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1、一、选择题:高考真题体验：椭圆专项其中正确式子的序号是(B )A.B.C.D.5.已知以耳(2,0),乙(2,0)为焦点的椭圆与直线x +Gy+4 =0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(O A.3 7 2 B.2 7 6 C.2s D.4 5/22 21.若点。和点尸分别为椭圆二+匕=1 的中心和左焦点，点尸为椭圆上的任意4 36.已知耳，鸟 是椭圆的两个焦点，满足M耳知8=0的点M 总在椭圆内部,一点，则。尸尸P 的最大值为(C)A.2 B.3 C.6 D.82.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是,、1 2 3 4(C)A.B.C.D.一5 5 5 53.
2、已知椭圆C：y +=1(。b 0)的离心率为 1,过右焦点尸且斜率为a-b 2则椭圆离心率的取值范围是(C )A.(0,1)B.f o,-C.0,1 2 I 2 ,过椭圆二+二a2 b2D.当2、7=1 (a 6 0)的左焦点6作 x 轴的垂线交椭圆于点尸,B 为右焦点，若/耳 产 工=6 0,则椭圆的离心率为(B )0)的直线与C 相交于4 3 两点，若 赤=3 初，则k =(B)A.1B.V 2 C.V 3 D.2A.也2B拒3C.21D.-34.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点产变轨进入以月球球心E为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在P 点第
3、二次变轨进入仍以产为个焦点的椭圆轨道I I 绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道山绕月飞行，若用2 G 和2 c 2 分别表示椭轨28.已知 A 3 C 的顶点Ac在 椭 圆+V=i上，顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上，则aABC的周长是A.2gB.6C.4 7 3D.12(C )道 I 和I I 的焦距，用2q 和2 a 2 分别表示椭圆轨道I 和I I 的长轴的长，给出下列式子：+6=。2+。2；-C|=4,-02；。4年2；a a229.椭圆f+4y1 的离心率为(A )A V 3A.-23B.-4C.也TD.231 0.方程2/-5 x +2 =
4、0的两个根可分别作为(A )A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率2 91 1 .已知椭圆一7 +三 口 (/?0 )的左焦点为凡 右顶点为/，点 8 在椭圆a b上，且如工x 轴，直线四交y 轴于点尺若A P =2 P B,则椭圆的离心率是(D )A.-2V 2 1 1B.-C.-D.一2 3 21 2 .设 P 是 椭 圆 会+看=1 上的点.若大、尸2是椭圆的两个焦点，则|P司+|PB|等 于(D)(A)4.(B)5.(C)8.(D)1 0.1 3.设椭圆3 +2 7=1(m 0,0)的右焦点与抛物线2=8 的焦点相m n同，离
5、心率为，2则此椭圆的方程为(B )1.过椭圆土+二=1 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于4 6两点，5 4。为坐标原点，则 0 A 8 的面积为 -32 .已知正方形A B C。，则以4 8 为焦点，且过C,。两点的椭圆的离心率为 V 2 13 .已知长方形A B C。，A B =4,B C =3,则以A,B为焦点,且过C,。两点的椭圆的离心率为.-22 24 .已知椭圆C-.+y=1 的两焦点为A,&点外玉)，y0)满足0+yjQ b 0）的四个顶点，尸为其右焦点，直线A,B2与直线B,F相交于点T ,线段。T 与椭圆的交点”恰为线段。T 的中点，则该椭圆的离心率为.2 7 7-59.
6、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离 心 率 为 二，且 G上一214.已知耳、鸟 是椭圆G丁=1（a h Q）的两个焦点，尸为椭圆Cx v点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为_ _ _ _ _ _ _.+乙=13 6 9310 .在 A B C 中，Z A =9 0 t an B =.若以4 3为焦点的椭圆经过点C,4则该椭圆的离心率e=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.-2711.在 A B C 中，A B =B C ,co s 8 =.若以4 8为焦点的椭圆经过183点C,则该椭圆的离心率e=.-812.已知椭圆中心在原点，一个焦点为尸（一 2百,0）,
7、且长轴长是短轴长的2 倍,上一点，且产石工尸工，若的面积为9,则匕=.315 .已知椭圆二+3 =1（。6 0）的左、右焦点分别为6（一。,0）,居（c,0）.若C T b椭圆上存在 点尸 使 一-=-,则该椭圆的离心率的取值范围为s i n PFlF2 s i n P E E.（/2 1,1）x2 y216 .已知小 工 为 椭 圆 石+方=1的两个焦点，过 1 的直线交椭圆于4 B两点，若 怩 川+同 用=1 2,贝.8三、解答题31.已知，椭圆，经过点/（1,-）.两个焦点为（-1,0）（1,0）.2（I）求椭圆C的方程；（II）E,尸是椭圆C上的两个动点，如果直线力的斜率与 厂的斜率互
8、为相反数,证明直线跖的斜率为定值，并求出这个定值.x y解：（1）由题意，C=l,可设椭圆方程为7 +=L+h2 b2i 9 3因为A在椭圆上，所以?+=1,解得=3,b2=一一（舍去）.l +b2 4 b2 4x v 所以椭圆方程为一+乙 二1.4 33 X2 y2（H）设直线A E方程为：y=k（x-l）+-f代入1 +彳-=1得吁孙+年可一吟。.设E（XE，y）,F（XF,yF）.女）-12因为点A L|在 椭 圆 上，所以XE=.ja，yE=k xE+-k-又直线AF的斜率与A E的斜率互为相反数，在上式中以%代,可得“I泊-123 +4-y P-kXp+5 +攵.所以直线E F的斜率
9、kEF=%一 几=一以专+号）+2）=1 xF-xE xF-xE 2即直线石尸的斜率为定值，其值为22 22.设椭圆E：二+=1（&6 0）,过（2,J 5 ）,1）两点，。为坐a b标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆汇恒有两个交点A,B,且 苏，瓦？若存在，写出该圆的方程，并 求 的 取 值 范 围；若不存在，说明理由.解：（I）将M,N的坐标代入椭圆E的方程得4F1FT+一2a67=1=1解得。2=&小=4.I V2所以椭圆E的方程为一+上 =1.8 4(II)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2+y2=R2,其中0 R 2=满足
10、题意.3解法一:所 以 阳 超+/%=0.将代入并整理得(1 +/)%2+4?(玉 +x2)+m2-0.联立得Qm2=-(+k2).因为直线A 3和圆相切，当切线A 8的斜率存在时，由得I A 8I=J（阳-X2 f+（%-2J l +A J（X-X、）2 4 XX,r ，2 m1-8-4 x-I 2k2+=40 2 J t2+1-5 2 +1因为R =I m IJ l +公Ak2+1令，=；,则一 f W 1,2k2+292BD l=t an 3因此 1 4 6 12=32t+1 2,所以一 Wl A B I21 2,3所以I A B I=35(t an 6+一3(t an 6因为2I O
11、A I W 2 J L即 还 Wl A B Y 2 v L3所以W t an 0於V 2 f2当切线AB的斜率不存在时，易得1 4 81 =生色3 x =t an。，易证：当x e ,1时，I+单调递减,2 3 x)所 以 还W I A 8 I W 2百.3当X G1,J5时，I AB I=1x+L)单调递增.综上所述,存在圆心在原点的圆x2+y2=-满足题意,且生员W I A B I W 26.3 3解法二：过原点。作0 D _ L A 6,垂足为O,则。为切点，设N 0 A 8 =6,2J Z则。为锐角，且IAO I=一，3 t an。所 以 还WI A BI W 2百.33.已知三点 P
12、(5,2),6(6 0),居(6,0).(I )求以6，工为焦点且过点尸的椭圆的标准方程；(I I )设 点 尸，Ft,居 关 于 直 线y =x的对称点分别为P,邛，居,，求以居 为焦点且过点P的双曲线的标准方程.解：(I)由题意，可设所求椭圆的标准方程为 +方=l(a b 0),其半焦距 c =6 .2 a=|P 用+|尸用=J 1 F+2?+J/+2 2 =6亚,a=3A/5,h2=a1 c=4 5 -36 =9 .x所以所求椭圆的标准方程为一+=1.4 5 9)点P(5,2),F(-6,0),F2(6,0)关于直线y =x的对称点分别为P(2,5),耳(0,6),王(0,6).2 2设
13、所求双曲线的标准方程为2T-鼻=1(%0,伉0).a h由题意知，半焦距 q=6,2 a,=|PT,1!-1 PF =|V l l2+22-/l2+22|=4 /5 :.a、=2后,8-6-2 0 =1 6.?2V X所以所求双曲线的标准方程为2-=1.2 0 1 64.已知在平面直角坐标系X。)，中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-8 0),且右顶点为0(2,0).设点A的坐标是0,；).(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段P A中点M的轨迹方程；(3)过原点。的直线交椭圆于点8,C ,求 A B C面积的最大值.解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c
14、=J i,则半短轴6 =1.乂椭圆的焦点在x轴上,/.椭圆的标准方程为 +/=1.4(2)设线段P A的中点为M(x,y),点尸的坐标是(,先)，x=由 =依，由 0,干杲 s =4k、4k+l小 由 V 4k2+1ALr-1由 一2 1，得Sa AscW g，其中，当人=一 一时，等号成立,4 Y +1 /2S 4 C的最大值是血.5.在平面直角坐标系x O y中，经 过 点（0,J 5）且斜率为左的直线/与椭圆y+/=l有两个不同的交点P和。.（I）求k的取值范围；（I I）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数上,使 得 向 量 丽+而 与 丽 共 线？如果存在，
15、求上值；如果不存在，请说明理由.解：（I ）由已知条件，直线/的方程为）=履+血，解 得/一正或女2（1 1）设次/，弘）,由方程，%1 +X2也2（丘、（亚、.即攵的取值范围为 8,-U ,+8 .2-JI 2 JQ(X2,y2),4&1 +2公 又 X +%=A。+X 2)+2A/2.则 O P +。0 =(斗 +x2,弘 +)，2)，而 A(a,0),8(0,1),而=(-扃).所以9+而 与 而 共 线 等 价 于 玉+工2=-&（+为），将代入上式，解得Z7 22由（I ）知k一 旦 或k）旦,故没有符合题意的常数k.2 26.已知椭圆（?：*+=1 56 0）的离心率为g,短轴一个
16、端点到右焦点的距离为G.(I)求椭圆c的方程：(II)设直线/与椭圆C交于4 B两点，坐标原点。到 直 线/的 距 离 为 求2A03面积的最大值.=V6解：(I)设椭圆的半焦距为c,依题意 一Ta=V3,2.b=l,.所求椭圆方程为二+/=1.3(H)设4(西，%)，B(X2,y2).(1)当 轴时，=(2)当A8与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m .由已知一7=且，得 /=3(/+1).VT7F 2 4把y-kx+m代入椭圆方程，整理得（3攵2 +1）A-2+6kmx+3/n2-3=0,12/2+1）（3必+1-?2）3（如+1）（9公+1）（3/+1）2 -（3/+1c 12
17、k2 c 12,c、1 c 12,34-：-=3H-（k w 0）W 3-1-=4 9 女，+6女2 +1 2 1 2x3+6yK+6E当且仅当9炉1出,即=丫一时等号成立.当k=0时，n同=百，k 3综上所述|AM max=2.当 明 最 大 时，AAO B面积取最大值S=；xA B m n x孚=日7.设耳，工分别是椭圆、+y2=i的左、右焦点.(I)若尸是该圆上的一个动点，求尸 PK的最大值和最小值;(H)设过定点M(0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A,B,且乙4OB为锐角(其中。为坐标原点)，求直线/的斜率k的取值范围.解：(I)解法一：易知a=2,b=l,c=玉 +x2-6km3
18、公+13（m2-l）中2=F=（1 +左2）（_ 玉）2 =（1 +/）36 后2（32+1）212（苏-1）3必+1所以耳卜山,0),心(百,0),设尸(x,y),则际丽=卜6-x,-)，),便-,-)，)=+户3丫2 1=/+1-1-3 =；（3/8）因为xe 2,2,故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，西丽 有 最 小 值 一2/.0A-OB=xx2+yt y2 0又=（5 +2）（丘 2 +2）=k2xtx2+2k（X +）+43k2-8k2当8=2,即点?为椭圆长轴端点时，/?人/3%有 最 大 值1k2+-+k2+-4 4+4解法二：易知a=2,=l,c=J L 所以丹卜 石,0），乙（G,0）,设P（x,y）,则-k2+l T Tk-+-4（2西.垣=|F7；|-|PK|-C OS ZFiPF2=西 反 卜2|丽|明-+k+.1 01即2 4：.-2 k 2k2+-k2+-4 4+/-1 2x2+y2-3（以下同解法一）（1 1 ）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线/:丫=履-2,4（占,），2）,8 5,），故由、得一2 k-或 A：0得：k正 或 心-也2 2又 0 ZA0B 0 0 4 OB0