《圆锥曲线解答题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线解答题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）.pdf（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模)圆锥曲线解答题一、解答题1.(浙江省绍兴市2 02 1届高三下学期4月适应性考试数学试题)已知抛物线C,:x2=4 y和椭圆C 2：?+=1如图，经过抛物线G焦点尸的直线I分别交抛物线G和椭圆a于A,B,C,。四点，抛物线C 1在点A,5处的切线交于点尸.(1)求点P 的纵坐标；(2)设 M为线段AB 的中点，P M交 G于 点 Q，8。交 于 点 7.记“CDAQBP的面积 分 别 为 品 5,.(i)求证：。为 线 段 的 中 点；S,8(i i)若：=弓,求直线/的方程.【答案】(1)-1；(2)(i)证明见解析；(i i)y =x +l 或 y
2、 =-x+l.【分析】(1)假设点AB 坐标并得到直线/的方程，同时得到点4,B 处的切线方程，然后得到点 P 的坐标，根据直线/与抛物线联立方程，使用韦达定理可知结果.2(2)(i)得到RM,Q的坐标，然后根据中点坐标公式可得结果；5)依据“.=：5.8,得到察=9.与，然后利用弦长公式计算|国,|明，最后根据等式进行计算即可【详解】解：设点亨)，直线/的方程 为 产 +1.八 纣 二 产 1二 八(可知抛物线在点A,8处的切线的斜率分别为半 抛物线G在点A,B 处的切线方程分别为x-今，联立方程组，解得点P的坐标为(五 产，牛)由+得/_ 4丘-4 =0,A,=16(Jt2+l)0,x2=
3、4 y所以玉+七=4 4，玉 =-4,所以点P 的坐标为(2 k-1),即点P 的纵坐标为-1.(2)(i)证明：由(1)得 P(2 h-1),例(2 匕2 氏 2 +1),0(2 太&2),因为(2 二+1)+(-1)=2 公，所以，点。是线段P M的中点.(i i)解：因为M,。分别为线段筋，的中点，所以A T =2 7P所以 SJAB=-S“PAB，所以 S?=S4BP=SMBP=1 PAB=TAB 卬8-3M=MBss8-3Trc=A rss3-8=邑以设点c,。的横坐标分别为“z，y=kx+l3/+4/-1 2 =0得（4 r+3）d+8 区-8 =0,=9 6（2/+1）0,所以=
4、一七5=一心所以|C 联再F#+“一 3=4 后 击:（2）由（1）得|A 却=J1+4*+/）-4 M x 2 =4（E+0.S|_ 8|8|8#J 2 F +1所以，及=,画=亍,（4/+3）“？+18 5/6 I 2.+13 d（4 二+3）2 俨+）设 f（x）=-（%0）以 八，（4X+3）2（X+1）7则/（）=16x2 2 0%-5（4X+3）3（X+1）2 6 0）的左、右焦点，动点？在椭圆上，且 附|的a b最小值和最大值分别为1 和 3.(1)求椭圆的标准方程;(2)动 点/在 抛 物 线 C：V=4x 上，且在直线 的右侧.过点M 作椭圆E的两条切线分别交直线x=-“于
5、A,8 两点.当|A 8|=1 0 时，求点M 的坐标.【答案】(1)+=1 ;(2)(4,4).4 3【分析】(1)由椭圆上的点到一焦点距离最大、最小值求出a及半焦距c即可得解；(2)设出点M坐标，过点例的椭圆切线方程，联立切线与椭圆组成的方程组，消元后利用判别式等于0建立关系即可得解.【详解】a-c=1 l(1)设椭圆半焦距为C,依题意有.解得a =2,c=l,b=B a +c =3所以椭圆方程为工+=1;4 3(2)设 4(-2,yj,网-2,必)，”(产2)(尸2),过点/的 椭 圆切线斜率为k,此切线方程为 y =M x-/)+2 r,由 得(3 +4%2)/+讽 2&b +4(2-
6、/%)2-1 2 =。，由 =()得到(-4 袂2-4 以+4 尸-3 =0,切线M 4,M8的斜率分别为h,ki,4/3 4产3所以勺+&=f-，勺葭=-,显然 yi=(-2-t2)k,”=(-2-户)依,/-4 *r -4则|A3|=|x-对=(r +2)/-&|，而上-&|=k、+k2y 芯=?3c 所以（r +2）蒙+#=0 即11/_58+56=0，解得户=4 或*=*舍去.）,所以点M 的坐标为（4,4）.【点睛】方法点睛：联立直线/与椭圆C 的方程组，消元后的一元二次方程判别式为：（口 0。直线/与椭圆C 相交；（2）A=0 o 直线/与椭圆C 相切；（3）A 0）上一点，A,8
7、 是抛物线C 上异于尸的两点，且直线P 4,总的倾斜角互补，若直线抬的斜率为刈左 1）.（I）证明：直线AB的斜率为定值；（H）求焦点/到直线AB的距离d（用 k 表示）；（HI）在 AAB尸中，记=ZFBA=p,求 sina-sin/7的最大值.【答案】（I）证明见解析:寡；（山）平【分析】(I )设 以：-2 =4(-2)(女 1),与抛物线联立可解出A点坐标，用T I 代人可得5点坐标，用斜率公式可计算斜率的取值；(I I)用两点式表示直线AB的方程，计算焦点到直线的距离即可；(I I I)=利用抛物线的定义将I E 4 M E B I 转化为+；、4+g,韦达定理代入计算，结合不等式可
8、求出最大值.【详解】(I )将点P(2,2)代入抛物线方程可得：p=,抛物线C:y 2=2 x设弘:)，一2 =左一2)(&1),与抛物线方程联立可得：,2c A A.4 4k 2 2kky2-2y+4-4k 0,.yAyP=yA=k k用 此 代人可得：%=-然Kk _ 2 厂 1因此，AB xA-xB yA yB2 yA+yB 22 2即 如=.1 2-2k 2(1 +Z)-2+2k(H)由(1 )可知，kAB=,A,B K Z K K K K/72-2k 1(2(l-&)2 1 2-2k2 n因此-=-x-v 2 7 n x +2 y-=0K Z.K K/l _ 2-2 尸二，o 到 直
9、 线 的 距 离 12 k2 5 -4 .2 )d =-7=-=-j=V 5 2 封(1 1 1)s i nc r-s i n/?=-=t/-F A F B 以|F B).J _ _ _ _ _1 J F B-F A*F A F B F A-F BXB-XA _ 4一432%3254424公+16s in a-sin 夕=次二 42麻232K _ 16(5-一4快25/-2 4公+16-善 2 5/-2 4公+1616F5 k-25k-4+各飞16 5k-225 k-I+16k4令，=5Z,由得，1k,o 16 t 16 1 ,16 1 2百 sin ct sin p 产,-=-产-77r 产
10、=-亚厂+16 y/5 r+竺加 2716 5当月.仅当1=4=5k一=4=/=2+2后时取等号.k5【点 睛】思路点睛：直线与抛物线的问题，常采用直线和抛物线联立.若已知一点坐标，设而要求求出另一点坐标；若没有点坐标，则设而不求，韦达定理表示出两点坐标之间的关系代入等式计算.4.(浙江省数海漫游2021届高三下学期第二次模拟考试数学试题)如图，A点在,轴正半轴上，抛物线V=x上有三个不同的点3,C,D,使得四边形A8C。是菱形，C 点在第四象限.(1)若 8 点与坐标原点重合，求菱形A8CO的面积;(2)求|网的最小值.答 案(1)6 6；(2)(石+1)曲+.2【分析】(1)设出点A的坐标
11、，由抛物线对称性及菱形可得C,力坐标，再由|A 8|=|8 C|求解即得:(2)设出点8,。的坐标，由此表示出A,C的坐标，借助A C J _ B D探求关系，构造函数求解即得.【详解】(1)设点A(0,2a),因四边形A 8 C。是菱形且8点与坐标原点，则CCx轴且|C D|=2 a,由抛物线对称性知C(“2,-a),D(a2,a),由得2 =/s2+t2=(s+t)(s2+t2)令 5?+产=机2,I|l j 5 +Z =-而(S +。2 J l+0.I T T-1 Y v|OA|=s +，+&2+产=+/H=J,令 f(m)=m。+n，(优 Jl +忘),m 1 m-I m-1w、(3/
12、T?2+l)(/n2-1)2m(m+tn)in1 -4 m2 1 nr-2-节)(府2 +逐)j(tn)=-z-z-=-z-z=-z-z-,(T?22-1)2(祇 -1)(加 T)f tn)=0=m =2+小，J1 +&m 也 +&f m)也 +&/(m)0 ,所以f(在(Jl +a,也+6)上单调递减,在(也+底”)上单调递增,m =V 2 +/5 时，机）取最小值,（=（3 +8J 2+君=（逐+网 2 +正=（+1），2 +4一 7 5+1 -2（4+1）2【点睛】关键点睛：涉及平面解析几何最值问题，合理选取变量，构造函数，转化在函数最值是解题的关键.5.（浙江省绍兴市上虞区2 0 2
13、1 届高三下学期第二次教学质量检测数学试题）已知椭圆C,：。白1（/7 0）的 离 心 率 为 生 长轴长为26，抛物线G：x2=2py（p 0）,点户是椭圆G 上的动点，点。是抛物线C 2 准线上的动点.（I）求椭圆G 的方程；（H）已知。户，。（。为坐标原点），且点。到直线PQ的距离为常数，求。的值.2【答案】（I）y +y2=l：（1 1）P=瓜.【分析】（I ）根据离心率、长轴求a,4 C,即可求出椭圆方程；（H）设P（A X）,。（占,%），直线斜率存在时设直线02为丁=，联立方程，表示出|O P 、OQ2,代入计算即可求解，斜率不存在时，代入验证即可.【详解】（I ）;长轴长为26
14、，=G:e=&,;.c=yli b=La 3.椭圆G 的方程为1+）产=1.（II）设P（AX）,Q（x2,y2）,O P Q 斜边尸。上的高为6,-,-OPVOQ,：O PW Q=hPQ,1 =|。+|。|2 1 1,/一|OP|2|0Q|2 1 o p f|O Q，1 1.点0 到直线PQ的距离为常数，由题意研+函为常数.当OP的斜率存在时，由题意得O P的斜率不为0设直线。尸为=依，则直线OQ为y=-，x.ky=kx由（f 2 +V-=1I 3-得/+3%2%2=3,.x：=备，.|。呼=（1 +巧高由.=_ 1 得一 勺 一 上”吟，y211 +3k2 4 _/0 +3 力）+2 3p
15、2,2+2+p2OPf+OQf 3（1+it2）+（1+A;2）p2-3（l+.2）p2-3k2p2+3p23p2=12+p2,:p=疵.当O P的斜率不存在时，p（0）,。，-9，P=#符合点0 到直线PQ的距离为常数，,p=#.【点睛】关键点点睛：根据直线方程联立椭圆方程，求出网芭,乂），。（,力）坐标，代入1 1商+鬲计算即可求解，属于中档题.6.（浙江省绍兴市竦州市2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试题）已知抛物线C：/=4 y,过点P（T2）的直线/交抛物线C于4 B两点，交.V轴于点M（0/）0）,分别过点43作直线=7的垂线，垂足分别为C,D,如图.（1）若 O C L
16、O D（。为坐标原点），求，的值；（2）过M作直线A 3的垂线交8 于点N.记ACO,A8/）0,AA 8N的面积分别为S、$.若2（E+S2）=3 S，求直线/的方程.【答案】4；（2）y=-x+l.【分析】（1）设直线A B为丫 =辰+，设4（不,）,2（2，丫 2），则。（内,-。,（七,），然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消 去 再 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得“+*二 ，而由X,X2=-4 ZO C18 可得O C O D =xix2+r=t2-At=0,从而可求出t的值；（2）由（1）可得|AB|=4 庐 万 护 1 7,直线M N:y =-J x+f,从而可求出N
17、（2 W,T）,再利用点到直线的距离公式求出点N（2 h,T）到直线A B的距离，从而可表示出AABN的面积，再结合图形表示出2 氏+$2）,再由2（+5 2）=3$3 列方程可求出直线的斜率，进而可求出直线/的方程【详解】（1）设直线 AB 为 y =+r,设 4（士,弘）,8（,必），则 C（X”T）,D（N，T）,由，y=kx+tx2=4y得 f -4kx-4f=0,因为所 以 历 而=%+/=/-今=0 =f=（）（舍）或 4.=4.x+x2=4k(2)由(1)_(*).A 8 1=J l +二|百一占|=4加 +1收+,.,一引=4 2 +/M N:y=-x+t,令 y=T=XN=2
18、kt N(2kt,T)kAB:kx-y+t=O.d z=2；+:.S j,=ABdN+l k2+t.由几何关系知.2(S1+Sj =(x+f)+(%+)&I.不妨设王0.=为 一 芭+1(吃一芭)又：x：=4%=i(%2-xf)+r(x2-x1)=；|再-司 k i+引 2-石 占 卜 也-9|将(*)代入=4 2 +r(4 X +2。.-2(S,+S2)=3 S3由：n44z +f(4 A?+2 f)=(r +1)4，乂 Q A B 过点(一 1,2);.2=k+t=t=k+2.代入.4k2+2t=3t(k2+1)=3+2公+%+2=0 n/+l）（3公-2+2）=0仅有一个解&=T./:y
19、 =-x+l.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考要点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，解题的关键是结合先求出AABN的面积，再结合图形表示出2（S1+S2）,再由2（5 +S?）=3 s 3 列方程可求出直线的斜率，属于中档题7.（浙江省普通高中强基联盟协作体2 0 2 1 届高三下学期统测数学试题）已知尸（0,1）且满足|尸耳=x+l 的动点P（x,y）的轨迹为C.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）如图，过点7（-1,0）的斜率大于零的直线与曲线C交于。，M 两点，直线。交曲线C于另外一点N,证明直线MN过定点.【答案】（1）K=4X;（2）证明见解析.【分析】（1）利
20、用等量关系将动点坐标代入化简得曲线C的轨迹方程；（2）设各交点坐标,利 用 点 差 法 表 示，化简整理。M 直线方程，又直线过点7（-1,（）,代入可得坐标等量关系，同 理 由 直 线 的 方 程，点。在直线上可得等量关系，两式结合消元，可得加当关系式，乂同理得MN方程，再 将 关 系 式 代 入 方 程，可得定点.【详解】（I ）解：；=x+l ,xNT 且+/=.+i .等式两边平方整理得V=4 x.（2）证明：设N（x2,y2）,。（后,%）.由，t =4；两式相减得M=衣;4所 以 直 线M的 方 程 为y-y 整理得（y1+%）y=4 x+y%（*）因为点T在直线上，所 以y%=4
21、,同理直线DN的方程为（%+%）y=4x+%，因 为,在 宜 线 上，所以一(%+%)=4+%展 由 两 式 得-力4)+y j4=4+%，整 理 得y%=-4(y+%)-4.X由（*）式同理知直线MV的方程为（%+%）丫 =4%+乂，所 以(+为)y=4x+X%=4x 4(x+必)-4,整理得宜线M N的方程为（x+%）（y+4）=4（x 1）,所 以 直 线MN过 定 点（L T）.【点 睛】解决圆锥曲线中定点问题的常规思路：利用已知条件求解直线或曲线的含参方程，论证不受参数影响，直线或曲线恒过定点，一般把直线或曲线方程中的变量当作常数看待,把参数当作未知数，把参数变形在一起，看作一个整体
22、，令 其 系 数 为0,则可得定点.8.（浙江省金丽衢十二校校21届高三下学期第二次联考数学试题）如图,设P（0,t）,teR,已知点尸是抛物线V=2px（p 0）的焦点,直线P F与抛物线交于A,5两点（AF 尸，ABE尸和“质?的面积分别为S-邑，S,求 泞 的 最 大 值.【答案】(I )P =2；(I I ).1 6【分析】2 x2(I)山题得直线AB方程 为 三+4=1,与抛物线联立方程，消x得4 +3-1=。，P 2 /2 p 2yJ2根 据 标=;砺，进一步求出答案；(1 1 )设直线 A B 方程为 y =T(x 1),联立=消 x 得“2+4 y-4 f=0,求y _ =4
23、x出弦长|他|，点C到直线AB的距离，一步求出s,-5 2和S化简求出答案.【详解】(I )设A(x，yJ,网天,力)由题可知P(0,2码,尸9。)，所以直线A8方程为 票+壶=1.|)_ 2联 立 下 2 7 2 ,消X得 与+；-1 =0,2 0 P 2 V2y=2px由韦达定理得y+%=-泰 ,-P2.：A F =BF,：.y2=-2yi,由解得p=2.（ID 设 C&,%）,P（O,f）,由（I）知 P（1,O）.则直线A8方程为y=T（x-l）联立消x得（/+4 y-4/=0,V=4x由韦达定理得x+必=-；,yty2=-4-弦长|A3|=4 0：/）.设直线PC方程为丫 =妙+，联
24、立y=kx+t,三y-X，消i0,由直线PC与抛物线相切得A=16 16公=0,即k=1.4 产+/|由韦达定理得2%=%=4/,C（,2r）.点C到直线4 8的距离为1=，音由直线AC方程为（乂 +%）y=4x+%为，得/=-节1-同理可得/=-竽SS?=叩讣；|网.闻=9（4+%）（4+%）丫 跖|=1 +。221 1 k ls、s iS2=4t2 _ 1r2+l）2=41 b 11+1 1 2 1 6,等号成立当且仅当t=l.【点睛】本题涉及到直线方程第一问中可以使用截距式方程，以及直线与抛物线相切利用判别式为零求解,在基本不等式中一定要探讨等号成立时的情况.29.（浙江省宁波市2 0
25、2 1 届高三二模数学试题）已知椭圆C:+y 2 =l W l）的左右焦tn点分别为4，&过右焦点区作直线/交椭圆C于 A&，x）,网孙必），其中M 。，必 G.（1）若 G 1 坐标为图 3）,求椭圆C的方程；4 5 5（2）设AB耳 和 A B G）的面积为凡和邑，求实数机的取值范围.J J?D【答案】（1）1/+/=1；（2）I m 4 矩.44【分析】（1）根据重心的定义，求出点A的坐标，再代入椭圆方程得出?，进而得出椭圆C的方程；（2）结合图象，将三角形面积进行拆分，然后利用面积关系即可得出实数加的取值范围.【详解】（1）连 接 由 重 心 的 性 质 可 知 次=3函设 A（x,y
26、）,贝 i j（x,y）=3（m 即故 上+，=1,疗=。3 6；V 2）次 4 3椭圆。的方程为:/+丁=1.4(2)设耳(-c,0),F2=(C,0),则=H+1=-4 c y 2+；c X+J c(y|-y 2)=(y-2%)，Zoo JS2 =S ABO=；C(N 1 一%),则?=山心引得 入,2,41，5,yt-y2|_ 3 3J 必 L 2 l-.x=t y+c,联立椭圆方程C:=+丁=1,得(*+/)/+23 7=0,由韦达定理得x+%=-7，跖=7-:r+m-r+/Z 2则 入+&=S _ 2 =-二-2 二y2 yt r+m L 20 C-,(8-9)/4病 对/恒成立t2
27、+m2 2 故 8 w 940，1 w i -2=0,H升+2%-2 =0,当Mm得（4+2 4卜2 -4与x+4 0-y；）=0,4 x 0 4（1-y：）-x：+2y：卬x；+2y；放 丽=（占+1,%）（+1,%）=（芭 +1）（+1）+乂 为C（1 H-4-J or J X,X9-+I1X。（百 +元2）+l +片+4叫4（：）J 2y：_*4%y：+l4巾 J 片+2y：1 2尤 氏+2y；y：（1 一洲（x：+坛）+2x（2尤一%）+（y；+1）（x；+2y：）y：（X+2 y）2y o（3-%+2x（Jy；（片+2y；）又 y；=2x（,+3,所 以 而 丽=o；当%=时，直线
28、A B 方程为 x =-g,4（-g g）8 1-g，-g），瓦丽十六Wk,反，出综上，AFVFB.【点睛】要证明两条直线垂直，可利用向量计算两条直线的方向向量的数量积为零，由此来证得两条直线垂直.1 1.（浙江省杭州市高三下学期4月二模数学试题）如图，已知抛物线C,:x2=y 在点A处的切线/与椭圆C?：+V=1 相交，过点A作/的垂线交抛物线G于另一点8,直线OB（。为直角坐标原点）与/相交于点。，记 A Q,y J、8（七,）,且%0.（1）求玉-与的最小值;D O（2）求 需 的取值范围./J o【答案】（1）2；（2）（0,尚）.【分析】（1）利用导数求出抛物线G在点A处的切线方程，
29、将切线方程与椭圆方程联立，由A 0求出x；的取值范围，求出直线A B的方程，并将直线A 3的方程与抛物线a的方程联立,由韦达定理得出玉+W =-4,再利用基本不等式可求得占一%的最小值；（2）记点。、B到直线/的距离分别为4、d2,求出4、d2,可得 出 照 =3,结合DB d2x；的取值范围可求 得 犒 的取值范围.【详解】（1）对函数了=/求导得y =2 x,所以抛物线C 1在点A处的切线方程为y-yi=2百（1%），即 y=2xlx-xl2,y=2xx-x联 立*2 ,得（1 +8办2 8小+2父一2 =0,万+-1所以 =64#-4（1+8x；）（2x：2）0,解得0 片 4+后，12
30、 1所以直线AB的方程为 =-丁 +年+不，2x 212 1V =-X 4-X.H 1联立 2芭 2,得2X|X+%-2%一玉=0,所以玉+工2=一 丁，r2 _ v2 XV-y=2,当且仅当 时取等号,所以占-吃的最小值为2；（2）记点。、8 到直线/的距离分别为4、4,2所以4=篇?&*4 二 4一所以|网d2（1 +4引 24因为0片 4+717,所以A+4AV,x用=/0二 D。所以|。川f 丫 （*人 所 以,的取值范围为0,百.y+4 UD I 1 /y【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.（2
31、）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围.（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围.（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.1 2.（浙江省嘉兴市平湖市高三下学期4月模拟测试数学试题）已知直线/:y=H+m（女0）与 椭 圆G：；+V =l交 于A,8两 点，且 线 段A 3的中点户恰好在抛物 线G:9 =-上 上（2）若过点尸的直线/与抛物线C?的另一交点为Q,且/J J，求AQAB面积的取值范围.【答 案】（1）k=-2；（2【分析】（1）由焦点坐标，利用待定系数法求出k的值;（2）设直线/：=履+，
32、利用“设而不求法”表 示 出 点P和弦长|阴，再 求 出 点Q,点。到直线/的 距 离，建立面积的衣达式，利用函数求值域.【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为（专，。），所以抛物线方程为丁=j，所 以-=上，l o ok l o所 以&=2 .（2）设8伍,力），尸&，%），由，X2 2 =2m4+）一（4A:2+l）x2+S knvc+4m2-4=0,y=kx-m所以A =（8 t o n）2-4（4 公 +川4 加2-4）=1 6（4*2+1-叫 0-8km=心4/一 4因为线段M的中点P,所以干岩二尚所以X)=代)+m =kx-Akmm-+2 =-4+1 4k 2+1又因为点尸在抛物线一
33、 本 上 所以所以2 帆=4二+1,所以|A 8|_ Ji7 F/6(4：+l-、点尸-4km tn4+1 4 +1,乂 2 机=4公+1,所以尸12 k,g),又IU,所以/:丫 =-幺、+2%）+.,K N由，y2y=1-X1“1得V /丫一白:。，所以必=一（_l（x+2 j t）+l 8 1 6 2 8k 23 3 1 1当,=_ 卫 时，-晶=_%（+2 4）+”o o K 乙所以x=-羡k,所以。9138 o o88点到直线/的距离=9八 3!c+-+m8 83+公所以三角_ 加郎*百席耍*9.2 3一 人+一 十 机8 8J1 +11=x2卷|2 m +3|x 2tn-nr7(2
34、m+3)yjlm m2 7 J(2m+3)(2-?)32 m 32 V m16(4jt2+l-/n2)0 1由 1,7 所以彳机 0 2令 g=(2 m+3)2(2 )=-4m2-47?+15+m m8g (7)=一&一 4-7 0,trT所以g(?)在上单调递减，所以g(m)e(O,48),所以S=J g 何.【点睛】(1)待定系数法可以求二次曲线的标准方程；(2)“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.13.(浙江省温州市高三下学期3 月适应性测试数学试题)如图,过点F(l,0)和点(4,0)的两条平行线4和 4 分别交抛物线V=4x于 A,B和 C
35、,。(其中A,C在 x 轴的上方)，AO交 x 轴于点G.(1)求证：点C、点。的纵坐标乘积为定值;S,1（2）分别记A B G 和 C QG 的面积为5和 S?,当 寸=1时，求直线AO的方程.【答案】（I）证明见解析；（2）2x+y-4=0.【分析】（1）设直线CD：X=M3，+4,联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；x=my+1 S.1.；,求得y +%，,%，根据”=彳，化简整理得以=-2,，y-=4x S2 4分别联立=-必=-L,%=和 X+必=%+M，求得乂，丫 4 的值，结合直线的M%y 1点斜式方程，即可求解.【详解】设 4（占，y）,8（X2,%）,C 0 3,%），
36、D（X4,%）,设直线 A 8:x=my+1,CD:x=my+4 ,由，；，可得 V-4根 y-1 6 =0,所 以%+%=4 m,%北=-1 6 ,y-=4x所以点C、。的纵坐标乘积为定值-1 6.（2）由（1）直线A 8:x=/n y +l,I x=/n y +l .联立方程组,彳，可得/-4冲-4 =0,所以芦+必=4 见*必=-4,y=4 x可得5:夕 （加|+冈）y .（y +%）即*（必一）_ 1$2 如 0（冈 +瓦|）4 f Gf）4，因为y%=-4 且%=-1 6 代入上式，整理得以=-2 y,4 1 6 8又由=一一,乂=,联乂可得力=一，y%又因为y+%=%+”，代入可得弘二二尢二-4,又由#=4占,W=4 x”，代入可 得%=1,匕=4,即A(1,2),O(4,T),所以心=一2,可得直线4)的方程为y 2=2(x 7),即2x+y-4 =0.【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程,应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力.