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1、线性空间与线性变换内积空间第1页，共66页，编辑于2022年，星期一I.先修课程矩阵论矩阵论主要以大学主要以大学线性代数线性代数为先修课程，为先修课程，可以同济大学数学系编著的可以同济大学数学系编著的线性代数线性代数教材书为教材书为参考书。参考书。矩阵论矩阵论还以大学还以大学高等数学高等数学为先修课程，为先修课程，可以同济大学数学系编著的可以同济大学数学系编著的高等数学高等数学教材书为教材书为参考书。参考书。本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。掌握相关的知识。第2页，共66页，编辑于2022年，星期一II.主要内容课程主要
2、包括以下六项内容：课程主要包括以下六项内容：课程主要包括以下六项内容：课程主要包括以下六项内容：(1)(1)线性空间与线性变换；线性空间与线性变换；(2)(2)内积空间；内积空间；(3)(3)矩阵的标准形；矩阵的标准形；矩阵的标准形；矩阵的标准形；(4)(4)矩阵分解；矩阵分解；矩阵分解；矩阵分解；(5)(5)范数理论及其应用；范数理论及其应用；(6)(6)矩阵分析及其应用。矩阵分析及其应用。矩阵分析及其应用。矩阵分析及其应用。第3页，共66页，编辑于2022年，星期一第第1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换内容内容内容内容：线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性
3、空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系线性变换线性变换线性变换线性变换重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法特点特点特点特点：研究代数结构研究代数结构研究代数结构研究代数结构具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。
4、研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。第4页，共66页，编辑于2022年，星期一一一.集合与映射集合与映射1.集合集合集合集合：作为整体看的一堆东西：作为整体看的一堆东西.集合的元素集合的元素：组成集合的事物：组成集合的事物.设设S表示集合，表示集合，a表示表示S的元素，记为的元素，记为aS读为读为a属于属于S；用记号；用记号a S表示表示a 不属
5、于不属于S.集合的表示：集合的表示：(1)列举法列举法51.1线性空间线性空间(LinearSpaces)第5页，共66页，编辑于2022年，星期一例如例如 空集合空集合：不包含任何元素的集合，记为：不包含任何元素的集合，记为子集合子集合：设：设 表示两个集合，如果集合表示两个集合，如果集合 都是集合都是集合 的元素，即由的元素，即由 ，那么就称那么就称 的子集合，记为的子集合，记为相等相等：即：即 (2)特征性质法特征性质法6第6页，共66页，编辑于2022年，星期一集合的交：集合的交：集合的并：集合的并：集合的和：集合的和：例如例如 2.数域数域数域数域：是一个含：是一个含0和和1,且对加
6、，减，乘，除（且对加，减，乘，除（0不为除数）封闭的不为除数）封闭的数集数集.7第7页，共66页，编辑于2022年，星期一例如：有理数域例如：有理数域Q，实数域，实数域R，复数域，复数域C.3.映射映射映射映射：设：设S与与S是两个集合，一个法则（规则）是两个集合，一个法则（规则），它使，它使S中的每个元素中的每个元素a 都有都有S中一中一个确定的元素个确定的元素a与之对应，记为与之对应，记为称为集合称为集合S到到S的的映射映射，a称为称为a在映射在映射下的下的象象，而，而a 称为称为a在映射在映射下的一个下的一个原象原象.8第8页，共66页，编辑于2022年，星期一变换变换：S到到S自身的映
7、射自身的映射.例如：例如：将方阵映射为数将方阵映射为数 将数映射为矩阵将数映射为矩阵 可看成变换。可看成变换。其中其中相等相等：设：设 都是集合都是集合S到到 的映射，如果对的映射，如果对于于 都有都有 ，则称，则称 相等，记为相等，记为 .9第9页，共66页，编辑于2022年，星期一乘法乘法：设：设 依次是集合依次是集合S到到 ，的的映射，乘积映射，乘积 定义如下定义如下 是是S到到 的一个映射的一个映射.注注：，（是是 的的映射）映射）第10页，共66页，编辑于2022年，星期一二、线性空间的概念二、线性空间的概念线性空间线性空间=集合集合+两种运算（所成完美集合）两种运算（所成完美集合）
8、ExampleR 3=x=（x1，x2，x3）T：xi R=空间中所有向量空间中所有向量定义向量的加法，数与向量的乘积。定义向量的加法，数与向量的乘积。定义向量的加法，数与向量的乘积。定义向量的加法，数与向量的乘积。运算封闭运算封闭运算封闭运算封闭八条运算律成立八条运算律成立八条运算律成立八条运算律成立第11页，共66页，编辑于2022年，星期一线性空间线性空间=集合集合+两种运算（所成完美集合）两种运算（所成完美集合）Definition:(线性空间或向量空间线性空间或向量空间)要点：要点：集合集合集合集合VV与数域与数域与数域与数域F F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向
9、量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去运算之后的结果跑不出去运算之后的结果跑不出去运算之后的结果跑不出去）八条运算律八条运算律八条运算律八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）第12页，共66页，编辑于2022年，星期一常见的线性空间常见的线性空间F Fn n=X=（x1，x x2，xn）T T：x F 运算运算运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量F Fmm n=A=aij mm n n：a a ij
10、F；运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵Rm n；Cm n。Ftn=f(x)=f(x)=a0+a a1 1x+a2x2+.+a an-1n-1xn-1：ai i R运算运算运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘CCa，b b=f（x x）：）：）：）：f f（x）在）在）在）在 a a，b b上连续上连续运算运算运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘Example：V=RV=R+，F=RF=R，a a b b=ab，a=a F=RF=R或或或或C C第13页，共66页，编辑于2022年，星期一不是线性空间的集合不是线性空间
11、的集合V=X=X=（x x1 1，x2，1 1）T T：xi i R R 运算运算运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。攻击。攻击。攻击。第14页，共66页，编辑于2022年，星期一线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点：线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：（1）V中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素
12、的负元素是惟一的。中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0=0，k0=0，k=0=0 或或k=0（4）=（1）数数数数0 0向量向量向量向量0 0第15页，共66页，编辑于2022年，星期一三、向量组的探讨（三、向量组的探讨（Review)向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：向量向量向量向量 可由可由可由可由 1 1，2 2，s s线性表示线性表示线性表示线性表示;（其工作可由多人合力完成）（其工作可由多人合力完成）（其工作可由多人合力完成）（其工作可由多人合力完成）向量组向量组向量组向量
13、组 1 1，2 2，s s线性无关线性无关线性无关线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,只有系数都为只有系数都为只有系数都为只有系数都为0 0向量组向量组向量组向量组 1 1，2 2，s s线性相关线性相关线性相关线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+
14、k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数第16页，共66页，编辑于2022年，星期一三、向量组的探讨（三、向量组的探讨（Review)向量组的极大线性无关组：向量组的极大线性无关组：1 1，2，s为向量组为向量组A A的一个部分组的一个部分组的一个部分组的一个部分组（精英组合精英组合）满足满足向量组向量组 1，2，s线性无关线性无关（彼此工作不可替代彼此工作不可替代）任意任意A的向量可以由的向量可以由 1，2，s线性表示线性表示（公司的任何人的工作可由精英组合完成公司的任何人的工作可由精英组合完成）向量组的秩向量组的秩(rank
15、)：最大无关组中向量的个数：最大无关组中向量的个数第17页，共66页，编辑于2022年，星期一四、线性空间的基和维数四、线性空间的基和维数抽象的线性空间的元素称之为向量抽象的线性空间的元素称之为向量(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和和Rn一样：一样：定义形式和向量空间定义形式和向量空间Rn中的定义一样。中的定义一样。有关性质与定理和有关性质与定理和Rn中的结果一样。中的结果一样。因此，要研究线性空间，只需要研究它的最因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组大线性无关组-即为基即为基(basis)第18页，共66页，编辑于20
16、22年，星期一四、线性空间的基和维数四、线性空间的基和维数基基(basis)：线性空间的极大无关组；：线性空间的极大无关组；维数维数(dimension)：基中向量的个数；：基中向量的个数；常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：Fn，自然基，自然基e1，e2，,en，dimFn=nRm n，自然基，自然基Eij，dimRm n=m n。Ft3，自然基自然基1，t，t2，dimFt3=3Ca，b，1，x，x2，x3xn-1 Ca,b，dim Ca，b=约定：约定：本书主要研究有限维线性空间。本书主要研究有限维线性空间。第19页，共66页，编辑于2022年，星期一五、坐标五、坐标坐标的来
17、历：坐标的来历：设设 1，2，n是空间是空间V的一的一组基，组基，V,可以由基可以由基 1，2，n唯一唯一线性表示线性表示=x1 1+x2 2+xn n则则x1，x2，xn是是 在基在基 i下的坐标。下的坐标。例例1：求求R2 2中向量中向量在基在基Eij下下的坐标。的坐标。要点：要点：坐标与基有关坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式第20页，共66页，编辑于2022年，星期一例例2设空间设空间Fx4的两组基为：的两组基为：1，x，x2，x3和和1，（，（x-1）1，（，（x-1）2，（，（x-1）3求求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标。归纳归纳归纳归纳
18、：有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的实际的元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。第21页，共66页，编辑于2022年，星期一*例例3设设R2 2中向量组中向量组Ai1讨论讨论Ai的线性相关性的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合线性组合.第22页，共66页，编辑于2022年，星期一六、基变换和坐标变换六、基变换和坐标变换讨论：讨论：不同的基之间的关系不同的基之间的关系同一个
19、向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1基变换公式基变换公式设空间中有两组基：设空间中有两组基：过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵C C的性质：的性质：C C为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵C C的第的第的第的第i i列是列是 i 在基在基在基在基 i i 下的坐标下的坐标下的坐标下的坐标则则过过过过渡渡渡渡矩矩矩矩阵阵阵阵第23页，共66页，编辑于2022年，星期一2坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基：空间中两组基：满足满足:;讨论讨论X和和Y的关系的关系X=CY第24页，共66页，编辑于2022年，星期一例例已知空间已知空间R中两组基中两组基（I）E
20、ij（II）；）；1.求从基（求从基（I）到基（）到基（II）的过渡矩阵）的过渡矩阵C。2.求向量求向量在基（在基（II）的坐标）的坐标Y。例例例例1.1.8P81.1.8P8第25页，共66页，编辑于2022年，星期一线性空间线性空间V与与Fn的同构的同构坐标关系坐标关系VFnV的的基基 1，2，。，。n由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 V，X Fn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在关系在关系 下，线性空间下，线性空间V和和Fn同构。同构。第26页，共66页，编辑于2022年，星期一同构的性质同构的性质定理定理1.3:V中向量中向量 1，2，n线性相线性相关
21、关它们的坐标它们的坐标X1,X2,Xn在在Fn中线中线性相关。性相关。同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。应用应用：借助于空间借助于空间Fn中已经有的结论和方法研中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。究一般线性空间的线性关系。第27页，共66页，编辑于2022年，星期一1.2子空间子空间概述：概述：线性空间线性空间V中，向量集合中，向量集合V可以有集可以有集合的运算和关系：合的运算和关系：Wi V，W1 W2，W1 W2，问问题题：这这些些关关系系或或运运算算的的结结果果是是否否仍仍然然为为线性空间线性空间？第28页，共66页，编辑于2022年，星期一1、子空间的概念定定义义
22、：设设非非空空集集合合W V，W，如如果果W中中的的元元素素关关于于V中中的的线线性性运运算算为为线线性性空空间间，则称则称W是是V的子空间的子空间。判别方法：判别方法：ImportantTheoremW是子空间是子空间W对对V的线性运算封闭的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子子空空间间的的判判别别方方法法可可以以作作为为判判别别线线性性空空间间的的方方法法第29页，共66页，编辑于2022年，星期一子空间和非子空间的例子：子空间和非子空间的例子：V=x=(x1，x2，0 R 3，V=x=(x1，x2，1 R 3，矩阵矩阵A R mn，齐次线性方程组齐次线性方程组
23、AX=0AX=0的解集合：的解集合：S=X：AX=0 Rn，非齐次线性方程的解集合：非齐次线性方程的解集合：M=X：AX=b Rn，第30页，共66页，编辑于2022年，星期一重要的子空间：重要的子空间：重要的子空间：重要的子空间：生成子空间生成子空间生成子空间生成子空间 设设向向量量组组 1 1，2 2，mm V V，由由它它们们的的一一切切线性组合生成的子空间：线性组合生成的子空间：SpanSpan 1，2，m=L(=L(1 1，2 2，m)=k1 1 1 1+k2 2 2+k km m|ki 生成子空间的重要的性质：生成子空间的重要的性质：1）如如果果 1 1，2，mm线线性性无无关关，
24、则则其其为为生生成成子子空空间间SpanSpan 1，2 2，m的一组基；的一组基；2）如如如如果果果果 1，2，r是是向向量量组组 1 1，2 2，mm的的最最大大线性无关组，则线性无关组，则Span 1，2，m 1 1，2，r是是SpanSpan 1，2，mm的一组基的一组基的一组基的一组基第31页，共66页，编辑于2022年，星期一2、子空间的子空间的“交空间交空间”与与“和空间和空间”讨讨讨讨论论论论：设设设设W 1 1 V V，WW2 2 V V，且且且且都都都都是是是是子子子子空空空空间间间间，则则则则W1 WW2 2和和和和WW1 1 WW2是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？1
25、.1.（1 1）交空间交空间 交集：交集：交集：交集：WW1 1 WW2 2=WW1 1 而且而且而且而且 WW2 2 V Vn n（F F）WW1 1 WW2 2是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为“交空间交空间交空间交空间”（2 2）和空间）和空间）和空间）和空间和的集合：和的集合：和的集合：和的集合：WW1 1WW2 2=X=X1 1X X2 2 X X1 1 WW1 1，X X2 2 WW2 2WW1 1 WW22 WW1 1WW2 2WW1 1WW2 2是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为“和空间和空间和空间和空间”，WW1 1
26、 WW2 2不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，WW1 1 WW2 2 WW1 1WW2 2 第32页，共66页，编辑于2022年，星期一例例设设R3中的子空间中的子空间W1=Le1，W2=Le2求和空间求和空间W1W2。比较：集合比较：集合W1 W2和集合和集合W1W2。如果如果W1 1=Span 1 1，2 2，m，W2 2=SpanSpan 1 1，2 2，k k，则则则则 WW1 1W2=Span 1，2 2，mm，1 1，2，k 第33页，共66页，编辑于2022年，星期一3、维数公式、维数公式子空间的包含关系子空间的包含关系：dimdimWW1 W2 d
27、imdimWWi dimdimWW1W22 dimV Vn n（F）。）。维数定理维数定理：dimdimWW1dimW2 2=dim（WW1 1W2 2）dimdim（WW1 1 WW2）证明：证明：第34页，共66页，编辑于2022年，星期一4、子空间的直和、子空间的直和分析分析：如果如果dim（W1 W2）0，则，则dim（W1W2）dimW1dimW2所以：所以：dim（W1W2）=dimW1dimW2dim（W1 W2）=0W1 W2=0直和的定义直和的定义：若若 dim（W1 W2）=0，则和为直和，则和为直和W=W1W2=W1 W2，第35页，共66页，编辑于2022年，星期一子空
28、间的子空间的“和和”为为“直和直和”的充要的充要条件条件：Theorem设设W=W1W2，则下列各条等价：，则下列各条等价：（1）W=W1 W2（2）X W，X=X1X2的表的表是惟一的是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1dimW2第36页，共66页，编辑于2022年，星期一例例P131.2.6例例设在设在Rnn中，子空间中，子空间W1=A AT=A，W2=B BT=B，证明证明Rnn=W1 W2。第37页，共66页，编辑于2022年，星期一13线性变换线性变换(LinearTransformations)一、一、线性变换的概念线性变换的概念线
29、性变换的来历；线性变换的来历；Definition：（i）T是是V上的映射：上的映射：T：VV。(ii)T具有线性性：具有线性性：T（）=T（）T（）(保持加法的三角形法则保持加法的三角形法则保持加法的三角形法则保持加法的三角形法则)T（k）=kT（）(保持比例关系保持比例关系保持比例关系保持比例关系)第38页，共66页，编辑于2022年，星期一2线性变换的性质：线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）T()=T()（iii）3 3线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间设线性变换设线性变换设线性变换设线性变换T T：V VV V，象空
30、间象空间象空间象空间ImIm(T T)=：V V，=T=T()零空间零空间零空间零空间Ker(Ker(T T)=：V V，TT()=0=0定义：定义：定义：定义：TT的秩的秩的秩的秩=dimdimRR（T T）；）；）；）；TT的零度的零度的零度的零度=dim dim N N（T T）线性变换保持线线性变换保持线性相关性不变！性相关性不变！第39页，共66页，编辑于2022年，星期一例例(P018)Rn中的变换中的变换T：设：设A Rnn是一个给定是一个给定的的矩阵，矩阵，X Rn，T(X)=AX。(1)T是线性变换；是线性变换；(2)Ker(T)是是AX=0的解空间；的解空间；(3)Im(T
31、)=Spana1,a2,.,an,其中其中a1是矩阵是矩阵A的的列向量；列向量；(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n第40页，共66页，编辑于2022年，星期一4线性变换的运算线性变换的运算设设T1，T2都都都都是是是是空空空空间间间间V中中的的线线性性变变换换，常常见见的的用用它它们们构构成成的新的变换：的新的变换：（i）T1T T22V V，（T1 1T2 2）（）（）（）（）=T1 1（）T T2 2（）（ii）T1 1T2 V V，(T T1T2)（）=T=T1 1（T2（）（iiiiii）kTTV，（k kT）（）（）（）（）=k（T（）（iviv）若若若若TT1是可逆变换
32、，是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，T T1TT1 1()=当且仅当当且仅当T()=。定义定义定义定义第41页，共66页，编辑于2022年，星期一二、二、线性变换的矩阵线性变换的矩阵1 1线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式Purpose:Purpose:将抽象的线性变换与矩阵对应起来将抽象的线性变换与矩阵对应起来将抽象的线性变换与矩阵对应起来将抽象的线性变换与矩阵对应起来T的矩阵的矩阵第42页，共66页，编辑于2022年，星期一二、二、线性变换的矩阵线性变换的矩阵1线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的
33、坐标式V上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析：定义变换定义变换T确定基中向量的象确定基中向量的象T（i）。）。定义定义T（i）确定它在基下确定它在基下 i的坐标的坐标Ai。定义变换定义变换T确定矩阵确定矩阵A=A1，A2，An第43页，共66页，编辑于2022年，星期一例例已知已知定义映射定义映射T：(1)证明证明T是是V上的线性变换；上的线性变换；(2)求求V的一组基，并求的一组基，并求T在这组基下的矩阵。在这组基下的矩阵。第44页，共66页，编辑于2022年，星期一2线性变换运算的矩阵对应：线性变换运算的矩阵对应：设设V上上的的线线性性变变换换T1，T2，它它们们在在同同一一组组基基
34、下的矩阵：下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1T2）（A1A2）（ii）（T1T2）A1A2（iii）（kT）kA（iv）T1A1第45页，共66页，编辑于2022年，星期一3不同基下的变换矩阵不同基下的变换矩阵两两组组基基 1，2，,n，1，2，,n，（1 2 n）=（1 2 n）CT（1 2 n）=（1 2 n）AT（1 2 n）=（1 2 n）B同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC123第46页，共66页，编辑于2022年，星期一*例例（P025，例例1.4.6）*例例设单位向量设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定，定R
35、3上的线性变换上的线性变换P（x）=x-（x，u）u，1.求求P在自然基在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2.求求P在标准正交基在标准正交基u，u2，u3下的变换矩下的变换矩阵。阵。第47页，共66页，编辑于2022年，星期一2.1内积与欧氏空间内积与欧氏空间InnerProduct&EuclidianSpacesInnerProduct&EuclidianSpaces内积的作用：内积的作用：研究高维空间中的几何问题研究高维空间中的几何问题。1Example:R3上的内积定义上的内积定义2内积的公理化定义内积的公理化定义Definition：要点：要点 内积内积(，)是二元运
36、算：是二元运算：VVR(，)的公理性质的公理性质(，)是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。讨论讨论(，1 2),(，k)第48页，共66页，编辑于2022年，星期一3常见的内积空间：常见的内积空间：Rn；Remark:对对于于同同一一个个线线性性空空间间，可可以以定定义义不不同的内积成为不同的欧氏空间同的内积成为不同的欧氏空间Rmn；第49页，共66页，编辑于2022年，星期一4向量的长度向量的长度定义：定义：|=5欧氏空间中向量的夹角：欧氏空间中向量的夹角：定义：定义：0，0，夹角，夹角 定义为：定义为：cos=性质：性质：|k|=k|；三角不等式三角不等式(Cauchy不等式不等式
37、)：，V,V,|(，)|。|和和和和 正交正交正交正交 （，）=0=0 第50页，共66页，编辑于2022年，星期一6线性空间的内积及其计算：线性空间的内积及其计算：设设 1，2，,n是是内内积积空空间间V的的基基，V，则有，则有=x1 1x2 2x n n=(1 2 n)X；=y1 1y2 2y n n=(1 2 n)Y(，)=Y HAX，定义内积定义内积在一个基在一个基 1，2，n中定义内积中定义内积定义一个度量矩阵定义一个度量矩阵A。度度量量矩矩阵阵A度量矩阵的性质：度量矩阵的性质：第51页，共66页，编辑于2022年，星期一2.2标准正交基标准正交基OrthogonalBasisOrt
38、hogonalBasis1正交的向量组：正交的向量组：定义：定义：1，2，n为正交组为正交组(i，j)=0性质：性质：不含零向量的正交向量组线性无关。不含零向量的正交向量组线性无关。2标准正交基标准正交基基基 1，2，n是标准正交基是标准正交基(i，j)=要点要点：是基，是基，两两正交，两两正交，每一个向量是单位向每一个向量是单位向量量第52页，共66页，编辑于2022年，星期一标准正交基的优点：标准正交基的优点：度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=I=(1 2 n)X，=(1 2 n)Y，(，)=YHX=x1 1x2 2x n n，xi=(，i)和和 正交正交其坐标其坐标X和和Y
39、正交正交坐坐坐坐标标标标空空空空间间间间Fn的的的的内内内内积积积积标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤：1.Schmidt正交化正交化2.标准化标准化第53页，共66页，编辑于2022年，星期一例例已知已知(1)证明证明(X,Y)是是V上的内积；上的内积；(2)求求W的一组标准正交基。的一组标准正交基。第54页，共66页，编辑于2022年，星期一2.4正交补正交补定义定义:设设W,U是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，(1)V,若若 W,都有都有(,)=0,则称则称 与与W 正交，记作正交，记作 W;(2)若若 W,U,都有都有(,)=0,
40、则称则称W 与与U 正交，记作正交，记作W U;(3)若若W U，并且，并且W +U=V,则称则称U 为为W 的正交补。的正交补。注意：若注意：若W U，则则W与与U 的和必是直和。的和必是直和。55第55页，共66页，编辑于2022年，星期一正交补的存在唯一性正交补的存在唯一性定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，则的子空间，则W 的正交补的正交补存在且唯一，记该存在且唯一，记该正交补为正交补为 ，并且，并且56定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的有限维子空间，则的有限维子空间，则第56页，共66页，编辑于2022年，星期一向量的正投影向量的正投影定义定义:设设
41、W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，则称向量则称向量 为向量为向量 在在W上的正投影，上的正投影，称向量长度称向量长度|g g|为向量为向量 到到W 的距离。的距离。Wd d O g g第57页，共66页，编辑于2022年，星期一垂线最短定理垂线最短定理定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，V,为为 在在W上的正投影，则上的正投影，则 d d W,有有并且等号成立当且仅当并且等号成立当且仅当=d d。Wd d 第58页，共66页，编辑于2022年，星期一最小二乘法最小二乘法（1）可能无解，即任意可能无解，即任意 都可能使都可能使 （2）不等于零，设法
42、找实数组不等于零，设法找实数组 使使（2）最小最小 这样的这样的 为方程组为方程组（1）的最小二乘解，的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题此问题叫最小二乘法问题.1.问题提出问题提出，实系数线性方程组，实系数线性方程组第59页，共66页，编辑于2022年，星期一2.问题的解决问题的解决设设（3）用距离的概念，（用距离的概念，（2）就是）就是 由（由（3）知）知 第60页，共66页，编辑于2022年，星期一找找使（使（2）最小，等价于找子空间）最小，等价于找子空间中向量中向量使使到它的距离到它的距离比到比到中其它向量的距离都短中其它向量的距离都短.设设为此必为此必这等价于这等价于（4）即即这样（
43、这样（4）等价于）等价于或或（5）第61页，共66页，编辑于2022年，星期一例题第62页，共66页，编辑于2022年，星期一四、四、正交变换和酉变换正交变换和酉变换讨论欧氏空间讨论欧氏空间讨论欧氏空间讨论欧氏空间V V中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。11正交变换的定义；正交变换的定义；正交变换的定义；正交变换的定义；22正交变换的充要条件：正交变换的充要条件：正交变换的充要条件：正交变换的充要条件：（Theorem,Theorem,P042P042）T T是内积空间是内积空间是内积空间是内积空间V V上的线性变换，则下列命上的线性变换，则下列命
44、上的线性变换，则下列命上的线性变换，则下列命题等价：题等价：题等价：题等价：T T是正交变换是正交变换是正交变换是正交变换T T保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变T T把把把把V V的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基T T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵3 3正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵C C：C CT TC=IC=I正交矩阵的判定：正交矩阵
45、的判定：正交矩阵的判定：正交矩阵的判定：A A是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵,每个行（列）向量是单位向量；每个行（列）向量是单位向量；每个行（列）向量是单位向量；每个行（列）向量是单位向量；每两行（列）正交。每两行（列）正交。每两行（列）正交。每两行（列）正交。第63页，共66页，编辑于2022年，星期一常见的基本正交变换常见的基本正交变换：平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转几何描述：几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。角。角。角。变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在
46、自然基下，变换矩阵：在自然基下，R R3空间中的镜像变换空间中的镜像变换定义：定义：定义：定义：S S（x x）=x x2 2（x x，u u）u u。变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义空间中的旋转空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的 一根直线一根直线一根直线一根直线L L，旋转一旋转一旋转一旋转一 个个个个 角。角。角。角。变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵第64页，共66页，编辑于2022年，星期一五、五、酉空间和酉变换酉空间和酉变换把内积空间中的数域换成复数域把内积空间中的
47、数域换成复数域把内积空间中的数域换成复数域把内积空间中的数域换成复数域C,C,复内积空间复内积空间复内积空间复内积空间(酉空间酉空间酉空间酉空间)11酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；22酉变换和正交变换酉变换和正交变换酉变换和正交变换酉变换和正交变换 33正规变换与正规矩阵的定义；正规变换与正规矩阵的定义；正规变换与正规矩阵的定义；正规变换与正规矩阵的定义；4SchurLema;4SchurLema;5Hermite5Hermite矩阵的性质；矩阵的性质；矩阵的性质；矩阵的性质；66矩阵的奇异值。矩阵的奇异值。矩阵的奇异值。矩阵的奇异值。第65页，共66页，编辑于2022年，星期一推荐练习题：第一、二章推荐练习题：第一、二章P026：4；5；6；10；11；13；14P053：2；5；10第66页，共66页，编辑于2022年，星期一