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1、高 考“函数”题1.(全 国I)设a 1,函数/(x)=lo g”x在区间 a,2a 上的最大值与最小值之差为:，则丁=A.V2 B.2 C.27 2 D.4解：；。1,函数/(x)=lo gu x在区间 a,2d上的最大值与最小值分别为lo g 2a,lo g/=l,它们的差为;，；.lo g 2=；,a=4,选 D。f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,/i(x)=/(x)+g(x),则“/(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的A.充要条件 B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件解：f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,/i(x)=0
2、(x)+g(x),若“/(x)，g(x)均为偶函数”，则“h(x)为偶函数，而反之若“人(x)=2 +(；),为偶函数”，则”/(幻=2g(x)=(；)x不一定均为偶函数”，所 以“/(x)，g(x)均为偶函数”，是“A(x)为偶函数”是充分而不必要的条件，选B。函数)，=/(x)的图象与函数y =lo g?(。)的图象关于直线了=对称，则 M解：函数/*)与函数y =lo g 3X(x 0)互为反函数，/(x)=3(x e R)。2.(全 国I I)下列四个数中最大的是()A.(I n 2)2 B.ln(ln 2)C.I n V2 D.I n 2解：；0 ln 2 l,ln(ln2)0,(l
3、n2)2 ln 2,而 I n拒=I n 2ln 2,2/.最大的数是ln 2,选D。3.(北京 卷)函数/(x)=3(0 x W 2)的反函数的定义域为()A.(0,+o o)B.(1,9 C.(0,1)D.9,+o o)解：函数/(%)=3(0 ,/(x)=c o s(x 2),判断如下两个命题的真假：命题甲：/(x +2)是偶函数；命题乙：/(x)在(8,2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是()A.B.C.D.解：对于函数/(x)=k +2,函数/(x +2)=|x +4|不是偶函数，对于函数/(x)=c o s(x 2),是个周期函数，周期是
4、2兀，不可能在(8,2)卜.是减函数，在(2,+8)上是增函数；所以函数都不符合条件，只有函数/(x)=(x 2)2,能使命题甲、乙均为真，选C。已知函数/(x)，g(x)分别由下表给出X123/(x)211X123g(x)321则/g 的值为；当g (x)=2时，x=解：v g(l)=3,.-./g(l)=/(3)=l；当g (x)=2时，n/(x)=2,x =l.4.(天 津 卷)函数y =lo g 2(x +4)(x 0)的反函数是()A.y =2*+4(x2)B.=2 +4(x 0)C.y =2x-4(x 2)D.y=2x-4(xQ)解：由y =lo g 2(x +4)得x +4 =2
5、v，即x =2-4,故反函数是y =2*-4,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有：x 0,则x +4 4,y =lo g2(x +4)2,故反函数的定义域为x 2，则有y =2 -4(x 2)【分析】原函数过(4,3)故反函数过(3,4)从而排除A、B,，x 0=y =lo g 2(%+4)2.故 选 C.设/)是定义在R上的奇函数，且当x 2 0时，/(x)=x2,若对任意的x e r,t+2 ,不等式/(x +f)2 2/(x)恒成立，则实数f的取值范围是()A.V，+8)B.2,+8)C.(0,2 D.卜-1 U解：(排 除法)当后则x e 死 逝+2得/*+扬N 2/(x),即(x
6、 +V2)2 2x2=x2-2瓜2 2/(x)恒成立，排除B,C项，同理再验证f =-1时，f(x+t)2/(x)不成立,故排除D项.故 选A.【分析】由函数/(x)为奇函数，且当x2 0时，f(x)=x2,可得当x0时，f(x)=-x2.再分/201+26 0,2 /x 1 =2=光=19函数f(x)=L的反函数f-(x)=_.x-1解：由 y =n x =)+1(y w 0)n f(%)=-1(%0)x -l y x已知函数，(x)=x 2+巴(X H O,常数a e R).x(1)当 a =2 时，解不等式/(x)/(x l)2x l；(2)讨论函数/(x)的奇偶性，并说明理由.2 2
7、2 2解：(1)x H-(x 1)-2,x 1 -0，x x-1 X X-1x(x-l)0.原不等式的解为0 x 3-a-2a+b.联立解得a =，力=.故选C.2 27 .(辽宁卷)若函数y =x)的反图蒙图象过点(1,5),则函数y =/(x)的图象必过点()A.(5,1)B.(1,5)C.(1,1)D.(5,5)解：根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选A函数y =l o g(f 5 x +6)的单调增区间为()2-C O,-A.1,+00B.(3,+o o)C.D.(8,2)解：定义域为(-8,2)U (3,+8),排除A、C,根据复合函数的单调性知y
8、=l o g,(x2 一 5 x +6)的单调增区间为(-0 0,2),选D已知函数y =/(x)为奇函数，若/一/=1,贝|_/(一2)-/(-3)=解:由 函 数y =/(x)为奇函数得一2)-3)=3(3)-2)=1,填I8.(江苏卷)设函数/(x)定义在实数集匕它的图像关于直线x =l对称,且当x N l时，/(x)=3 l,则 有()A./(1)/(|)/(|)c/6小双-4/(|)/(!)解：依题意,f(l +x)=f(l-x),所以，/l +(l-x)=/l-(l-x),即/(2 x)=/(x),当 X 一 1,即 2 x l,所以，/(2 X)=3 2-，1,故X)=3 2T1
9、(X 1)叫卜二，/用=3 3 1,/日=3二1,所以、!)选。2设f(x)=l g(+。)是奇函数，则使/。)0的x的取值范围是()1-XA.(1,0)B.(0,1)C.(o o,0)D.(o o,0)U (1,+8)1 r解：依题意，得 了(0)=0，即l g(2 +a)=0,所以，。=-1,f(x)=1 g ,1-x1+X又/(x)0,所以，0 1,解得：一I V x V O,故 选(A)o1-x9.(广 东 卷)若函数X)=X3(X R),则函数)，=/(-X)在其定义域上是A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数C.单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数解：函数f(x)的图像厉函数
10、f(-x)关于y 轴对称，由我们熟知的事函数f(x)=x 3 的奇偶性和单调性我们就很容易能判断出函数f(-x)是单调递减的奇函数，故选B o客车从甲地以6 0 k m/h 的速度匀速行驶1 小忖到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以8 0 k m/h 的速度匀速行驶1 小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间I 之间关系的图象中，正确的是n一二二二一二s(k60如20008060 0/(-1)/(1)=(-5)(-1)0或-3-V 72A=4 8(x(3 a)=0 1 -1 -0A=8a2+24+40a 0=8/+24a+40,1 ,-1 -12a4
11、1)2 0或,/(l)1g(x)=log2 x的图象的交点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解：由图像可知交点共有3个。选C.-4若。0,a3=,则log2=_.93解：由=?得。=)2 =(|y ,所以og2 a=log2(|y =34 11 3.(湖 北 卷)函数丁 =-2(0)的反函数是()2-1A J=log2-(x l)x-x-iY 1X 1c J=log2-(x1)x+1x+解：由 尸 U (”0)得y-l 且 2=X n x =lo g 2 A T-1 y-1 y-1所以所求的反函数为y=log2 il(x 0,则由题意可得，八 1 一 a,0 -0，g(0)0,a 0,=
12、l a 1,a 3-2 5/2,3+22,0 a 0时，(a)单调增加，.当 0 a 3 2 72 时，0 力伍)=2(1 7-1 2 72)=2/W，即/-/(0)也1 7+1 2 V 2 1 6 1 6解法2：(I)同解法1.(I D v /(0)/(l)-/(0)=g(0)g(l)=2 a2,由 知0 a 3 2枝,/.4V 2 a-l 1 2 V 2-1 70,是2a2-=(32 a2-1)=(4缶-1)(4缶+1)0,1 6 1 6 1 6即2 a 2 一 o,故/一 0)0,%+马 0,玉 +%2=1一。，中2=，于是0 /1 =0，(1 再)+(1%)0(1 )0a0,0 a 3
13、-2 V 2 .a 3 +2企故所求实数a的取值范围是(0,3-2&).(I I)依题意可设g(x)=(x-X )a-X 2)，则由0%1,得/(0)/(l)-/(0)=g(0)g(l)=x1x2(l-x,)(l-x2)=x1(l-x1)x2(l-x2)h hA B .也 aC .h3 h2 h4 D./I 2 4 匕解：观察图形可知体积减少一半后，下部越细剩余酒的高度越高，最高为力2,最低为为，应有 h2 ht h4.选 A.已知函数y=f(x)存在反函数y=f-x),若函数y=/(1 +x)的图象经过点(3,1),则函数y=尸(幻 的图象必经过点.解：若函数y=/(l +x)的图象经过点(
14、3,1),则有l =/(3 +l)n/(4)=l n/T(l)=4.所以函数y=/t (无)的图象必经过点(1,4).1 5 .(山东卷)给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)f(y),/(x +y)=/(X)+/().下列函数中不满足其中任何一个等式的是()l-/(x)/(y)A.f(x)=3x B./(x)=s i n x C.f(x)=l o g2 x D./(x)=t a n x解：依据指、对数函数的性质可以发现A满足/*+y)=/(x)/(y),c 满足 f(xy)=/(x)+/(y),而 D 满足 f(x+y)=尸廿阴，B不满足其中任何一个等式.选
15、C.(1 Y 2设函数y=3与y=的图象的交点为(%,%),则X。所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解:令g(x)=/一22,可 求 得:g(0)0,g(l)0,g(3)0,g(4)0。易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)。选B。1X2-设函数(x)=-x,/2(一,贝 叱(力(力(2 0 0 7)=解:工(一(力(2 0 0 7)=/(/2(2 0 0 72)=)(2 0 0 72)、=(2 0 0 72)=2007-.。1 6.(陕 西 卷)函数x)=l g j l-x 2的定义域为(A)0,1 (B)(-1,1)(C)-1,1 (D)(a-1)
16、u (1,+8)解:由1姬0得选B.设函数f(x)=2、+l(x G R)的反函数为尸(x),则函数尸尸的图象是某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1(也，也,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为(A)V+丫2+V.,-+-(B)1匕匕3(C)VV1V2V3-+-匕 匕 匕解：设三个连续时段为t”t2,t 3,各时段的增长量相等，设为M,则M=V|t|=v2 t2=V3 t j,整个时段内的平均增长速度为3M 3M 3 c-=-=-，选 Dtx+t2+ty 丝+竺+也 x+j_+匕 叱匕匕匕 匕1 7.(四 川 卷)函数/(x)=l +l o g 2 X与g(x)=2-z在同一直角坐标系下的图象大致是()解：/(x)=1 +l o g2 x =/(I)=1;g(x)=2-+,g(0)=2 ,选 C.x11 8.(浙 江 卷)函数y=T(x w R)的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x +1解：注意到-N O,故可以先解出炉，再利用函数的有界性求出函数值域。由 y=，得/=工-,；.“一20,解之得 04y 1；填 0,1)x+1 1-y 1-y1 9.(宁夏、海 南 卷)设函数/()=(+1)3 +4)为偶函数，则。=解：./=/(_ 1)n 2(1 +a)=0,r.a =1.