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1、椭圆一、选择题1.（2 01 4 福建高考文科 T 1 2）在平面直角坐标系中，两点4（和 弘）,6（,为）间 的 L-距离”定义为P.P2=卜1 一|+卜|一川则平面内与x 轴上两个不同的定点片,尸 2 的“L-距离”之和等于定值（大于|片巴|）的点的轨迹可以是（）【解题指南】本题是新定义问题，考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】选 A.以线段6尸 2 的中点为坐标原点，K心 所在直线为X 轴，建立平面直角坐标系.不妨设式（-C,0）,F2（C,0）,P（X,）,则 c 0.由题意|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2 a （2 a 为定值），整理得+。|+卜一1 +2 1 y l
2、 =2 a .y =x+a,y 0。f y =-x+t z,y 0当x Nc 时，方程化为2 x+2 y =2 ，即引二一次+，即/，.y =0当一 c x 2 =1 上的点，则 P,。两点间的最大距离是（）A.5A/2 B.V 4 6 +V 2 C.7 +V 2 D.6 V 2【解题指南】两动点问题，可以化为一动一静，因此考虑与圆心联系.【解析】D.圆心M（0,6）,设椭圆上的点为。（x,y）,贝-6）2 =7 1 0-1 0/+（y-6）2=J-9 y 2-1 2 y +4 6 ,当 y =-g e T,l 时，|M Q L1 a x=5 五.所以|尸。|皿=5 上 +0=6 后.二、填空
3、题3.（2 01 4 辽宁高考文科 T1 5）与（2 01 4 辽宁高考理科 T1 5）相同c：=+J=1已 知 椭 圆，9 4 ，点M与点C的焦点不重合，若用 关于C的焦点的对称点分别为A，8,线段MN的中点在C t,则|A N|+忸叫=一【解析】根据题意，椭圆的左右焦点为月(一由于点的不确定性，不妨令其为椭圆的左顶点“(一3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点(0,2),则 用 关于c的焦点的对称点分别为4 26+3,0),8(2石+3,0),而点 N(3,4),据两点间的距离公式得N|+3|=J(2石+3 3)2+(0 4)2 +招 出+3-3)2+(0 4)2 =12答案：1 2【误区
4、警示】在无法明确相关点的具体情况的时候，可以取特殊情形处理问题。避免对一般情况处理的复杂性三、解 答 题丫 2 v24.(2 01 4 天津高考文科T 1 8)设椭圆=+=l(a b 0)的左、右焦点分别为F i,F z,右顶点为A,上顶点为a b B.已知|A B|=d 5|F,F2|.2(1)求椭圆的离心率.(2)设 P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段P B 为直径的圆经过点Fb经过点B的直线1与该圆相切于点M,|M F/=2 错误！未找到引用源。.求椭圆的方程.【解析】(1)设椭圆右焦点&的坐标为(c,0),由I A B|=错误!未找到引用源。|F E|,可得a 2+b 2=3 c；又
5、b2=a2-c2,则 彳=La2 2/y所以椭圆的离心率e=.2 由(1)知 a2=2 c2,b2=c2,故椭圆方程为+r=1.设 P(xo,y o),由F i(-c,0),B(0,c),有错误!未找到引用源。=(xo+c,y o),错误！未找到引用源。=(c,c),由已知，有错误！未找到引用源。错 误！未找到引用源。=0,即(x+c)c+y c=0.又 cWO,故有 xo+y o+c=O.因为点P 在椭圆上，故 与+*=1.2 c2 C2由和可得3X；+4CX0=0,而点P不是椭圆的顶点，故 x=-竺，代入得y=，即点P的坐标为错误！未找到引用源。.3 3设圆的圆心为T(xi,y,),则 x
6、尸错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。c,y 尸 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。c,进而圆的半径片错误！未找到引用源。=c.3由已知，有 心 2 广=|幽+亡又|昵|=2 错误!未找到引用源。，故有IV轩解得C2=3.所 以 所 求 椭 圆 的 方 程 为.=1.6 35.(2 01 4 天津高考理科 T 1 8)(本小题满分1 3 分)设椭圆5r+%=1 匕 0)的左、右焦点为4,鸟，右顶点为4,上顶点为8.已知|A B|=等 帆 用(1)求椭圆的离心率；(2)设 P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点大，经过原点的直线/与该圆相切.求直线的斜率.【解析】
7、(1)设椭圆的右焦点与可得/+/=3 c2,又/=力.后所以，椭圆的离心率e=.2yja2+b2=岳，所以2/一 c(2)由(1)知/=2 c2,b2=的坐标为(c,o).由|A B|=*闺 闱-0 2,则=a2 2)=3，解得。=行?,e=-.2,X2 y2.故椭圆方程为+4=1-设 P Q o，%).由片(-c,0),B(O,c),有 6P=Qo+c,%),F,B=(c,c).由已知，有 大尸？耳8 0,即（/+c）c+%c=0.又c 0,故有/+为+c=0.又因为点P在椭圆上，所 以 父+工=1.2c2 c2由和可得3/2+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点，故/=-手，c3孱 4c c
8、代入得y0=-1即点尸的坐标为标牙,争-c+0设圆的圆心为T（xi，y）,则再=-c一十 c c3 2，%=-=c，1 2 323进而圆的半径r=J（x0）2 +（x-播=与设直线/的斜率为左，依题意，直 线/的 方 程 为 =丘.由/与圆相切，可得地即J-7 解 2cq 2c“2+1亚C3整理得公-8 4+1=0,解得=4 V15.所以，直线/的斜率为4+而 或4-V15.6.（2014 新 课 标 全 国 卷II高 考 文 科 数 学 T20）（本 小 题 满 分1 2分）设F F2分别是椭圆=1（a 6 0）的左右焦点,M是C上一点且ME与x轴垂直,直线MR与C的另一个交点为N.a b3
9、 若 直 线MN的斜率为一，求C的高心率.4 若 直 线M N在y轴上的截距为2,且眼义卜51片N|,求a,b.【解题提示】（1）利用直线MN的斜率为-再结合aJbc?表示出关于离心率e的方程,解方程求得离心率.4（2）结合图形,利用椭圆的性质和焦半径公式求得a,b.【解析】（1）因为由题知，竺=3,所以Q -=,且aJy+c,.联立整理得:2了+36-2=0,FF2 4 a 2c 4解 得 e=，.所以C的离心率为2 2h2（2）由三角形中位线知识可知,M&=2 X2,即=4.a3设 R N 二叫由题可知M F 尸 4 m.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,-c.由焦半径公式
10、可得:2M F 尸 a+e c,N F 产 a+e （-gc）,且 M F i：N F i=4 ：l,e 二 错误！未找到引用源。，a b%?.联立解得 a=7,b=2 J 7 .所以，a-7,b=2 -/l.7.（2 01 4 浙 江 高 考 理 科 T 2 1）（本 题 满 分 1 5 分）2 2C:+1（b 0）,如图，设椭圆。一片 动直线/与椭圆C只有一个公共点且点尸在第一象限.（1）已知直线 的斜率为左，用”/#表 示 点2的坐标;（2）若过原点。的直线人与/垂直，证明：点P到直线4 的距离的最大值为。一/【解析】（1）设直线/的方程为 =质+机（及 b 0)经过点(0,错 误！未找
11、到引用源。)，离心率为错 误！未找到引用源。，左、右焦点分别为 FI(-C,0),F2(C,0).(1)求椭圆的方程.(2)若 直 线l:y=-错 误！未找到引用源。x+m与椭圆交于A,B两点，与 以FR为直径的圆交于C,D两点，且满足错 误！未找到引用源。=错 误！未找到引用源。，求 直 线1的方程.【解题指南】(1)先山已知得椭圆短半轴长，再由陷心率及a,b,c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦C D的长，再利用椭圆与直线相交得A B的长，通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知错 误！未找到引用源。解 得a=2,b=错 误！未找到引用源。，c=l,所以椭圆的方
12、程为错 误！未找到引用源。+错 误！未找到引用源。=1.由 题 设，以F F?为直径的圆的方程为x2+y2=l,所以圆心到直线的距离d=错 误！未找到引用源。.由dl得|m b0）的左、右焦点分别为a bFPF2,P是C上的点，PF21F,F2,N P 行=3 0 ,则C的 离 心 率 为（）A.由6B-Ic4D-T【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将尸片,尸工用半焦距C表示出来，然后借助椭圆的定义,可 得a,C的关系，从而得离心率.【解析】选D.因 为 工J.F；鸟,/尸我怎=30,所 以 工=2ctan30=苧。,尸6 =乎又P F +P F c=2 a,所 以 =且,12 3 a#,
13、3即椭圆的离心率为 正，选D.32.（2013 大纲版全国卷高考理科T8）椭 圆C：L +”=1的左、右顶点分别为儿，A2,点P在C4 3上且直线2 42斜率的取值范围是-2,-1,那么直线P 4斜 率 的 取 值 范 围 是（）【解题指南】将PQo，%）代 入 到 二+2=1中，得 到 不 与比之间的关系，利 用k.A-kP A为定值求4 3 1 2解女也的取值范围.2 2【解析】选B.设P（x,），。），则 +个=1,%,=仁，=一 4 3 x0-2 x0+22 3-Xgk P A 3 P A 2 启=x；4 4=_ 故女5 =-：=.因为 所以您A3.（2013 大纲版全国卷高考文科 T
14、 8）已 知F,（-1,0）,F2（1,0）是 椭 圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A,B两点，且错 误！未找到引用源。=3,则C的 方 程 为（）2X 2 1A.+y =12.2 2x y iB.+=13 22 2x y 1D.-F =I5 4匚14 32、.22【解题指南】由过椭圆1 +与=Kab 0）的焦点且垂直x轴 的 通 径 为 生 求 解.a h a产 v2 h2 3【解析】选C.设椭圆得方程为A +Z u K a/?。），由 题 意 知 幺=,C2=a2-h2=1,解a2 h2 a 21x2 2得。=2或 =一 一（舍去），而 =3,故椭圆得方程为L +2_=1.2
15、4 3二+反4.（2013 四川高考文科 T 9）从椭圆=1 5 6 0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左 焦 点 耳，A是椭圆与无轴正半轴的交点，8是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB/OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（)A,也4B.-2V 3c在2【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是尸石与x轴垂直，二 是ABI/OP卜2 cz【解析】选C,根据题意可知点P（c,%）,代入椭圆的方程可得比2=/一1，根 据A 3/。尸，a可知-P-F-,=-B-O-，即nn y0=b，解.得_ 光=be,即匕_ 2-b-2c?h2c2 曰 c V2 4八T=z，解
16、 得e=，故 选C.Ffi OA c a a a2 a2 a 25.（2013 广 东 高 考 文 科 T 9）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为尸（1,0）,离心率等于;,则C的 方 程 是（）2 2 2 2 2 2 2 2A.二+工=1 B.工+”=1 C.二+2=1 D.二+=13 4 4 c 4 2 4 3【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用 好a,b,c,e的关系即可.1*2C 1 1【解析】选D.设C的 方 程 为 三+=1,C a h 0）,则c =l,e =t =上,a =2/=G，C的方a2 b2 a 22 2程是E6.（2 0 1 3 辽 宁 高 考 文 科 T
17、 1 1）已知椭圆C:鼻+2r=l（a /?0）的左焦点为F,C与过原点的a b4直线相交于A,B两点，连 接AF,B F.若|AB =1 0,；B F|=8,c o s N AB F=不，则C的离心率为（）A.-B.-C.-D.-57 5 7【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得a.c【解析】选B.在三角形A Bb中，由余弦定理得,4|AF|-=+忸叶一 2MM 忸可 c o s N A B F,又|AB|=1 0,|B F|=8,cos Z A B F=y解 得|AF|=6.在三 角 形A BF中，|AB=l（）2=8 2 +6 2 =|
18、B f f+|A歼，故三角形A BE为直角三角形.设椭圆的右焦点为尸，连 接A F,8/，根据椭圆的对称性，四边形AP 8尸 为 矩 形，则 其 对 角 线=却=1 0,且忸司=|AP|=8,即焦距2 c =1 0,又据椭圆的定义，得|AF|+|AF l=2 a,所 以2 a=|Af|+|AF|=6 +8 =1 4.故离心率e2 c _ 52 a 7二、填空题7.（2 0 1 3 江 苏 高 考 数 学 科 T 1 2）在 平 面 直 角 坐 标 系X。），中，椭 圆C的 标 准 方 程 为/v2+=l（a 0,&0）,右焦点为产，右准线为/,短轴的一个端点为8,设原点到直线3尸的距a b“离
19、为4，尸至此的距离为&，若4=痴4，则椭圆c的离心率为【解题指南】利 用4 =痴4构建参数a,b,c的关系式.【解析】由原点到直线BF的距离为4得&=眩，因F至IJ /的距离为d2故d2=-c，又4=痴&a c所以 c y/6 =tz2-c2=灰 如 一=1-e2=V6 e2 又）=J 1-解得e -c a a a a 3【答案】.38.（2013 上 海 高 考 文 科T12）与（2013 上 海 高 考 理 科 T9）相同设AB是椭圆的长轴，点C在 上，且N C B A=2.若AB=4,BC=后，则 的两个焦点之间的距4离为.【解析】如图所示，以AB的 中 点0为坐标原点，建立如图所示的坐
20、标系.设。的B上，且CO A B,A B =4,BC=42,ZCBA=45=2 4,把“）代入椭圆标准方程得上+5 =画=n 2c=V63【答案】-V 639.（2013 福建高考文科 T15）与（2013 福建高考理科 T 14）相同2 2椭 圆：1 +3=1（。6 0）的左、右焦点分别为R,F2,焦 距 为2c.若 直 线y=错 误！未找到引用a b源。与 椭 圆r的一个交点M满足NMFR=2NMF2K,则该椭圆的离心率等于.【解题指南】e=至，而2 c是焦距，2 a是 定 义 中 的PFj+|PF?|=2a,因此，如果题目出现焦点a 2 a三 角 形（由 曲 线 上 一 点 连 接 两
21、个 焦 点 而 成），求 解 离 心 率，一 般 会 选 用 这 种 定 义 法：C=曜1P|+|P B求解离心率，还有一种方法，叫平方法.注意到e2=二，在具体问题中，结合基本量关系式a2=b2+c2a进行求解，显然这样的方法适合于题目给出标准方程的题.【解析】N M F 1 F 2是直线的倾斜角，所以N M F R=6 0 ,N M F zF i=3 0 ,所以M F 2 F 1是直角三角形，在R t M F 2 F 1 中，|F 2 F 1|=2C,|M FI|=c,I M F2 =y/3c，所以 e=-=7=3 =3-1.2 a MFl +MF2 V 3+1【答案】V 3-1.1 0.
22、（2 0 1 3 辽 宁 高 考 理 科 T 1 5）已知椭圆C:=+=l（ab 0）的左焦点为E ,C与过原点a b4的 直 线 相 交 于 两 点，连 接A R.若AB =1 0,|AF|=6,COSZ A B F =-,则。的 离心率e=.【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点力到右焦点的距离，进而求得a.c.【解 析】在 三 角 形A 8F中，由 余 弦 定 理 得|4歼=|A8+忸丹2一2,同怛目c osN AB F ,又AB =1 0,|AF|=6,c os ZA B F=|,解 得|B F|=8.在 三角形 AB F 中，|A5|2=1 02=82+6
23、2=B Ff+AFf,故三角形A 8 F为直角三角形。设椭圆的右焦点为 尸，连 接Ak,B P ,根据椭圆的对称性，四 边 形AE B E 为矩形，则其对角线FF=AB =1 0,且忸/I=AF=8,即焦距 2 c =1 0,又据椭圆的定义，得所以2a=HH+|A尸 =6 +8 =1 4.故离心率6 =c9=2c =工5。2。7【答案】7三、解答题1 1.（2 0 1 3 陕 西 高 考 文 科 T 2 0）已知动点材（力 到 直 线7:=4的距离是它到点M l,0）的距离的2倍.（1）求动点材的轨迹。的方程；（2）过点尸（0,3）的直线如与轨迹C交 于4 8两 点.若/是 心 的 中 点，求
24、直线加的斜率.【解题指南】设 出 动 点 的 坐 标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k 与 ,X 2的关系式，利用中点坐标即可得斜率.【解析】（1）点M（x,y）到 直 线x=4的距离是它到点”（1,0）的距离的2倍，则_ 2 2|x-4|=2）（x-l）2 +V=亍 +g=Lx2 y2所以，动 点M的轨迹为椭圆，方 程 为 二+2-=1.4 3（2）P（O,3）,设 A（x”yJ,B（X 2，y2）,由 题 意 知：2 X 1 =O+X 2,2 y1=3 +丫2,椭圆的上下顶点坐标分别是（0,百）和（0,-V J）,经检验直线如不经过这2点，即直线m斜率力存在。设
25、直 线 机 方 程 为：y=丘+3.联立椭圆和直线方程，整理得：-2 4k 2 4（3 +4 k 2 ）x2+2 4kx+2 4 =0 =x.+x2=-7，x.-x2=-彳1 2 3 +4 氏 2 1 2 3 +4/X +2 _=J _ +2 =（尤 +A：2）_ _ 2毛 /=*=（-2 4.）2 =2 =女=+3x2 2%1 -x2 2 （3 +4 k 2）2 4 2 23所以，直 线m的斜率=.21 2.（2 0 1 3 四川高考理科 T 2 0）Y 丫2A 1已知椭圆c：靛+京 =1,（。匕0）的两个焦点分别为K（I,O），K（I,O）,且椭圆c经过点p（y,-）.（1）求椭圆C的离心
26、率；（2）设过点A（0,2）的直线/与椭圆。交于M、N两点，点。是线段MN上的点，且2 1 1-1-|AQ|A M|2|A N|2求 点。的轨迹方程.【解题指南】（1）关注椭圆的定义，利用定义求出a,c,再求出离心率；（2）首先确定椭圆的方程，设出点。的坐标，结合已知2 1 1-7=-7-1-71/121 I A M|2|A N|2找到点。的坐标满足的关系.【解析】（1）由椭圆定义知，2 a=|所|+|格|所 以a-y/2,又由已知，c=l,所以椭圆的离心率2（2）由（1）知，椭 圆，的方程为5+/=1,设 点Q的坐标为（x,y）.（i ）当 直 线/与x轴垂直时，直 线，与 椭 圆C交 于（
27、0,1）,（0,-1）两点，此 时 点Q的坐标为（0,2（i i）当 直 线/与x轴不垂直时，设直线/的方程为片上什2,因 为M,N在 直 线/上，可设点也修的坐标分别为(xp k xj +2),(x2,k xz+2)则MM 2=(1+/)/,1 4 M 2=(1+e/,又 加 I 2=(1+落 北_ 2 _ _ _ _ _ 1_ _ _ _ _ 1 _ 2 1 _ _ _ _ _ _ _ _ 由 M0n4M2+曲得(1+)尸(i+2)x/+(i+)及2,日n 2 1 1 (小+热)2 2 X 1 X 2 小即 X尸 X 7+X2 尸 X2 X2 ,将 尸kx+2代入万+/=1中，得(2 A2
28、+1)*+84工+6=0.由=(8)2 4(2 4 2+1)乂60,得好!;由可知，M+X广宗?三普，代入并化简得MM，因为点Q在直线尸履+2上，所 以/尸 一，代入并化简，得1 0 3-2尸一 3/=1 8.由及 j t2|,可知 0 7|,即 x&（一乎,o）U （0,乎）.又（0,2-可5）满足 1 0 （尸2）-3*2=1 8,故 xe （一半，芈）.0Z Z由题意，Q（x,y）在 椭 圆C内，所以-9 9又由 1 0（y 2）2=3 f+1 8 有（尸2件-）1.-1 5 1,则ye （1,2-胃 昌.所以，点Q的轨迹方程为1 0 （y-2）2-3/=1 8,其 中xe （一 乎,乎），ye 2