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1、2012 年椭圆高考真题 1.2012 高考新课标文 4 设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点;P为直线32ax 上一点;12PFF是底角为30的等腰三角形;则E的离心率为 解析21F PF是底角为030的等腰三角形;0260PF A;212|2PFFFc;2|AF=c;322ca;e=34;故选 C.2.2012 高考全国文 5 椭圆的中心在原点;焦距为4;一条准线为4x ;则该椭圆的方程为 A2211612xyB221128xyC22184xyD221124xy 解析因为242cc;由一条准线方程为4x 可得该椭圆的焦点在x轴上县22448aacc;所以222844
2、bac.故选答案 C 3.2012 高考浙江文 8 如图;中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点;M;N 是双曲线的两顶点.若 M;O;N将椭圆长轴四等分;则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C.3 D.2 解析设椭圆的长轴为 2a;双曲线的长轴为2a;由 M;O;N 将椭圆长轴四等分;则22 2aa;即2aa;又因为双曲线与椭圆有公共焦点;设焦距均为 c;则双曲线的离心率为cea;cea;2eaea.4.2012高考上海文 16 对于常数m、n;“0mn”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
3、 解析方程122 nymx的曲线表示椭圆;常数常数nm,的取值为0,0,mnmn所以;由0mn 得不到程122 nymx的曲线表示椭圆;因而不充分；反过来;根据该曲线表示椭圆;能推出0mn;因而必要.所以答案选择 B.5.2012 高考江西文 8 椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别是 A;B;左、右焦点分别是 F1;F2.若|AF1|;|F1F2|;|F1B|成等比数列;则此椭圆的离心率为 A.14 B.55 C.12 D.5-2 解析本题着重考查等比中项的性质;以及椭圆的离心率等几何性质;同时考查了函数与方程;转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1A
4、Fac;122FFc;1FBac.又已知1AF;12FF;1FB成等比数列;故2()()(2)ac acc;即2224acc;则225ac.故55cea.即椭圆的离心率为55.6.2012 高考四川文 15 椭圆2221(5xyaa为定值;且5)a 的的左焦点为F;直线xm与椭圆相交于点A、B;FAB的周长的最大值是 12;则该椭圆的离心率是_.解析根据椭圆定义知：4a=12;得 a=3;又522ca 7.2012 高考天津 19 本小题满分 14 分 已知椭圆22221(0)xyabab;点 P52(,)52aa在椭圆上.I 求椭圆的离心率.II 设 A 为椭圆的右顶点;O 为坐标原点;若
5、Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ的斜率的值.解析 点52(,)52Paa在椭圆上222222222115365211884aabbeeabaa 设(cos,sin)(02)Q ab；则(,0)A a 直线OQ的斜率sin5cosOQbka 8.2012 高考江苏 1916 分如图;在平面直角坐标系xoy中;椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(0)Fc，;2(0)F c，已知(1)e，和32e，都在椭圆上;其中e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程；2 设,A B是椭圆上位于x轴上方的两点;且直线1AF与直线2BF平行;2AF与1BF交于点 P i 若1262AFBF
6、;求直线1AF的斜率；ii 求证：12PFPF是定值 答案解：1 由题设知;222=cabcea，;由点(1)e，在椭圆上;得 2222222222222222111=1=1ecbca baa bbabaa b;22=1ca.由点32e，在椭圆上;得22222422224433221311144=0=214ecaaaaabaa 椭圆的方程为2212xy.2 由1 得1(1 0)F ，;2(1 0)F，;又1AF2BF;设1AF、2BF的方程分别为=1=1my xmy x，;11221200A xyB xyy y，.2221221111211221221=0=22=1xmmymymyymmyx.
7、22222222111112221122=10=122mm mmmAFxymyymmm.同理;2222211=2mm mBFm.i 由得;2122212m mAFBFm.解22216=22m mm得2m=2.注意到0m;=2m.直线1AF的斜率为12=2m.ii 证明：1AF2BF;211BFPBPFAF;即2121111111BFPBPFBFAFPBPFAFPFAF .11112=AFPFBFAFBF.由点B在椭圆上知;122 2BFBF;11212=2 2AFPFBFAFBF.同理.22112=2 2BFPFAFAFBF.121212211212122+=2 22 22 2AFBFAF B
8、FPFPFBFAFAFBFAFBFAFBF 由得;21222 21=2mAFBFm;21221=2mAF BFm;1223+=2 2=222PFPF.12PFPF是定值.解析 1 根据椭圆的性质和已知(1)e，和32e，都在椭圆上列式求解.2 根据已知条件1262AFBF;用待定系数法求解.9.2012 高考安徽文 20 本小题满分 13 分 如图;21,FF分别是椭圆C：22ax+22by=10ba的左、右焦点;A是椭圆C的顶点;B是直线2AF与椭圆C的另一个交点;1FA2F=60.求椭圆C的离心率；已知ABF1的面积为 403;求 a;b 的值.解析 I1216022cF AFacea 设
9、2BFm；则12BFam 在12BF F中;22212122122cos120BFBFFFBFFF 1AF B面积211133sin60()40 3225210,5,5 3SF FABaaaacb 10.2012 高考广东文 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy中;已知椭圆1C：22221xyab0ab的左焦点为1(1,0)F;且点(0,1)P在1C上.1 求椭圆1C的方程；2 设直线l同时与椭圆1C和抛物线2C：24yx相切;求直线l的方程.解析 1 因为椭圆1C的左焦点为1(1,0)F;所以1c;点(0,1)P代入椭圆22221xyab;得211b;即1b;所以2222abc
10、;所以椭圆1C的方程为2212xy.2 直线l的斜率显然存在;设直线l的方程为ykxm;2212xyykxm;消去y并整理得222(12)4220kxkmxm;因为直线l与椭圆1C相切;所以2222164(12)(22)0k mkm;整理得22210km 24yxykxm;消去y并整理得222(24)0k xkmxm.因为直线l与抛物线2C相切;所以222(24)40kmk m;整理得1km 综合;解得222km或222km .所以直线l的方程为222yx或222yx.11.2102 高考北京文 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C：22xa+22yb=1ab0 的一个顶点为 A2;0;离心
11、率为22;直线 y=kx-1 与椭圆 C 交与不同的两点 M;N 求椭圆 C 的方程 当AMN 的面积为103时;求 k 的值 考点定位此题难度集中在运算;但是整体题目难度确实不大;从形式到条件的设计都是非常熟悉的;相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的.解：1 由题意得222222acaabc解得2b.所以椭圆 C 的方程为22142xy.2 由22(1)142yk xxy得2222(12)4240kxk xk.设点M;N的坐标分别为11(,)x y;22(,)xy;则11(1)yk x;22(1)yk x;2122412kxxk;21222412kx xk.所以|MN|=
12、222121()()xxyy=221212(1)()4kxxx x=2222(1)(46)1 2kkk.由因为点 A2;0 到直线(1yk x）的距离2|12kdk;所以AMN 的面积为221|46|212kkSMNdk.由22|4610123kkk;解得1k .12.2012 高考山东文 21 本小题满分 13 分 如图;椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为32;直线xa 和yb 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8.求椭圆 M 的标准方程；设直线:()l yxm mR与椭圆 M 有两个不同的 交点,P Q l与矩形 ABCD 有两个不同的交点,S T.求|PQST的最大值及取得最
13、大值时 m 的值.答案 I2223324cabeaa 矩形 ABCD 面积为 8;即228ab 由解得：2,1ab;椭圆 M 的标准方程是2214xy.II222244,58440,xyxmxmyxm;设1122(,),(,)P x yQ xy;则21212844,55mxxm x x;由226420(44)0mm得55m.2228444 2|245555mPQmm.当l过A点时;1m;当l过C点时;1m .当51m 时;有(1,1),(2,2),|2(3)SmTmSTm;222|454461|5(3)5PQmSTmtt;其中3tm;由此知当134t;即45,(5,1)33tm 时;|PQST
14、取得最大值255.由对称性;可知若15m;则当53m 时;|PQST取得最大值255.当11m 时;|2 2ST;2|25|5PQmST;由此知;当0m 时;|PQST取得最大值255.综上可知;当53m 和 0 时;|PQST取得最大值255.13.2012 高考辽宁文 20 本小题满分 12 分 如图;动圆2221:Cxyt;1t3;与椭圆2C：2219xy相交于 A;B;C;D 四点;点12,A A分别为2C的左;右顶点.当 t 为何值时;矩形 ABCD 的面积取得最大值 并求出其最大面积；求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.命题意图本题主要考查直线、圆、椭圆的方程;椭圆
15、的几何性质;轨迹方程的求法;考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力;难度较大.解析设 A0 x;0y;则矩形 ABCD 的面积 S=004|xy;由220019xy得;220019xy ;2200 x y=2200(1)9xx=220199()924x;当2092x;2012y 时;maxS=6;t=5时;矩形 ABCD 的面积最大;最大面积为 6.设 1111,-A x yB xy;又知12-3,0,3,0AA;则 直线1A A的方程为11=+3+3yyxx 直线2A B的方程为11-=-3-3yyxx 由得22221221-=-3-3yyxx 由点11,A x
16、 y在椭圆0C上;故可得2112+=13xy;从而有22112=1-3xy;代入得 直线1AA与直线2A B交点 M 的轨迹方程为22-=1-3,09xyxy 解析本题主要考查直线、圆、椭圆的方程;椭圆的几何性质;轨迹方程的求法;考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力;难度较大.14.2012 高考重庆文 21 本小题满分 12 分;小问 5 分;小问 7 分 已知椭圆的中心为原点O;长轴在x 轴上;上顶点为A;左、右焦点分别为12,F F;线段12,OF OF 的中点分别为12,B B;且12AB B是面积为 4 的直角三角形.求该椭圆的离心率和标准方程；过1B
17、 作直线交椭圆于,P Q;22PBQB;求2PB Q的面积 答案：220 x+24y=116 109;12|OAB B *设1122(,),(,),P x yQ xy 则12,y y 是上面方程的两根;因此1224,5myym 122165yym 又111222(2,),(2,)B PxyB Pxy;所以1212(2)(2)B P B Pxx12y y 由22PBQB ;知220B P B Q;即216640m ;解得2m 当2m 时;方程*化为：298160yy 故1244 1044 10,99yy;128 10|9yy 2PB Q的面积1212116 10|29SB Byy 当2m 时;同
18、理可得或由对称性可得2PB Q 的面积16 109S 综上所述;2PB Q 的面积为16 109.15.2012 高考陕西文 20 本小题满分 13 分 已知椭圆221:14xCy;椭圆2C以1C的长轴为短轴;且与1C有相同的离心率.1 求椭圆2C的方程；2 设 O 为坐标原点;点 A;B 分别在椭圆1C和2C上;2OBOA;求直线AB的方程.解析由已知可设椭圆2C的方程为222124yxaa;其离心率为32;故2432aa;则4a 故椭圆2C的方程为141622xy 解法一：AB，两点的坐标分别为 AABBxyxy，;由2ABOA及知;OAB，三点共线且点AB，不在y轴上;因此可设直线AB的
19、方程为kxy 将kxy 代入1422 yx中;得44122xk;所以22414kxA;将kxy 代入22+1164yx中;得22416kx;所以22164Bxk;又由2ABOA;得224ABxx;即224116416kk 解得1k;故直线AB的方程为xy 或xy 解法二：AB，两点的坐标分别为BBAAyxyx,;由OAAB2及知;OAB，三点共线且点AB，不在y轴上;因此可设直线AB的方程为kxy 将kxy 代入1422 yx中;得44122xk;所以22414kxA;又由2ABOA;得224116kxB;2224116kkyB;将22,BByx代入141622xy中;得141422kk;即22414kk;解得1k;故直线AB的方程为xy 或xy