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1、线性空间的基与维数线性空间的基与维数第1页，共21页，编辑于2022年，星期一一、线性空间的基与维数一、线性空间的基与维数已知已知：在中，线性无关的向量组最多由：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的问题问题：线性空间的一个重要特征：线性空间的一个重要特征在线性空在线性空间间 中，最多能有多少线性无关的向量？中，最多能有多少线性无关的向量？第2页，共21页，编辑于2022年，星期一定义定义 在线性空间在线性空间 中，如果存在中，如果存在 个元素个元素满足：满足：第3页，共21页，编辑于2022年，星期一当一个线性空间当一个线
2、性空间 中存在任意多个线性无关中存在任意多个线性无关的向量时，就称的向量时，就称 是无限维的是无限维的第4页，共21页，编辑于2022年，星期一定义定义二、元素在给定基下的坐标二、元素在给定基下的坐标第5页，共21页，编辑于2022年，星期一第6页，共21页，编辑于2022年，星期一注意注意线性空间线性空间 的任一元素在不同的基下所对的的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的唯一的第7页，共21页，编辑于2022年，星期一例例所有二阶实矩阵组成的集合所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法，
3、构成实数域的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性上的一个线性空间对于空间对于 中的矩阵中的矩阵第8页，共21页，编辑于2022年，星期一第9页，共21页，编辑于2022年，星期一第10页，共21页，编辑于2022年，星期一第11页，共21页，编辑于2022年，星期一三、线性空间的同构三、线性空间的同构第12页，共21页，编辑于2022年，星期一第13页，共21页，编辑于2022年，星期一定义定义设设 是两个线性空间，如果它们的元素是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间组合的对应，那末就称
4、线性空间 与与 同构同构.第14页，共21页，编辑于2022年，星期一例如例如与与 维数组向量空间维数组向量空间 同构同构.因为因为形成一一对应关系；形成一一对应关系；第15页，共21页，编辑于2022年，星期一则有则有同维数的线性空间必同构同维数的线性空间必同构同构的线性空间之间具有反身性、对称性同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性与传递性结论结论数域数域 上任意两个上任意两个 维线性空间都同构维线性空间都同构第16页，共21页，编辑于2022年，星期一同构的意义同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定
5、义的，我们所的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数维线性空间唯一本质的特征就是它的维数第17页，共21页，编辑于2022年，星期一线性空间的线性空间的基基与与维数维数；线性空间的元素在给定基下的线性空间的元素在给定基下的坐标坐标；坐标坐标：（）把抽象的向量与具体的数组向：（）把抽象的向量与具体的数组向量联系起来；量联系起来；线性空间的线性空间的同构同构四、小结四、小结（）把抽象的线性运算与数组向量（）把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来的线性运算联系起来第18页，共21页，编辑于2022年，星期一生成的子空间的基与维数生成的子空间的基与维数.思考题思考题第19页，共21页，编辑于2022年，星期一思考题解答思考题解答第20页，共21页，编辑于2022年，星期一第21页，共21页，编辑于2022年，星期一