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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.(l+2 x)5 的展开式中/的系数为()A.1 0 0 B.8 0 C.6 0 D.4 0【答案】D【解析】【分析】由二项式项的公式，直接得出X。的系数等于多少的表达式，由组合数公式计算出结果选出正确选项.【详解】因为(1 +2 行 的展开式中含X2的项为C；(2 x)2 =40f,故/的系数为4 0.故选：D【点睛】本题考查二项式系数的性质，根据项的公式正确写出x2的系数是解题的关键，对于基本公式一定要记忆熟练.2.已知等差数列%的前项和为S.,若 出+%
2、+%。=9,则 S g=()A.3 B.9 C.1 8 D.2 7【答案】D【解析】设等差数列 4 的首项为为，公差为d.,:%+。1 0 =93。+1 2 d =9 ,即 4 +4 d =3:.4=3.s=9 x(.+%)2 79-2 一故选D.3,已知数列 4 为单调递增的等差数列，S“为前”项和，且满足q=l,%、/、生成等比数列，则，()=()A.55 B.65 C.70 D.75【答案】A【解析】【分析】设公差为d,d 0,32=,(1 +2 )2=1 +8 ,解出公差，利用等差数列求和公式即可得解.【详解】由题：数列 4为单调递增的等差数列，S“为前”项和，且满足4=1,%、%、生
3、成等比数列，设公差为 d,d (),=%4，(l +2 d)-=l +8 d ,解得d =l,i nxg所以 S1 o=l O+*Z=5 5.故选：A【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和.4.为了得到函数y =s i n(2 x 9)的图象，可以将函数V=s i n2 x的 图 象()A.向右平移个单位长度 B.向左平移二个单位长度6 1 2C.向左平移B个单位长度 D.向右平移三个单位长度6 1 2【答案】D【解析】因为把.V =sinlx的图象向右平移专个单位长度可得到函数,v =血21一 曰=s i n l x-的图象，所以，为了得到
4、函数y =s i n(2尤一2)的图象，可以将函数y =s i n2 x的图象，向右平移专个单位长度故选D.5.已知数据否,*2,，匹0，2的平均值为2,方差为1,则数据%,2,X|0相对于原数据()A.一样稳定 B.变得比较稳定C.变得比较不稳定 D.稳定性不可以判断【答案】C【解析】【分析】根据均值定义列式计算可得%,当，而)的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得(石-2 p+(3 -2)2+(”2)2,从而得方差.然后判断.【详解】由题可得：比2+西0+2=2 3+再0 =2 0=平均值为2,由(苞 2)+(w 2)2.+(x?2)-+(2 2)2 =,n(芭 2)_ +伍 2)-.+
5、(芭0 _ 2)-=,io一 .所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义.属于基础题.6.已知抛物线G y2=2px(p 0),过点尸(3,0)的任意一条直线与抛物线交于A,5两点，抛物线外一点Q(r,o),若NOQA=NOQB,贝打的值为()3A.-p B.P c.D.-32【答案】D【解析】【分析】设出点和直线，联立方程得到关于丁的韦达定理，将NOQA=NOQB转化为QAQ8斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.【详解】设4其,%),5(3，%)，设直线AB：X=ay+3X2 P 2 Py2=2px n y2=2p(ay+3)=y2-2pay-6p=Q
6、 =4。2。2+2 4/7 0恒成立I+%=2网V.X%=-6 pNOQA=ZOQB n kBQ=-kAQm=竽(y+%)=+%)即 互 T 2L_Z 2P2p 2pt=-3答案为D【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，定点问题，设直线方程时消去x可以简化运算，将角度关系转化为斜率关系是解题的关键，计算量较大，属于难题.7.设。=$111工公，则 二 项 式 展 开 式 的 所 有 项 系 数 和 为()A.1 B.32 C.243 D.1024【答案】C【解析】【分析】根据定积分求得a=2,得出二项式，再令x=l,即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案.【详解】由题意，可 得。=J。s
7、inxdx=-co sx|；=2,所以二项式为(2X+)5,X令x=1,可得二项式(2%+-)5展开式的所有项系数和为(2+1)5=243,x故 选C.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知函数/(x)=ln x+(x_)-j e 1,若对任意的工1,2,力 一 工 广(外 恒 成 立，则实数的取值 范 围 是()A.卜 8,&)B.-00,-C.,3)【答案】B【解析】【分析】对任意的X 1,2,f(X)X+/(%)0恒成立O 对任意的X 1,2,
8、I的x e l,2,2 f-2 a +l 0恒成立，参 变 分 离 得 到+2恒成立,Xx e 1,2上的最小值即可.【详解】解：/=一 +(1)eRo.O2;-2 a l 0恒 成 立,O 对任意X再根据对勾函数的性质求出丫 4 5在X-X 对任意的x e l,2 ,/(%)-%/(x),即/(%)+为 尸(%)0恒成立 对任意的x e l,2 ,北 二 如 里 0恒成立，X，对任意的x e l,2 ,2 f _ 2比+1 0恒成立，./亚恒成立，2x 2x x1o又由对勾函数的性质可知g(x)=x +2在x e l,2 上单调递增，g(x)*=g(l)=,X/伍一1),则实数。的取值范围是
9、()A.i H沁)B.C C.卜吗)D.陷(*)【答案】A【解析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.详解：因为x)=阴+f，所以y(x)=/(x)j(x)为偶函数，因为当x0时，/(X)单调递增，所以“3。-2)/(。一1)等 价 于 川3。-2|)|。一力，即3 11 3 a-2|f l-1|,9 a -1 2 a +4c t 2 a +1,8 a-1 0 a +3 0.i z ,选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上/(g(x)f(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“/，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与/z(x)
10、的取值应在外层函数的定义域内.1 0.已知向量。与。的夹角为?，a =(2,0),闻=1,则H一24=()A.G B.273 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】利用|a 28|=即可解决.【详解】由题意得|a 2b|=J(a-2b=-4a2+4片，因为向量”与8的 夹 角 为a=(2,0),屹1=1,所以M=2,所以 一4am+dZ/=22-4x2xlxcosy+4xl?=4,所以|a 2匕|=4=2,所以选择C【点睛】本题主要考查了向量模的计算，在解决向量模的问题时通常先计算出平方的值，再开根号即可，属于基础题.1 1.函数丁=28一3+4的 零 点 个 数 为()A.0 B.1 C.
11、2 D.3【答案】C【解析】3x=2 x+4,如图,由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C.1 2.已知随机变量X服从二项分布XB(,p),且E(X)=2,D(X)=1,则尸(X=3)=()113 1A.B.-C.-D.一4 3 8 2【答案】A【解析】【分析】由二项分布与八次独立重复实验的模型得：=4,p=g,则P(X=3)=C：(；)4=；,得解.【详解】因为 X 服从二项分布 XB(,p),E(X)=2,D(X)=1,所 以 叩=2,叩(1-p)=l,即=4,p=；,则 P(X=3)=C：(g)4=；,故选：A.【点睛】本题考查二项分布与次独立重复实验的模型，属
12、于基础题.二、填空题(本题包括4个小题，每小题5分，共2 0分)1 3.已知函数/=(X +2 0 1 3)(X 4-2 0 1 5)(x 4-2 0 1 7)(x+2 0 1 9)re R，则函数双 的最小值是-【答案】-1 6.【解析】【分析】根 据 解 析 式 的 对 称 性 进 行 换 元，令 丫 =.2 01 6,得到门工 2 01 6；的最小值，由f：x；与f _ 2 01 6：的最小值相同，得到答案【详解】令x =t-2 01 6，则“t -2 01 6)=(t-3)(t -l)(t +l)(t +3)=t4-1 0t2+9当产=5时，有最小值T-i o x 5 +9 =-1 6
13、故/的最小值是_ 1 6.【点睛】本题考查利用换元法求函数的最小值，二次函数求最值，属于中档题.1 4.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是(用数字作答)【答案】9 6【解析】【分析】根据条件分成1名男生2名女生，或2名男生1名女生求解.【详解】当3人中包含1名男生2名女生时，有C：C：=6 0种方法，当3人中包含2名男生1名女生时，有C1C：=36种方法，综上：共有6 0+36=9 6种方法.故答案为：96【点 睛】本题考查分类计数原理以及组合问题，属于简单题型，本题也可以用减法表示.1 5.已 知 高 为H的正三棱锥？_ a s c的每
14、个顶点都在半径为R的 球。的球面上，若二面角2 _ AB _ C的正切 值 为4,则.四_R -【答 案】25【解 析】【分 析】取 线 段 的 中 点 点P在 平 面 的 射 影 点 利 用 二 面 角 的 定 义 得 出 乙p 为二面角P _ 43 _ C的平面角，于此得出q.,并在R T 0M C中，由勾股定理0M 2+C M：=002,经过计算可得出R与 的比值。=4DM【详 解】取 线 段 的 中 点D，设P在 底 面46 c的 射 影 为M,则 =p u，连接a）,PD（图略）设P M =4k，易证P D 1 A B，C D J.A B，贝必p 为二面角P -A B -C的平面角，
15、从而t a n 4-4 则网=%僧=2 D M D M在 孔40.3。中，0；甲+。乂2=0。方 即（妖 一/?尸+（2 B 2=/?2 解 得 八54,故 厂2-R=-=-2 R 5故答案为：2【点 睛】本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题。2 1 ffl1 6.已 知。0,b 0,若 不 等 式 一+-2-恒 成 立，则加的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _.a b 2a+b【答 案】9.【解 析】【分 析】将 题 目 所 给 不 等 式 分 离 常
16、数 加，利用基本不等式求得？的最大值.【详 解】,2 1 m _由一+2-得 m Wa b 2 a+b+3恒成立，而（2+/?）=5+5+-5 +4=9 故 加4 9,所 以 心 的 最 大 值 为9.【点 睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解 答 题（本 题 包 括6个 小 题，共70分）1 7.近 期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动
17、推出的天数，y表 示 每 天 使 用 扫 码 支 付 的 人 次（单位：十 人 次）,绘制了如图所示的散点图:（I）根据散点图判断在推广期内，=a+b?与y=c 小（c,d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码 支 付 的 人 次y关 于 活 动 推 出 天 数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（I I）根 据（I）的 判 断 结 果 求y关 于x的回归方程，并预测活 动 推 出 第8天使用扫码支付的人次.参考数据：7XyV7/=|7Ewi=l/=1IO05446 21.5 42 5 3 55 0.1 21 4 03.4 7其 中 匕=i g y,v=-v,./i=l附：对 于 一
18、 组 数 据（知M）,（的,），（,均），其 回 归 直 线6=4+做 的斜率和截距的最小二乘估z%匕一 而计分别为：B =*-,a =v-p u.2/=1【答 案】（D y=适 合（I I）亍=10。54+025上预 测 第8天 人 次347.【解析】【分析】(I)通过散点图，判断y=c-d 适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程 类 型(II)通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次.【详解】(I)根据散点图判断，y=c-d 适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型.(I I)因为y=两边取常用对数得：lg
19、y=l g(c )=lgc+lgd-x,设lgy=v,.=吆，+吆”7无=4,万=1.55,=1 4 0,;=17西匕-7厂i=l77/=!1g =50.12-7x4x1.54 7-=0.25,140-7x42-28把样本数据中心点(4,1.54)代入u=1g c+Igd x得：Ige=0.54,.6=054+0.25%,则 Igy=0.54+0.25x所以y关于x的回归方程为y=10。石,把x=8代入上式得：9=10-54+25*8=347,故活动推出第8天使用扫码支付的人次为347.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，是中档题.N*)的展开式中第五
20、项的系数与第三项的系数的比是9：1.(I)求展开式中各项二项式系数的和；(D)求展开式中中间项.9【答案】(I)64；(II)q=_540/K【解析】【分析】(I)根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是9：1求出的值，然后可求各项二项式系数的和(n)根据的值确定中间项，利用通项公式可求.【详解】解：(1)由题意知，展开式的通项为：-=c：(3)亍(OWrK，且 re N)，尤7则第五项的系数为C：-(-3)4,第三项的系数为C：(-3,C：(-9=C；-(-3)2-T化简，得C：=C：，解得=6,展开式中各项二项式系数的和26=64;(2)由(1)知=6,展开式共有7项，中间项为第4项，
21、令r=3,得 乙=-5405【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.1 9.已知函数/(x)=lnx+ox3.(1)若函数/(X)有两个不同的零点，求实数a的取值范围；(2)若+e+e 2a在xe(l,+8)上恒成立，求实数a的取值范围.1 e+1【答案】(D(-,0)；(2)2e2【解析】【分析】先对/(x)=lnx+a?求导，然 后 分 别 讨 论 和“1),再求导，就aNO和a 0)x x当时，/(x)0恒成立，故X)在(0,+8)上递增，/(x)最多一个零点，不合题意;当0时，/(x)0=0 x2，r(x)x 1.(x
22、)在(0,J-)上递增，在(J 1-,+00)上递减,V 2a V 2a2a且 x f0+时，/(%)-,x-+oo 时，/(x)-oo故要/(X)有两个零点，只需f(J 1一)0,V 2a解得：-a 1)g(x)=+es-2 a,当。0恒成立，二8 3在(1,”)上递增,；.g(x)g(l)=O,符合题意；当。0时，g(x)=e、J在(1,+8)上递增，g(x)g(l)=e-10./(x)在(1,H功上递增,又 g(1)=e+1-2a,若g(l)=e+l 2a2 0,即0 0恒成立，同，符合题意，若g(l)=e+l 2a四时，存在/w(l,+oo),使 gx)=0,l x x()时，gx)/
23、时，g，(x)0,g(x)在(1,%)递减，在(无0，+8)上递增，而g=0,故不满足g(x)o恒成立，综上所述，。的范围是：(-8,芸、.【点睛】本题主要考查利用导函数求解零点中含参问题，恒成立中含参问题，意在考查学生的转化能力，对学生的分类讨论的思想要求较高，难度较大.的二项式系数和为256.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中各项的系数和；(3)展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.35 1【答案】(1)(=彳；(2)大;(3)见解析.8 256【解析】分析：(1)依题意知展开式中的二项式系数的和为2=2 5 6,由此求得”的值，则展开式中的二项式系数最大
24、的项为中间项，即第五项，从而求得结果.(2)令二项式中的x=l,可得二项展开式中各项的系数和；(3)由通项公式及()4 8 且 2 得当r=1,4,7 时为有理项；详解:因 为 二 项 式取-的二项式系数和为256,所以2=256,=8,则 展 开 式 的 通 项 乙=品(加 广8-2 r-X 3.二项式系数最大的项为4 =c；35T解得 =8.2密）(2)令二项式中的x=l,则二项展开式中各项的系数和为.I 2)256(3)由通项公式及0W rW 8且 r e Z 得当r=L 4,7 时为有理项;系数分别为=-4,=，=-I 2)I 2)8 2)16点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式
25、展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题.2 1.已知 p:x2-6 x+5 0,q:x2-2 x+l-n 0)(1)若 w=2,且口八4 为真,求实数的取值范围；(2)若。是 7充分不必要条件,求实数用的取值范围【答案】1,3司(2)4,+00)【解析】【分析】解不等求得P，根 据 m 的值求得q；根 据 p A q 为真可知p、q 同时为真，可求得x 的取值范围.(2)先 求 得q.根 据p是q的充分不必要条件，得到不等式组，解 不 等 式 组 即 可 得 到m的取值范围.【详 解】由 x2-6x+540,得 lx5,/.p:lx5.当 m=2 时,q:-14xV3
26、.若p A q为真,p,q同时为真命题，f 1 5,则 即lx3.-l x 3,.实数x的取值范围为 1,3.(2)由 x2-2x+l-m20,q:l-mx 0,:5,实数01的取值范围为4,+8).【点 睛】本题考查了复合命题的简单应用，充分必要条件的关系，属于基础题.2 2.已 知 椭 圆M的 方 程 是5 +2=1,直 线 =X+?与 椭 圆M交 于A、B两 点，且 椭 圆M上存在点产满足0 P =0A+0 8，求 的 值.【答 案】士 且2【解 析】【分 析】设 出 点A,B的坐标，联立准线方程与椭圆方程，结合韦达定理和平面向量的坐标运算法则可得关于实数m的方程，解 方 程 即 可 确
27、 定m的值.【详 解】设4(%,y),5(乙,%)，联 立，y=x+mx2 2 i+y=12 J得4-4/71%+2 m2 2 =0 ,A=（4m）2-1 2（2 w2-2）=-8m2+2 40,解 得-右 加 关于年宣传费x的回归方程的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近或对数曲线（上部分）的附近，所以y=c+d或y=p+q lnx较适宜，故 选B.点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.3.函数）=/（2X+D是定义在R上的奇函数，函数y=g（x）的
28、图象与函数旷=/（幻的图象关于直线 =对称，则8（幻+8（-%）的 值 为（）A.2 B.1 C.0 D.不能确定【答案】A【解析】试题分析：.函数V=/（2 x+l）是定义在R上的奇函数，2 x+i）=_ f（2 x+l）,令/=1 2 x代入 可 得/（。+27）=0,函数“X）关于（1Q）对称，由函数y =g（x）的图象与函数y =/（x）的图象关于直线旷=对称，函数g（x）关于（/）对称从而有g（x）+g（-x）=2,故选A.考点：奇偶函数图象的对称性.【思路点睛】利用奇函数的定义可把已知转化为/（。+/（2。=0,从而可得函数/（x）关于4）对称,函数y =g（x）的图象与函数y =
29、/（x）的图象关于直线y =X对称，则g）关于（4）对称，代入即可求出结果.4.已知。，b 0,贝!1。+,这上这2 个 数 中（）b aA.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D,至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】根据力取特殊值以及利用反证法，可得结果.【详解】当a =8 =l时，a+=b+=2,故 A,B 错误；b a当 a =b =2 时，a+=h+=,故 D 错误；b a 2假设ci4 2,bH 2,贝!ja H -b 2 ,a b.a d-v b 24,矛盾，a b故选：c【点睛】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.5.把
30、编号分别为1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（）A.36 B.40 C.42 D.48【答案】A【解析】【分析】将情况分为113 和 12 2 两种情况，相加得到答案.【详解】当分的票数为1,3 这种情况时：C；x 3x 8=1 8当分的票数为1,2,2 这种情况时：一张票数的人可以选择1,3,5：C；x A；x3 =18不同分法的种数为3 6故答案选A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.6.某单位为了了解用电量y （度）与气温x C C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当
31、天气温,并制作了对照表：气温X ()181310-1用 电 量（度）2 43 43 864由表中数据得线性回归方程9 =-2 x+a ,预测当气温为-4 时用电量度数为（）A.68 B.67 C.65 D.64【答案】A【解析】【分析】根据回归直线方程过样本中心点（工不），计算出三斤并代入回归直线方程，求得。的值，然后将犬=4代入回归直线方程，求得预测的用电量度数.【详解】5 18 +13 +10+（-1）_ 2 4 +3 4 +3 8 +64 ”、解：-=10,-=4 0,4 4a =+2 元=4 0+2 0=60,线性回归方程为：y =2 x+60，当 x=-4时，丁 =8 +60=68，
32、当气温为-4C时，用电量度数为68,故选A.【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点（三亍），考查方程的思想，属于基础题.2 27.双 曲 线:-二=1的渐近线方程为y =0 x，则其离心率为（）矿 b2A，I B.3 C.3 D.G【答案】B【解析】【分析】根据渐近线得到a =包，得到离心率.【详解】双 曲 线 与 一 马=1的渐近线方程为y =J I r,则。=血，c =扬，e =逅.a b a 2故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.8.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，
33、现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出与X的线性回归方程是（）时间周一周二周三周四周五车流量X （万辆）100102108114116浓度y （微克）7880848890Z（%一元）（y-歹）参考公式：b -,a =y-h-x.参考数据：元=108,5=8 4；（）2（=1A.f =0.62 x+7.2 4 B.$=0.7 2 x+6.2 4 c.j?=0.7 1%+6.14 D.5 =0.62X+6.2 4【答案】B【解析】【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果.【详解】工 100 x7 8
34、 +102 x8 0+108 x8 4 +114 x8 8 +116x9 0-5 x108 x8 4由题意，b=-s-；-=0.72,1002+1022+1082+1142+1162-5 xl082a=84-0.72x108=6.24,二v=0.72x+6.24,故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算工,歹,去；,为外.的值；计算回归系数之九 写出回归直线方程为/=!i=y=bx+a；回归直线过样本点中心(只刃是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.y 2x9.
35、若x,)满足约束条件 x +2y 2 W0,则2=为一y的最大值为()jNT3 1A.B.-C.5 D.65 2【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【详解】解：变量X,)，满足约束条件的可行域如图所示：目标函数z =x-是斜率等于1、纵截距为-Z的直线，当直线经过可行域的A点时，纵截距-Z取得最小值，则此时目标函数二取得最大值，y =-1x +2y-2=0可得 A(4,l),目标函数z =x)，的最大值为：5故选C.【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用.1 0.设函数/(x)=(x-a)2+(l n x 2-2a)2,其
36、中龙0,aeR,存在x 0使得成立，则实数a的 值 为OA.B.-C.-D.15 5 2【答案】A【解析】试题分析：函数f(x)可以看作是动点M (x,Inx2)与动点N(A,2A)之间距离的平方，动点M在函数y=21nx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，2,由 y=21nx 得，y=2,解得 x=l,x.曲线上点M (1,0)到直线y=2x的距离最小，最小距离口=2=拽，V5 54则 f (x)三,54 4根据题意，要使f(x0)这二，则 f(x0)=y,此时N恰好为垂足，,2 a-0 2a 1 即3 1由=-=-7=-解得”=a-1 a-2 5考
37、点：导数在最大值、最小值问题中的应用11.在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲:我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是()A.甲 B.乙 C.丙 D.T【答案】A【解析】【分析】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.【详解】解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，故选：A.【点睛】本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论
38、是解题的关键.12.用数学归纳法证明1+!+一(?1)时，第一步应验证不等式()2 3 2 一 1 7,1c,11c,11、1 1 1A.1 H 2 B.1H-1 2 C.1 H-1 3 D.1 d-1-1 l,故第一步应验证=2的情况，即1 +,+，0)(2)k=2土6(3)0=4 k3【解析】【分析】(1)根据向量的数量积即可.(2)根据向量平行时的条件即可.(3)根据向量的夹角公式即可.【详解】(1)由已知卜+囚=目,_ 攵0,有上。+42=(6,_矶，2 2 2 2ka+Ika-b+b=3a-6ka-b+3k2 b 又因为|a|=|6=1,得8 Z a为=2公+2，即/(x)E=y+(
39、1 zo).4k因为a/,k 0,b-+1所以 a/=i0,4k则与同向.因为I a 1=1 Z?|=1,所以=E +1即 匚 =1,整理得左2一4%+i =o,4k所以 k-2 9所以当4=2 6时，a b.(3)设a与匕的夹角为0 ,则cos8=工=a/=与 比=!(后+，=+2.ab 4k 4(k)4 1 4 k)当=2,即=1时，1JIcos。取最小值一，此时。=.2 3【点睛】本题主要考查了向量的平以及数量积和夹角，属于基础题.1 8.设函数/(x)=a f 一奴+2 In xa e R)在 =1时取得极值.(1)求a的值；(2)求函数/(x)的单调区间.【答案】(1)3；(2)“X
40、)的单调递增区间为(0,1),(2,+8)；单调递减区间为(1,2).【解析】【分析】(1)根据极值的定义，列出方程f=0,求出的值并进行验证；(2)利用导数的正负求单调区间.【详解】,2(1)f(X)=X (2 9X当x=l时取得极值，则/=0,即：1 。+2=0,解得：a=3,经检验，符合题意.,。1 9(2)由(1)得：f(x)=x-3x+21nx,j (X)=x-3 H =-,(x 0),X X令/(x)0 解得：0 x 2,令/(x)00 解得：1 x o,得m 2 -成立.e ex【答案】/(-)=-.(H)见解析.e e【解析】【分析】(1)先求出函数的定义域，然后求导数，根据导
41、函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值.(2)对一切x (0,+o o),都有=-成立，BP lnx-x ,结 合(1)中 结 论 可 知 勿,构e ex e e ex 2造新函数机(幻=二-一，分析其最大值，可得答案.e e【详解】(1)/(X)的定义域为(0,+8),/(X)的导数/(%)=1 +加.令/(x)o,解得X；e令 广(幻 -ex ex.x 2则 InXX ，由(1)得：lnx-x.-t当且仅当x=,时，取最小值；e ex 9 1 x设 加(幻=-,则加(x)=,e e ex e(O,l)时，m(x)0,m(x)单调递增，x e(l,+8)时，m(x)一成立.e ex【点睛
42、】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题.x =-3 +tc osa 几2 2.已知平面直角坐标系xOy中，直 线 I的参数方程为 厂(t 为参数，OWaVn且。彳),y =+sina 2以原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2百.已 知 直 线 I与曲线C交于A、B两点，且|A B|=2 j L(1)求 a 的大小；(2)过 A、B分别作I的垂线与x 轴交于M,N 两点，求|MN|.7 T【答案】(1)a=/；(2)4.6【解析】【分析】(1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出
43、结果.(2)直接利用关系式求出结果.【详解】(X=_3 +t C 0S C l TT(1)由已知直线I的参数方程为：广 为参数，oW aVn且 口 井 冬)，y Vs+t s in C l =2贝!J：t an a x-y+3 t an a W =o，V|0A|=|0B|=2 V3 1杷1=2 a，.0 到直线I的距离为3,|3 t an C L+娟|则 3-,Vt anza+1解之得t an ajrOVaViT 且 a w ,2(2)直接利用关系式，解得：|MN|=呷。=4cosSO【点睛】本题主要考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用.2019-2020学
44、年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合4 =1+%2,%,6 =1,2,3,且A=则实数X的 值 是（2.袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）7 3 8 2A.B.-C.D.-15 5 15 53.若P为两条异面直线/，机外的任意一点，则（）A.过点P有且仅有一条直线与/,山都平行B.过点。有且仅有一条直线与/,2都垂直C.过点P有且仅有一条直线与/,加都相交D.过点P有且仅有一条直线与/,加都异面4.某几何体
45、的三视图如图所示，则其体积为（）8 6正视图侧视图俯视图A.80 B.160C.240 D.480TT5.在极坐标系中，曲线C,的极坐标方程为p=2sin 6,曲线G的极坐标方程为P=2 cos。若射线0=1与曲线G和 曲 线 分 别 交 于A,8两 点（除极点外），则|A 8|等 于（）A.V 3-1B.V3+1D.736.设/o（x）=s in x,/0）=启3,启龙）=/8），.，+G）=工（X）,x e N,则为019（。）=（）cosxB.-cosxC.sinxD.-sinx7.某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时
46、参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A.720B.520C.600D.2648.已 知 白0）为/（x）=sin（-2 x+0）（附 引的一个对称中心，则/（x）的对称轴可能为（）7 1x=271B.x=-1271X=-32 万D.X-39,已知/(x)是定义在R 上的偶函数，且 当 司%20 时，都有二/()0 成立,设Xj-x2a=/t an(J,b =f l o gA3 ,c=/(z r),则a,b ,c 的大小关系为()A.a bc B.cah C.bca D.h a”的()A.充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.(2/
47、+)的展开式中/的系数为A.1()B.2 0 C.4 0 D.8 0O 2 r 3 ,212 .已知 a=(3 ,b=(-V,c=(与,则()A.a b c B.c b aC.c a b D.b c若存在两切点4(%,石)，B(X2,(A2),(%o，w o),使得直线AB与函数y =/(x)和 y =g(x)的图象均相切，则实数。的取值范围是2 216.已知双曲线二-4=1(0力 0)的左、右 焦 点 分 别 为 工，过 K 作圆/+：/=/的切线，交双a b 曲 线 右 支 于 点 若/耳 他=4 5-，则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为.三、解答题(本题包括6 个小题，共 7 0
48、分)T T T T17.球。的半径为R,A、B、C 在球面上，A与 B,A 与 C的球面距离都为一R,B与 C的球面距离为一H,2 3求球。在二面角B-OA-C 内的部分的体积.18 .已知函数/(1)=(其中a 0,且 aw l),(1)若/(l g(2)+/(2 g(l)=g(A),求实数k 的值;(2)能 否 从(1)的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.2 419.(6分)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是夕=_ ,以极点为原点。，极轴为X轴4 co s。+3 s m ex=cosO正 半 轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中，曲线C,的参数方程为：.八(。为
49、y =sm(J参 数).(1)求曲线G的直角坐标方程与曲线G的普通方程；(2)将曲线。2经过伸缩变换 后得到曲线G，若 例，N分别是曲线G和曲线G上的动点,y =2 y求|M/V|的最小值.2 0.(6分)已 知/(x)=|ix+3|-|2 x +.(1)当帆=2,=一1时，求不等式f(x)v 2的解集；(2)当m=1,0时，./(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于2 4,求的取值范围.2 1.(6分)已知函数/(x)=x+(a-l)l n x (a =/(x)在点(1J。)处的切线方程.(2)当a W 1时，求函数/(%)的单调区间.(3)设函数g(x)=?若对于任意都有/(x)g(x)成
50、立，求实数a的取值范围.312 2.(8分)已知命题，：方程/一 曲+i=o有实数解，命题夕：Vx e-1,-,m|x|.(1)若。是真命题，求实数机的取值范围；(2)若为假命题，且q为真命题，求实数，”的取值范围.参考答案一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.B【解析】【分析】根据已知，将选项代入验证即可.【详解】由 A=知 l+且 x e B,经检验x=l 符合题意，所以x=l.故选：B【点睛】本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.2.C【解析】【分析】从袋中任取2 个球，基本事件总数n=C 所取的2 个球中恰