《空间向量与立体几何小题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模））（解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量与立体几何小题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模））（解析）.pdf（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模）空间向量与立体几何小题一、单选题1.（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟试题）已知底面ABC。为正方形的四棱锥P-ABC。，尸点的射影在正方形ABC。内，且P到8 c的距离等于尸/）的长,记二面角P-AB-C的平面角为a,二面角P-C）-A的平面角为夕，二面角P-A D-C平面角为7,则下列结论可能成立的是（）A.a=（i=y B.a=y/3 C.a=p P=y【答案】C【分析】设P点在正方形ABC。内的射影为。，作PE J_BC,得PE=PD；若A成立，由对称性可知。与正方形A8C。中心。重：合，此时不满足PE=P,A错误；若B成立，由
2、知。在4 c匕 得到P8=P）P,B错误；若C成立，由a=知。在5C,AZ中点F,G连线上，由/,对 于 A,若a =7,由对称性可知I,。点在A C上；同理，当尸=7 时，。点在8。匕 则 ACn8O=。，即。点与。点重合，此时尸8=尸),又P B P E,:.P D P E,与=矛盾，A 错误；对于 B,若 a =y,则。点在 AC 上，此时 乂 P B P E,P D PE,与 P D =PE矛盾，B 错误；对于C,若a=0,则。点在BC,AD中点 G 连线上，如下图所示：由对称性可知：PB=P C ,此时尸尸，8 C,即E 与尸重合，PF=P D ：B，则。在 线 段08 k,此时不存
3、在点。满 足QE=E，使 得P=阳，D错误.故选：C.【点 睛】关键点点睛：本题考查立体几何中二面角相关问题的求解，解题关键是能够根据二面角的大小关系和对称性确定点P在 底 面ABCD上的投影点。的位 置，结 合Q点位置来进行分析.2.（浙江 省 金 华 市 东 阳 市2021届 高 三 下 学 期5月模拟考试数学试题）已知点P是正方体ABCO-ABCR表面上一动点，且 满 足|P A|=2|P B|,设 与 平 面ABC。所成的角为6,则。的 最 大 值 为（）【答 案】A【分 析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得动点的轨迹方程，再由直线与平面的夹角可得出最值.【详解】以8
4、为坐标原点，B C,B A,8 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的边长为2,P(x,y,z),则 A(0,2,0),因为|%|=2|P B|,所以 J(x-O)2+(y-2)2 +(z-O)2 =2 jx 2 +/+z 2 ,即V+(y+gj +z2=，所以点尸的轨迹为以点(0,-|,0)为球心、g为半径的球与正方体表面的交线，即为如图的E M G -G S F，E N F，要使得PD 与底面A B C。所成的角最大，则尸2与底面A B C。的交点R到点。的距离最短，从而点P在 ENF匕 且在Q。上,则。尸=O Q-g =g=g =2,从而t a n
5、=L=l,所以。的最大值为故选：A.【点睛】本题考查动点的轨迹、直线与平面所成角、空间法向量的应用.根据题意建立适当的空间直角坐标系，并求出点P的轨迹是解答本题的突破口，属于难度题.3.(浙江省温州市普通高中2 0 2 1 届高三下学期5 月高考适应性测试数学试题)在三棱锥 D-ABC中，A D =2 A 8 =2 A C =2 8 C,点A在面B C D 上的投影G是 88的垂心，二面角G-45-C的平面角记为a ,二面角G-BC-A的平面角记为夕，二面角G-CD A的平面角记为/,贝！I()DA.aB.a y pC./3ya D.yJ3a【答案】C【分析】先根据题意作出各二面角的平面角，再
6、在每一个直角三角形中将角用三角函数表示出达,然后再通过比较边长从而达到比较角的大小的目的.【详解】因为G为点A在平面BCD的投影，旦G为B 8的垂心连接。G交8 c于点E,连接AE，可知BC_L平面NME，所以8 c _L AE，可知BQ=DC,所以G在AE上的投影为H,过H作连接GF.连接8G交0 c于M,连接AM.这样4 GFH=a,NGEH=6,NGMA=y.又因为/W=2AB=2AC=2BC.在A3。中，谡+配 可 得 比 回 二 .在ABCD中，GM=GCcos NCGM=GCcos NCDB*G E =G C c os Z C G E =G C cos N C B D,GM _ c
7、os N C D BG ECOS2CBD1T T又因为在 8 C O 中，BD=DC BC,所以0 v N C O 3 N C A 4 cos ZC B A 0,匚 匕 9 GM cos Z C D B i所以-=-1,G E cos ZC B A所以G M G E而 A E =IAG2+GE2,A M =IAG2+GH2,所以 A A/A .A G所以在 AAGE 中，sin p =_,AE4 G所以在AAGM中，sin7 =-,A M因为AMAE,所以sin siny,所以4 y.由题意，可知A G J 平面8CO,所以C O L A G,又G为 B C D 的垂心，所以且=所以C J _
8、平面A B M ,所以C 0 _L A B,取 A3的中点N,连接CN、D N.由于AABC为正三角形，所以4?八CN,且 a vc c o =c,所以A B _L 平面CDV,因此。N _ L A 8,由于N为 AB的中点，所以C 4 =B，又D B =DC,所以三棱锥O-ABC为正三棱锥.在分别 Rf AGHE,Rf AGHF 中,tan/3=,tan a=,H E H F而 b a,从而可知选项C正确.故选：C.4.（浙江省Z20联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知在正方体AB C D-A 8 C R 中，点 MN分别为5C,G A 的中点，点尸在线段4 8 上，记二面角N-
9、PM-O的平面角大小为“，则当点P 从 A 向 3 运动的过程中，角。的变化情况是（）A.一直变大 B.一直变小C.先变大后变小 D.先变小后变大【答案】D【分析】根据条件作出二面角N-PM-Z）的平面角，当点尸从A 向 8 运动的过程中，处在中点”处时的正切值最小，从而可以判断角a 的变化情况.【详解】如图所示，过 N 作 N G L P M,过 G 作 E G L P M,由线面关系易知E 点为CO的中点，枢 _1_平面48。，/N G E 为二面角N-PM-O的平面角，且 tana=，其中NE与正方E G体棱长相等，保持不变，a e（0,5）;取 A B的中点H,联结各点，由线线，线面关
10、系易知，结合NEJ平面A8CQ,N E知NNM E为二面角N-HM-D的平面角，且tan Z N M E =,E M故当点P 从 A 向 H 运动的过程中，因在三角形EGM中，EG tanZ.N ME =-,即正切值不断减小，角 不断变小；E G E M当 点P从，向8运动的过程中，如 在。，同 理 可 证EM是二面角正切值表达式中分母的最大值，即新的二面角正切值大于tanNNME,即角不断变大.故 角a的变化情况是先变小后变大.故选：D【点 睛】关键点点睛：作出二面角的平面角，根据平面角所在的直角三角形的正切值的变化情况,来判断二面角的变化情况.5.（浙江省台州市临海市、绍 兴市新昌县高三下
11、学期5月模拟考试数学试题）已知四面体A8CD,分 别 在 棱AD,BD,BC上取+等分点，形 成 点 列 A ,纥,Q ,过4，B,G（Z =1,2,作四面体的截面，记 该 截 面 的 面 积 为 此，则（）A.数 列 M J为等差数列C.数 列 为等差数列B.数 列 M J为等比数列D.数 列 +为等比数列【答 案】C【分 析】设AB=a,CD=b,AB与 8 所 成 角 为8,根据平行关系可利用 ,匕表示出MA纥，及C,根据面积公式得到M&,进而得到*;利用等差数列和等比数列的定义依K次判断各个选项中的数列是否满足定义，由此得到结果.【详 解】设/W=a,C D =b,48与。所成角为6,
12、由题意可知：AkBk/AB,BkCkHC D,根据平行线分线段成比例可知：BkCk=-h,n +l j 7 7 +1(n +-k k1 4卜=AkBk-BkCk s i n 0=-ab si n 0,5+i)-A/A/(+1-攵-1)(%+1)-(+1-&)%.q n-2k .对于 A,Mk+i-Mk=-2-ab sm 0=-a b n d ,(72+1)(+l)则/不恒等于常数，则数列 MJ恒为等差数列不成立，A错误；(+1-+1)出。对干 R 仞川一 (+1)_；(M)(4 +1)Mk(+1-&伙.(n +-k k(+1)M才 不 恒 等于不为零的常数，则数列MJ恒为等比数列不成立，B错误
13、；对于C,-/=；一 犷 劭s i n。，k(77+1)Mk+1 Mk n +-k-则k +l kn+1)2ab sm O-Y a h s m O-5 彳 ah s i n 3(+i)2(n+i y 即 黑 一 等 恒 为常数为等差数歹U c正确;M-k ab si n d MM对于D，针=I-=7,即铲不恒等于不为零的常数，k(n +1)2 k则数列恒为等比数列不成立，D错误.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查等差数列和等比数列的判定，证明数列是等差或等比数列的基本思路是利用等差或等比数列的定义式来进行证明.6.（浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试题）若某多面体
14、的三视图（单 位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A.疲cn?3侧视图-8 3B.-cm3C.D.-cm33逑 而3【答案】B【分析】根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，如图，即可求出体积.【详解】根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点,如图粗线所示，此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，则此多面体的体枳是L X 23-1 X L X 2 X 2 X 2=cm，.2 3 2 3故选：B.7.（浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5 月适应性考试数学试题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2
15、,俯视图为等腰直角三角形.则该多面体的体积为（）【答案】C【分析】先把三视图还原实物图，直接求体积即可.【详解】根据三视图还原实物图如图示:下面是一个底面为三棱柱，上面是一个三棱锥，所以其体积为：V=-2-2-2+-2-2-2 =.2 3 2 3故选：C.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.8.(浙江省舟山市定海区2021届高三下学期5 月适应性考试数学试题)若轴截面为正方形的圆柱内接于半径为1 的球
16、，则该圆柱的体积为()A.必 B.叵 C.叵 D.叵2 4 6【答案】B【分析】由题意求出圆柱的高和底面圆的半径，从而可求出圆柱的体积.【详解】解：由题意知，O A O B.则圆柱的后j为/=JoT+OB?=J1+1=6，底面圆的半价为r=，。T+9=互1=立,故选:B.9.（浙江省金华一中2021届高三下学期5 月高考模拟考试数学试题）如图,等腰直角三角形ABC在平面a 上方，NB4c=90,若AA 3C以8 c 为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面a 内的投影不可能的是（）【答案】c【分析】对直线BC与平面a 的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得出合适的选项.【详解】若3C_La,
17、则形成的旋转体在平面a 内的投影如D 选项所示；若 BC a,则形成的旋转体在平面a 内的投影为正方形；若 3C 与a 所成的角的取值范围是（0,时，则形成的旋转体在平面a 内的投影如A、B 选项所示.投影不可能如C 选项所示.故选：C.1 0.（浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）【答案】C【分析】把给定的三视图还原得一四棱锥，求该锥体体积即可得解.【详解】由给定的三视图知，这个几何体是四棱锥P-ABC。，底面A8C。是边长为2 的正方形,且 以，平面A5C。，如图：四棱锥P-AB C D的高四=2,底面A B C
18、D面积为5=4中=4,1Q则该几何体体积为V=-S PA =-.3 3故选：C1 1.（浙 江 省 宁 波 市“十 校”2021届 高 三 下 学 期5月高考适应性测试数学试题）某四棱台的三视图如图所示,则 该 四 棱 台 的 体 积 是（）正视图侧视图俯视图A.3314TC.10D.14【答 案】B【分 析】本题首先可结合三视图绘出原图，然后根据棱台的体积公式即可得出结果.【详 解】如图，结合三视图绘出原图:则该四棱台的体积丫=；仓 必1+4卜故选：B.12.（浙江省名校新高考研究联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知空间中两平面a,，两直线加,/,且口门 =相，/=NCPM,Q为
19、空间任一点，三棱锥A-PCO的体积的最大值记为V(x),则关于函数V(x),下列结论确的是A.V(x)为奇函数 B.V(x)在(0,+o)上单调递增；C.V(2)=3 D.匹 3)=乎【答案】D【详解】分析：先根据=得 P 点轨迹为圆在矩形CDR G内部(含边界)的圆弧，可得P 到 CD最大距离，再根据锥体体积公式可得V(x),根据函数表达式可判断选择.3详解：因为 N AP D =N C P M,所以 t an N A P D =3 z N C P M，即-3 -_=5.,.rpUn _=o p rC.,P D P C当P在CG上时（一。取最大值6,因此-3 X S -3 r-V（x）=l
20、x 3 x l x Jp.C Dx 3 =|jp.CD=32,因此 y（2）=W（）=辿，V（x）不 x,0 x /3 22为奇函数，V（x）在（0,石）上单调递增，所以选D.点睛：立体几何中体积最值问题，先根据几何体体积公式建立函数关系式，再根据条件将函数转化为一元函数问题，最后根据函数形式，根据基本不等式或利用导数求最值.1 7.（浙江省金华市2021届高三下学期5 月高考仿真模拟试题）如图，a，。，a/3=l,A w a,B e j 3,A,8至!J/的距离分别是“和b ,AB与a,夕所成的角分别是。和 9,A8在a,夕内的射影长分别是?和 ，若a b,贝!JA.0 （p y m n B
21、.0 （p m nC.0 （p y tn n D.0 m n【答案】D【详解】试题分析：由题意知，蜀 博 班e 1 1 Ml蝌=，遥 筋=,因为磔海氟所以赢 颦*遥 僦 所以解 僦:5蟠窗=“!EW率1=二-w 且嫡解婢Y SW疏，所以哪:油褊故选 D.考点：1、线面角；2、正弦函数与余弦函数.18.（浙江省金华市东阳市2021届高三下学期5月模拟考试数学试题）正四面体AB C D,E为棱AO的中点，过点A作平面BCE的平行平面，该平面与平面48C、平面ACQ的交线分别为4,4,贝 I，所成角的正弦值为（）A n 石 1 n 夜A.B.C.-D.3 3 3 2【答案】A【分析】由面面平行的性质
22、可得4/B C、CE,则4 4 所成的角等于BC与CE所成的角ZBCE（或补角），利用余弦定理可求得8 S/3 C E,再由同角三角函数的平方关系可求得sin ZBCE.【详解】设所作的平面为a,则由er平面B C E,夕0 平面ABC=4，平面8CEA平面ABC=B C,得IJ/B C,同理可得4CE,所以/所成的角等于BC与CE所成的角，即NBCE（或补角）.设正四面体A8CD的棱长为2,则8c=2,CE=BE=6在 M E 中由余弦定理，得cosZBCE=2+（我*2=且，则 sin ZBCE=Vl-cos2 ZBCE=3故选：AR【点睛】本题主要考查空间平面与平面之间的平行关系、余弦定
23、理的应用，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题.1 9.（浙江省温州市普通高中2021届高三下学期5月高考适应性测试数学试题）如图所示，由几个棱长相等的小正方体搭成的一个几何体.现老师给小明四张图，要求其删除其中的一张图，使得剩下的三张图可以作为该几何体的三视图，则小明要删除（）.【答案】B【分析】观察图形可得正视图，侧视图和俯视图结合选项即可得结果.【详解】得其正视图为C选项中的图形，侧视图为A选项中的图形,俯视图为D选项中的图形，故选：B.【点睛】本题主要考查了由几何体得到三视图，正确选取观察方向是解题的关键，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
24、2 0.（浙江省Z20联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知。，P,即是三个互不重合的平面，R是一条直线，下列命题中正确命题是A.若a l/3,I L/3,贝腌带解 B.若曾上有两个点到雄的距离相等，则滤敏C.若/_ L a,/夕，则嬷,1 鼾 D.若a _ L尸，a l y,则鼾J L理【答案】C【详解】试题分析：A.若a l 0,I上0,则e虞律不对，有可能/u a；B.若 上有两个点到绿的距离相等,则4日越不对,有可能/,a相交;C.若/_ L a,/6，则然1遍 正确，经平移/可以在平面夕内，所以雄,1,鼎.考点：本题主要考查立体几何中垂直关系、平行关系.点评：典型题，涉及立
25、体几何的平行关系、垂直关系，是高考的必考内容，难度不大,要求定理、公理要记清.2 1.（浙江省台州市临海市、绍兴市新昌县高三 下学期5月模拟考试数学试题）如图所示，在 正 方 体ABCQ-A4CQ中，点p是 棱A B上的动点（P点可以运动到端点A和8）,设在运动过程中，平 面 片 与 平 面AO QA所成的最小角为a ,贝！|c o s a=（）.【答 案】DD-T【分 析】由题意建立空间直角坐标系，求出点的坐标后，平 面 尸。用 的 个法向量为耳、平面r r4O RA的一个法向量为 玩，结合二面角。为锐 角，可得c o se =|c o s&,2）卜玛 七，求11 I II 僧 I出COS
26、0的最大值即可得解.【详 解】以 点。为坐标原点，D A,D C,D R所在的直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示:设正方体的棱长为I,A P =aOa(0,0,0),P(l,a,0),B,(1,1,1),U L U,则 O P =(1 M,0),D By=(1,1,1),设平面 PDB 1 的一个法向量为元=(x,y,z),则 普=x+a y=0 令，得平面产如的一个法向量为方=“+),易得平面A。A的一个法向量为历=(0,1,0),山图易得平面 与上平面ADRA所成的:面角为锐角，设其为平nm则I I I 2 ICOS =|cO SH,/?7）|=I-1 1 -*2+（切
27、+（3 1）2 J 2 d j+/当a-；=0即a =；时，取最小值c o s。取最大值 乎，此时a取最小值，且c o sa =(c o s。)=逆 /m ax3故选：D.【点睛】本题考查了正方体的性质及利用空间向量解决二面角的相关问题，适当建立空间直角坐标系，将几何问题代数化是解题的关键，属于中档题.2 2.（浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5 月高考及选考科目适应性考试数学试题）在平面 a 内，已知过直线AB,BC分别作平面夕，/,使锐二面角a-A B-6 为p 锐二面角a-B C-y 为W，则平面夕与平面7 所成的锐二面角的余弦值为（）.A.-B.3C.；D.-4 4 2 4【答案】A【分析
28、】根据已知条件构造正四棱锥，可根据锐二面角a-A B-力为q,锐二面角a-B C-y 为（得出正四棱锥的高度,通过正四棱锥建立空间直角坐标系，用空间向量求平面夕与平面7 所成的锐二面角的余弦值.【详解】如图由题意以平面a 为底面，以平面夕，为两相邻的侧面构造正四棱锥E-A B C D,设正四棱锥的底面边长为2,以点B 为坐标原点，以A 3，BC,过点B垂宜于平面a 的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，在正四棱锥中设厂，G为 AB,8 c 中点，ACn3O=O,则 O P _ L A fi,E F L A B,./产0为二面角。一4 8 4的平面角，同理Z EGO为：面.用a
29、-B C -7的平面角,7 1：.N E F O =-,3*在 Rt E F O 中，E O=百，则由题意易得5(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),(1,1,7 3),则 丽=(2,0,0),B C =(0,2,0),旎=(1,1,6),设平面的法向量为沅=(%,y,z),则有B A f h =2x=0B E玩=x+y +百z=0令z=-l得平面厅的一个法向量为4 =(0,0,-1),同理可得平面7的一个法向量为n =(A/3,0-1),r rr r 77 I I则平面夕和平面7所成锐二面角的余弦值为I c o s，,|=-r-r-m n 2 x2 4故选:A.【点睛】本题考查
30、空间中平面与平面的位置关系、二面角，根据平面的位置关系构造正四棱锥是解题的关键，考查直观想象能力与运算求解能力，是中档题.2 3.(浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5 月适应性考试数学试题)九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵已知某 堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A.2 B.2+4夜C.4+2&D.4+4及【答案】D【分析】利用三视图还原原几何体，结合三视图中的数据可计算出该“堑堵”的侧面积.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：由三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面是腰长 为&的等腰直角三角形，且直三棱柱的高为2，因
31、此，该“堑堵”的侧面积为（272+2）x2=4/2+4.故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的侧面积，一般要求还原原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.2 4.（浙江省舟山市定海区2021届高三下学期5月适应性考试数学试题）设点M是棱长为2的正方体A5CZKA181Goi的棱A O的中点，点P在 面B C G B所在的平面内，若平面D.P M分别与平面A B C D和平面B C G B i所成的锐二面角相等，则点P到点G的最短距离是（）A 2石 n 72 0 1 娓A.-B.C.1 D.-5 2 3【答案】A【分析】过点尸作D,M的平行线交8 C于点。、交B 于点E,连接
32、M Q,则PN是平面R PM与平面8 C C g的交线，M N是平面P M与平面ABCQ的交线，E F与 平 行，交BC于点尸，过点尸作如 垂直M Q于点G,推导出点E一定是4 G的中点，从而点尸到点G的最短距离是点G到直线踮 的距离，以A为原点，A B为X轴，4。为 轴，A A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到点G的最短距离.【详解】如图，过点尸作。M的平行线交8 C于点。、交瓦G于点E,连接M。，则。是平面jPM与平面BCG用的交线，M Q是平面D、PM与平面43C D的交线.E尸与B片平行，交8 c于点尸，过点F作FG垂 直 于 点G,则有，M Q与平面EFG垂直，所以，
33、E G与A/Q垂直，即角E G F是平面D1PA/与平面ABC的夹角的平面角，艮E Fsin N E G F=,E GM N与CD平行交BC于点N ,过点N作N H垂直E。于点H,MN同上有：si n/MHN =,且有 ZE G F =Z M H N ,乂因为 E F =M N =A B,故 EG=MW,M H而2sMMc=EGxMQ=M/xE。，故MQ=E。，而四边形EQMR一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E 一定是BCi的中点,点P到点C,的最短距离是点G 到直线B E的距离，以A 为原点，AB为X轴，为y 轴，441为Z轴，建立空间直角坐标系,(2,1,2),3(2,0,0),G(2
34、,2,2),诙=(0,1,2),BQ=(0,2,2),二点户到点G 的最短距离：I8SHBC.I V 石X 应 5故选：A.【点睛】本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.25.(浙江省金华一中2021届高三下学期5 月高考模拟考试数学试题)已知直线,仇m,其中a/在平面a 内.则“加_ 1_4,机_ 1_川是“加_ 1_夕”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果.【详解】若a b
35、 ,则加_ L a,m_ L 6无法得到?_）_,充分性不成立；若则机垂直于a内所有直线，可得到m _ L a,m_ L b,必要性成立；,?1 _匕”是 的 必 要 而 不 充 分 条 件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题.2 6.（浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第三次联考数学试题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是8 1 0 1 1A.3%B.-7C C.7t D.一兀3 3 3【答案】C【详解】由三视图可知，该几何体是由9个圆柱和半个圆锥的组合而成的组合体，其中圆柱的底面半径为2,高为2,圆锥的底面半径为2,高为
36、2，所以其体积为V=x22 x 2 +xx22 x 2 =-y ,故选C.2 7.(浙江省宁波市“十校”2 0 2 1 届高三下学期5月高考适应性测试数学试题)已知直三棱柱A BC-A BC的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱，与侧棱A A，BB、,C C,分别交于三点M,N,Q,若 M N Q 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为().A.2 B.4 C.2A/2 D.243【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件设河(0,-IM)、N(区。、2(0,l,c),不妨设c b ,4 +4(a-b)(b-c)=+4 x 2 =2 /3，当且仅当a-b=b-
37、c 时取等号.故选D【点 睛】本题考查直三棱柱的性质、空间向量的应用、基本不等式，涉及两垂直向量的数量积关系，根据条件建立空间直角坐标系是解答本题的关键，属于中档题.2 8.（浙江省名校新高考研究联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知正方体ABCD-ABCQ的边长为1，区尸为边用。上两动点，且忸尸|=乎，则下列结论中错误的是B.三 棱 锥A-B E F的体积为定值C.二面角 厂-他-石 的大小为定值D.二 面 角A-E F-8的大小为定值【答 案】C【详 解】分 析：首先利用题的条件，结合正方体的特征，对选项逐一分析，判断对应的命题是否正 确，从而选出正确的结果.详 解：根据正方体得
38、面8 Q Q 8,而8 E u面BQ Q 8,所 以 有A C _L 8E,故A正确;因为%-诋皿qSiBEF-5881-E/7 为定值，故 B 正确;二 面 角A防 3就是二面角A-B 1 R-3,所以其为定值，故D正确;因 为F=Bi与E=DI时二.面角尸-A B-E的大小不同，故C不正确;故 选C.点睛：该题考查的是有关正方体的特征，涉及到的知识点有线线垂直的判定，二面角的大 小，棱锥的体积问题，要对知识点正确理解和熟练掌握，再者就是需要注意该题要选的是不正确的选项.2 9.（浙 江 省 绍 兴 一 中2021届高三下学期第三次联考数学试题）某几何体的三视图如图所示（单 位：cm）,则该
39、几何体的体积（单位：c加）是、.巨 B.也12 6【答 案】BC.D.&3【详 解】由三视图易知该几何体为三棱锥.该几何体的体积v=1 x3故 选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正,高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.30.（浙江省宁波市正海中学2021届高三下学期5 月模拟考试数学试题）已知在矩形ABC3中，AD=6 A B,沿直线BD将 ABD折成 A B O,使 得 点 在 平 面 8CQ上的射影在 8 8 内（不含边界），设二
40、面角A-B O-C 的大小为。，直线AT）,A C 与平面BCD中所成的角分别为a,，则（）A.a 0 p B.P 0 a C.P a 0 D.a （3 C F,，A C A D,且 4 E =在 V 1,而 A C 的最小值为1,3/.sinZA,DFsinZA,CFsinZA,E O,则 a p/5 .：.ANLCG,NE1CG,又：ANCNE=N,，CGJ-平面 ANE,CG LAE,故正确；.AB_LBCMB1.8G,.8_L平面 C8G，同理 BE_L平面 CBG,.面ACB与面CBE共面，面AG8与面GBE共面，AB与8 E共线,该几何体为四面体，故错误；BC=BG=1,CG=R.
41、C3G为直角三角形，ZCBG=90,*-Z c B G=；x l x l =5,乂：AE_L平面 CBGAE=2AB=2BE=4,.该几何体的体积为V=(x；x 4 =,故正确；MP=2,0P=-CG=,2 251.,：MP/AE,OP/CG.CGLAE,：.MPA.OP,/.MO=VA/P2+PO2=,2ON=NM=-AC=,2 2cos/ONM=OM+NM2-OM?20NxNM5 5_182 x5445又 ACMM EG/NO.：./O N M为异面直线AC,G所成的角或其补角，4/.cosa=-.故正确.故答案为：.【点睛】本题综合考查线面垂直，几何体的体积，异面直线所成的角，属中高档题
42、，关键是要结合原式图形找到对应的几何体的各棱的长度，综合线面垂直的判定定理进行证明相关的垂直关系.32（浙江省杭州市学军中学2021届 5 月高三模拟考试数学试题）矩形A8CD中,A 8=l,A D=,现将 ABZ）绕 BO旋转至 ABO的位置，当三棱锥A-B C D 的体积最大时,直线A 5 和直线C D所 成 角 的 余 弦 值 为.【答案】y【分析】由AB/CD,得到A 8 和直线C D所成角转化为4 8 和AB所成角，再由三棱锥A-B C D的体积最大时，得到A O,平面A 8C D,在 A 8 4 中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，因为矩形ABCZ）,可得AB/CZ）,所
43、以直线4 3 和直线CO所成角即为A8和直线AB所成角，设4484=6,当三棱锥A -B C D的体积最大时，即AO_L平面ABCD,因为A8=1,A=百，可得5D =2,在直角4?中，可得AO=AO =立，所以AA=Y 5,2 2又由 AB=AB=,在 破 1中由余弦定理得cos。=AE+A W-A?=1，2 AB x AA 4所以直线A B 和直线8 所成角的余弦值为9.4故答案为：-y.433.(浙江省金华市2021届高三下学期5 月高考仿真模拟试题)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E 是边4。的中点，将 M E 沿直线BE折成/A B E,使得二面角A-B E-C 的平面角
44、为锐角，点尸在线段上运动(包括端点)，当直线C尸与平面A B E 所成角最大时，AFBE在底面ABCD内的射影面积为.【答案】3-V5【分析】如图，设二面角A-8 E-C 的平面角NAHO =e，则由已知条件可得AC2=12-8cos612,所以NBAC为钝角，所以CFWC4,，即直线C/与平面A,BE所成角最大时，点 尸与点A重合，然后求出直线C F 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值，利川基本不等式求出其最大值，即可得cos0=3,从而可求出AFBE在底面4 3 a)内的2射影面积【详解】解：如图所示，取 3 c 的中点/，连接AA7交8E于 H,连接A H，则由题意可知B E V H
45、 M,B E V A H ,则是二面角A-B E-C 的平面角，因为AZ=A Z，所以A在平面BCE上 的 投 影 在 上，记为。设二面角4-8 E-C 的平面角乙4力0 =。，则AO=&sin 0,HO=A/2 CO S 0,OC2=(3-cos 0)2+(l-cos 0)2,所以 AC2=(3-cos 0)2+(1-cos 0)2+2 sin2 0,即 AC2=12-8cos12,所以NBAC为钝角，所以CF 2 c A,即直线b 与平面ABE所成角最大时，点F 与点A重合，因为在矩形ABC。中，A8=2,8 c =4,是边AD的中点,所以AA8E,A8 E 均为等腰立角三角形，C E=B
46、 E =2&所以 N C E B=90。,即 CE1 8E,所以C 到平面A 8E 的距离为d=CEsine=2忘 sin(9，所以此时直线CF与平面ABE所成角的正弦值为d 2/2 sin 0 r-/1-cos2 0sin a=r=i =7 2-J-，C A j2-8 co sd V 3-2cos0令 f=3-2cos6,则sin a =V2/5,4 r DIZ故答案为：3-石【点睛】关键点点睛：此题考查线面角、面面角的有关计算，考查数形结合思想，解题的关键是正确的找出二面角A3 E-C 的平面角NAHO =6 ,然后由已知条件可得AC2=12-8cos9 OC是空间两两垂直的单位向量，O
47、P =xOA+yOB+z O C,且x+2y+4z=l,则 O P-O A-O B 的最小值为.【答案再21【分析】设 函=(1,0,0),而=(0,1,0),页=(0,0,1),利用向量的坐标运算求出 而，进而求出O P-O A-O B，借助向量模的运算及x+2y+4z=l,整理可得+亲”，箱-舞1+2进而得解，【详解】由题意可 设 函=(1,0,0),丽=(0,1,0),O C =(0,0,1),由 x +2 y +4 z =l,得x =l 2 y 4 z,O P =xOA+yOB +zOC=(x,y,z),OP-OA-OB=(x-,y-,z),所以|而_ 丽 _词=7(x-l)2+(y-
48、l)2+z2=7(2 y+4 z)2+(y-l)2+z2=yj 5y2+U z2+6yz-2y+1 7 Q（当且仅当y吟，z =4时等号成立），所以I而-砺-砺|的最小值为名旦.2 1故答案为：巫.2 1【点睛】本题考查的是空间向量的坐标运算和空间向量模长的坐标表示，意在考查学生的计算能力，属于中档题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，：=（x,y）,则|向=必h；（2）利用性质进行求解，7?=|,结合向量数量积进行求解.三、双空题3 6.（浙江省Z20联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）某几何体的三视图如图所示，俯视图为平行四边形，内部图形为扇形，正视图、侧视图上方为直角三角
49、形,下方为矩形，则 三 视 图 中 侧 视 图 的 面 积 为;该 几 何 体 的 体 积 为.侧视图俯视图【答案】3+6 2/3+9【分析】侧视图的下面是一个矩形，上面是一个直角三角形，根据三视图的特征可得边长，进而求出侧视图的面积；根据根据三视图得其直观图为组合体，上面是底面是J 的圆锥，下O面是直四棱柱，根据体积的计算方法即可求得结果.【详解】根据三视图得其直观图为组合体，在俯视图平行四边形中，如图所示，因为内部图是扇形，所以平行四边形A8C邻边相等,所以平行四边形ABC。是菱形，设A 3中点为E,由 上 视 图 可 得 所 以 三 角 形 4 肛是正三角形,所 以ND4B=g,所以该几
50、何体的上面 是!圆锥，圆锥的底面半径是2,高 是2 G上面3 6是底面 是!的圆锥，下面是直四棱柱，如图所示，A-根据图中的数据可得侧视图的面枳 为 x2x且+2x且X2GX1 =3 +K：2 2 2该几何体的体积为2x 2 x +x乃x2。X2/5 =2y/3+-2 6 3 9故答案为：3+：2 6 +4 s式.3 7.（浙江省台州市临海市、绍兴市新昌县高三 下学期5月模拟考试数学试题）某几何体的三视图如图所示，则 该 几 何 体 的 体 积 为，表面积为.7 1正视图7 1 R 2【答 案】12+12万+24【分 析】根据三视图还原该几何体即可求解【详解】由三视图还原该几何体，得该几何体为