满 足/(,)=/(用)一/3 2),且当犬1 时，/(%)0 x2(1)求了的值；(2)判断了(X)的单调性；(3)若 3)=1,解不等式/(国)-2。73、已知函数/(x)=J/a x?+1 0 x(x e R).(1)若a=3,点 P为曲线y=/(x)上的 个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若函数y=/(x)在(0,+8)上为单调增函数，试求a的取值范围.74、已知/(x)=In x-a x?-6 x(a 工 0).(1)若 a =-1,函数/(x)在其定义域内是增函数，求6的取值范围.(2)在(1)的结论 下,设g(x)=e 2*+尻，户 0,l n 2 ,求函数g(x)的最小值;(3)若f(x)的图象与x轴交于4(%0),8(%,0),(石 /),A B中点为C(x0,O),求证：/(%)1 0.