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1、函数与导数小题(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模)一、单选题1.已知集合 A=x|log2Xl,B=-1,0,1,2,则()A.1 B.-1,0 C.-1,0,1 D.-1,0,1,2【答案】A【分析】首先根据对数不等式的解法求得集合A,再根据交集运算即可求得结果.【详解】A=x|log2 x 1=x|0 x 2,而 8=-1,0,1,2,A AAB=1.故选：A.2.函数 x)=ak|+(a e R)的图象不可熊是().【答 案】D【分 析】根据所给函数性质，分a=0,。0以及a 0进行讨论即可得解.【详 解】根据反比例函数的性质，占 的 间 断点为当a=0时，/（%）=一、，则B正确
2、;X 1当 0 时，X-8 时/（X）f YO,X 用 时/。）-co,则 A 正确;当 0 时，X-Y 时/（X）f+8,X 40 0 时/（尤）-+8,则 C 正确;D选项的图像不符题意,故选：D.3.函 数 x）=c s（x-2）+e*（是自然对数的底数，6 2.7 1 8 2 8 ）的 图 象 可 能 是（）【答案】A【分析】先判断0 x l时，f(x)的符号，可排除BC；再取特殊值，可排除D,从而可得出结果.【详解】当0 x 0,d 0,父-1 0,则/(x)=cos(i；2：+e 故排除BC选项；当 x=2 万 0,则/(2 万)=+e2y(2-乃)2-1 0,故排除D,选 A.故
3、选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4.若函数f(x)=x+-l在(0,2)上有两个不同的零点，贝 的取值范围是()XA.-2,：B.(-2,；)C.0,/D.(。,；)【答案】D【分析】将零点问题转化为方程问题，再运用数形结合的方法解决即可.【详解】函数/(x)=x+4 -1在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程x+巴-1 =0在(0,2)上有两XX个不同的解，即a=-/+
4、x在(0,2)上有两个不同的解.此 问 题 等 价 于 与y=-f+x(0 x 2)有两个不同的交点.由下图可得0 a L4故选：D.5.已知刈二%2一2，对任意的，x2e0,3,方程|/(x)_/(x J+V(x)_ x 2)|=，“在0,3上有解，则，w的取值范 围 是()A.0,3 B.0,4C.3 D.4【答案】D【分析】对任意的为，为40,3.方程|/（x）5）|+|司一/5）卜加在 0,3 上有解，不妨取取/（芭）=-1,/（）=3,方程有解机只能取4,则排除其他答案.【详解】/（X）=（X-1）2 -1,x e 0,3,则/（x）m in =T,/（x）M X=3 .要对任意的占
5、，占（），3.方程|/（）一/缶）|+|/（另一/（）|=a在0,3 上都有解，取”内）=-1，）=3,此 时,任 意 一 0,3,都有m=|.f（x）-f（x j|+|x）-）|=4,其他机的取值，方程均无解，则机的取值范围是4.故选：D.【点睛】已知恒成立、恒有解求参数范围的选择题，借助特值法解更迅捷.函 数/(=碧；在 区 间 -乃，句 上 的 图 象 大 致 为(6.【答 案】A【分 析】利用函数的奇偶性，排除两个选项,再利用函数在(0,7)上的值的正负得解.【详 解】Tx/(-x)=sin(-x)2T+2*2+2A=-f(x)，则 x)是奇函数，选 项C,D是不正确的:0 0,sin
6、 x 0,即/(x)0,选 项B是不正确的，选 项A符合要求.故选：A7.已 知 函 数 灯=m+/2+6+,且2019)=2019,42020)=2020,“2021)=2 0 2 1,贝!|/(2022)=()A.2028B.2026C.2024D.2022【答 案】A【分 析】令g(x)=/(x)x,根据题中条件，得至iJg(2019)=g(2020)=g(2021)=0,从而可得g(x)的解析式，求 出g(2022),即可得出结果.【详 解】令 g（x）=x）-X,由题意可得，g（2019）=g（2020）=g（2021）=0,因 为8(*)=/(力-彳=丁+凉+(0,则选项A不正确，
7、选项C满足条件.故选：C9.函数)=(；+二1 8 5的图象可能是()V X-1 x +l y【答案】c【分 析】根据函数奇偶性及函数在区间范围内的取值，判断函数图像.【详 解】由/(-)=+击卜。5=-占+击co s/知，函 数/(X)为奇函数，又 f(x)=(7+7 co s x =-；co s x,/x-x+1)x-2x当 x (0,l)时，-0=/(x)0.x-l故选：C.1 0.函 数f(x)=(x 2 x)co s x的 图 象 可 能 是()【答案】A【分 析】由函数/(X)图象与X轴交点情况，可以排除两个选项，由区间(0,1)上函数/(X)值的正负即可得解.【详 解】g|/(x
8、)=(x2-x)co s x,而/=0,/(-9 =0,即“X)图象在原点左右两侧与X轴都有交点，即选项c,D都不正确;x w(O,l)时，x2-x =x(x-l)0 ,即B 选项不正确，A 选项符合.故选：A【答案】B【分析】利用特殊值代入的方法排除CD,当x。时，求出/(2)-1),/(e)-/(2),比较变化情况排除选项A,即可得出结果.【详解】因为/(x)=】n|x|-x +,x由/(ejM l-e+lv O,排除 CD；当x 0时,f(x)=n x-x+,x1 3/(2)=l n2-2 +-=l n2-1,又 I n2 ao.6 9 3 1 ao.7,则/(2)=I n 2-|-0.
9、8,/(2)-/(l)-0.8；/(e)=l e+-1.3 5 ,/(e)-/(2)-0.5 5,选 项A在(I,+8)减的越来越快，不符合题意；故选：B.【点 睛】方法点睛：本题考查函数图象的识别，此类问题一般利用特殊值代入，根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别.1 2.若 定 义 在R上 的 函 数/(x)对 任 意 的a/e R,均有则称函数f(x)具 有 性 质P.现给出如下函数：(l)/(x)=2 x-1；(2)/(力=V(3)/)=卜山小(4)x)=2 .则上述函数中具有性质P的 函 数 有().A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答 案】A【分 析】对
10、(1)(3)进行验证证明；对(2)(4)举反例，即可得到答案；【详 解】对 ，13+力=2(a+b)-l,f(a)+f(b)=2(a+b)-2,显然/(a+A)4/(a)+/(b)不成立，故(1)错误；对(2),令。=6 =3,则 f(a+0)=f(6)=3 6,/(a)+/(6)=2 x/(3)=2 x 9 =1 8 ,故(2)错误；对(3),I s i n(a+b)H s i n a-co s b+co s a-s i n s i n a co s b+co s a-s i n Z?|=|s i ni z H|co s Z?|+1 co s d!|-|s i n/?|)=24=1 6,f(
11、a)+f(b)=22+22=8,故(4)错误;故选：A.1 3.函数f(x)=l n|x+l 卜V-2x的图象大致为()【答案】D【分析】易知“X)的图象是由函数g(x)=l n W-f+l 的图象向左平移一个单位长度得到，然后利用g(x)=lnW-V+1的奇偶性和极值求解.【详解】因为/(x)=ln|x+l|-x2-2x=ln|x+l|-(x+l)2+l,所以f(x)的图象是由函数g(x)=ln|X-f+l的图象向左平移一个单位长度得到，因为8(*)=1国-1+1为偶函数,故 X)的图象关于直线x=-l对称.又x 0时，g(x)=lnx-x2+l,g 0,在(孝,+8 二，gx)0,所以g(
12、X)在(0,+8)存在极值点，所以/(X)在(T,+o)上存在极值点.综上可知，只有选项。符合条件.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数f(x)的变形，得到与g(x)=l巾|一丁+1的图象关系而得解.1 4.设“e R,函 数 =卜 二 转 八，若函数./恰 有 3 个零点，则实数。-X 4-dX,X0的取值范围为().A.(-2,0)B.(0,1)C.-1,0)D.(0,2)【答案】A【分析】时，画出函数图象，可得y =f卜(力有彳=0和x =2两个零点；当a0,画出函数图象，数形结合可得要使y =/(x)有3个零点，需满足x 0时，/(x)n M Xl.【详解】当时，的大致图象如
13、图1,此时 令/x)=0,可得/(x)=l,观察图象可解得x =0或x =2,即方程有2个根，则此时y =f x)只有2个零点，不合题意；当0时，/(x)的大致图象如图2,此时令/|y(x)=O,可得x)=l或/(x)=a,由图易知/(x)=。恰有一根，则需满足x)=l有两根，而x =0和x =2均为/(x)=l的根，则需满足x 0时，X)四1,又X 0时,公)一+的 对 称 轴 为x =?则金卜，解得-2 a2,则一2 0,综上，。的取值范围为(-2,0).故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数零点个数求参数范围，解题的关键是画出函数图象,数形结合即可进行判断求解.【答案】B【分析
14、】分析函数/（X）的定义域、函数值符号以及该函数在（0,+8）上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数/）=黄、的定义域为R,对任意的xe R，/（）=黄，2 0,排 除CD选项,x (4-x)ev+8 令 g(x)=(4-x)e +8,贝|J g (x)=(3-x)e,当0 x 3时，g 0,此时函数g（x）单调递增,当x 3时，g （x）0,vg(o)=1 2 o,当0 x 0,.g(5)=8-eS 0,所以，存 在%e(3,5),使得当0 x 0,/（力 0,此时函数x）单调递增；当x x。时，g（x）0,r（x）0-此时函数/（x）单调递减，排除A选项.故选：B.【点睛】思
15、路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置.（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性：（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.1 6.已知函数/（X）的大致图象如下，下列选项中，为自然对数的底数，则函数/（X）的解析式可能为()【答案】D【分析】分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项.【详解】由图可知，函数f(x)为奇函数.对于A选项，函数=5的定义域为R,r)=三=V函数x)=，不是奇函数，排除A选项；对于B选项，函数f(x)=?的定义域为R,/()=宁。-?
16、=一 同，v-L 1函数 力=妥 不是奇函数，排除B选项；对于C选项，由k-”0可得0,即函数 到=577的定义域为k|。,0 7?/(-)=/，=/(X)，函数=为奇函数，f(2)=4F LC选项不满足要求；对于D选项，由e-e-O可得X N 0，即函数/(*)=宁1 1的定义域为卜,羊。,f（T）=?0 时，#=三 上 二 1,满足题意.e-e故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置.（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不
17、合要求的图象.17.已知。，2 R+,。是函数y =/必和函数y =x+l 交点的横坐标，b 是函数二/整和函数y =x+3 a交点的横坐标，则（）A.ab B.a 1 力1,利用式子结构，构造函数/（6二/期一为（工 1）,利用导数研究单调性，从而比较人的大小.【详解】是函数y =f 2 i 和函数y =x +l 交点的横坐标，匕 是函数丫 =/8 2 和函数y =x +3。交点的横坐标，./产=a+l b4M2=b+3a ，由 0 0,4初|=+1 1,可得：a i.由 b 0,产=b+3 a 3 a 3t将平方得：am 2=a2+2a+廿 曾 成”十力 严2 =b +3a，父形为：b -
18、b a -得：a4 O 4 2-a-(Z 4 O 4 2-)=(a-l)2 0 (当且仅当 a=l 时取等号).设函数 X)=产?x,(x 1)，则/(x)=4 0 4 2/*1,当x l时，都有了(万六期2%4 0 4。，所以 f(x)=x4(M2-x 在(1,+)上单增，因 为 产-(产-b)0,B P/(a)/(*),所以a b.故选：A【点睛】利用单调性比较大小：(1)指、对数构造函数比较大小；(2)抽象(复合)函数利用单调性比较大小：(3)利用同构结构，构造新函数比较大小.【答案】B【分析】确定奇偶性排除两个选项，再由零点个数排除一个选项，得正确结论.【详解】函数定义域是W x x
19、O ,f(-x)=一 =-/*)，函数奇函数，排除C D-xe xe1又由/。)=0 得x =&，只有两个零点，排除A.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；判断图象的上下位置.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.19.若公比为g的无穷等比数列 a,满足：对任意正整数i,j”j,都存在正整数3使得 =4%，则（）A.%有 最 大 值 1 B.4有最大值2 C.4有最小值1 D.4有最小值2【答案】B【分析】由题得4 =g严，得到4
20、 -,所以4=（g 严 i，因为对于任意正整数。都存在正整数出,使得4 =4 勺，所以4 4g严 i2）=（夕-2,因为所以为有最大值（g 产=2.故选：B【点睛】方法点睛：最值问题的求解常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法;（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.20.函数 x）=7 j si n 彳 J的图象大致为（）【答案】B【分析】先求函数定义域为R排除A选项，再求函数的奇偶性排除CD即可得答案.【详解】由题可知，函数的定义域为R,故排除A选项，因为一土木1 -川=黑周=仆)，所以函数 x)=-，s in(g)为偶函数，图像关于丁 轴对称，故排除CD选
21、项,x+1 2 J故选：B【点 睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势:(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.21.若正实数，满足噫尢=2 2-六，则()A.a 2b B.a 2a D.b 2a【答案】B【分 析】构造 函 数f(x)=log,x1，根据 其 在x e(0,x o)上单调递增，将条件变成函数值关系,K+1从而求得自变量大小关系.【详 解】由复合函数单调性知，/(x)=l o g,x 二，在X(0,)上单调递增，X
22、+1则/(a)=l o g,a-，/(2 Z?)=l o g,2b-=21 og4b-+l ,a+1 2 Z?+1 2b+l又 l o g,a-?=2 1 o g4 b-a+2h+因 此/(a)f(2。)，则a/i二了与y=|x-m|的图象有公共点，函数y=J G 7 的图象是以原点为圆心，1 为半径的上半圆，,y=|x-m|的图象是以点（?，0）为端点，斜率为1且在x 轴上方的两条射线，如图：y=x-m与半圆y=!-x2相切时，点(H Z，0)在3处,m=-7 2，产-x+m与半圆y=J 1 -d相切时,点(?，0)在A处，m=,当尸上列的图象的顶点(皿0)在线段A3上移动时，两个函数图象均
23、有公共点，所以“关于X的方程忘 了 =|x-m|(m e R)有解”的充要条件是m e-N/2,夜 ,B不正确;因 me -夜,0 =，e-2,2 ,/MG-2,2 ,即机e-2,2 是m w-V2,的必要不充分条件，A正确；=/n e-1,1 ,即机是%e-夜，&的充分不必要条件，C不正确；m e 1,2 ,m e 卜 夜,夜 ,w e -夜,0 ,w e 1,2 ,即加4,2 是me卜 应,0的不充分不必要条件，C不正确.故 选:A.【点睛】关键点睛：含参数的方程有解的问题，把方程转化为易于作图的函数，借助图象是解题的关键.2 4.已知数列%满足：0 g,e+4 =2,贝|().C.万 。
24、2021 1 D.0 22 0 2|【答案】C【分析】两 边 取 对 数 得=%+ln(2),构造函数f(x)=x+ln(2-x),xe(0,2),利用导数判断函数的单调性，可得/1.结合/(X)的单调性和数列 4 的递推式可得0 c q 为 1，可得出选项.【详解】由0 4 0),两边取对数 用一 =I n(2 -4 J,即 4 用=a +l n(2-),令/(x)=x +l n(2-x)(0 x 0可得/(x)在(0,1)上单调递增，由/(x)0 可得 力 在(1,2)单调递减，且 x)4 /=1,可得a.4 1,乂f(l)=l 恒成立，若4=1,则数列 4 为常数列，不满足0 q g,所
25、以4l n =g,4=/(q)/(O)g q ,则=/(/)/(4)=，a4=f(a)f(a2)=a3,依些递推，得0 4 3 4/q“1,所以万故选：C.【点睛】本题考查了数列和导数的综合问题，关键点是利用导数判断函数的单调性，同时考查了学生转化问题的能力和计算能力，属于难题.2 5.已知函数“司=m 一已 3-6-2(“0),若函数y =x)与 y =有相同的最小值，则。的最大值为().A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，f =ae-x2-a（a0）,在R上单调递增，又 当x=o
26、时，r（o）=o.当 0时 一，盟x）0,即函数/（X）在（-?,0）上单调递减，当x 0时,用勾0,即 函 数 在（0,+?）上单调递增，故有八项加=f（O）=a-2,即 得 耳 4-2,+0 0）,所以根据题意，若使/（/（力%=。-2,需使x）的值域中包含 0,内），即得。一2 4 0 =。4 2,故。的最大值为2.故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值：（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求
27、导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值;(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.2 6.已知awR,实数X，)满足丫=加+l n x,则()A.当。0 时，存在实数，使得以+y-6既有最大值，又有最小值B.当。0 时，对于任意的实数b,|x+y-切有最大值，无最小值C.当0 时，存在实数匕，使得l x+y 一 切既有最大值，又有最小值D.当。0 时，g(x)0,故 g(x)在(0,+o o)是单调递增，所以l g(x)l 不可能有最大值，因此选项A,B均不正确；”0 时，设/7(x)=g(x),(x)=2 a-y 0 时，g(x)0,X
28、 f+o o 时，g(x)0,所以g(x)在(0,”)上有唯一的零点，即有唯一的x w(0,+8)使短(即)=0 成立,所以可知x e(O,x)时，g(x)单调递增，x e(x,+8)时，g(x)单调递减.所以g(x)有最小值而无最大值.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键，一是要分类讨论，二 是 在 时，要二次求导才能确定原函数的单调性.-若对任意的实数F T。，都 有f（x）在 区 间（7,行）上至少存在两个零点，则（）A.0 a l,且0i,且0EC.0 ,且 N 1【答 案】B【分 析】首先分别求出每一段的零点，再对，进行分类讨论，根据己知建立不等式组，进而求得结果.【详 解】八
29、 乃=九,kx+k-l,xt若 V -QX=o ,则 x =0 或 =6，若 依+4-1 =0 ,则 =5-1 ；K 当0 K/V 1时，x =0与 一 定 是 函 数 的 零 点，满足题意；当 一1 ，0时，可能的零点是*=-&与x =!-l,K因为至少存在两个零点，-a t所 以，1 n t、kat2、卜 而一I v fv O,所以a0 l故选：B.【点 睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令40=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间,，句上是连续不断的曲线，且加)：皱)0),“2)=1,对满足的任意正数，J 都有/(2 )0
30、)，X)=个，进而尸=滔一f(x),再记(x)=e g(x)，进而得/“x)=7，研究最值即可得/(X)在X O,田)单调递增，进而将问题转化为，由基本不等式得，+*2 ,故进一步将问题转化为/(2r)/(2)再结合函数的单调性即可得2*2，解得x 0,Z?0,e +占之=2二=,当且仅当。-b-j=时等号成立;a2 b2 a2 b2 ab 2&:矿(x)+x)=/(x 0)，V()=-=-y(x 0),记g(x)=v(x),则屋(x)=C(x o)，.外力呼，广 =%（x）；g（x）e g(x),X2记(x)=g 2 _ g(x)，(x)=；e 2 _ g，(x)=；e 2 -=e2，当x
31、0,2）时，3（尢）0,无（力 单调递减;当 x w（2,+oo）时,/?（x）0,/z（x）单调递增.（x）mi n=（2）=e g（2）=e 2 4 2）=e 2 x A（），,*h x）=e -g（x）0 在（a+00）恒成乂，.1（力=2 0 在x e（O,小）恒成立，./（力在 0,+8）单调递增，对满足必=：的任意正数。，b 都有/（2、）,+/,/GHL 一2*2，解得xl.X的取值范围是（-8,1）故选：C【点睛】本题考查利用求导的运算法则逆向构造函数，考查 基本不等式的应用，考查运算求解能力，化归转化思想等，是难题.本题解题的关键在于构造函数记g（x）=4（x）,则“x）=q
32、ig,（x）=i（x0）,进而研究函数f（x）的单调性，通过单调性求解不等式.2 9.已知定义在(0,y)上的函数f(x)为减函数，对任意的xe(O,心)，均有/(x)./p W +=p 则函数g(x)=x)+3x的最小值是()A.2B.5D.3【答案】D【分析】根据题意x 由)+；_带 入/(力 4/(x)+-|=i可得：2x 2.x)4/3 ff(x)+3-+-3-=-1整理化简可得8 f 尸(外一2 4。)-3=0,2K 2x 2(x)+；42x 7解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解.【详解】由任意的xe(0,+oo),均有+(3x 由“x)+手带入可得：33“。)+三+33
33、-2。)+为2x/4所以/(x)./(“X)+=/(x)+/f f M +-+I Lx)2 A ZX 2/(x)+2x 7所以f /+3 +3f-2x 2(力+白k2x)3 3由/(X)为减函数，所以工+3)4/十 h J2x3 3 3所以/W)+象2(X)+注3=2献 3+五3 3 3即 2/(x).ff(x)+-+-ff(x)+-+3=2 W)+32x x 2x由/币+鼾;，j_所以 _L +?._ i=2好(X)，2 x f(x)化简整理可得8 x 2(x)_24(x)-3=0,所以/(幻=33 或/。)=-3三，4x 2x3由g。)为减函数所以/(%)=；,4%故当x 0 时，g(x)
34、=f(x)+3x=-+3x 2J g =3，4x V4当且仅当X=；时，等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了求函数解析式，考查了单调性求解过程中的应用，考查了较高的计算能力,属于较难题.本题的关键点有：(1)带入化简，把带入+=J 在利用原式进行化简，是本2x 2xJ 4题的关键；(2)掌握利用基本不等式求最值.3 0.如图，在 正 方 体ABCD-EFG 中，尸在棱8 c上，B P =x,平 行 于8 0的直线/在正 方 形EFG”内，点E到 直线/的距离记为“，记 二 面 角 为A-/-P为。，已知初始状态下 x=0,d=0,贝)!()A.当x增 大 时，。先增大后减小B.当X增大时，6
35、先减小后增大C.当d增 大 时，。先增大后减小【答 案】CD.当增大时，。先减小后增大【分 析】由题设，以尸为原 点，EB,FG,FE为x,%z轴建立空间直角坐标系，求 出 面AMN的法,ir r，向量 而 与 面P M N的法向量为工的夹角CSW，巨 域2 d+2近_ 2府 卜+华2、；对于A B,令=0,则cos6=分析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对于C D,令x=0时，化简整理得到,利用导数判断【详解】进而判断余弦函数的单调性，进而得解.由题设，以尸为原 点，尸B,fG,尸E为x,y,z轴建立空间宜角坐标系,设 正 方 体的棱长为2,则P(2,x,0),A(2,0,2),设直线/与
36、 交于 M,N,则 M（0,0,2-岳），N（O,0d,2）U U ll L UIRU L UUU UUU则 AW=(-2,0,-V id)，yW=(-2,V2J,0).W =(0,V2 J,V2J)-PM=(-2,-x,2-yl2d)设平面AM N的法向量为m=（a也c）,-2a-yjldc=0fn-ANO -2 a +/2db=0m-AM=0令4=1,则。=(d,0,-四)设平面PMV的法向量为；?=（e,g）,又n-PM=0(-2 e-xf+(2-/2d)g=0,时为减函数即cos。减小，则。增大，故 A B 错误;对于C D,当*5x=0 时，则s s 8s s 广d d，+4V 2J
37、-22+2(d-d+4(d-2 屋+8(d-+i6ld2+4-J -亚)+4 血)d2+4(d-&)+1641-(J-V 2)2+J28d(d 5/2 j(d-0)力+4 1 d-塔|+/+167令丫=+4,求导:/=2d（4_&）+4 +2（/+4）（_ 垃）=2（储_&+4）（24-a）Q储-岛+40，令 0,得 =也2故 当o d 时，y立时，y o,2 2函数单增，即C O S。单 增，。减 小；故 当d增大时，。先增大后减小故选：C【点 睛】方法点睛：本题考查面面角的求法，利用导数判断函数的单调性，即余弦函数的性质,利用空间向量求立体几何常考查的夹角:设 直 线/,根的方向向量分别为
38、 石，平 面a,的法向量分别为5,K则a-b沛 两 直 线/,，所成的角 为。（O e4）,co s 9=rra-u 直 线/与 平 面a所成的角 为。（0 4。工5）闾口6 =二 面 角a-/-6的大小为万）J co s 6|=r ru-v访二、填空题3 1.已知函数/(x)=-x|x-a|,若对任意的占C(2,E),都存在W e (7,0),使得/(/伍)=7,则 实 数 的 最 大 值 为.【答案】1【分析】当a22时，问题转化为当X 2 G(T，0)时，.f(W)e(0，+8)，由于%(-1,0),/(W)O J(T)=(O,a +l),矛盾，故不满足；当0 aa,解：当心2时，取绝对
39、值得/(x)=-x k-4 =，作 出 函 数 的 图 像-xa-x),x )=-4成立,整理不等式二二4。+1得：a2-a 0,解得：eO,l,c i 2,由于0 a 2,所以ae(O,l.由于所求为实数。的最大值，故不需要再讨论。V。的情况.所以，若对任意的内e(2,+O,都存在%e(-l,O),使得/(芭)/()=7,则实数。的最大值为1.故答案为：1【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分4 2 2时和0 2时两种情况分别讨论求解.3 2.如图，平面内 AOB,CO。均为等腰直角三角，A O B =Z C O
40、 D =90,OA=2,OC=,点 C在 AO8 的内部(不包括边界)，ACB,s 80。的面积分别记作鸟,邑，则U 的 取 值 范 围 为.【答案】6-1,+8)【分析】建立直角坐标系，转化为函数求范围.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设NAOC=a(0 a 则 0(0,0),A(2,0),B(0,2),C(cosa,sina),-sina,cosa),5,402cos a20sin a11 =2-sin a-cos a,10 0S2=-0 22 2-sin a cos a11 =sina,S _ 2-sin a-c o sa _ 2-cosa S2 sin a sin a八 2 一 co
41、sa,l-2 co sa 八 万令尸八不m 当a e 0,?J时，/()，V单调增;2-cos 所 以 m in=-/=6,sin 3故 答 案 为:百-1,-Ko)【点 睛】关键点睛：建系利用行列式求面积转化为函数求范围.3 3.已知“，b e R,若 对 任 意x 4 0,不 等 式 伽+2乂/+次 f 忘0恒成立，贝lj“+b的最小值为.【答 案】6【分 析】考 虑 两个函数g(x)=x+2,f(x)=x2+2 b x-l,由此确定a 0,x 0时,f(x),g(x)有相同的零点，得 出a,b的关系，检 验此时JU)也满足题意，然后计算出a+h(用a表示)，然后由基本不等式得最小值.【详
42、 解】设 g(x)=ar+2,f(x)=x2+2hx-,/*)图象是开口向上的抛物线，因此由x 0,2 2 2g(x)=0 时，x=,x 时，g(x)0,x 0,a a a2 2 2因此 时，f (-V)0,vxWO时，a a a由得。=!-二，代入得二一L -2,因为(),此式显然成立.a 4 4 a a(7+fo=l +2 /lx =7 3,当且仅当工=，即q=2 叵 时等号成立，a 4 a 4 a 4 3所以a+6 的最小值是有.故答案为：73.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值.解题关键是引入两个函数/(x)和 g(x),把三次函数转化为二次函数与一次函
43、数，降低了难度.由两个函数的关系得出参数。的的关系，从而可求得。+方的最小值.3 4.若函数“犬)=/一7 0 0)【答案】(0,；)【分析】(x 0)导数研究函数的单调性，结合图像即可得解.【详解】当x 0 时，令/(x)=0 可得：k=M2，令 g(x)=,*0)X2(x 0)若O v x v l,g(x)=:，g (x)=3。，g(x)为减函数,若X N I,g(x)=q L，/-%4 2g(%)=-=0,x =2,若x e l,2),g (x)0,g(x)为增函数，g(2)=；画出g(x)的图像,如下图:如要/(X)有 4个零点，则0%0,若“2+劝2=4,且a+匕的最 大 值 是 逐
44、，则4=.【答 案】4【分 析】令a+b=d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解.【详 解】令ab=d,由a+b=d c.e.?,消去 a 得：(d劝 2=4,即(义 +1)-2的+2-4=。,a+枷=4而。/?,2 0,则4=(2“)2-4(/1 +1)(42-4)2 0,1Zc /丸 +1 .c,-2 d 片+/,a(c-a)ac-cr _ ab 2 r-()2+iat-r-17+T-(r-l)2+2(r-l)+2 *-2 一()+21_ 1 _y/2-X 八2一2亚+2=2 ，当且仅当，=0 +1时取2 收一 1).口+2即0 ac-d)y/2-1-2C 0 ,/在(0
45、,1 上单t+1 (r+1)(r+1)调递 增，/(0)/(0/(1),即bz综 上 得_ 1 色?0,则/(2)=_ _ _ _ _ _；若/(。)=2,则二=_ _ _ _ _ _.X4-1,X 0【答案】4 1 或-1【分析】直接代入函数即可求得了(2)的值；根据分段函数每段的自变量的范围，对白进行分类讨论，分别求出相应的a的值即可.【详解】7 n1/(2)=22=4；一 x 十 尢 u。)=2,当a20时，f(a)=2 =2,解得a =l,当a 1 x)7的解集是.【答案】6 (1 6,e)【分析】根据分段函数直接计算可得了(0),然后分类讨论计算可得不等式的解集.【详解】由题可知：所
46、以 0)=(0 +炉+7=6一 X ,、2 =X G0,n x 16-(x+1)+7 7 眄2+3 7所以/(x)7的解集是(1 6,内)故答案为：6,(1 6,yo)41.函数/()=6 壮 ，若存在实数%,使得对于任意x eR,都 有/(%)2x),x,xa则实数。的取值范围是；若存在不相等的士，为3,满足/(不)=/()=/(电)，则实数”的取值范围是.【答案】(0,1)【分析】首先画出函数f(x)=j和y =x的图象，根据分段函数存在最大值，确定a的取值范围；存在平行于x轴的直线与分段函数的图象有3个交点，分析a e(O,l)和a e l,+o o)的图象,确定。的取值范围.【详解】力
47、=三，f (x)=詈，当x 0,“X)单调递增，x l时，/(x)0,/(x)单调递减，当x =l时，函数取得最大值/=1，e如图，画出函数的图象，根据题意可得函数的最大值，将x =a平移可得，当时，e“X)的最大值1)=：,所以。的取值范围是(V,：:用一条平行于X轴的宜线，截图象，有3个交点时，存在为，x2,乙，使/&)=&)=/(%),当时，如图，最多有2个交点，所以不成立,当a w（O,l）时，如图，存在3 个交点,所以。的取值范围是（0,1）.故答案为：；（0,1）【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最值，以及根据函数零点个数求参数的取值范围，本题的关键是能根据分界点，画出分段函数
48、的图象，数形结合分析问题.4 2.在 AABC中，A B =AC,。为 4 c 的中点，A C s in A =2 s inNA B。，贝!|8 ）=A B C 面积的最大值为.【答案】1 1【分 析】在已知关系较为集中的A3。中利用正弦定理先求出8/5=1,再用余弦定理用边b表示c o s A,转 化 为sinA,再 将AABC面积表示为关于匕的函数，最后变形整理求函数最值.【详 解】在A a）中，,由正弦定理得,sin A sin Z.ABD 2sin Z.ABD即 ACsinA=28Z)sinZA3),又已知 ACsin A=2sinZ A 3),则 5/)=1.设 AC=/?,则 AD
49、=2,2由余弦定理得，c s A-+=一则s i n.b2 4 b2=b2 sinA=b25_J_4 F20、2 256/2)+2,【答案】1 （1,2）【详解】试题分析：0/(4)=l o g24-1=2-1=1,所以/V(4)=-F +2 x l =l；当x 2 时,/(x)=k g 2 X-l 为单调递增函数；当 x 2 时，f(x)=-x2+2x=(x-1)2+1,函数/(x)在(T O,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以函数/(x)的单调递减区间为(1,2).考点：1、分段函数的求值；2、对数的运算；3、函数的单调性.4 4.设M表 示 函 数/(幻=,-4 +2|在闭区间
50、/上的最大值.若无失教“满足,0.可2 2%.,则叫。.=,正实数”的取值范围是.【答案】2 2-百】【分析】首先画出函数“力 的图象，由图象分析，可知。/(a),不满足监。,“金 2 叫 闻，所以”4,此 时 =2因为珠 回=2,且必。a 2 2 M s 加，所以场必产1，当/(犬)=,2-4*+4=1 时，解得：可=2-/5,*2=1，%=3,又=2+6,由图象可知“*2-6,得2-6 4“叁.2a 1 2故答案为：2：2-5/3,【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，以及数形结合分析问题的能力，本题的关键是根据图象，判断“4,并 结 合 条 件 判 断 再 根 据 数 形 结 合 列