2022-2023学年北京市丰台区北京十二中高考数学二模试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是( )ABCD2已知函数,则下列结论错误的是( )A函数的最小正周期为B函

2、数的图象关于点对称C函数在上单调递增D函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到3若复数满足(是虚数单位),则( )ABCD4已知集合,则为( )A0,2)B(2,3C2,3D(0,25下列与函数定义域和单调性都相同的函数是( )ABCD6甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙丙丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是( )ABCD7如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为( )ABCD8在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值

3、为( )A8B9C10D119已知函数,若成立,则的最小值为( )A0B4CD10下列函数中,在区间上单调递减的是( )ABC D11已知等差数列的前n项和为,且,则( )A4B8C16D212若复数,则( )ABCD20二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知是函数的极大值点,则的取值范围是_14若四棱锥的侧面内有一动点Q,已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k,且动点Q的轨迹是抛物线,则当二面角平面角的大小为时,k的值为_.15已知,则与的夹角为 .16执行如图所示的程序框图,则输出的结果是_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1

4、2分)已知等差数列和等比数列满足:(I)求数列和的通项公式;(II)求数列的前项和.18(12分)已知函数(1)求函数的零点;(2)设函数的图象与函数的图象交于,两点,求证:;(3)若,且不等式对一切正实数x恒成立,求k的取值范围19(12分)若正数满足,求的最小值.20(12分)某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获利50元,未售出的产品,每盒亏损30元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品,以(单位:盒,)表示这个开学季内的市场需求量,(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.(1

5、)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数;(2)将表示为的函数;(3)以需求量的频率作为各需求量的概率,求开学季利润不少于4800元的概率.21(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点的轨迹的方程;(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.22(10分)已知的内角的对边分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的周长的最小值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先将所求问题转化为对任意恒成立,即得图象恒在函数图象的上方,再利用数形

6、结合即可解决.【详解】由得,由题意函数得图象恒在函数图象的上方,作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线,设切点为,则,解得,所以切线斜率为,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用,考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想,是一道中档题.2、D【解析】由可判断选项A;当时,可判断选项B;利用整体换元法可判断选项C;可判断选项D.【详解】由题知,最小正周期,所以A正确;当时,所以B正确;当时,所以C正确;由的图象向左平移个单位,得,所以D错误.故选:D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质,涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识,是一道中档题.3、B【解

7、析】利用复数乘法运算化简,由此求得.【详解】依题意,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数模的计算,属于基础题.4、B【解析】先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.5、C【解析】分析函数的定义域和单调性,然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为,在上为减函数.A选项,的定义域为,在上为增函数,不符合.B选项,的定义域为,不符合.C选项,的定义域为,在上为

8、减函数,符合.D选项,的定义域为,不符合.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性,属于基础题.6、B【解析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选:B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.7、B【解析】分别取、的中点、,连接、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案【详解】如

9、下图所示,分别取、的中点、,连接、,由于是以为直角等腰直角三角形,为的中点,且、分别为、的中点,所以,所以,所以二面角的平面角为,则,且,所以,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,在中,所以,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题8、D【解析】由题意,本题符合几何概型,只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度,利用几何概型公式可得概率,即等差数列的公

10、差,利用条件,求得,从而求得,解不等式求得结果.【详解】由题意,本题符合几何概型,区间长度为6,使得成立的的范围为,区间长度为2,故使得成立的概率为,又,令,则有,故的最小值为11,故选:D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式,等差数列的通项公式,属于基础题目.9、A【解析】令,进而求得,再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】(),令:,在上增,且,所以在上减,在上增,所以,所以的最小值为0.故选:A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用,考查了转化的数学思想,恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键,属于中档题.10、C【解析

11、】由每个函数的单调区间,即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增,而在递减.故选:C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间,属基础题.11、A【解析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.12、B【解析】化简得到,再计算模长得到答案.【详解】,故.故选:.【点睛】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】方法一:令,则,当,时,单调递减,时,且,在上单调递增,时,且,在上单调递减,是函数的极大值点,满足题意;当

12、时,存在使得,即,又在上单调递减,时,所以,这与是函数的极大值点矛盾综上,方法二:依据极值的定义,要使是函数的极大值点,由知须在的左侧附近,即;在的右侧附近,即易知,时,与相切于原点,所以根据与的图象关系,可得14、【解析】二面角平面角为,点Q到底面的距离为,点Q到定直线得距离为d,则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k,可得,由此可得,则由可求k值.【详解】解:如图,设二面角平面角为,点Q到底面的距离为,点Q到定直线的距离为d,则,即.点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k,则,动点Q的轨迹是抛物线,即则.二面角的平面角的余弦值为解得:().故答案为:.【点睛】本题考查了

13、四棱锥的结构特征,由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值,属于中档题.15、【解析】根据已知条件,去括号得:,16、1【解析】该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【详解】模拟程序的运行,可得:,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,此时满足条件,退出循环,输出的值为1故答案为:1【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (I) ,;(II)【解析】

14、(I)直接利用等差数列,等比数列公式联立方程计算得到答案.(II) ,利用裂项相消法计算得到答案.【详解】(I) ,故,解得,故,.(II),故.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18、 (1)x=1 (2)证明见解析 (3) 【解析】(1)令,根据导函数确定函数的单调区间,求出极小值,进而求解;(2)转化思想,要证 ,即证 ,即证,构造函数进而求证;(3)不等式 对一切正实数恒成立,设,分类讨论进而求解【详解】解:(1)令,所以,当时,在上单调递增;当时,在单调递减;所以,所以的零点为(2)由题意, ,要证 ,即证,即证,令,则,由(1)

15、知,当且仅当时等号成立,所以,即,所以原不等式成立(3)不等式 对一切正实数恒成立,设,记,当时,即时,恒成立,故单调递增于是当时,又,故,当时,又,故,又当时,因此,当时,当,即时,设的两个不等实根分别为,又,于是,故当时,从而在单调递减;当时,此时,于是,即 舍去,综上,的取值范围是【点睛】(1)考查函数求导,根据导函数确定函数的单调性,零点;(2)考查转化思想,构造函数求极值;(3)考查分类讨论思想,函数的单调性,函数的求导;属于难题.19、【解析】试题分析:由柯西不等式得,所以试题解析:因为均为正数,且,所以于是由均值不等式可知,当且仅当时,上式等号成立从而故的最小值为此时考点:柯西不

16、等式20、(1),众数为150;(2) ;(3)【解析】(1)由频率直方图分别求出各组距内的频率,由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数;(2)由已知条件推导出当时,当时,由此能将表示为的函数;(3)利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率【详解】(1)由直方图可估计需求量的众数为150 ,由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:估计需求量的平均数为:(2)当时,当时, (3)由(2)知 当时,当时,得开学季利润不少于4800元的需求量为由频率分布直方图可所求概率【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查函

17、数解析式的求法,考查概率的估计,是中档题,解题时要注意频率分布直方图的合理运用21、(1);(2)【解析】(1)设,则由题设条件可得,化简后可得轨迹的方程.(2)设直线,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得,结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.【详解】(1)设,则圆心的坐标为,因为以线段为直径的圆与轴相切,所以,化简得的方程为.(2)由题意,设直线,联立得,设 (其中)所以,且,因为,所以,所以,故或 (舍),直线,因为的周长为所以.即,因为.又,所以,解得,所以.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,还涉及到向量的数量积.一般地,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有或,最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.22、(1)(2)【解析】(1)因为,所以,由余弦定理得,化简得, 可得,解得,又因为,所以.(6分)(2)因为,所以,则(当且仅当时,取等号). 由(1)得(当且仅当时,取等号),解得.所以(当且仅当时,取等号),所以的周长的最小值为.

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