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1、第1章 函数1.1 函数概念1.1.1 函数的定义同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变只是从未知到已知例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量这些量叫做常量常量只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的如圆的面积与半径的关系：S =r 2考虑半径r可以变化的过程面积和半径叫做变量变量可取不同值的量变域变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，也许有几个变量比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质函数就是变量之间拟定的相应关系比如股
2、市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的相应关系又如银行中的利率表存期半年一年二年三年五年年利率(%)5.407.477.928.289.00它反映的是存款存期与存款利率之间的相应关系这几个例子反映的都是两个变量之间的拟定的相应关系函数的定义是：定义1.1 设x, y是两个变量，x的变域为D，假如存在一个相应规则f，使得对D内的每一个值x都有唯一的y值与x相应，则这个相应规则f 称为定义在集合D上的一个函数，并将由相应规则f 所拟定的x与y之间的相应关系，记为：，称x为自变量，y为因变量或函数值，D为定义域集合称为函数的值域我们要研究的是如何发现和拟定变量之间的相应关系例1求函数的定义域 解：
3、，求函数的定义域就是使表达式故意义的由对数函数的性质得到，即由分式的性质得到，即，即 综合起来得出所求函数的定义域为例2设国际航空信件的邮资与重量的关系是求解：用3替代，由第一个关系式表达，得到，同样可以得到用20替代，由第二个关系式表达，得到1.1.2 有关函数的几点解释1.函数的表达法如何表达函数关系是需要我们不断研究和发现的常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表达，叫做解析法；一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做图示法；尚有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法一般经常使用的就是这三种方法2.函数的记号在考虑一个问题的过程中，f 表达一个拟定的相
4、应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f 自始至终表达同样的相应关系比如，它反映的就是这样一种相应关系：，等式左端的函数括号中带入一个量，表达要对其进行等式右端的运算如：，又如：无论左端带入什么，都对它进行同样的运算.1.1.3 函数的基本性质下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性当一个变量增长时另一个变量也跟着增长， 这样的函数就叫做单调增长的函数从图形上看这条曲线，曲线上的点x在增长的时候，它所相应的纵坐标y也在增长，这样的函数是单调增长的 单调减少是相反的，随着x的增长相相应的y在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样假
5、如函数当x在增长的时候，它所相应的y不是增长，也不是减少，这样的函数就不具有单调性例1 判断函数f(x)x2当x 0时的单调性 分析：可以运用单调性的定义，证明对任意的x1 x2，有f(x1) f(x2)解：当x 0时，对任意的x2 0，有（当x1 x2 0时，在不等式x1 x2两端同乘以x1或x2，显然有，由不等式的传递性就得到）由定义可知f(x)x2当x 0时是单调增长的一个函数的图形假如关于y轴对称，这样的函数就称为偶函数从图形上来分析，曲线上任一点关于y轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数从解析式上看，假如有f(x)f(x)，f(x)就叫做偶函数一个函数的图形假如关于
6、原点对称，这样的函数就称为奇函数曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数从解析式上看，假如有f(x)f(x)，f(x)就叫做奇函数例2 判断下列函数的奇偶性： （1）yx31（2）yxcos x解：（1）取 x1，1，f (1)0，f (1)2，显然f (1) f (1)，由此可知yx31 不是奇函数又显然f (1) f (1)，由此可知yx31 不是偶函数（2）由于yx是奇函数， ycosx 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数所以yxsin x 是奇函数假如自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论如何变化，都有M f
7、(x) M，这条曲线所反映的函数就是有界函数假如存在一个正数T，对任意的自变量x，有f(x + T )f(x)，这样的函数就叫做周期函数 从图形上反映，这个函数在相隔为T的任意两点上函数值都是同样的也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的1.2 几类基本初等函数我们在中学的学习中已经结识了一些函数， 这些函数是非常基本的，有这样几类：1. 常数函数：y = c这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线2. 幂函数：y = x，(R )以x为底，指数是一个常数当 = 1时就是y = x，它的图形是过原点
8、且平分一、三象限的直线；当=2时就是y = x2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当=3时就是y = x3，它的图形是过原点的立方曲线3. 指数函数：y = ax，( a 0，a1)底数是常数，指数是变量例如y = ex，y = 2 x，y = () x 所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a1时，函数单调增长，当a0，a1)以a为底的x的对数例如 y = lnx，y = log 2x，y =所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a1时，函数单调增长；当a 0 赚钱（2） L(q) 0 亏损（3） L(q) = 0 盈亏平衡满足L(q) = 0的q0称为盈亏平衡点（又称保本点）在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析： qOC = c0 + cq，R = pq它们的图形是两条直线的交点表达收入与成本相等，q0就是盈亏平衡点假如两条直线出现了下面这种情况 qO qO此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点为了找到盈亏平衡点，我们可以采用两种手段，一种是提高价格；另一种是减少变动成本c1这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点. qO从几何上看，增长直线R的斜率或减小直线C的斜率都可以使两条直线重新相交从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用例2某商品的成本函数与收入函数分别为：，求该商品的盈亏平衡点解： ，