2023年经济数学基础函数.pdf

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1、第一章极限和连续第 一 节 函 数教学目的：1.理解集合、区间、邻域等基本概念,掌握集合的运算及构造法2.理解函数的概念；明确函数定义有两个要素;依赖关系、定义域;掌握函数表达式的运用3.了解函数的基本性质；知道鉴定诸性质的思绪4.掌握将复合函数由外及里分解为简朴函数的方法教学重点：函数的概念及其性质；理解集合、邻域的概念教学难点：复合函数的复合过程；函数的性质教学课时：4 学时教学方法：归纳法、讲授法教学过程：1.1.1 相关知识回顾、复习（一）集合1.集合:具有某种性质的事物的全体元素:组成集合的事物。a 是集合M 的元素表达为awM.子集:若x e A,则必有x eB,则称A是8 的子集

2、，记为Au3（读作A 包含于8）或 BoA.真子集:若AuB且A*氏 则称A是B的真子集，记作A宗N.例如，N&Z Q R .集合相等:假如集合A与集合B 互为子集，A uB且B uA,则称集合A 与集合B 相等，记作A=B.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作0.2.集合的运算并集:设/、8 是两个集合，由所有属于A 或者属于6 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集(简称并)，记作ADB,即Au B=x I xeA 或 x&B.交集:设A、8 是两个集合，由所有既属于/又属于8 的元素组成的集合称为A 与8 的交集(简称交)，记作A c 6,即AcB=x|xeA 且 xeB.几个数集：N

3、 表达自然数集；R 表达实数集；Z 表达整数集.Q表达有理数集.选择性补充内容：差集:设A、3 是两个集合，由所有属于4 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B的差集(简称差)，记作/正，即A B-xx&A 且 xeB.余集或补集:假如我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，所研究的其他集合A 都是/的子集.此时，我们称集合/为全集或基本集.称I A 为A 的余集或补集，记作AG集合运算的法则：设力、8、C 为任意三个集合，则(1)互换律 AuB=8uA,Ace=3cA；(2)结 合 律(A u 5)u C=/u(6uC),(XnB)nC=An(Bc。；(3)分派律(AuB)c C=(A

4、nC)o(BnO,(AnB)uC=(AoC)cgo(4)对 偶 律(AD6)=AC nBc,(XnB)c=XcuBc.(AJB)C-A c 6。的证明：xe(AuB)CoxeADBx史 A 且 x任 BoxwA,且尤eB。xEAC C3，所 以(A u 3)c=AcrBc.直积(笛卡儿乘积)：设A、8是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素*,在集合B中任意取一个元素儿 组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为A x a即y 4 x J?=(x,y)|x w 月且 y e B .例如，R x R=(x,y)|尤e R且y e R 即为

5、xOy面上全体点的集合,RxR常记作R2.3.区间和邻域有限区间：设a 仇称数集 x a x。为开区间，记为(a,b),即(a,h)=xaxb.类似地有a,b =x|a 4 x 4 b称为闭区间，a,6)=x ax (a,h =x l a V x W b 称为半开区间.其中a和8称为区间(a,份、a ,切、a,5)、(a,b 的端点，。-a称为区间的长度.无限区间：a,+o o)=x|ax,(-o o,b=x|x /?,(-o o,+o o)=A T 1 1 x|+o o.邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a).设d是一正数，则称开区间(a-万为点a的渝域，记作U(a,d)

6、,即U(a,d)=x|a-d x a+d)=x|x-a d.其中点。称为邻域的中心，3称为邻域的半径.去心邻域U (a,8)z U a,5)=x|0|x-a|30.分段函数:把定义域提成若干部分，函数关系由不同的式子分段表达的函数称为分段函数.绝对值函数：y=|x|=0,-x,x 00 x =0-1 x 0,_ _ _y =f(x)2,x =0 求：3),/(0),/(-5)及 3 x,x 0/定义域。s i n x,-4 x 1,例4设函数/(x)=l,l Kx 3.定义域.解 由于一万 e-4,l),所以/(-%)=s i n(r r)=0；由于1G1,3),所以/=1;由于 3.5 e

7、3,+oo)，所以/(3.5)=5 x (3.5)1 =1 6.5；函数f(x)的定义域为-4,+8).例5用分段函数表达函数丁=3-|2-幻，并画出图形.解 根据绝对值定义可知，当X W 2时，|2-x|=2-x；当x2时,|2-x|=x-2.于是有 V1 4x 2,3,“5-x,x 2.单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个xw D,相应的函数值y 总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.假如给定一个相应法则，按这个法则，对每个x e D,总有拟定的y 值与之相应，但这个y 不总是唯一的，我们称这种法则拟定了一个多值函数.例如，设变量x 和 y 之间的相应法则由方程x2+y2=r2给出.

8、显然，对每个 xe-r,r ,由方程x2+y 2=r2,可拟定出相应的y 值，当x=r或 x=-1 时，相应y=0 一个值；当x 取(-r,r)内任一个值时，相应的y 有两个值.所以这方程拟定了一个多值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，在由方程x2+y2=r2给出的相应法则中，附加“y20”的条件，即以“x 2+y2=r 2 且 注 0”作为相应法则，就可得到一个单值分支产2 T 2；附加“y e”的条件，即以“x 2+y2=r 2且 y40”作 为 相 应 法 则，就 可 得 到 另 一 个 单 值 分 支y=y

9、2(x)=-ylr2-x2.1.1.2 函数的几种特性1 .函数的有界性定义1.2 设函数y=/(x)在集合。上有定义，假如存在一个正数 对 于 所 有 的 x e。，恒有|/(幻区 则 称 函 数/(幻在。上是有界的.假如不存在这样的正数M,则称/(幻在。上是无界的.若VxeD 于(x)WM,则称/(x)在x e O 内有上界，M称为上界若VxeD 则称/(x)在x e。内有下界,m称为上界若函数y=/(x)即有上界又有下界，则称/(x)在x e。内有界说明：1.几何意义是：曲线y=/(x)在区间3勿内被限制在y=M 和y=-M 两条直线之间.2.若函数有界,M取值不唯一,3.有 界 性 是

10、 依 赖 于 某 一 个 取 值 区 间.的。-2.函数的奇偶性定义1.3 设函数y=/(x)在集合。上有定义,假如对任意的x e。，恒有/(-x)=/(x),则称/(x)为偶函数;假如对任意的xe),恒有/(-x)=-/(x),则称/(幻为奇函数.由定义可知，对任意的x e O,必有-x e。，否则，/(-幻没故意义.因此函数具有奇偶性时,其定义域必然是关于原点对称的.偶函数的图象是对称于y 轴的.,华奇 函 数 的 图 象 是 对 称 于 原 点 的.丁,例 6判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=3x4-5x2+7；(2 )f(x)=2x2+sinx;(3)/(x)=：(a)(a 0,a

11、 1).解 由于f(r)=3(-x)4-5(-疗+7=3x4-5x2+7=f(x)所以/(x)=3/5/+7是偶函数.解 由 于f(-x)=2(-x)2+s i n(-x)=2x2-s i n x W f(x),同样可以得到f(-x)*/(“),所以/（x）=2/+s i n x 既非奇函数，也非偶函数.解 由 于=-3 个-优）=-/（幻所以/（X）=g （r /）是奇函数.补充:奇函数+奇函数=奇函数 奇函数.奇函数=偶函数偶函数+偶函数=偶函数 偶函数.偶函数=偶函数奇函数+偶函数=非奇非偶函数奇函数.偶函数=奇函数3.函数的单调性定 义 1.4 设函数y =/（x）在区间3 加内有定义

12、，假如对于（a,份内的任意两点再和，当为 /时,有/（与）/（%2），则称函数/（x）在（a,价内是单调增长的；假如对于（a,与内的任意两点花和马,当王 时，有/（王）/（），则称函数/（x）在（。力）内是单调减少的.单调增长函数与单调减少函数统称为单调函数.单调增长的函数的图象是沿x轴正向逐渐上升的;单调减少的函数的图象是沿x 轴正向逐渐下降的.例7验证函数y =3 x-2在区间(-8,+8)内是单调增长的.证 在区间(-0 0,+0 0)内任取两点 工2于是/(%)-/(%)=(3石-2)-(3%-2)=3(%-%)0,即/(芭)；第二步互换字母x和例8求y =4x-l的反函数.解 由y

13、=4x 1得 至1 尤=四，然后互换x和y,得了 =山.即y =山 是y =4x l的反函数.4函数v =/(x)与其反函数y =(x)的图形关于直线y =x对称.1.1.4 基本初等函数1.常数函数y =c(2)当a 0时，图象但是原点，但仍通过 点(1,1),在(0,+8)内单调减少、无界，曲线以x3.指数函数 y =(a 0,a H l)它的定义域是(-8,+8),它的图象所有在X轴上方，且通过点(0,1).当。1时，函数单调增长且无界,轴负半轴为渐近线；曲线以当0。1时，函数单调减少且无界，X以轴正半轴为渐近线,4.对数函数y =l o g“x(a 0,a w l)(指数函数的反函数)

14、yty =x它的定义域是(0,+8),图象所有在y轴右方，1/值域是(-叫+8).无论。取何值，曲线都通过点(1,0).当。1时，函数单调增长且无界，曲线以y轴负半轴为渐近线;当01时，函数单调减少且无界，曲线以y轴正半轴为渐近线.ra对数函数y =l o g x和指数函数y =优互为,反函数，它们的图象关于y =x对称./以无理数e =2.7 1 8 2 8 1 8为底的对数函数y =l o g e x叫做自然对函数，简记作y =l n x补 充:=N T b=l o g“N l o g(b=l o g“M =blog Nl o g a/=l o g M T o g“Nl o g (M -N

15、)=l o g,M+l o g,N5.三角函数三角函数的自变量x采用弧度制，不弧度=1 8 0 P正弦函数函数y =s i n x的定义域为(-8,+8),值域-I，奇函数，认 为-3y2 1周期，有界.ycosx余弦函数,函数y =c o s x 的定义域为(-8,+8),值域为，-1,1 偶函数，认为2 周期，有界.正切函数函数y =t a n x 的定义域为T Tx 手 k/r (=0,1,2 )，2值域为(-8,+8),奇函数，认为万周期，在每一个连续区间内单调增长，以直线x =b r +左=0,1,2,.)为渐近线.2余切函数函数y =c o t x 的定义域为x#版 (%=0,1,

16、2)，值域为(-8,+8),奇函数，认为周期,在每一个连续区间内单调减少，以直线 x =k兀(k=0,1,2,.-)为渐近线.正割函数：y =s e c x =c o s x余割函数：y =c s c x =一s i n x6.反三角函数反正弦函数y =a r c s i n x,定义域是-1,1 ,值域-工，生，是单调增长的奇函2 2数,有界.反余弦函数y =a r c c o s i r,定 义 域 是 值 域 0,扪，是单调减少函数，有界.反正切函数y=a r c t a n x,定义域是(-8,+o o),值域(gg,是单调增长的奇函数，有界.反余切函数j =a r c c o t x

17、,定义域是(-8,土 ),值域(0,万)，是单调减少的函数,有界.1.1.5 复合函数与初等函数1 .复合函数定义1.7 设y是”的函数y =/(“)，是x的函数 =(x).假如 =(px的值域或其部分包含在y =/()的定义域中，则y通过中间变量构成x的函数，称为x的复合函数，记作其中，x是自变量，称作中间变量.说明：(1)不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，例如y =l n 和 =x J p T I就不能构成复合函数，由于=x J；d +l的值域是“0,y=0,x=0,1,x 0,都不是初等函数.练习：P45作业：P456、7(1、3、5),8,1 0(3)3、4(2、4、6),5(2、4、6、8)7(2、4、6),9，10(1、2)课后反思: