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1、第 八 篇 立 体 几何第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图【2014年高考会这样考】1.考查空间儿何体三视图的识别与判断.2.三视图和其他的知识点结合在一起命题.抓 住3工 考 点 必 考 必 记 夯基固本对应学生105考点梳理1-空间几何体的结构特征(1)多面体棱柱：棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是金笠且生红的多边形.棱锥：棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.棱自：棱价可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.(2)旋转体圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到.圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面
2、截圆锥得到.球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.2.三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的画法画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图.观察简单组合体是由哪几个简单儿何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置.3.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴、y 轴的夹角为45。，z 轴与/轴 和 V轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标
3、轴.平行于x 轴 和 z 轴的线段在直观图中保持原长度丕变，平行于/轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.【助 学 微博】两个重要概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四血体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.三个规则三视图应遵循的规则(1)画法规则：长对正、高平齐、宽相等.(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.(3
4、)线条的规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见轮廓线和棱用虚线画出.考点自测1.下列说法正确的是().A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥I ).棱舍各侧棱的延长线交于一点答 案 D2.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个().正视图 侧视图俯视图A.棱 台 B.棱 锥 C.棱 柱 D.都不对解析从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台.答 案 A3.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是().A.圆 柱 B.圆
5、锥C.球 体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面.答 案 C4.（2 01 2 福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）.A.球B.三 棱 锥 C.正 方 体 D.圆柱解析c球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和 C.对于如图所示三棱锥（9-4 及 7,当。、OB、QC 两两垂直且%=加=%时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.答 案 D5.如图，过比的平面截去长方体的一部分，所得的几何
6、体 棱柱（填“是”或“不是”）.解析 以四边形/ABB和四边形 D C C为底即知所得几何体是直四棱柱.答 案 是0 2;突 破 底 考 回 研析案也茎包哭破对应学生1 0 6考向一空间几何体的结构特征 例 1 A 给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；直角三角形绕其任边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）.A.0 B.1 C.2 D.3 审题视点根据圆柱、棱锥、圆锥、棱台的结构特征判断.解析不一定，只有这两点的连线平行
7、于轴时才是母线；正确；错误.当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示，它是由两个同底圆锥组成的儿何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.答 案 B方法锦囊(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.【训 练 1】给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧
8、面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其中不正确的命题的个数是_ _ _ _ _ _ _ _ 个.解析认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故都不准确，中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确.答 案 4考 向 二 空间几何体的三视图例 2(2012 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是().A B C D 审题视点根据正视图和侧视图相同逐一判断.解析 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚
9、线，因此俯视图不可能是D.答 案 D方法锦囊(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；(2)由三视图还原实物图，这一题型综合性较强，解题忖首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是山这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步:看视图，明关系；分部分，想整体：综合起来，定整体.【训练2】下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是().正方体 阳锥 三梭台 正四校候A.B.C.D.解析正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正
10、四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以正确.答 案 D考向三空间几何体的直观图【例 3】-一知正三角形4 宛的边长为a,那 么 的 平 面 直 观 图/B C的面积为().A.%B.%4 8C 漏D 混8 1 6 审题视点画 出 正 三 角 形 的 平 面 直 观 图/B C ,求 片B C的高即可.解析如图所示的实际图形和直观图.1由斜二测画法可知，A B=AB=a,O C =OC=r-a,乙 4在图中作r D LA 夕于，答 案 D方法锦囊 对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S 之间的关系S，=彳能进行相关问题的计算.【训
11、练3】如图所示，直观图四边形B C D 是一个底角为4 5。，腰和上底均为1 的等腰梯形,那 么 原 平 面 图 形 的 面 积 是.解析把直观图还原为平面图形得：在直角梯形/比。中，AB=2,BC=y 2+l,.,.面积为 黄（2+2）X 2=2+7 2.答 案 2+203 揭 秘4年高考 权威解读真题展示对应学生1 0 7热点突破1 7-快速突破空间几何体三视图的判断【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对空间几何体的三视图的判断主要考查三个方面：（1）已知儿何体，判断三视图；（2）已知几何体三视图中的两个视图，判断第三个视图；（3）由三视图判断或画出几何体.题型均以选择题的形式出现，难度
12、不大.【真题探究】a正视图俯视图（2011 山东）如图所示，长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题：存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图所示；存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正视图，俯视图如图.其中真命题的个数是（）.A.3 B.2 C.1 D.0 教你审题只要想到“横躺”的柱体，命题就不难判断.解法底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此正确；当圆柱侧放时（即侧视图为圆时），它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确.答案A 反思三视图，关键在
13、“视”.要弄清楚“怎么视”，“从何角度视，“看”到 的“平面”是什么.【试一试】已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2 的正三角形，侧视图是有一直角边为2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）.解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2,正视图和俯视 图“长对正”，故正视图的底面边长为2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.答 案 C041 限时规范现练对应学生2 9 1阶梯训练能力提升A级 基础演练（时间：3 0 分钟 满分：5 5 分）一、选择题（每小
14、题5 分，共 2 0 分）1 .给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是（）.A.0 B.1 C.2 D.3解析 反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长,故中不能组成正六棱锥；显然错误，故选A.答 案 A2 .以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（）.A.球的三视图总是三个全等的圆B.正方体的三视图总是三个全等的正方形C.水平放置的
15、正四面体的三视图都是正三角形D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆.答 案 A3 .（2 0 1 2 陕西）将正方体（如图（a）所示）截去两个三棱锥，得到图（b）所示的几何体，则该几图(a)图(b)ABCD解析还原正方体后，将，D,1 三点分别向正方体右侧面作垂线，/的射影为G?,且为实线，8 c 被遮挡应为虚线.答 案 B4.（2011 浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个儿何体的直观图可以是（).正视图侧视图俯视图解 析 A,B 的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答 案 D二、填空题
16、（每小题5 分，共 10分）5.如图所示，E、尸分别为正方体被力一4 8 4 的面/如4、面以匕5 的中心，则四边形“6 在该正方体的面ZTG以上的投影是一（填序号）.解 析 6在面D C C D上的投影为C,F、在面D C C D上的投影应分别在边CQ和 以 上，而不在四边形的内部，故错误.答 案 6.一个几何体的正视图为-个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_ _ _ _ _ _ _（填入所有可能的儿何体前的编号）.三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱.解 析 显 然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形；三棱柱的正视图也可以是三角形（把三棱柱放倒，使一侧面贴在 后、地面上，并让其
17、底面面对我们，如图所示）；只要形状合适、（工摆放适当（如一个侧面正对着观察者的正四棱锥），四棱锥，/，的正视图也可以是三角形（当然，不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形），即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形（可以验证，随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形）.综上所述，应填.答 案 三、解答题（共 2 5 分）7.（1 2 分）已知：图 a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图 b是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成.俯视图图a图b解 图a几何体的三视图为:俯视图图b所示的儿何体是上面为
18、正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体.8.（13分）已知圆锥的底面半径为r,高 为 小 且 正 方 体/9-4 6 6内接于圆锥，求这个正方体的棱长.解 如 图 所 示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为处则在轴截面中，正方体的对角面AACG的一组邻边的长分别为x和V M N,.y2x h x.2rh 2 r h，X2r+y/2/i即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r+y2/iB级 能力突破（时间：30分钟 满分：4 5分）-、选择题（每小题5分，共10分）1.（2013 温州质检）下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是解 析 在这个正方体的展
19、开图中，与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线互相平行，.选B.答 案B2.一个锥体的正视图和侧视图如图所示，F面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是().解析 选项C不符合三视图中“宽相等”的要求.答 案 C二、填空题（每小题5分，共 1 0 分）3 .利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形.以上正确结论的序号是_解析 由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误.答 案 4 .图（a）为
20、长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_ _ _ _ _ _ 块木块堆成；图（b）中 的 三 视 图 表 示 的 实 物 为.图侧视图图图（a）图（b）侧视图解 析（1）由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由 4 块长方体组成.（2）由三视图可知几何体为圆锥.答 案 4 圆锥三、解答题（共 2 5 分）5 .（1 2 分）正四棱锥的高为水,侧棱长为 小，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解 如 图 所 示，在正四棱锥S-1 6（力中，高 0S=小,侧棱必=S B=S C=S D=y 7,在 R t/X S Q I 中，0A=yj S A-0St=
21、2,：.AC=4.：.A B=B C=折 1%=2 近作OEL AB于 E,则E 为4 8 中点.连接防，则防即为斜高，在 R t Z S 0 中，,：OE=；BC=y i,S0=&:.SE=&即侧面上的斜高为乘.6.（1 3 分）如 图 1 所示的三棱锥的三条侧棱0A.0,胡。为锐角.同理，N ABC、Z a+b yj c +a4 也是锐角.综上所述，该儿何体的面中共有三个直角三角形.,该三棱锥的侧视图应是图2.1B AB-V-C该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，ABVBC,ABVBD,BDVCD,，吐 面 板，J.DCVAD,.也是直角三角形.，该几何体的面中共有四个直角三角形.特
22、别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 创新设计高考总复习光盘中内容.第 2 讲 空间几何体的表面积与体积【2014年高考会这样考】1.以三视图为载体，考查空间几何体的表面积与体枳.2.利用展开图考查空间几何体的侧面积与表面积.0 1 抓 住2个考点必考必记夯基固本对应学生108考点梳理1.柱体、锥体、台体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和.(3)旋转体的侧面积和表面积若圆柱的底面半径为，母线长为1,则S 财=2 n rl,S n=2 n r(r+1).若圆锥的底面半径为r,母线长为1,则SM=n
23、 rh S*=J t r(r+J).若圆台的上下底面半径分别为r、r,则Sa i -J t r+r)1,S*=n (r +r /+r/+广).若球的半径为R，则它的表面积S=4 n K2.几何体的体积公式圆柱的体积公式/=三星.所有棱柱和圆柱的体积公式可以统为匕尸函其中S 为底面积，力为高.(2)圆锥的体积公式v r h,棱 锥 的 体 积 公 式 圆 锥 和 棱 锥 的 体 积 公 式 可 以 统 一o*5为其中S 为底面积，力为高.O(3)圆台的体积公式为 勺 9 b 2+r r+冷力，棱台的体积公式为七：(+而1+O J vS力，圆台和棱台的体积公式可以统一为人=；(+小 公 +O h,
24、其中S、S 分别为上、下底的底面积，力为高.4球的体积公式为 J【助 学 微博】两点提醒(1)关于公式要注意几何体的表面积公式和体积公式中各个数据的准确性，不能用错公式.(2)关于组合体转化对于生产生活中遇到的物体，可以转化为由简单的几何体组合而成，它们的表面积与体积可以转化为这些简单的几何体的表面积的和与体积的和.两个关注点与球有关问题的关注点“切”“接”问题一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系.（2）特殊图形可以用补图的方法解答.考点自测1.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（).解析设圆柱底面圆
25、的半径为A.4 n s B.2 n S C.n S又/?=2 n L 2寸 n S,/.S 网 林 则=(2)n 2 -=4 J t S答 案 A2.(2 0 1 2 湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.8 nA.zoB.3 n解析 由三视图可知该几何体的体积勺nX 12X 2+1X o r X/X 2 =3 n .答 案 B3.（2 0 1 2 安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是侧（左）视图俯视图解析 通过三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱.所以该几何体的表面积是 2 x g x （2+5）X 4+2X 4+4X 5+4X 4+4X 5=9
26、2.答 案 924.（2012 上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2”的半圆面，则该圆锥的体积为解析 因为半圆的面积为2 n,所以半圆的半径为2,底面圆的周长为2”,所以圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,所以圆锥的高为小，体积为:人JO答 案专5.已知矩形曲的顶点都在半径为4 的 球 0 的球面上，且 四=6,BC=2事,则棱锥。一 4腼的体积为 一.解析依题意棱锥方4腼 的 四 条 侧棱长相等且均为球。的半径，如图连接AC,取 47中点0,连接比.易知“=1就+秘=4 木,故 4。=2#.在 R tZfl4O 中，（24=4,从 而 00,=、4-12=2.所以 Vo-sn ai -z
27、X 2 X 6 X 2,y3 83.（2012 北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）.1 2 T-3-I正视图侧视图俯视图A.28+6m B.30+6南C.5 8+1 2 m D.6 0+1 2季 审题视点根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积.解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中平面BCD,CDVBD,且CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,Af=4.：.AD=5.又 CDL BD,CDVAE,则 制J _平面/劭，故O U./，所以力、何且%1 0.在RtZU幽 中，加?=4,庞=2,故4?=2小.在Rt2 6(中，故=5,勿
28、=4,故见腼=1 0,且&1=而.在加 中，4 =4,劭=5,故区减=1 0.在4阿 中，AB=2&BC=AC=而,则4?边上的高方=6,故&械二，义2m义6=6班.因此，该三棱锥的表面积为5=3 0+6 5.答 案B方法锦奈(1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到儿何体的直观图，然后根据条件求解.(2)多面积的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.【训 练1】个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是().A.372B.360 C.292解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组
29、合而成的几何体.下面长方体的表面积为8X10X2+2X8X2+10X2X2=232,上面长方体的表面积 为8X6X2+2X8X2+2X6X2=152,又二 长方体表面积重叠部分，,几何体的表面积为 232+152-2X6X2=360.答 案B考向二儿何体的体积 例2 （2012 山东）如图，正方体47必一46G 4的棱长为1,E、尸 分 别 为 线 段4 c上的一点，则三棱锥 一 的 的 体 积 为.审题视点利用等体积转化法求解.解析 因为 点在线段44上，所 以S 物=3 x iX l=3,又因为尸点在线段5 c上，所以点尸到平面幽的距离为1,即方=1,所 以VK-EDF=VF DE队=、X
30、$/DED又h=；X q X =出答 案 上方法锦囊(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出儿何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【训 练 2】如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为().俯视图A.4 4 B.4C.2#D.2解析 由三视图可知此几何体为四棱锥，高为3.所以2 1 5 X 2 X 3=2#.o J Z答 案 c考向三与球有关的组合体【例 3
31、】A 某几何体的三视图如下图所示(图中长度单位：c m),其中正视图与侧视图相同,则 该 几 何 体 的 体 积 为俯视图 审题视点山正视图和侧视图知几何体分三部分：柱、台、球，再由俯视图确定几何体由圆柱、圆台、半球组成.解析 由三视图可知，该几何体是由圆柱、圆台、半球组合而成，易知圆柱的底面半径为1,高为2,圆台的上、下底半径分别为1、4,高为4,半球的半径为4.*,/圆 柱=兀 X 1 X 2 2 ,/圆 台=主义(12+42+1 X4)X4 =2 8 五,O1 4 3 1 2 8/半 球=5义 三 冗X 4 =n ./J O 几何体的体积为v=2 n +2 8 n +n =n (c m3
32、).o o依g 2 1 8答 案 方造线 襄?(D 已知与球有关的组合体的三视图，要将其还原为儿何体，对组合体的表面积和体积可以分割计算.(2)处理与几何体外接球相关的问题时,一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系.解决与棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线即为外接球直径这一知识.【训 练 3 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的左，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大1 6者的高的比值为_ _ _ _ _ _ _.解析如图，设球的半径为反圆锥底面半径为八由题意得3n r =X 4 兀：10:.oa=
33、1 正体积较小的圆锥的高力。=7?:倍=,体积较大的圆锥的高夕。=什 9=兄故这乙 乙 乙 乙 乙两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为*答 案 Io03二 揭 秘3年高考对应学生1 1 0权威解读真题展示方法优化1 0 巧妙求解空间几何体的表面积和体积【命题研究】通过近三年的高考试题分析，主要考查已知三视图，还原几何体，求几何体的表面积和体积.题型为选择题或填空题，题目难度中等.【真题探究】A （2 0 1 2 广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）.俯视图A.1 2 n B.4 5 nC.57 n D.81 n 教你审题第 1 步 还原几何体，由三视图可知，该儿何体是一
34、个圆柱和圆锥的组合体.第 2步 利用基本公式求解.优美解法由三视图可知，该几何体是由底面直径为6,高为5 的圆柱与底面直径为6,母线长为5 的圆锥组成的组合体，因此，体积为J i X32X 5+1X J t X 32X /52-32=57 n.答案C 反思（1）对组合体的三视图还原为几何体的问题，要从接触面突破；（2）对组合体的表面积、体积可以分割计算；（3）在三视图向几何体的转化过程中，有关数据要正确对应.【试一试】已知某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的表面积和体积分别为解析 由三视图可知，该几何体的下部是-底边长为2的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长.所以长
35、方体的表面积为S=2X2X2+4X2X4=4 0,长方体的体积为%=2X 2X 4=16,球的表面积和体积分别为=4X71X12=4”,4 4 n=-X n X l3=,故该几何体的表面积为5=S+S=40+4 JI,该几何体的体积为VO O4”=匕 +=16+z-.、4叮答 案40+4n16+04 限时规范训练对应学生 293阶梯训练能力提升A级 基础演练（时间：30分钟 满分：55分）一、选择题（每小题5分，共20分）1.（2013 东北三校一模）个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为（）.俯视图A.2+A/3B.1+73C.2+273 D.4+3解 析 依 题 意 得，该几何体的侧视
36、图的面积等于22+3 力 比 如 图(b)所示.(1)求证：&IL平面4微(2)求 几 何 体/6C的体积.(1)证 明 在 图 中，可得4c=8C=2啦，从 而 初+小=4，故 心6C,又平面/加_ 平面/8 G平面4 疗1平面4%=4 7,比U平面4 6 C,比1平面4az(2)解 由可知，6c为三棱锥8一7?的高，B C=2 S 2aI=2,VB-ACD=S ACD*BC z X 2 X 22=,J J J由等体积性可知，几 何 体 片4%的体积为二卜.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 创新设计 高考总复习光盘中内容.第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
37、【2014年高考会这样考】1.考查空间线面平行、垂直关系的判断.2.考查空间线面平行、垂直关系与命题或充要条件相结合.0 1 抓 住3个考点必考必记夯基固本对应学生in考点梳理1.平面的基本性质(1)公 理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公 理3：如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有条过该点的公共直线.(4)公理2的三个推论：推 论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面:推论3：经过两条壬直直线有且只有一个平面.2.空间中两直线的位置关系(1
38、)空间两直线的位置关系 平行共 面 直 线 不I相父异面直线：不同在任何一个平在内(2)异面直线所成的角定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点0作直线4 a,b /b,把a 与b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与人所成的角(或夹角).范围：(0,y .(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、壬红、在平面内三种情况.平面与平面的位置关系有壬红、相交两种情况.【助学微博】一个理解异面直线概念的理解(1)“不同在任何一
39、个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行.(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线.两种判定方法异面直线的判定方法(D判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面.考点自测1.下列命题是真命题的是（）.A.空间中不同三点确定一个平面B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面C.一条直线和一个点能确定一个平面D.梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错：空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B
40、错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故 D正确.答 案 D2 .和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）.A.异 面 B.相交C.平 行 D.异面或相交答 案 D3 .三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（）.A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 3答 案 D4 .空间两个角。，的两边分别对应平行，且。=6 0 ,则 尸 为（）.A.6 0 B.1 2 0 C.3 0 D.6 0 或 1 2 0 解析 由等角定理可知=6 0 或 1 2 0 .答 案 D5 .如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的卜二条棱中共有异面直线对.解析如图所示，与 4 8 异面的直线有5
41、G,CG,4几 如 四 条，因为各棱具有相同的位置且正1 o y 4方体共有1 2 条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线-=24（对）.答 案 2 4021突 破3个考向 研 析 案 更 考向突破对应学生112考 向 一 平面的基本性质及其应用【例 11 如图所示，在正方体1腼-4 5 G A中，E、尸 分 别 是 和4 4的中点.求证:(1)氏a 4、尸四点共面；(2)区仄 F、刃三线共点.审题视点(1)由所 3 可得；先 证CE与尸相交于P,再证PR AD.证 明 如 图，连 接 砥C h AXB.,:E、尸分别是4?、的中点，：.EF/Ai B.又 AM DyC,：.EF/CDy,:瓜
42、a 4、少四点共面.：EF CDy,EF s i n 3 0 0 =1,又 POL OB,:.P g B O t an 60 =#,:底面菱形的面积S 篓 彩 物=2 1 5.四棱锥产一4的体积 小的=；X 2#X#=2.(2)取 4 6的 中 点 凡 连 接 跖DF,:E 为 PB中 点,：.EF/PA,./颇 1 为异面直线班1 与序所成角(或其补角).在Rt 4 4 仍中，4名AO AB*co s 3 0 =事=OP,r.在 Rt 故1 中，PA=乖,：.EF -.在正三角形4 川和正三角形 板 中，DF=DE=取用+E P-D 户小二婚/与亚 c os4 DEF=-c 八 厂 八,=-
43、=-=r=.-即异面直线应与必所成角的余弦值为乎.4特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 创新设计 高考总复习光盘中内容.第 4讲 直线、平面平行的判定及其性质【2 0 1 4 年高考会这样考】1 .考查判定线面的位置关系.2 .以多面体为载体，考查线面平行、面面平行的判定或探究.0 1 抓 住2个考点 必考必记夯基固本对应学生1 1 4考点梳理1 .直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此生面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行今线面平行).即：/a,b U a,且a b 0 aH a.其他判定方法；。,aU a=a.(2)性质定理：一条直线与个
44、平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行为线线平行).即：a/a,a U ,a C2 .平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条祖交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行为面面平行).即：aU a,b U a,af l b M,a B,6 =a .(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平血相交，那么它们的交线平行.即：a 6，r A o a,Y A P b a/b.【助学微博】一个转化关系平行问题的转化关系性质I 判定 判定线线平行-线面平行-面面平行 性质 性质判定两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：-是直线a 在已知平面外；二
45、是直线6 在已知平面内；三是两直线平行.(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行.考点自测1.若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是().A.平 行 B.相交C.异 面D.以上均有可能解析借助长方体模型易得.答 案D2.在空间中，下列命题正确的是（）.A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同-平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行解 析 选 项A,平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B,两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C,两个相交平面可以同
46、时垂直于同一个平面；选项D,正确.答 案D3.（2 0 1 3 长沙模拟）若直线a _ L6,且直线a 平 面%则直线6与 平 面a的位置关系是（）.A.b U a B.b/aC.b U a或b a D.6与。相交或b U a或b a a解析 可以构造草图来表示位置关系，经验证，当6与。相交或6 U。或6。时，均满足直线a J_ 8,且直线a 平 面a的情况，故选D.答 案D4.（2 0 1 2 四川）下列命题正确的是（）.A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个
47、平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解 析A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，力比1的三个顶点中，4、8在a的同侧，而 点C在a的另一侧，且4?平 行 于a,此时可有力、氏。三点到平面。距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.答 案C5.在正方体4犯9 4 6 4中，是 的 中 点，则 能 与 平 面 力 的 位 置 关 系 为.解 析 如 图.C,A B连 接A C,被 交 于。点，连 接OE,因 为OE/Ba,而 施U平 面ACE,EW平 面ACE,所以能平面答 案 平 行02
48、 突 破3个考向对应学生114研 析 案 例 考向突破考向一线面平行的判定及性质 例 1 (2012 辽宁)如图，直三棱 柱 版 7一/B C,/胡 仁 90,9=4 4 4 ,点 物/V分别为4 B和C的中点.(1)证明：物 V 平 面 ACC；(2)若二面角4 一,m 一。为直二面角，求 4 的值.审题视点(1)连接力6,AC,在力。B 中山中位线定理可证/必4。，则线面平行可证；此间也可以应用面面平行证明.(2)利用向量法求解.证 明 法 一 连 接AB,AC,如图由已知N 胡C=90,A E=A C,三 棱 柱ABC-A B C为直三棱柱，所以 为四 中点.又因为N为 9C的中点，所以
49、昵W/AC.又 MW平 面/ACC,AC U平面4 ACC,因此,柳平面H ACC.法二z取/B 的中点产，连接俯，N P,A B,如图，而 加 4 分别为力夕与 B C的中点，所以.如掰，PN/A C ,所以物力平面/ACC,月 V 平面4 ACC.又 M PC N P=P,因此平面物部7 平 面/ACC.而必仁平面物氾因此扬V 平面4 ACC.(2)解 以4为坐标原点，分别以直线1 8,AC,A A 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系。x yz,如图所示.设 44=1,贝IJ4?=47=H,于是 4(0,0,0),B(A,0,0),a从线面平行的性质）.答 案 三、解答题（共25分）
50、7.（12 分）如图，在四面体1 一比。中，F、E、分别是棱47、BD、“的中点，G为加1的中点.证明：直线价平 面CEF.证明 法 一 如 图，连 接 网 第 与 少 交 于A，连接 班,:F、分别是力从以7的中点，不是48C的重心，.竺一 2,初=1RF 9又据题设条件知，斤=1,Db 6.BK_ BE初=而C.EK/G H.U平 面 侬；G/先 平 面 斯二直线的平面CEF.法二 如图，取 切 的 中 点 1连 接G N、HN.YG为庞的中点，J.G N/CE.四U平 面 侬；平 面 呼，平 面 连接F H,EN;F、E、，分别是棱4?、BD、”的中点，：.F H BC,E N B C,