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1、20 1 1 年高考数学试题分类汇编：函数与导数整理：郭兆录一、选择题1 .(安徽理3)设/(X)是定义在R 上的奇函数，当XW0时，/。)=2尤 一 匕 则/(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】/0)=-/(-1)=一 2(7)2 _(_ 1)=-3 .故选人.维的综合能力.难度大.【解 析】代 入 验 证，当 加=1，=2,f(x)=a x -x)2=n(x3-2 x2+x)则.=1 =/(x)=。(3/一4x +l),由/(x)=a(3 x 24x +l)=0 可知，一 ，结合图像可知函数应在(3)递增
2、,1x=递减，即在 3取得最大值，由小吟吟22,知 a 存在.故选B.3.(安徽文5)若点(a,b)在 y =lg”图像上，则下列点也在此图像上的是1 0(A)(,b)(B)(1 0 a,l-b)(C)(,b+l)(D)(a 2,2b)【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解 析 由题意b =l g j 2b =21 ga =l g/,即(/,2匕)也在函数y =g x图像上.4.(安 徽 文 1 0)函数 x)=ax班一疗 在区 间(0,1)上的图像如图所示，则 n 可能是(A)1 (B)2(C)3(D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研
3、究函数单调性中的应用，考查函数图像,考查思维的综合能力.难度大.【解 析】代 入 验 证，当=1 时，/(x)=a x -x)2=a(x3-2x2+x),贝|jf x)=(3x2-4 x +l)由/(x)=a(3 f _ 4 x+l)=0 可知，“一 丁2，结合图像可知函数应在I J递增，在1 1)递减，即在x 取得最大值，由/(5)0乂 3 良-2t知 a 存在.故选A.5.(北 京 理 6)根据统计，一名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间(单 位：分 钟)为/(x)=j=,x 011.(福建文8)已知函数4 x)=x+,x v o，若 a)+f(l)=O,则实数a
4、的值等于A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】A12.(福建文10)若 a 0,b 0,且函数f(x)=4 x 3a x 2-2b x+2在 x=l 处有极值，则 a b 的最大值等于A.2 B.3 C.6 D.9【答案】D13.(广东理4)设函数/(幻 和 g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A./*)+|g(x)|是偶函数 B.x)-|g(x)|是奇函数C.|x)|+g(x)是偶函数 D.|x)|-g(x)是奇函数【答案】A【解析】因 为 g(x)是 R上的奇函数，所以|g(x)|是 R上的偶函数，从而/(x)+|g(x)|是偶函数，故选A.=+l g(x +D14
5、.(广东文4)函数 l-x 的定义域是()A(-00,-1)B.(l，+8)c.(T/)U(l,+8)d(-00,+00)【答案】c15.(广东文10)设是 R 上的任意实值函数.如下定义两个函数&g X x)和(/g)(x)；对任意 x e R,(/o g)(x)=/(g(x)：(/gXx)=/(x)g(x).则下列等式恒成立 的 是()A.(7。g)/0W =(7*/l)“g/l)(X)B.(/g)。力 购=(/。，)(g。)(尤)C.(/。g)。=(/。)。(g。力)(尤)D.(/g “Xx)=(/*)(g )()【答案】B16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数 x)和偶函数g(H
6、满足“X)+g(x)=a -a-x+2(a 0,且a H l),若 g(2)=a,则/=15 17A.2 B.4 c.4 D.a【答案】B【解析】由 条 件/+g=/-/+2,/(-2)+g(-2)=a 2 _/+2,即一/+g=。-2一/+2,由此解得g=2,/=。2 _ 屋2,/=22 一2-2=所以a=2,4,所以选B.17.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少,这种现象成为衰变，假设在放射性同位素钠137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)t与时间,(单位：年)满足函数关系：G)=M02 其中M。为，=0 时 葩1 3 7的含量，已知”30
7、时，的 137的含量的变化率是-102(太贝克/年)，则知(60)=A.5 太贝克B.751n2 太贝克 c.1501n2 太贝克 D.150太贝克【答案】D1_ 130M%）=ln 2 x M0 2 30 M（30）=ln 2 x M02 30=-101n2【解析】因为 30,则 3060A八 Z；A A M(60)=60 0 x 2 30=60 0 x =150解得。=60 0,所以例0=60 0 x 2 3。，那么 4 (太贝克），所以选D.18.（湖南文7）y 曲线s i n x-M（-,0）s i n J+c o s x2在点 4 处的切线的斜率为（)11V2V2A.2 B.2C.2
8、D.2【答案】B,_ c o s x(s i n x +c o s x)-s i n x(c o s x -s i n x)(s i n x +c o s x)2,所以y【解析】(s i n x +c o s x)2y i .x=-_219 .(湖南文8)已知函数x)=e -L g(x)=+4 x 3,若有/(a)=g S),则人的取值范围为A.2-&,2+向 B(2-V2,2+V2)c 1,3 D.(1,3)【答案】B【解 析】由 题 可 知/(x)=e T l ,g(x)=-x2+4 x-3=-(-2)2+l-1,解得2-8 b 0,2元 +1 w 12X|-,0 D（0,+o O）【解析
9、】卜2 J23.（江西文4）曲线y =e 在 点 人（o,D处的切线斜率为（）A.l B.2 C.e D.e【答案】A 解析y =,x =o,e=i24 .（江 西 文6）观察下列各式：则7?=49,7,=3 43,7,=24 0 1，则7 2 ”的末两位数字为（）A.01 B.43 C.07 D.49【答案】BX）=7、，/=49,/（3）=3 43,/（4）=2 401,5）=1 6807【解析】2 01 1-2 =2 009,/./（2 01 1）=*3 432 5.（江西理3）/(x)=若1l o g1(2 x+l)则/（X）定义域为A.(c.（一 会 为 D.（“+8）【答案】A2
10、x+l 0 x -0 2 _lxo的解集为A.（，+）B.（T，）U（2,+8）c.（2，+刃）D.（T，）【答案】C【解 析】/定义域为,又由/(x)=2x-2-2(X-2)(X +1)0 x x,解得-lx 2,所以/。）的解集（2，”）2 7.（江西理7）观察下列各式：55=3 1 2 5,56=1 562 5.57=7 81 2 5.则夕 的末四位数字为A.3125【答案】DB.562 5C.062 5D.8125【解析】观察可知当指数为奇数时，末三位为1 2 5；又 2 1 1 =5+2（1 004-1）,即5?。“为第1 004个指数为奇数的项，应该与第二个指数为奇数的项（5,=7
11、 8 1 2 5）末四位相同，的末四位数字为81 2 5，/、W、，Ef（x）=1,则满足/*）2的 x 的取值范围是A.I,2 B.0,2 C.1,+8 D.0,+2 ,则x）2 x+4的解集为A.（-1,1）B.（-1,+8）C.（-8,-1）D.（-8,+8）【答案】BXJ（x）=-3 0.（辽宁文6）若函数（2 x+l）（x-。）为奇函数，则 a=_2 3A.2 B.3 c.4 D.1【答案】A3 1 .（全 国 I 理 2）下列函数中，既是偶函数又在（什8）单调递增的函数是（A）（B）y=x+l（o%一/+i （D）y=2第【答案】B3 2 .（全 国 I 理 9）由曲线y =直线y
12、 =x-2及 y轴所围成的图形的面积为10 16（A）3 （B）4（C）3 （D）6【答案】Cy =-1-.3 3 .（全 国 I 理 1 2）函 数.x T 的图像与函数）=2 s i n;r x（2 4 x 4 4）的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 （B）4（C）6（D）8【答案】D3 4.（全 国 I 文 4）曲线y =，-2 x+l 在 点（1,0）处的切线方程为（A）（B）y =-x+i(C)y =2 i()y =-2 x+2【答案】A x|/(x-2)03 5.（全 国 I 文 9）设偶函数 能）满足f（x）=2 x-4（x N O）,则z、x x 4(A)i 1(B)0或x
13、 4中 6x L z【答案】B x x 2(D)3 6.（全国H理 2）函数,=24 （.0）的反函数为仆）=4 （S R）（B）=4（-0）（c）y=4/（xe R）（D）y=4/（X 加）【答案】B【命题意图工本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。yx【解析】由y=26,得=4 函数=24(x 0)的反函数为y=4.(x 0)3 7.(全国n理8)曲线y =e 3+1在 点(0,2)处的切线与直线 =和y =x围成的三角形的面积为J _ _ L 2(A)3 (B)2 (C)3 (D)l【答案】A【命题意图】：本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过
14、曲线上一点切线的方程的求法。【解 析】了 k产(-2 2)忆0=-2 ,故 曲 线y =/+1在 点(0,2)处的切线方程为 _y =-2、+2,易得切线与直线y =和y =X围成的三角形的面积为3。3 8.(全国I I理9)设/(X)是周期为2的奇函数，当0 x W 1时，/(x)=2 x(1-%),则_ j _ _ L L L(A)2 (B)4(C)4(D)2【答案】A【命题意图】：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。【解 析】一Th一9+2)=一=一9 =一2；一 二一；X C.y =2 s i n x3 9.(山东理9)函数 2 的图象大致是 1 _ 1 1 _ _ 1y =2
15、 c o s x y =2 c o s x 0 c o s x 【解析】因为2 ，所以令 2 ，得 4,此时原函数是增函数;y=2cosx 令 2，得 4,此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选c 正确.40.(山东理10)已知/(外 是R 上最小正周期为2 的周期函数，且当 W x 2 时,/(x)=V x,则函数卜=/(幻 的图象在区间 0,6 上与工轴的交点的个数为(A)6(B)7(C)8(D)9【答案】A【解析】因为当 x _ 2/-i D/i 2/(C)(D)【答案】B【分析】根据题意，确定函数)=/(”)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.【解析】选由/(一幻=/“)得=外
16、 是偶函数，所以函数=口 的图象关于y 轴对称,可知B,D 符合；由/*+2)=/(的 得 y=/(x)是周期为2 的周期函数，选 项 D 的图像的最小正周期是4,不符合，选项B 的图像的最小正周期是2,符合，故选B.4 3.(陕西文4)函数 的图像是y3（A）（B）（C）（D）【答案】B【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断.1 1 1 1x y 【解析】取 8,8,则 2 ,2 ,选 项B,D符合；取=1,则 丫 =1,选 项B符合题意.44.（上海理1 6）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（，+8）上单调递减的函数是（）,1y =I n ,（A）1%1.（B）y =x
17、.（C）=2 （D）y =c o s x【答案】A45 .（上海文1 5）下列函数中，既是偶函数，又在区间（，+）上单调递减的函数是（）（A）,=广 （B）（O y=x 2 （D）【答案】A、/（x）=d）*+i 、46 .（四川理7）若 X）是R上的奇函数，且当x 时，2 ，则 八幻的反函数的【解析】当 时，函数7（X）单调递减，值域为0，2）,此时，其反函数单调递减且图象在x =1与x =2之间，故选A.），=4），+147 .（四川文4）函数 2 的图象关于直线尸x对称的图象像大致是【答案】A【解析】.2 图象过点（，2）,且单调递减，故它关于直线产x对称的图象过点）且单调递减，选A.4
18、8.（天津理2）函数/（.）=2+3尤的零点所在的一个区间是（）.A (-2,-1)B(T O)c(0,1)D(1,2)【答案】B【解析】解法 L 因为“一2)=2-2-6 0,/(-1)=2-3。,所以函数x）=2*+3%的零点所在的一个区间是（T，）.故 选B.解法2./（力=2,+3=0可化为2、=_3 1.画出函数 =2 和y =-3 x的图象，可观察出选项c,D不正确，且/（）=2+（）（）,由此可排除A,故选B.x）=49.（天津理8）设函数l o g,x,l o g,(-X),.2x 0 x -。)则实数。的取值范围是().A.(T )U(0,l)B.(8，T)U(l,+8)c.
19、(-t o)u(i,+Co)口,Si)u(o，i)【答案】cl o g,a l o g,a【解析】若则 2 ,即幅。、所以al,l o g,(-a)l o g,(-a)(.若”0则 5 ,即2脸(-a)。，所以0-al,-l a 0。所以实数。的取值范围是。1或T a 0,即e（T，）U（L+）.故选c.5 0.（天津文4）函数 2的零点所在的一个区间是（）.A.（2，T）B.（T，）c.（）D.（1，2）【答案】c【解析】因为7）=e 一 一2 0,/（0）=e 0 +0-2 =-l 0）所以函数x）=e+x-2 的零点所在的一个区间是（）.故选C.5 1 .（天津文6）设噫 支匕=（嚏5
20、3），=1。85,则（）,A.acb B.bcaC.abc o bac=l o g,4=1,a=l o g54 1（a=l o g53 1所以b =（l o g 5 3 l o g 5 3o g 5 4l o g 5 4=a,所以人 a c,故选D.x）=（g（x）+x +4,x g（x）,5 2 .（天津文 1 0）设函数 g（x）=L 2 （xwR）,I g（x）-x,x N g（x）,贝/（x）的值 域 是（）.9A4,0U（1,+O O）B.rWA+8）-9 ）一,+o oc.1 4 J D.【答案】D92,0 U（2,+o o）【解析】解xO,贝或%2,因此xNg（x）=f-2的，/
21、、f x2+x +2,%2,fx）=解为：T xW2.于是 x-x 2,-l x 2,当x 2忖，/（x）2.当T W 2 时，I 2）4,则L 4又当x =-l和x =2时,x2-x -2,所以a-产（小。由 以 匕 可 得”x）2或因此 x）的值域是故选口.山）=卜一无 5 3 .（浙江理1）已知 f（x +）,x Q 则/+/（-2）的值为A.6 B.5 C.4 D.2【答案】B5 4.（浙 江 文 1 0）设函数x）=ax 2+b x +cAceR）,若 x =l 为 函 数/（工*的 一 个极值点，则下列图象不可能为=/（）的图象是【答案】D5 5 .（重庆理5）下列区间中，函数/（
22、x）=m（2-x）|在其上为增函数的是（A）（-0 0 （B）-3 _ （o-，2）（D）I?）【答案】D5 6.（重 庆 理 1 0）设 m,k为整数，方程九代一日+2 =0 在 区 间（o j）内有两个不同的根,则 m+k 的最小值为（A）-8（B）8（C）12 （D）13【答案】D5 7.（重庆文3）曲线y =-r+3 x在点（1,2）处的切线方程为 A（A）y =3 x-i（B）y =-3%+5（C）y =3 x +5 （D）y =2x5 8.（重庆文6）设 穹,吗8 c=城 则 生 4 c 的大小关系是（A）a b c（B）C b a（C“a c 力 c 2）在 =a处取最小值，则a
23、=（A）l+/2 （B）1+8(C)3(D)4【答案】C二、填空题6 0.(重 庆 文 15)若实数4 4 c 满足2 a+2/=2 a+b,2 a+2 b+2 C=2“+c,则C 的最大值是【答案】2-噫36 1.(浙江文11)设函数左 1 +x，若/伍)=2,则 实 数*【答案】-16 2.(天 津 文 16)设函数)”x.对任意工 )/()恒成,则实数2 的取值范围是【答案】(一 ，一 1).【解析】解 法 1.显 然 加工,由 于 函 数 X 对 x e|l+8)是增函数,则当加时，6)+?/(x)不恒成立，因此z 0.当，”0 时，函数力(力=八 同+矿在X L+8)是减函数,1 h
24、(x h(Y)=m一一因此当x =l 时，,刃 取得最大值 机，于是(x)=s)+时(x)0 恒成立等价”x)(x e l,+8)的最大值(0,-0,，/、1 mh=m-1?0(_ n r _ 1 即 m,M-1 9 得机 时,“+矿(力(。不成立，因此加.f(m x)+时(x)=mx-+mx-=2 m x-m x x nix2 m2x2-m2 C-0m x因为 x e l，+）,mo ,设函数 g（x）=2 x 2-l-x L+8）时为增函数，于是x =l时，8（力取得最小值g6=Lg（l）=/?22-l0,解I“，得 Z T.于是实数加的取值范围是（一 T）.解 法3.因为对任意 cL,小
25、时（无）恒 成 立，所 以 对x =l,f 1m-1J m“s）+x）0也成立，于 是“加）+矿。）0,即解1根 （团 一1.于是实数?的取值范围是（一8 一 1）.-3z./_ 2 1 ，十6 3.（天津理16 ）设 函 数 八 町=.对任意 L2,贝 IJ当不等式 0,上得f|-4 I2/(X)0m|1 -y+4/?2|x2-2 x-3 0整理得I m ).1 /2、2X+3/、21-+4m -g(x)因为x ,所以 ,设2 x +3x23X G,+C O21 2/、3 ）1-y +4 w 7-g（X）x e 彳，+8于是题目化为 m ,对任意 L 2 J恒成立的问题.g(x)=2x”3
26、xe j,+o o w =0 M)|=3 x4+2x2=8 I_L+4WJ2M9 3 3 ,所 以 小 一 皿(、8整理得1 2/一5加2 一3之0,即(4 一3)(3/+1)0 6Hl -所以41-3 20,解 得 一 2或 一 2m e -o o,因此实数机的取值范围是 I一 四 J g+oo一 21 +4川 g(x)解法2.同解法1,题目化为 m对任意3X ,+002恒成立的问题./、2 1+3g (X)=2为此需求 尸x e3,+002的最大值.27g(x)=t)设r =2 x+3,则 6,+8).44 fj+9/+2_69 9 3/+/+-6 +因为函数，在 上 是 增 函 数，所以
27、当7 =6时，取得最小值 2.4 _ 8,3 ,-3 1 I “2、(8h(t 6 +彳-6 1-T+4m g m ax(x)=W从而I)有 最 大 值 2 .所 以 机 3,整 理 得12m4-5m2-3 0,即(4-3乂3苏+1”。，所以4/-32。，解得“3或 机 号，(miin e -o o,-U ,+o o因此实数机的取值范围是 I 2 J L z2)./(x-l)+4/(z n)-/|+4/n2/(x)0解法3.不等式化为 I机,即(x-1)-l +4 7z/2-4-+1 +4 m2x2-4 m2 0m 整理得+4 m2 x2-2 x-3 0F(x)=|1-+W|X2-2X-3令
28、l机 J由 于/()=-3 0;m在小_ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ 2附23(百】m2-me-8,一 亏解得 4 ,因此实数机的取值范围是 1/邛，,解法4.(针对填空题或选择题)山题设，因为对任意 L 2/仕 -4 m 2/(x)4/(X-1)+4/(相)恒成立，x =-/fA L4/7(x)0,得1 2/_ 5加2_3NO,即(4 T(3”+1)2 0,所 以 痴即2上式两边同乘以4机，并整理 67/2 0,解 得 一 2或m G因此实数2 的取值范围是 00,-2U ,+002)1(1g-1g 2 5)4-100 2 =6 4.(四川理13)计算 4 .【答案】-2
29、 0(lg，-1 g 2 5)+1 00?=-2 xlg 2 +15=-2 x lg l04-=-2 0【解析】4 1 065 .（四川理1 6）函数x）的定义域为A,若 且时总有再=%,则称x）为单函数.例如，函数x）=2 x+l（xeR）是单函数.下列命题:函数f（x）=f（x W R）是单函数；若/（X）为单函数，占,4且占 二%，则/（占）#/（%）；若 f：A-B为单函数，则对于任意匕eB,它至多有一个原象；函数“X）在某区间上具有单调性，则”X）一定是单函数.其 中 的 真 命 题 是.（写出所有真命题的编号）【答案】【解析】对于，若/（为）=/（），则=，不满足；实际上是单函数命
30、题的逆否命题,故为真命题；对于，若任意b e B ,若有两个及以上的原象，也即当占）=/（%）时，不一定有占=，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题不满足条件.66.（上海文3）若函数 x）=2 x +l的反函数为广（x）,则广|（一 2）=_ 3【答案】2a b（a,b,c,d e -1,1,2 67.（上海文1 2）行列式,d 所有可能的值中，最大的是1 5【答案】268 .（上海文1 4）设 g*）是定义在R上，以 1 为周期的函数，若函数/（x）=x +g（x）在区间1 J 上的值域为 一 2,5 ,则f（x）在区间 0,3 上的值域为【答案】户2,769.（上海理1）函数 x 2
31、 的反函数为了 W-+2【答案】xa b（a,b,c,d G-1,1,2）70.（上海理10）行列式,d 所有可能的值中，最大的是.【答案】671.（上 海 理 13）设g（x）是定义在R 上，以 1 为周期的函数，若函数 x）=x+g（x）在区间 3,4 上的值域为-2,5,则/（x）在区间G O/。上的值域为【答案】T J 1 Igx.x 0f（x）=&72.（陕西文 11）设 U ，x，,则/（/（-2）=【答案】-2【分析】由 =-2 算起，先判断的范围，是 大 于 0,还是不大于0,；再判断了（一 2）作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果.【解 析】；=-2 0,所 以/（10
32、=）=炮10=-2,即/(/(-2)=-273.（陕西理11）设x 0X ,若/(/)=1,贝 ija=【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从 x=l 算起是解答本题的突破口.【解析】因为=1 ,所 以/=电 1 =,又因为 Mx+C/力=+/,所以 f（0）=/,所以 丁=1,4=1.【答案】174.（陕西理12）设,一元二次方程*2-4x+“=有整数根的充要条件是“=【答案】3或4【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算.4 J1 6-4【解析】2=2?,因为尤是整数，即为整数，所以为整数，且”勺 又因为取=1,2,3,4,验证可知 =3,4符合题
33、意；反之=3,4时，可推出一元二次方程/4x+=有整数根.75.（山东理 16）已知函数f（x）=bg“x+x b（a0，a*l）.当 2a3b0，且a。DR的根为无,即函数y=log,x（2 a 3）的图象与 函 数=彳 一/3 匕4）的交点横坐标为匕，且玉）6（”,+1）,*,结合图象,因为当x=。（2 a 3）忖,丫 =1,此时对应直线上”=1的点的横坐标犬=1 +4 5）；当y=2时,对数函数=lg M2 a （3 b 4【解析】设经过原点的直线与函数的交点为 X,X,则 Y X.本题主要考查黑函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，两点间距离公式以及基本不等式，中档题.2
34、x +a,x it 若/（1 一 幻=/（1 +“），则 2的值为_ _ _ _ _ _ _ _3a =【答案】4【解析】:.3 3 0,2-2。+=-l-a-2a,a =a 0）的图象上的动点，该图象在P处的切线/交y轴于点M,过点P作/的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为3贝U t的最大值是1 z 1、不（e +一）【答案】2 e【解析】设尸（/，/）,则 =9。一%）,;.”（0,（1 一%）/。）,过点p作/的垂线y-ex=一1 *一/）,.t N（0,e +xGex）f =；（1 一 4）e 8 +*+x（）e f =e +；（e 一e ）f -2（28 5 .（北京理1
35、3）已知函数 1（X 1）3,X 2,若关于x的方程/a）=上有两个不同的实根，则实数k的 取 值 范 围 是.【答案】/（）_ 2（2）【解析】*单调递减且值域为（0,1,/（x）=（xTP（x 0 可得X2 +X-6 0,即（X+3）（X-2）0,所以 3 X 0,知a x2-2a x+1 0在R上恒成立，因此A =4a 2 _4a =4a（a _l）W 0,由此并结合”0,知0 0时，/（幻 在（-8,一外和（3+8）上递增，在（3%）上递减；当&-w z n/（x）0时，e；所以不可能对Vxe（0,+00）都有 e；4人2f（-k）=-当攵 一一 k 0 J m、/(%)-一一,0)即
36、e e 2，故对VW+8)都有 e时，%的 取 值 范 围 为2。8 9 .(北京文1 8)已知函数/(”)=(i)J(D求/(”)的单调区间；(I I)求在区间 上的最小值。解：(I)r(x)=(x-A +W,令r(x)=0 nx=k 1；所以/(%)在(F，T)上递减，在(-1,+8)上递增；当1 40,艮 我 父 时,函 数,(X)在区间NJ上递增,所以/(R m =/(0)=-女；当0k一 1 W 1即1 攵 1,即女2时，函数/(X)在区间NJ上递减，所以/(X)m i n=/=(1-块。9 0.(福 建 理1 8)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与
37、销/7cy =+1 0(x-6)2售价格x(单位：元/千克)满足关系式 x 3，其中3 x a =2解：(I)因为x =5时y =U,所以2；2y =+1 0(x-6)2(H)由(I)知该商品每日的销售量 x-3,所以商场每日销售该商品所获得的利润:2/(x)=(x-3)+1 0(X-6)2 =2+1 0(X-3)(X-6)2,3X 令/(x)=0得=4函数/*)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x =4时函数/(x)取得最大值/(4)=42答：当销售价格x=4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.91.（福建文 22）已知 a、b 为常数,且 a#）,函数4x）=
38、ax+b+axlnx,f（e）=2,（e=2.71828.是自然对数的底数）。（I）求实数b的值；（H）求函数出x）的单调区间；（III）当a=l时，是否同时存在实数m和M（m 0时单调递增区间是（1,+s）,单调递减区间是（0,1）,a0,。工0.过（。力）作心的两条切线/1，/21 ,1 ,E(p,-pt2),EP2,-P22)切点分别为 4 4与y分别交于尸，/.线段E F上异于两端点的点M伍 e X o园|闱o H=与集记为X.证明：2设 =（x,y）y W x-l,”1（x+l）2-2、当 点（p,q）取遍口时，求、4 49（P，q）的最小值（记为夕m in）和最大值（记为Omax）
39、心8解：（1 ）12P o1 2_1 z、y：Pn=7 0（*-，0）直线AB的方程为 4 2112y -pox-po，即11O 1 -y H IP l-ly ll 0 4|区|。|f，-|MP|一|勺 凶 身 BP-勺$Pl勺 凶 勺22 2,得 2 2 2,:叭 P，=1 -y-1(2)由 力-4。知点M(a,)在抛物线L的下方，当。时，作图可知，若M(a，b)e X,则8加？。，1 A|P2 I.若 I A 1 1 Pi I,显然有点加他力)e X .：.M(a,b)e X|p2当a 0,0 P 2,且 出|51；若 出 5 1,显然有点M(a,)e X；：.M(a,b)eX=|8|p2
40、 I.根据曲线的对称性可知，当。|p 2综上所述，M(a,。)e X=|P|P2|(*)；2 A丫j 2 -一-外 Qa -P-由(1 )知点M在直线EF上，方程%-数+8=的 两 根 2或 2,_ P?P?2 X 2 =-Q-同理点M在直线E/上，方 程 式 ax+b=的 两 根 2或 2,0(a，6)=|g|-y I l-y I I 与I 1”勺1若 2,贝I J 2不比 2、2、2小，-I P 1 1 Pi I,又I A l l Pi I =M(a,h)G X ,(p(a,/?)=|=(p(a,b)=2 M(a)eX；又 由(i)知，M(a,b)eX 2.(pa,b)=1 o 人、v2
41、M(a/)e X,综 合(*)式，得证.v=(x+1)2(3)联立y=x T,4 4得交点(0，-1)，(2,1),可知 p 2,1 I1过点(P，幻作抛物线L的切线，设切点为 4，则X。2,得x02 2px0+4=0,解得/=p+Jp2 _4q,1 5又 4(+l)W,即 p2-4q 4-2p,.+收可,设.%-2：一。、；,夕max I I max 入0 彳 -8max 72,又 2,4.：q p+Jp2-4 p +4=p+|p-2|=2，=|-y lmin=193.(广东文1 9)设a,讨 论 函 数/(x)=lnx+a(l a)x2-2(l_ 0 x的单调性.解：函数f(x)的定义域为
42、(0,+oo)F、_ 2。(1 2(1 -+1J(x)=X当a *1时，方程2 (1 一 )/-2(l-a)x+=0的判别式 =1 2仅 一 1)(-；)当0a 时，A 0/(x)有2个零点1 -1)(3-1)1 ,7(-l)(3 a-l)-2a 2 a(l-a)-2a 2a(l-a)且当0 冗 时，f V)0,/(工)在(0,工)与(冗2，+0 0)内为增函数；当X 时，(X)O J(X)在(%,X 2)内为减函数当;4a 0 J(x)在(0,+8)内为增函数；当a =1时，f (%)=-0(%0)J(x)在(0,+8)内为增函数；X当a 1时，A 0,x1=-在 学 3”n 0,毛=_L
43、+3a/0,所以r(x)在定义域内有唯一零点演;2a 2a(l-a)2a 2a(l-a)且当0 x0,/*)在(0,占)内为增函数；当x*时，/(幻0,/)在(*,+)内为减函数；综上所述，fix)的单调区间如下表:06Z -3 a l(0,x,)(不,2)心,+8)(0,+8)(0,x,)(X,+O O)1 -)(3a 1)1-1)(3 -1)x,=-,=-1-(其中 2a 2a(l-a)2a 2a(l-a)94.(湖北理17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度V (单位：千米/小时)是车流密度 (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到2
44、00辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0：当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明：当2 0 苫4 20时-，车流速度V是车流密度X的一次函数.(I)(II)小时)当0 4 x 4 2 0 0时，求函数M H的表达式；当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/(x)=rv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：()由题意：当0W xW 20时，心)=60；当20WXW200时，设 心)=鬼+,2 0 0。+b =0显 然 心）=a x +，
45、在 2 0,2 0 0 是减函数，由已知得.2 0 a +b =6 0,解得1a =3,200b =-36 0,0 x 2 0,/（2 0 0 X）,2 0 W x V 2 0 0.故函数吠月的表达式为吠犬）=36 0%,0 x 2 0,/x -x（2 0 0-x）,2 0 X 2 0 0.（I I）依题意并由（I ）可得外以二13当0 W x 4 2 0时，x）为增函数，故当x =2 0时，其最大值为6 0 x 2 0 =12 0 0；当 2 0 x W 2 0 0 时,阳=夫（2。-小；产等雪=竽当且仅当 =2 0 -x,即X=10E I寸，等号成立.10 0 0 0所以，当x =10 0
46、时，/（x）在区间12 0,2 0 0 上 取 得 最 大 值3loooo _ 3 3 3 3综上，当x =10 0时，f（x）在区间 ，2 0 0 上 取 得 最 大 值3 ,即当车流密度为10 0辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 3 3 3辆/小时.9 5.（湖北理2 1）（I ）已知函数/（幻=1-x+1,x s（0,+c o）（求函数/（幻的最大值;（11）设如，“仪=1，2，）均为正数，证明:(1)若%+a 2b 2+a 11bl i bt+b2+b“,则a,唠 an 0%4 n%池(4 一1),(女=1,2,)n，才4(4-1)k 卜 ,/.k=A-=1?也4丝号叫K。
47、即 卜 磅 040=-靖4 I,b网 环 J%=工伙=1,2,)。也=却也=1 先 证 ，令 叫 ，则 一 七一(=7)(I (7声41=7T T F 、再证犷婷婿42+0/由综合，(2)得证所 以 机 婿/J+Y/J1 )得9 6.(湖北文 2 0)设函数/。)=1 +2狈2+以+。g(x)=x 2 _ 3 x +2 甘+“肥，央甲人U 、为常数，已知曲线)=/(x)与y =g(x)在 点(2,0)处有相同的切线/。(I)求a、b的值，并写出切线/的方程:若方程/3+g(x)=皿有三个互不相同的实根 ”?其中况且对任意的X心，g)+g(x)g _ i)恒成 立,求实数m的取值范围。解：八，g
48、 (x)=2.3,由曲线曲线/与 =g(x)在 点g o)处有相同的切线,故有2)=g(2)=0，r(2)=g/(2)=l,由此解得：。=一2力=5.切线/的方程：x-y-2 =0t黑5依程 0，斗 ,故,X2是 方 程x2-3x +2-m =0的 两 个 相 异 实 根，所 以=9-4(2-m)0 =一；又对任意的“人，/(x)+g(x)z(x-D恒成立，特别地，取=须 时，/a)+g(x j 加X 一机成立，即0 m 0,x,x2=2-m 0 ,故0/,对任意的工目王,4,有x -x2 0,x 0 则/(X)+g(X)_，”X =X(X _ X|)(X _ X 2)W0 ：又/(X 1)+
49、g(X|)-，X 1=0所 以 函 数 在x e 和上 的 最 大 值 为0,于 是 当 团0时 对 任 意 的”式 占 多,(-1 0)/(x)+g(x)1 I a x -a x +1/(x)=l +=2 X X X令g(x)=X 2-a x +l,其判另|J式=a2-4.当|a区2时，0,/(%)2 0,故/(x)在(0,+0 0)上单调递增.当。-2时，0,g(x)=0 的两根都小于 0,在(，+)上，/),故/(x)在(0，+)上单调递增._ a-la2-4 _ a +a2-4当。2时，0,g(x)=0 的两根为 2 2 ,当0%0；当 X|X%2 时，/（%）0 ,故f（x）分别在（
50、0,X|）,（，+0 0）上单调递增，在（芭，工 2）上单调递减.（II）由 知，。2./(王)一/0,)=(%一 2)+-a(lnx,-lnx2)因为 斗当,所以k=/(%)-/(%)=+J_aX|T n w%1 X2 X1X2 X-X2,c Inx.-In x.k=2-a-!-又由(I)知，&=1.于是 斗 _ 2若 存 在a,使 得k=2 a则x!-x2 .即 仙 王 Inx?=玉 乙,亦 即x2-2 In x2=0（x2 1）（*）&/z（f）=t-2 In f/八、再 由（i）知，函数 t 在（&+8）上 单 调 递 增，而尤2 i,所以x2-2 1 n x2 l-2 1 n l=0