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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析17：概率与统计【考点聚焦】考 点 1：概率的基本概念，古典概率，几何概率；考点2：用列举法计算事件的个数；考点3：三种抽样、统计图表、样本的数据特征分析。【考点小测】1.(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区1 0 0 名年龄为1 7.5 岁 1 8岁的男生体重(k g)，得到频率分布直方图如下：根据上图可得这1 0 0 名学生中体重在(5 6.5,6 4.5)的学生人数是(A)20 (B)3 0 (C)4 0 (D)5 02.(重庆卷)某地区有3 0 0 家商店，其中大型商店有3 0 家，中型商店有7 5 家，小型商店有1 9 5
2、家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为2 0 的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(A)2(B)3 (C)5 (D)1 33 .某次考试，班长算出了全班4 0 人数学成绩的平均分M,如果把M 当成一个同学的成绩与原来的4 0 个分数加在-起，算出这4 1 个分数的平均值为N,那么M：N 为：()A.4 0：4 1 B.4 1：4 0 C.2 D.14 .某地20 0 4 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:若用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形式一定是行业名称计算机机械营销建筑化工应聘人数21 5 8
3、3 020 0 25 01 5 4 6 7 67 4 5 7 06 5 28 0行业名称计算机机械营销建筑化工招聘人数1 24 6 201 0 29 3 58 9 1 1 57 6 5 1 67 0 4 3 6A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于营销行业C.机械行业最紧张 D.营销行业比化工紧张5 .某公司在甲、乙片区分别有若干个俏售点。公司为了调查产品销售情况，用按5%比例分层抽样的方法抽取了甲片区1 5 个销售点，乙片区4 5 个销售点进行调查，则该公司在甲、乙片区的销售点数分别为A.7 5,225 B.1 5 0,4 5 0C.3 0 0,9 0 0 D.6 0 0,6 0 06.
4、如果数据为、初、xn的平均值为，方差为S2,则 3 乃+5、3 冷+5、3 xn+5的平均值和方差分别为()(A)嚏和 S?(B)3 7+5 和 9 s 2(C)3 嚏 +5 和 S2(D)3%+5 和 9 S2+3 0 S+257、如图，-颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为1 1 2 1(A),(B)-。-(D)-8 .某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买1 0 g黄金，售货员先 将 5 g 的祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g 的祛码放入右盘，将另-黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A.大
5、于1 0 g B.小于1 0 gC.大于等于1 0 g D.小于等于1 0 g9 .两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为()A.1 9 B.2 0 C.2 1 D.2 21 0 .(全 国 I D 个社会调查机构就某地居民的月收入调A技 率/ffl近查了 1 0 0 0 0 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直 方 图(如 右 图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这1 0 0 0 0 人中再用分层 抽样方法抽出1 0 0 人作进一步调查，则在 2 5 0 0,3 0 0 0)(元)月收入段应抽出 人.1 1 .
6、(山 东 卷)某学校共有师生2 4 0 0 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为1 6 0 的样本，已知从学生中抽取的人数为1 5 0,那么该 学 校 的 教 师 人 数 是.1 2 .在大小相同的6 个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个 球 至 少 有 一 个 红 球 的 概 率 是。1 3 .某工厂生产某种产品4 8 0 0 件，它们来自甲、乙、丙 3条生产线，为了检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数的比值为 5 ：4：3,则乙生产线生产了 件产品。1 4 .某校为了了解高三年级学生的身体状况，现
7、用分层抽样的方法，从全段6 0 0 名学生中抽取 6 0 名进行体检，如果在抽取的学生中有男生3 6 名，则 在 高 三 年 级 中 共 有 女 生 名.题号1234567891011121314答案CCDBCBDAB2515.0.81600240【典型考例】1.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的 5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的.1 5 解：(1)无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有 1,2 ,1,3 ,1,4 ,1,5 ,2,3 ,2,4 ,2,5 ,3,4 ,3,5 ,4
8、,5 总数为 2 x 1 0 个.3 分两张标签上的数字为相邻整数基本事件为 1,2 ,2,3 ,3,4 ,4,5 总数为2 x 4个.2 分t*.P=y ；.6 分(2)有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有 1,2 ,1,3 ,1,4 ,1,5),2,3 ,2,4 ,2,5 ,3,4 ,3,5 ,4,5 和(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)总数为 2 x 1 0+5=2 5 个P=a.12 分252.(本小题满分1 2 分)将 A、8两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数之和是
9、3的倍数的概率是多少？1?1解(1)共有6 x 6 =3 6 种结果；(2)共 有 12 种结果；(3)2=匕=!.36 33、将 A、B枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(5 分)(2)两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？(5 分(3)两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？(4 分)解：共 有 6 x 6=3 6 种结果.5 分 若 用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,5),(5,4),(3,6),(6,3),(6,6)共 12种.1
10、0分12 I两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P=.14 分36 34 .某高校在进行自主招生面试时，共设3 道试题，每道试题回答正确给10分、否则都不给分。（I）某学生参加面试得分为2 0分的情况有几种？2（I I）若某学生对各道试题回答正确的概率均为*,求他至少得10分的概率。3解：（I ）某学生参加面试得分为2 0的不同情况有C；=3 种（I I ）设该学生的得分为8 ,贝 IJ&=0,10,2 0,3 0P（10）=l-P（=0）=l-（1）3=|y所以他至少得10分的概率为竺275 .同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6 的正方体），两颗骰子向上的点数
11、之和记为（I ）求 4 =5的概率尸（。=5）;（I I）求 J 5的概率 尸 仁 5）.解：（I）掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示：显然，J的取值有11种可能，它们是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.3 分1 点2点3点4点5点6 点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116 点7891011124 I 1.点数和为5出现4次,P（J =5）=w=.答：4 =5的概率是.5 分（H）.点数和为2出现1 次，点数和为3出现2次，点数和为4出现3次，P（&5）=P（J=2）+P（J=3）+P（J=4）1
12、-6=336+236+136一一答：J 2 12 +4 0,得5 8 由题意知=6,7,即共有2张卡片正面数字大于反面数字，故所求的概率为三2 .答:所求的概率为215 15（2）设 取 出 的 是 第 加 号 卡 片 和 九 号 卡 片 贿.加2-12 m+4 0=2-12 +4 0即12（一加），由机W 得加+=12 故符合条件的取法为1,11；2,10；3,9；4,8；5,7.故 所 求 的 概 率 为 之 答：故所求的概率为1-.）2 1 2 18 .（江西卷）某商场举行抽奖促俏活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出 个红球获得二得
13、奖：摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两 次.求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率.（2）方法一:1 n,则甲获胜；若 n 2 m,则乙获胜。你认为这样规定甲、乙获胜的机会相等吗？请说明理由.（15班）解 m3210P(m)_8383828n210P(n)_4_2_4.6 分(2)这样规定甲、乙获胜的机会相等，这是因为甲获胜，则 m n,即：当 m=3 时，n=2,1,0 其 概 率 为(+,)=,；8 4 2 4 8.3 1 1 9当 m=2 时，n=l,0,其概率为 x(2+W)=及；3 1 3当 m=l 时，nR,其概
14、率为一x =；8 4 32；甲获胜的概率为1一9+二+二3=一1 .从而乙获胜的概率也为一1.8 32 32 2 2甲和乙获胜的概率都是工，所以甲、乙获胜的机会相等.13 分212.某办公室有5 位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。(1)若上午某 时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是上I、2 2求这一时段A、4 3 5B、C三位教师中恰有2 位教师使用电脑的概率；(2)若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是工，求这一时段该办公室电脑数无法满足需求的概率。(15班)3解(1)甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C,因为各位教师是否使用电脑是相互独
15、立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2 位使用电脑的概率是：1 2 2 1 2 2 1 2 2 1p=P(ABC)+P(ABC)+P(A B C)=-x-x(l-)+-x(l-)x-+(l-)x-x-=-J J J J J J J.6 分(2)电脑数无法满足需求，即指有4 位以上(包括4 位)教师同时需要使用电脑，记有4 位教师同时需要使用电脑的事件为M,有 5 位教师同时需要使用电脑的事件为N,1 7 1P (M)=C (-)4(-)=(-)5.10 分所以，所求的概率是：P=P (M)+P (N)=C/(-)4(-)+(-)5=o .12 分3 3 3 313 (本题满分14分)车间检验60
16、 只热水瓶，其中48只是一等品，其余是二等品，从中任意取出2 只，求：(1)拿出2 只都是二等品的概率；(2)拿出的2 只，一 只是一等品，一只是二等品的概率；(3)拿出的2 只，不全是二等品的概率。p11 p-1 11 _ 248解(1)=259(2)=砺(3)P (不全是二等品)=1P (全是二等品)=-砺=砺14(辽 宁 卷)甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：(1)甲、乙两班参赛同学中各有1 名同学成绩及格的概率；(2)甲、乙两班参赛同学中至少有1 名同学成绩及格的概率.(15班)解：(1 )甲班参赛同学恰有1
17、名同学成绩及格的概率为0.48乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为0.48故甲、乙两班参赛同学中各有1 名同学成绩几个的概率为P=0.48x0.48=0.2304(I I)解法一：甲、乙两班4 名参赛同学成绩都不及格的概率为0.4*=0.0256,故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为P=1-0.0256=0.974415(全国卷D A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中2 只服用A,另 2 只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用2
18、 1A有效的概率为一，服用B有效的概率为一。(I)求一个试验组为甲类组的概率；(II)观3 2察 3 个试验组，求这3 个试验组中至少有一个甲类组的概率。解：(1)设 Ai表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只，i=0,l,2,Bi表示事件“一个试验组中，服 用 B 有效的小鼠有i 只，i=0,l,2,1 2 4 2 2 4 1 1 1依题意有:P(A,)=2xpj=P(A2)巧 呵=.P(BO)=2 河=不1 1 1 1 4 1 4 1 4 4P(B0=2x=5，所求概率为:P=P(B0-A1)+P(B0-A2)+P(B-A2)=了可+不可+=(H)所求概率为:P=l一(1604
19、72916(山东卷)盒中装着标有数字1,2,3,4 的卡片各2 张，从盒中任意任取3 张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(I)抽出的3 张卡片上最大的数字是4 的概率；(H)抽出的3 张中有2 张卡片上的数字是3 的概念；(111)抽出的3 张卡片上的数字互不相同的概率.(15)解：(D”抽出的3 张卡片上最大的数字是4”的事件记为A,由题意P(A)=Z3(II)“抽出的3 张中有2 张卡片上的数字是3”的事件记为B,则 P(B)=28(III)”抽出的3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为C,“抽出的3 张卡片上有两个数字3相同”的事件记为D,由题意，C 与 D 是对立事件，因 为P(D
20、)=所 以73 4P(C)=l-P(D)=l-=-.7 72 1 11 7.(陕西卷)甲、乙、丙 3 人投篮，投 进 的 概 率 分 别 是 东 点 现 3人各投篮1 次，求：(I )3 人都投进的概率;(H )3 人中恰有2人投进的概率.解：(1)记 甲投进”为事件4,“乙投进”为事件小，丙投进”为事件A 3,2 1 1 2 13 3则 P(A,)=P(A2)=5，P(4)=，二 P(AlA2A3)=P(Ai)P(A2)-P(A3)=叼*=玄,3人都投进的概率为去(1 1)设“3 人中恰有 2 人投进”为事件 R P(8)=P(A 2 A 3)+P(4 A 3)+P(A A 2)=PO-P(
21、Ai)P(A3)+P(Ai)PO-P(A3)+P(AlyP(A2)-PO=(l-|)x|x|+|x(l 1)x|+|x|x(l3、1 9-5)=5 01 9A3人中恰有2人投进的概率为家1 8 (四川卷)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响(I )求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(I I)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保留三位小数)解：记“
22、甲理论考核合格”为事件儿；“乙理论考核合格”为事件4；“丙理论考核合格”为事件&；记4 为 4的对立事件，i =1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件与；Z实验考核合格”为事件B 2；“丙实验考核合格”为事件吗；(I)记”理论考核中至少有两人合格”为事件C,记3为C的对立事件解法 1：P(C)=P(4 A24+4 4+%4 4 +A|4 4)=2(4 4无)+尸(4兄&)+尸(4&4)+2(4 4 4)=0.9 x 0.8 x 0.3 4-0.9 x 0.2 x 0.7 +0.1 x 0.8 x 0.7 +0.9 x 0.8 x 0.7 =0.9 0 2所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0
23、.9 0 2(H)记”三人该课程考核都合格”为事件。P(0 =尸(A 由).(4 .约).(4 a)=尸(A/B)p(A 2-B)p(A 3-B 3)=p(4).p(4)p(4).p(8 2).p(4)p(8 3)=0.9 x 0.8 x 0.8 x 0.8 x 0.7 x 0.9=0.2 5 4 0 1 6 0.2 5 4所 以，这三人该课程考核都合格的概率为0.2 5 41 9.(天 津 卷)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9,乙机床产品的正品率是0.9 5.(I )从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用数字作答)；(1 1)从甲、乙两
24、台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用数字作答).本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。解：(D任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为：(2)=C 2 x O.92x O.l =0.2 4 3.(I I)解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A,“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B o则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为P(A.B)+P(A.B)+P(A.B)=0.9 x 0.9 5 +0.9 x 0.0 5 +0.1 x 0.9 5 =0.9 9 5.解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为：1 P(A.5)=1-0.1 x 0.0 5 =0.9 9 5.