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1、学习必备 欢迎下载 专题七：一次函数的实际应用导学案（设计教师：孙士文）一、学习目标：1能根据实际问题直接确定一次函数解析式。并运用一次函数的性质解决实际问题 2能将简单的实际问题分段考虑，培养分析问题和解决问题的能力。及技计算能力 二、知识要点：1一次函数的实际问题通常有以下类型，（1）给出图像求一次函数解析式，进而解决实际问题 （2）给出表格求一次函数解析式，进而解决实际问题 （3）给出公式求一次函数解析式，进而解决实际问题 （4）分类讨论将自变量进行分段，进而解决实际问题。2.主要数学思想：待定系数法和建模思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想。三、典型例题选讲：例题 1 一列快车从
2、甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x，两车之间的距离为(km)y，图中的折线表示y与x之间的函数关系根据图象进行以下探究：（1）请解释图中点B的实际意义；直接写出甲、乙两地之间的距离为 km；（2）求慢车和快车的速度；（3）求点 C的坐标及线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同 在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车相遇求第 二列快车比第一列快车晚出发多少小时？设计意图：让学生理解图像的实际意义，会分析图像中的 x 的范围 及有关的相等关系，并利用点
3、的坐标求函数解析式。培养学生识图能力。例题 2 某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，于 20XX 年 4 月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费，20XX 年 3 月底以前按原收费标准收费两种收费标准见下表：原收费标准 新按月分段收费标准 每吨 2 元（1）每月用水不超过 10 吨（包括 10 吨）的用户，每吨收费 1.6 元；（2）每月用水超过 10 吨的用户，其中的 10 吨按每吨 1.6 元收费，超过 10 吨的部分，按每吨 a 元收费（a1.6）（1）居民甲三月份、四月份各用水 20 吨，但四月份比三月份多交水费 6 元，求上表中 a 的值；（2）若居民甲五月份用水 x（吨），
4、应交水费 y（元），求 y 与 x 之间函数关系式，写出 x 取值范围；（3）试问居民甲五月份用水量 x（吨）在什么范围内时，按新分段收费标准交的水费少于按原收费标准交的水费？设计意图：让学生理解表格的实际意义，会分析题中的 x 的范围 及有关的相等关系，并利用相等关系求函数解析式。培养学生分段处理问题的能力。例题 3 依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人所得税是分段计算，扣除三险一金后月总收入不超过 3500 元，免征个人所得税，超过 3500 元的部分需征税设全月应纳税所得额为 x 元，则 x=扣除三险一金后全月总收入-3500 元，税率见下表：级 数 全月应纳税所得额 税 率 1
5、不超过 1500 元的部分 3%2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10%3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20%4 超过 9000 元至 35000 元的部分 25%5 超过 35000 元至 55000 元的部分 30%（1）若应纳个人所得税为 y，试用分段函数表示 13 级个人所得税 y 与 x 的函数关系；（2）某人 20XX年 5 月扣除三险一金后总收入为 5500 元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元？（3）某人六月份应缴纳此项税款 500 元，则他当月扣除三险一金后总收入为多少元？设计意图：让学生理解表格的实际意义，会分析题中的 x 的范围及有关的相等关
6、系，并利用相等关系分段求出函数解析式。培养学生处理数据的能力 四随堂练习：设计意图：让学生巩固所学知识。1.甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地 480 千米的目的地，乙车比甲车晚出发 2 小时（从甲车出发时开始计时）图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足 2 小时因故停车检修）请根据图象所提供的信息，解决如下问题：（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；2（2012 宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费 如下表是该市居民“一户
7、一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：（说明：每户产生的污水量等于该户自来水用水量；水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家 20XX 年 4 月份用水 20 吨，交水费 66 元；5 月份用水 25 吨，交水费 91 元（1）求 a、b 的值；及分段求出每户应缴水费 y 与每月用水量 x 之间的函数关系；（2）随着夏天的到来，用水量将增加为了节省开支，小王计划把 6 月份的水费控制在不超过家庭月收入的 2%若小王家的月收入为 9200 元，则小王家 6 月份最多能用水多少吨？每户每月用水量 自来水销售价格（单价：元/吨）污水处理价（格单价：元/吨）17 吨以下 a 0.80 超过17
8、吨但不超过30 吨的部分 b 0.80 超过 30 吨的部分 6.00 0.80 A B C D O y/km 900 12 x/h 4 A O D P B F C E y（千米）x（小时）480 6 8 10 2 4.5 学习必备 欢迎下载 五课后小结：1.解多个变量及其最值问题的一般策略：一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。二次函数则可用配方法或公式法求。对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。2.调运问题的一般策略：用表格设置未知数，同时在表格中标记相
9、关数量；根据表格中量的关系写函数式；依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。3.方案比较问题的一般策略：在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。方
10、案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。4.解分段价格问题的一般策略：分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。5.求解几何图形中的动点问题一般策略：解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的
11、变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。6.单个函数图象求“式”的一般策略：单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐标的实际意义。要关注“折点”所表示的意义，用好折点坐标。用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。一方面可以从图象上寻找，
12、此外还可以结合题设中的条件寻找。7.多个函数图象求式问题的一般策略：一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。作业：设计意图：让学生巩固本节课所学知识。1为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费每月用电不超过 100 度时，按每度 0.57 元计算，每月用电量超过 100 度时，其中的 100 度仍按原标准收费，超过的部分每度按 0.5 元计算（1）设月
13、用电 x 度时，应交电费 y 元，写出 y 关于 x 的函数关系式；（2）小明家第一季度缴纳电费情况如下：问小明家第一季度共用电多少度？月份 一月 二月 三月 合计 交费金额 76 元 63 元 45.6 元 184.6 元 22010 鄂州春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票经调查发现，每天开始售票时，约有 400 人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票售票时售票厅每分钟新增购票人数 4 人，每分钟每个售票窗口出售的票数 3 张某一天售票厅排队等候购票的人数 y（人）与售票时间 x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前 a 分钟只开放了两个售票窗口
14、（规定每人只购一张票）（1）求 a 的值（2）求售票到第 60 分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？3.为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费的分段计算的方法：每月用电不超过 100 度，按每度点 0.50 元计算；每月用电超过 100 度，超出部分按每度点 0.65 元计算设每月用电 x 度（1）当 0 x100 时，x100 时，求出用户所缴电费 y 元与用电量 x 度的函数关系（2）该用户为了解日用电量，记录了 9 月第一周的电表读数 日期 9 月 1 日 9 月 2
15、 日 9 月 3 日 9 月 4 日 9 月 5 日 9 月 6 日 9 月 7 日 电表读数（度）123 130 137 145 153 159 165 请你估计该用户 9 月的电费约为多少元？算能力二知识要点一次函数的实际问题通常有以下类型给出图像求一次实际问题主要数学思想待定系数法和建模思想化归思想数形结合思想分行以下探究两车之的距离为请解释图中点的实际意义直接写出甲乙两地学习必备 欢迎下载（3）该用户采取了节电措施后，10 月平均每度电费 0.55 元，那么该用户 10 月份用电多少度？4为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级 20 立
16、方米及以下，二级 2130 立方米（含 30 立方米），三级 31 立方米及以上，以下是王聪家水费发票的部分信息：市自来水总公司水费专用发票联：计费日期：2011-07-01 至 2011-08-01 付款期限：上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量（吨）本期用水量（吨）889 924 35 自来水费（含水资源费）污水处理费 用水量（吨）单价元（/吨）金额（元）用水量（吨）单价元（/吨）金额（元）阶梯一 20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二 10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三 5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 柒拾柒元伍角整 77.5
17、0（元）（注：居民生活用水水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费）（1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）是：每月用水 20 吨及以内为 元/吨，每月用水 2130 吨（含 30 吨）为 元/吨，31 立方米及以上为 元/吨（2）随着气温的降低，王聪家的用水量也在逐步下降，已知 20XX 年 2 月份王聪家所缴的水费为 55.20元，请你计算王聪家该月份的用水量为多少吨（3）20XX 年 4 月 1 日起，该市水价在现有的基础上上调了 10%，为了节省开支，王聪家决定把每月水费控制在家庭月收入的 1.5%以内，若王聪家的月收入为 5428 元，则王聪家每月的用水量最多只能用多少
18、立方米（精确到 1 立方米）5.为支持四川抗震救灾，重庆市 A、B、C三地现在分别有赈灾物资 100 吨，、100 吨、80 吨，需要全部运往四川重灾地区的 D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D县的数量比运往 E县的数量的 2 倍少 20 吨。（1）求这批赈灾物资运往 D、E两县的数量各是多少？（2）若要求 C地运往 D县的赈灾物资为 60 吨，A地运往 D的赈灾物资为 x 吨（x 为整数），B地运往 D县的赈灾物资数量小于 A地运往 D县的赈灾物资数量的 2 倍。其余的赈灾物资全部运往 E县，且 B地运往 E县的赈灾物资数量不超过 25 吨。则 A、B两地的赈灾物资运往 D、E两
19、县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知 A、B、C三地的赈灾物资运往 D、E两县的费用如下表：A地 B地 C地 运往 D县的费用（元/吨）220 200 200 运往 E县的费用（元/吨）250 220 210 为即使将这批赈灾物资运往 D、E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？6.某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元 经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图 1 所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图 2 所示的一次函数关系 （1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值 算能力二知识要点一次函数的实际问题通常有以下类型给出图像求一次实际问题主要数学思想待定系数法和建模思想化归思想数形结合思想分行以下探究两车之的距离为请解释图中点的实际意义直接写出甲乙两地