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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.玲玲到保山旅游，打电话给大学同学姗姗，忘记了电话号码的后两位，只记得最后一位是6,8,9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是0A.B.C D.工 工 工工310 15 30【答案】D【解析】【分析】由分步计数原理和古典概型求得概率.【详解】由题意可知，最后一位有3种可能，倒数第2位 有10种可能，根据分步计数原理总共情况为V=3 x 1 0 =3 0)满足情况只有一种，概率为 P=30【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时
2、要注意不重不漏.在本题中，只有两个号码都拔完这种事情才完成，所以是分步计数原理.22.若函数/(x)=lnx+无+在区间上J +2上是单调函数，则f的取值范围是()xA.1,2 B.C.2,+oo)D.(l,+oo)【答案】B【解析】【分析】求导，计算函数的单调区间，根据区间匕，+2上是单调函数得到答案.【详解】2,.1,2 x2+x 2(x+2)(x 1)f(x)=nx+x+-=fx)=-+一 一r=j=-号-U 0)X XX X X元21单调递增，0 x 0力 0）的左、右焦点分别为耳，F2,以线段MM为直径的圆与双曲ar b-线的渐近线在第一象限的交点为P,且P满足归周一|尸 国=如，则
3、C的离心率e满 足（）A.e2-3e +l=0 B.?-3 e2+l=0 C.e2-e-l=0 D.e4-?-l =0【答案】D【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求 得M的坐标，由|P 6 1T p闾=如，得点P在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求.详解：,_ ）.2 _ 2由，J ，得 一,2 即 P（a,b），由|P耳|-归 闾=2/?,即V+y y-=b-7（+c）2+b2-（a-c）2+b2=2 b,由-c e=,化简得c 4-a2c 2 一 4=o,即/_ e 2_ =o,故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题.11.已知集合。=
4、/?,A =x e Z|x 26,B =x|f（X2）0 ,则图中阴影部分表示的集合为（)0A.0,1,2 B.0,2 C.1,2 D.2【答案】B【解析】【分析】图中阴影部分表示的集合为Ac（q,5）,解出集合A,B,再进行集合运算即可【详解】A=XG ZX2 6 =-2,-1,04,2B=X|X2（X-2）0=（,0）U（O,2）5 =0 2,+00）图中阴影部分表示的集合为Ac（Q8）=0,2故选8【点睛】本题主要考查了 V e图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合A的限制条件.12.已知a,b w R,贝是（。一 人）。”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条
5、件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性.【详解】当a b时，令。=0*0时，可 得/0,且。一6 0,即。6,所以是必要条件，4 是（a 0）（）的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可.二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13.已知(3_ J Z)9的展开式中，X?的系数为，则常数 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _x V 2 4【答案】v【解析】所以由_9 =3 得r =8,从而x 2C：(a)9-8(一 i)8=g n a =：4 4点睛：求二项展开式
6、有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第厂+1项，再由特定项的特点求出，一值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第/*+1项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.己 知 集 合 卜 卜4 x 4 2-中有且仅有三个整数，则实数。的 取 值 范 围 为.【答案】(-L 0【解析】【分析】首先分析出集合里面必有元素1,再讨论集合为 23 ,0,1,2,-1,0,1三种情况讨论，求。的取值范围.【详解】a ,所以集合里的元素一定有1,集合有3个元素，,、06 11当集合是 1,2,3时，有3 2 _。4，集合是空集；当集合是0
7、,1,2时，有 c ,解得：；(J 2 2-a3(、-2 a K 1当集合是T(),1时，有，c c ,集合是空集；I J l2-a2综上：。的取值范围是(1,0故答案为：(-1,0【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.x +l,x 1范围是【答 案】ml_ 3 e)【解 析】【分 析】由题 方 程/(幻=以 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根，得 =/*)与 =内 有2个交点，利 用 数 形 结 合 得a的不等式求解即可【详 解】由题可知方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根，所 以y =/(%)与 =数 有2个交点，因 为
8、。表示 直 线y =火 的 斜 率，当 1时，=设切点坐标为(毛,%),k=,1/1所 以 切 线 方 程 为 丁 一 为=一(1一 方),而切线过原点，所 以 为 =1，M=e，%=-，/e所 以 直 线4的斜率为L,直 线4与y=：x+i平 行，所 以 直 线/,的 斜 率 为:，e 3 3所 以 实 数a的取值范围是|_ 3 Q)故 答 案 为 彳，一3 e)【点 睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题16.从 1 _ 1-4 =-(1+2),1-4+9=1+24-3,1-4 4-9-16 =-口 +2+3
9、+4),，概括出第个式子为.【答 案】1-4 +9-16+.+(-l)n+1-n2=(-l)n+1-(1+2+3+.+n),【解 析】【分 析】【详 解】分 析：根 据 前 面 的式子找规律写出第n个式子即可.详 解：由题得 1 一4 +9-16+.+(-l)n+1-n2=(-l)n+1-(1+2+3+.+n)点睛：(1)本题主要考查不完全归纳，考查学生对不完全归纳的掌握水平和观察分析能力.(2)不完全归纳得到的结论，最好要检验，发现错误及时纠正.三、解 答 题(本 题 包 括6个 小 题，共7 0分)17.已知复数|z 1=0,1是Z的共甄复数，且(5)2为纯虚数，Z在复平面内所对应的点z在
10、第二象限,生/Z 2018求(&)【答 案】T【解 析】【分 析】设2=。+而，根据题意列出关于。、。的方程组求解，再结合所对应的点Z在第二象限，即 可 求 出Z【详 解】设2=。+4(。,则目=,/+廿=五,：，cr+b2=2又 三=a bi,(z)=(a bi?=a2-b-2abi.a2-b2=Q-lab 丰 0联立a2+b2=2a2=b2a=1b=解 得 又Z在第二象限，即z =l +ib-l故 答 案 为-i【点 睛】本题考查了复数的相关定义，设 出 复 数 的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。18.三 棱 柱A B C 44G中，M、N分 别 是48、AG上的
11、点，且=,CN=2B1N.设AB a AC-b A 4,=c-(I )试 用a,c表 示 向 量MN；(I D 若N B A C =9 0，BAA,ZCAA,=6 0,A 3 =A C =A 4,=1,求 M N 的长.MA【答案】(1)-4 4 h H C(2)3 3 3 3【解析】分析：(1)直接利用三角形加法和减法法则得到MN.(2)先求|a+h+c|=行，再 求MN的长.详解：(I)M N =MA +A B+BN BA.+A B+B.Q1/、1/.x I 1,1=(c-a)+a+b-a)=a+b +c3V,3V 7 3 3 3(I I )(a+)+c)-=a2+b2+c2+2 a b
12、+2 b c +2 c -a=l +l +l +0+2x lx lx +2x lx lx =5,2 2a+b+c =y5,|AW|=.|a+Z +c|=点 睛：本题主要考查向量的运算法则和基底法，考查向量的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力.19.已知函数/(x)=|x+2a|-|x-a|.(1)若/(1)2,求a的取值范围；(2)V x、y&R,/(x)/(y)-6 ,求 a 的取值范围.【答案】c i e(c o,4),+o o .(2)a e(1,1).I 3 7【解析】【分析】。+2 a l(1)f(1)=|2a+l|-|a-1|=3a 一!4。4 1,根据f(1)2分
13、别解不等式即可，2C ,1 a 2 2(2)根据绝对值三角不等式求出f(x)的值域，然后由条件可得f(x)m i f(y)m ax-6,即-3|a|3|a|-6,解出a的范围.【详解】(1)V f(x)=|x+2a|-|x-a|,Af(1)=|2a+l|-|a-1|=*2,A l,Q+2d3a-Q_2a+22心1，或W a 4 1,2J Ia21,，或，a 2a -2(2)V|x+2a|-|x-a|yGR,f(x)f(y)-6,二只需 f(x)min f(y)max-6,即-3|a|3|a|-6,.6|a|6,A-l a 0).X-+2(1)当时，求/(x)的单调区间；(2)若/(x)存在两个
14、极值点x，X,试比较/(3)+/(%)与/(0)的大小;(3)求证：(T)“ln(!)(2 ,w N).2【答案】(1)(一 2,2)递减，(2,+o。)递 增(2)/()+/(x2)/(0)(3)详见解析【解析】试题分析：(1)求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；(2)求出导数，求得极值2点，再求极值之和，构造当ovt v i 时，g(t)=2 1 n t+2,运用导数，判断单调性，即可得到结论；(3)t2 1 1 1当 0 t 0 恒成立，即 ln t+-l 0 恒成立，设 t=(n 2 2,n N),即 I n +n-lt in n0,即有n-l ln n,运用累加法
15、和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证1 2x试题解析：(I)/(x)=ln(l+-x)一 2 x +2,定义域Ul+-txo 0=x-291 4 _ x-2x +2 一 (x+2 -*+2)2.(一 2,2)递减，(2,+o o)递增?r 1(I I )f(x)-ln(l+ax)-,x G(,+o o),x+2 aa 4 ax2-4(1 -a)1 +ax (x +2)2(1 +ax)(冗+2 1 1 1 2ja(l-a)。w (一,1)，。(1 -a)w (0,)9 1 -2 4 a aax2-4(l-a)=0,:.x=土坦，-a/(3)+f(x2)=l n l +2，(1 -a)+
16、l n l 2j a(l -)4 j l -a2 J1 a+2y-4 j l -a-2 yll-a+2 ya4 .4 2f(x)+于(x,)=ln (l-2 a)2 +-=ln (l-2 a)2 +-22 a-I 2 a-1（也可使用韦达定理）I 9设才二2。-1,当 a w(5，l)时，f(0,1),.,.即 区)+/(X 2)=g=ln +2,2 .2 2 2(r-1)当 1(0,1)时，gQ)=2 1 n，+-2,gQ)=7=-/(0)2 1(H I)当，w(0,l)时，g)=2 1 n f+-2 0恒成立，即ln r +-l 0恒成立t t设，=,2 2,N),即I n工 +一 1 0
17、,n-l nnn n1 ln 2,2 ln 3,3 ln 4,n-1 I n/.1 +2 +3+(n-1)I n 2 +I n 3 +I n 4 +I n/i=ln 2 x 3 x 4 x xn=ln(n!)ln(!)考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用1B.一22C.一3D.32019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意）1.倾斜角为a 的直线/经过抛物线C：f =2 点（）的 焦 点 ，且与抛物线C 交于A,8 两 点（点IBFIA,3 分别位于）轴的左、右两侧），4 =2
18、,贝!I cos a 的 值 是（）|A可1A.-3【答案】D【解析】【分析】设 AF=r,则 BF=2 r,由抛物线的定义，得=BD=2 t,进而可求BE、AE,最后由cosa=AB可求解.A、B两点到准线y=-的距离分别为AC、BD,由抛物线的定义可知：AC=AF=t,BD=BF=2t过 A 作垂足为E.；.B E=B D DE=BD AC=2 tT =tAE=4 AB。-BE?=J(3l)2_f2=_-AE_ 2 _ 2 Rcos cc cos/B A E -=-=-AB 3t 3故 选：D【点 睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.2.甲 罐 中 有5个 红 球，2个
19、 白 球 和3个 黑 球，乙 罐 中 有6个 红 球，2个 白 球 和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分 别 以A，4，&表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以8表示由乙罐取出的球是红球的事件，下 列 结 论 中 不 正 确 的 是（）A.事 件8与 事 件a不相互独立 B.4，A是两两互斥的事件3 7C.P（B）=W D.P（B|A,）=-【答 案】C【解 析】【分 析】依次判断每个选项得到答案.【详 解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B.A，4，A两两不可能同时发生，正确DC.P（Z BDA）=5 x 7 1 5 x6
20、 =13,不正确 10 11 10 11 221 7_X _D-尸 6馈中*正确2故 答 案 选C【点 睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.3.设集合A=1 2 4，B=3,4，则集合A n B=（）A B-1,4&2,3 D.口,2 34【答 案】A【解 析】【分 析】利用交集的运算律可得出集合A c小【详 解】由题意可得C B=4（故 选：A。【点 睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。4.设 函 数f（x）=Gr+3K+2,若 产（-1）=4,则a的 值 为（）二 9B.D.10163&三【答 案】D【解 析】【分
21、析】由题，求 导，将x=-l代入可得答案.【详 解】函 数 的 导 函 数/=3ax2+6 g因 为 伊(-1)=4,即3 a-6=4,解得“a=故 选D【点 睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.5.直 线x+y +3 =（）分 另 屿X轴,y轴 交 于A,B 两 点,点P在 圆（x-i y +y2 =2上，则A 4 B P面积的取值范围是A.2,6B.3,9【答 案】B【解 析】分 析：求出 A(-3,0),B (0,-3),|AB|=A/32+32=3 7 2 设 P(l+&c os c，0s ina)，点P到直 线x+y+2=0的距离：d=|l+亚C O S&+应si n a +3|2
22、 si n(a+4)+4 ,气叵3 物,由此能求出V25/2 AB P面积的取值范围.详 解：直 线x+y+3=0分 别 与x轴，y轴 交 于A,B两 点，:.令 x=0,得 y=-3,令 y=0,得 x=-3,A A (-3,0),B (0,-3),|AB|=7 32+32=3 7 2 -,点 P 在 圆(X-1)2+y2=2 上，.设 P (1+7 2 co s a，5/2 si n cr 点P到 直 线x+y+3=0的距离：d=Mc os a+Vsi n a +3|7 22 si n(a+)+4Vsi n(a +)G-1,1,Ad=TT2 si n(a+)+4eV2,3 V2:.A A
23、B P面积的最小值为-x 3a xV2 =3,2 A B P面积的最大值为x 3&x 30=9,2故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题的关键是设点P（1+2 co stz J si n a），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.6 .在回归分析中，R 2的值越大，说明残差平方和（）A.越小 B.越大 C.可能大也可能小 D.以上都不对【答案】A【解析】分析：根据R z的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论.详解：用相关指数R 2
24、的值判断模型的拟合效果时，当A?的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当R?的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大.故选A.点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案.7 .已知|6|=2,|“+力|=6,则下列说法正确是（）A.a-b =-2 B.（a+b）C.：与 的夹角为g D.|a切=J 7【答案】D【解析】【分析】根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.【详解】|a +/?=（a +Z?）=a +2 a-b+b=/3，故”力=1，故A错误；2 2(a+b)(a
25、b)=a-h=一3。0，故8错误;=|-|z?|co s=-l,故co s6 =-g,故 夕=留，C错 误；I a-b|2=a-2 a-b+b =7 故|a ，。正确.故 选：D.【点 睛】本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力.8.已知等差数列“中，4+%+。9=20,贝!|4%-%=（）A.20 B.30 C.40 D.50【答 案】A【解 析】等 差 数 列 4中，q +4+为=2 0,4 +4 +2 J +4 +8d =3 4 +1 0 4 =2 0 ,4%=4(4 +4 d)(4 +6 /)=3 tZ1 +1 0 d =2 0.故 选A.9 .若（2 +o x
26、）（a70）的展开式中各项的二项式系数之和为5 1 2,且 第6项的系数最大，则a的取值范围 为（）A.（）,0）2,3 C.2,3【答 案】C【解 析】【分 析】_ 3,2D.1 1352B.(-C,25a4砥2 7 5 NC；2 3 a 6解得答案.【详 解】2 =5 1 2，=9,7；=C 24()5,4=C；2 5(以7，7；=C 23(a x)6,第6项的系数最大,C j 2,5 之 c；2 5 a:C；2%5 C；2%6,则 2 a 3.故选：c.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.设A,8是抛物线V=4x上两点，抛物线的准线与x轴交于点N,已 知
27、 弦 的 中 点M的横坐标为3,记直线A B和V N的斜率分别为仁和内，则人2+6 2的最小值为（）A.2&B.2 C.7 2 D.1【答案】D【解析】【分析】设A（21）,B（x2，y2），M（3,r）,M-1,0）,运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得再由基本不等式可得所求最小值.【详解】设4（%乂）,5（%,%）,川（3 M,N（l,0），可 得 弁=4%=4生相减可得(y-%)(y+%)=4(%1 -x2),可得KX-x21_ _ 2M +%2 t t 又由2=；，所以上林2=；，则 +回=1,当且仅当同=%|=等时取等号,即匕2+e 2的最小值为.故选：D.【点睛】本题主要
28、考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题.11.若复数二满足（l +i）W=2,则在复平面内，z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由题先解出彳，再利用z来判断位置【详 解】-_ 2 _ 2(l-z).(l+i)z=2，-z=:=7i =Jz=1 +z.Z在复平面对应的点为(1,1),即在第一象限，故 选A【点 睛】本题考查复数的除法，复数的概念及几何意义，是基础题.12.已知函数.f(x)=(2x a)e,且/=3 e,则 曲 线y=x)在x=O处 的 切 线
29、方 程 为()A.x y+l=O B.x-y 1 =0C.x 3y+l=O D.x+3y+l=O【答 案】B【解 析】【分 析】先 对 已 知 函 数f(x)求 导，由.尸(l)=3e可 得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进 而 可 得x=0处的切线方程。【详 解】f(x)=2 ex+(2 x-a)eA=(2 x+2-a)eA,f(l)=(4-a)e =3 e,解 得“=1,即f(x)=(2 x-l)ex,/(0)=1,则/(x)=(2 x+l)/,.r(0)=1,.曲线y=在 点x=0处的 切 线 方 程 为y+l=lx(x _。)，即x _ y _ l=O.【点 睛】本题考查求函数
30、某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中 的 未 知 量ao二、填 空 题(本 题 包 括4个 小 题，每 小 题5分，共20分)13.、/+近 与2陵+石的大小关系为.【答 案】【解 析】【分 析】平方作差即可得出.【详 解】解：V(V6+V7)2-(2V2+/5)2=13+2 742-(13+4V10)=2(V4 2-7 4 0)0,卡+旧20+逐，故答案为：.【点 睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.一八 乃 11 4.已知 C O S=一3 2T C 2 4 1co sco s=5 5 4乃 2乃 3 4 1co sco s
31、co s 7 77 8根据以上等式，可猜想出的一般结论是【答 案】兀 2 ，Y 1 7 T 1co s-co s-L co s-=2 +1 2 +1 2 +1 T【解 析】【分 析】【详 解】试题分析:根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为“个余弦连乘的形式，且角部分为分式,分 子 从7到 分 母 为(，7+1),右 式 为 将 规 律 表 示 出 来 可 得 答 案:co s-7-1-c os-L co s2+1 2+1Y 1 7 1 _ 12 n+l 2 考 点：归纳推理.15.已知函数x)=(xl)(x+。)为偶函数，则/(3-同 0的解集为.【答 案】(2,4)【解 析
32、】【分 析】先 求 出/(%)=*2+(匕-1)%,根 据/(X)为偶函数，即可得出匕=1,从 而 得 出/(x)=-l,从而判 断 力 在 0,+8)上单调递增，且/=0,这 样 即 可 由3x)0,得 出/(|3 r|)/(l),从而 得 出|3-工|0)所以/，(加3+/6 =一 一+(1),令/彳x)=0,解得=2 0,解得0 xl；/x)；所以/(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+?(2)由题意 /(%)=-+)1+=L-J-(x 0)X X当a =1 时，r(x)=Z dl,f x)0,解得0 x；所以f(x)在x=l处取极大值；当a w-1时，令/彳 )=0,得玉
33、=,=1,当-一日一0时，即。0时，a+f x)0,解得0 xl；/q x)0,解得，xl；所以/*)在x=l处取极大值；当0 -1,即 a 0,解 得 一 却xl,/4x)0,解得，0 x 0 故/(x)不存在极值;当J1时，即一1。一一时，7+1 2解得，1%-缶；/)0,解得，0 x 一 品所以/(x)在X =1处取极小值;综上，当/(力 在x=l处取得极大值时，O|u(O,+).【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.1 8.己知复数Z1满足(2 +i)Z=3 +4i,z2,其中m e R,i为虚数单位.(I)求 z；：(2)若 厚+Z2
34、2.求实数机的取值范围.【答案】(1)=3 +4/(2)-6 m 2【解析】【分析】根据复数的概念和复数的运算法则求解.【详解】解:(1)3 +4;2 +164 =2 +1(2+z)(2-D4=z；=(2 +i)2=3+4i(2)+z2=2 i +m i=(m+2)2 zJ(2 +)+4 2 /5 ,解得：一6?0)上一点，尸为”的焦点.(1)若”是M上的两点，证明：|E4|,|冏，|尸。|依次成等比数列.(2)若直线y =&3(%。0)与M交于P&，x),。(9,必)两点，且X+%+y%=T，求线段的垂直平分线在x轴上的截距.【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）由8在抛物线上
35、，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得|必|,|冏，|/。|的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去x,根据韦达定理求解出k,从而可得PQ中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ垂直平分线所在直线方程，代 入y=0求得结果.【详解】（1）3（1，2）是 抛 物 线/：/=2%（0）上一点4=2p=p=2y2=4x1 Q Q根据题意可得：闸=/=；,阀=1+1=2,附=+1、022 =3-x8-=4yl2 3.4|,忻3|,|尸。|依次成等比数列y=Ax-3 9（2）由 ，消x可得 一4 12=04 12y+%=7，%=丁k k4 12X+M+-,-7-r=4 n k
36、=2k k设PQ的中点（%,）1 /、2 1 /x%=弓（乂+%）=工=1，/=弓（%+3）=2乙 K 乙线段PQ的垂直平分线的斜率为-工2故其直线方程为y_l=_ g（x-2）当y=0时，x=4【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.20.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了 100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占g,而男性有10人表示对该事件没有关注.(1)根据以上数据补全2 x 2列联表关注没关注合计男55女合计(2)能否有9 0%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？(3)
37、已知在被调查的女性中有1 0名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这1 0名女大学生中随机抽附表:取3人，求至少有2人对此事关注的概率.尸(烂次)0.1 500.1 0 00.0 500.0 2 50.0 1 0h2.0 7 22.7 0 63.8 415.0 2 46.63 5K2nad-bc)227(2)由列联表，根据K 2nad-bey(a +b)(c +d)(a +c)(0 +d)求得 K?=3.0 3 0,3 3结合临界值表即可判断把握性。详解：(1)根据已知数据得到如下列联表(3)根据独立事件的概率，求 得3人中至少有2人关注此事的概率即可。关注没关注合计男451 055女3 0
38、1 545合计7 52 51 0 0(2)根据列联表中的数据，得到K?的观测值_ 1 0 0 x(45x l 5-1 0 x 3 0)*2k(a +)(c +d)(a +c)e +d)【答案】(1)见 解 析(2)有9 0%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”(3)【解析】分析：(1)由题意，补全列联表。55x 45x 7 5x 2 5 3.0 3 0 2.7 0 6.3 3所以有9 0%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.(3)抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为C+CCo23所以，至少有2人对此事关注的概率为g.点睛：本题综合考查了列联表及其独立性检验中K?的求法，并根据临界值表
39、对所得结果进行判断；根据事件的独立性，求得相应的概率，考查知识点多，总体难度不大，属于简单题。2 1.已知函数/(x)=a*-e(尤+l)l n a-(a 0且a w l,e为自然对数的底数.)(1)当a =e时，求函数y =/(x)在x =1处的切线方程；(2)若函数y =/(x)只有一个零点，求a的值.【答案】(1)y =-e (x+l)(2)a=-【解析】【分析】(1)代入a =e,得 f(x)=e(x +l)L 所 以/(%)=e,求出/(1)(一1),由直线方程的e点斜式，即可得到切线方程；(2)分”1和0 a+8时，都有/(x)+。,所以/(x)n h=-e l n a -=0,即
40、 e l n a +=O ,因为当。1时，l n a 0,所以此方程无解.2)当0。1 时，l n 0,X(Y o,k)g“e)l o g(l o g-,+o o).(X)0+极小值所以当x =l o g“e时，/(x)有最小值，/(初 血=/(l o g“e)=-e l n a ，.因为函数/(x)只有一个零点，且当x-和x f+o o时，都有/(x)-+o o,所以/(x)m i n =-e l n a-=O,即 e l n a +=O (0 a 1 Z 7Z 7 1设g(a)=e l n a +-(0 t z a7 a a-a令g,a)=O,得a =Le当0 a,时，g a)0；当时，g
41、 0；e e所以当a =g时，gSL=g)=e l n +e =O,所以方程(*)有且只有一解a =Le综上，a =J时函数x)只有一个零点.【点睛】本题主要考查在曲线上一点的切线方程的求法，以及利用导数研究含参函数的零点问题，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.2 2.已知函数X)=l o g2(2x+%)(藐R)的图象过点P(0,l).求k的值并求函数/(x)的值域；若关于x的方程f(x)=x+m有实根，求实数m的取值范围；若函数如)=29-a J刊,x e 0,4 则是否存在实数。，使得函数(力的最大值为。？若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.1 7【答案】（1）k=
42、l,值域为（0,+8）（2）（0,+8）（3）O【解析】试题分析：（1）根据P（O,1）在图象上，代入计算即可求解A=l,因为2 0,所以2，+1 1，所以/（x）=l o g2（2 +l）0,可得函数/（x）的值域为（0,”）；（2）原方程等价于g（x）=k g 2（2 +l）x的图象与直线y =加有交点，先证明g（x）的单调性，可得到g（x）的值域，从而可得实数机的取值范围;（3）根据x e 0,4,7 =2 1 转化为二次函数0（。=2 +1/目1,4最大值问题，讨 论 函 数 的最大值，求解实数即可.试题解析：因为函数/（x）=l o g 2（2 +攵）仅e R）的图象过点P（0,l）
43、,所以/（0）=1,即Io g 2（l +Z）=l,所以左=1 ,所 以 0=1 0殳（2 +1）,因为2*0,所以2、+1 1，所以/3=1叫（2 +1）（），所 以 函 数 的 值 域 为（0,+8）.（2）因为关于x的方程=有实根，即方程加=1。8 2（2*+1）7有实根，即函数y =l o g 2（2 V+1）一 与函数y =有交点，令g（x）=l o g 2（2 +l）x,则函数y =g（x）的图象与直线旷=?有交点，又 g （x）=l o g,（2V+l）-x =l o g2（2 +l）-l o g2 2r=l o g2=l o g2+卷）任取 V工2，则（）V2 V2”2,所以
44、所以 1 +不 1 +不7，所以g（x j-g（&）=1唯（1 +表）-1幅 1 +5 .g（x2）,所以g（x）在R上是减函数（或由复合函数判断g（x）=l o g 2（l +（为单调递减），因为 1 +1，所以 g（x）=l o g 2（l +?%（0,+8）,所以实数m的取值范围是（0,+8）.（3）由 题意知/小卜？、。？却=*a,0,4，令 1 =2，则0（。=*一2 a f+l j e l,4,517当。彳时，。2 =0（4）=17-8a=。，所以。=/，Z o当ag时，0（。,小=0（1）=2-2a=0,所以a=l（舍去）,17综上，存在。=?使 得 函数”（力的最大值为0.82
45、019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每 小 题只有一个选项符合题意）1.函数/（x）=e*T e T M+a s i n G （xeR,e 是自然对数的底数，。0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）2.A.B.C.D.0,-71B.0,-71用数学归纳法证明某命题时,在验证直线x +3），+4=0的斜率为C.(0,2 D.(0,2)左式为时,左边所得的代数式为（）1(A.3B.-3e(v+1)2,x 01 XX 则 /2+工 3%4 的取值范围为（）C.-3D.3函数y=/（x）-”有四个不同的零点，从小到大依次为须，
46、马，七，(4,5B.14,5)C.4,+o o)D.(-o o,4 5.设 a 0,b0,则“lg(a b)0”是“lg(a +b)0”的()充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数/(x)=si n(s+0)/0)的最小正周期为6 万，且其图象向右平移用个单位后得到函数g（x）=si n mx的图象，则。=（7 C6B.71T2万c.9D.4 4V7.设集合4 =1,2,3,8=凶 3/_43+1 =0 ,若 Ac 3=l,则机=()A.11B.2D.-128.设集合 A=X|X2-5X+60,B=X|X-1 0,则 ACIB=A.(-8,1)
47、B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+co)9.设函数=f+，x：，若 x)的值域为R,则实数。的取值 范 围 是()cix+i,x2）=0.023,则P（-2SZS2）=A.0.477B.0.625C.0.954D.0.97711.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）1007 1008 1009 1010A.-B.-C.-D.-2015 2017 2019 2021x-1 N 012.若X，满足约束条件 x-y 0则x+2 y的最大值为x+y-4 0A.2 B.6 C.7 D.8二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13.设随机变量二服从正态分布二（3,4）
48、,若二（二 1),数列 满足bn=-lo g,(%a,t z).n求证:数列 ,是等比数列；2 若P =2砺，求%8的值；23(3)若mR e N*,使 得 夕=2刷，记=也，一3求数列 J的前2优+D项的和.2 0.(6分)已知复数4与(4+2)2-8,都是纯虚数，复数Z 2 =l-i,其中i是虚数单位.(1)求复数4；1 1 1(2)若复数z满足一=一+一，求z.Z Z z222 1.(6分)已知函数/(X)=%3+以2 +法+c(x e 1,2 ),且函数/(X)在X =1和x=-处都取得极值.(1)求。，b的值；(2)求函数/(x)的单调递增区间.2 2.(8分)已 知a,b,C分别为
49、 A3C内角A,B,。的对边，acosB+-b =c.2(1)求 A ；(2)若Q=J 7，A8 C的面积为之叵，求 ABC的周长.2参考答案一、单选题(本题包括1 2个小题，每小题3 5,共6 0分.每小题只有一个选项符合题意)1.A【解析】【分析】函数.f(x)=e i-e-+i+a si n n(xe R,e是自然对数的底数，a 0)存在唯一的零点等价于函数8(x)=a si n%x与函数g(x)=e i-e*T只有唯-个交点，由0(1)=0,g(l)=0,可得函数O(x)=a si n万x与函数g(x)=e x e T唯一交点为(1,0),g(x)的单调，根据单调性得到夕(幻与g(x)
50、的大致图象，从图形上可得要使函数0(x)=a si n x与函数g(x)=e x e T只有唯一一个交点，则”(l).g，(l),即可解得实数。的取值范围.【详解】解：函数/(x)=e i-e 3 i+a si n%x(xe R,e是自然对数的底数，a0)存在唯一的零点等价于：函数。(x)=a si n;rx与函数g(x)=/力-ex只有唯-个交点，。=0，g=。，函数 O(x)=a si n 万x 与函数 g(x)=ex-e*-唯一交点为(1,0),又 gx)=-e-x-ex-,且e 0,0,g(x)=-e-x-e 在R上恒小于零，即g(x)=-e*T在R上为单调递减函数，又R(x)=a s