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1、线性空间与线性变换内积空间第1 页，本讲稿共66 页I.先修课程矩阵论主要以大学线性代数为先修课程，可以同济大学数学系编著的线性代数教材书为参考书。矩阵论还以大学高等数学为先修课程，可以同济大学数学系编著的高等数学教材书为参考书。本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。第2 页，本讲稿共66 页II.主要内容课程主要包括以下六项内容：课程主要包括以下六项内容：(1)(1)线性空间与线性变换；线性空间与线性变换；(2)(2)内积空间；内积空间；(3)(3)矩阵的标准形；矩阵的标准形；(4)(4)矩阵分解；矩阵分解；(5)(5)范数理论及其应用；范数理论及其应用；(6)(6)
2、矩阵分析及其应用。矩阵分析及其应用。第3 页，本讲稿共66 页第1章：线性空间与线性变换内容 内容：线性空间的一般概念 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 重点：空间结构和其中的数量关系线性变换 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 重点：其中的矩阵处理方法特点 特点：研究代数结构 研究代数结构 具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。第4 页
3、，本讲稿共66 页一.集合与映射1.集合集合：作为整体看的一堆东西.集合的元素：组成集合的事物.设S表示集合，a表示S的元素，记为aS读为a属于S；用记号aS表示a 不属于S.集合的表示：(1)列举法51.1线性空间(LinearSpaces)第5 页，本讲稿共66 页例如 空集合：不包含任何元素的集合，记为子集合：设 表示两个集合，如果集合 都是集合 的元素，即由，那么就称 的子集合，记为相等：即(2)特征性质法6第6 页，本讲稿共66 页集合的交：集合的并：集合的和：例如 2.数域数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0不为除数）封闭的数集.7第7 页，本讲稿共66 页例如：有理数域Q
4、，实数域R，复数域C.3.映射映射：设S与S是两个集合，一个法则（规则），它使S中的每个元素a 都有S中一个确定的元素a与之对应，记为称为集合S到S的映射，a称为a在映射下的象，而a 称为a在映射下的一个原象.8第8 页，本讲稿共66 页变换：S到S自身的映射.例如：将方阵映射为数 将数映射为矩阵 可看成变换。其中相等：设 都是集合S到 的映射，如果对于 都有，则称 相等，记为.9第9 页，本讲稿共66 页乘法：设 依次是集合S到，的映射，乘积 定义如下 是S到 的一个映射.注：，（是 的映射）第10 页，本讲稿共66 页二、线性空间的概念线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）Example
5、R R 33=x=x=（xx11，xx22，xx33）TT：xxii RR=空间中所有向量空间中所有向量定义向量的加法，数与向量的乘积。定义向量的加法，数与向量的乘积。运算封闭 运算封闭八条运算律成立 八条运算律成立第11 页，本讲稿共66 页线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）Definition:(线性空间或向量空间)要点：要点：集合 集合V V与数域 与数域F F 向量的加法和数乘向量运算 向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去 运算之后的结果跑不出去）八条运算律 八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美 能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）第12
6、 页，本讲稿共66 页常见的线性空间F Fnn=X=X=（x x11，xx22，x xnn）TT：x x FF运算 运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量FFmm nn=A=A=aaij ijm mnn：aa ij ijFF；运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵RRmmnn；CCmmnn。Ft Ftn n=f(x)=f(x)=a a00+aa11x+aa22x2+.+a an-1n-1xn-1：aaiiRR运算 运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘C Caa，bb=f=f（xx）：）：ff（xx）在）在 aa，bb上连续上连续运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法
7、和数乘ExampleExample：V=RV=R+，F=R F=R，a abb=abab，a=aa=aF=R F=R或 或C C第13 页，本讲稿共66 页不是线性空间的集合VV=X=X=（xx1 1，xx22，11）TT：xxii RR 运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。击。第14 页，本讲稿共66 页线性空间的一般性的观点：线性空间的简单性质（共性）：（1）VV中的零元素是惟一的。（2）V V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：0=0，k0=0，k=0=
8、0 或k=0（4）=（1）数 数0 0向量 向量0 0第15 页，本讲稿共66 页三、向量组的探讨（Review)向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：向量 向量 可由 可由 1 1，2 2，s s线性表示 线性表示;（其工作可由多人合力完成）（其工作可由多人合力完成）向量组 向量组 1 1，2 2，s s线性无关 线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示 任何一个向量不能由其余向量线性表示 要使 要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,只有系数都为 只有系数都为0 0向量组 向量组 1 1，2 2，s s线性相关 线性相关 其中一个向
9、量可以由其余向量线性表示 其中一个向量可以由其余向量线性表示 要使 要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,必须有非零系数 必须有非零系数第16 页，本讲稿共66 页三、向量组的探讨（Review)向量组的极大线性无关组：向量组的极大线性无关组：11，2 2，ss为向量组 为向量组AA的一个部分组的一个部分组（精英组合精英组合）满足满足向量组向量组11，22，ss线性无关线性无关（彼此工作不可替代彼此工作不可替代）任意任意AA的向量可以由的向量可以由11，22，ss线性表示线性表示（公司的任何人的工作可由精英组合完成公司的任何人的工作可由精英组合完成）向
10、量组的秩向量组的秩(rank)(rank)：最大无关组中向量的个数：最大无关组中向量的个数第17 页，本讲稿共66 页四、线性空间的基和维数抽象的线性空间的元素称之为向量(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和Rn一样：定义形式和向量空间定义形式和向量空间RRnn中的定义一样。中的定义一样。有关性质与定理和有关性质与定理和RRnn中的结果一样。中的结果一样。因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组-即为基(basis)第18 页，本讲稿共66 页四、线性空间的基和维数基(basis)：线性空间的极大无关组；维数(dimension)：基中向量的个数；常见线性空间的基与
11、维数：Fn，自然基e11，ee2，,en，dimFn=nRmmn，自然基Eij，dimRmn=mmn。FFtt3，自然基1，t，t2，dimFt3=3=3Ca，bb，1，xx，xx2，x3xn-1Ca,bCa,b，dim Ca，b=b=约定：本书主要研究有限维线性空间。第19 页，本讲稿共66 页五、坐标坐标的来历：设 1，2，n是空间V的一的一组基，组基，V,可以由基1，2，n唯一线性表示=x11+x22+xnn则x1，x2，xn是在基 i下的坐标。例1：求R2 2中向量在基Eij下的坐标。要点：坐标与基有关 坐标的表达形式第20 页，本讲稿共66 页例2设空间Fx4的两组基为：1，x，x2
12、，x3和1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标。归纳归纳：有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的实际的元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。第21 页，本讲稿共66 页*例3设R2 2中向量组Ai1讨论Ai的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合.第22 页，本讲稿共66 页六、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不
13、同基下坐标之间的关系1基变换公式设空间中有两组基：过渡矩阵 过渡矩阵CC的性质：的性质：CC为可逆矩阵为可逆矩阵CC的第的第ii列是列是ii在基在基ii下的坐标下的坐标则过 过渡 渡矩 矩阵 阵第23 页，本讲稿共66 页22坐标变换公式坐标变换公式已知空间中两组基：满足:;讨论X和Y的关系X=CY X=CY第24 页，本讲稿共66 页例已知空间R中两组基（I）Eij（II）；1.求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。2.求向量在基（II）的坐标Y。例 例1.1.8P8 1.1.8P8第25 页，本讲稿共66 页线性空间V与Fn的同构坐标关系坐标关系VFnVV的的基基11，22，。，。nn由此
14、建立一个一一对应关系VV，XXFFnn，（）=X=X（11+22）=（11）+（22）（kk）=k=k（）在关系下，线性空间V和Fn同构。第26 页，本讲稿共66 页同构的性质定理1.3:V中向量 1，2，n线性相关它们的坐标X1,X2,Xn在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。第27 页，本讲稿共66 页1.2 子空间概述：线性空间V中，向量集合V可以有集合的运算和关系：WiV，W1W2，W1W2，问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？第28 页，本讲稿共66 页1、子空间的概念定义：设非空集合WV，W，如果W中的
15、元素关于V中的线性运算为线性空间，则称W是V的子空间。判别方法：ImportantTheorem ImportantTheoremW是子空间W对V的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子子空空间间的的判判别别方方法法可可以以作作为为判判别别线线性性空空间间的的方方法法第29 页，本讲稿共66 页子空间和非子空间的例子：V=x=(x1，x2，0R 3，V=x=(x1，x2，1R 3，矩阵A R mn，齐次线性方程组AX=0 AX=0的解集合：S S=X：AX=0AX=0Rn，非齐次线性方程的解集合：M=X：AX=bRn，第30 页，本讲稿共66 页重要的子空间：重要的子
16、空间：生成子空间生成子空间 设设向向量量组组11，22，mmVV，由 由它 它们 们的 的一 一切 切线 线性组合生成的子空间：性组合生成的子空间：SpanSpan1 1，2 2，mm=L(=L(11，2 2，mm)=k k1111+kk22 22+kkmm mm|k ki i 生成子空间的重要的性质：生成子空间的重要的性质：11）如如果果11，22，m m线 线性 性无 无关 关，则 则其 其为 为生 生成 成子 子空 空间 间SpanSpan11，22，m m的一组基；的一组基；22）如如果果1 1，22，rr是是向向量量组组1 1，2 2，mm的的最最大大线性无关组，则线性无关组，则Sp
17、anSpan11，22，m m 11，22，rr是是SpanSpan11，22，mm的一组基的一组基第31 页，本讲稿共66 页2、子空间的“交空间”与“和空间”讨 讨论 论：设设W W11 V V，WW22VV，且 且都 都是 是子 子空 空间 间，则 则WW11 WW22和和W W1 1WW22是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？1.1.（11）交空间 交空间 交集：交集：W W1 1 W W2 2=W W1 1 而且 而且 W W2 2 V Vn n（F F）W W1 1 W W2 2是子空间，被称为 是子空间，被称为“交空间 交空间”（22）和空间）和空间和的集合：和的集合：W W1
18、1 W W2 2=X=X1 1 X X2 2 X X1 1 W W1 1，X X2 2 W W2 2 W W1 1 W W2 2 W W1 1 W W2 2W W1 1 W W2 2是子空间，被称为 是子空间，被称为“和空间 和空间”，W W1 1 W W2 2不一定是子空间，不一定是子空间，W W1 1 W W2 2 W W1 1 W W2 2 第32 页，本讲稿共66 页例设R3中的子空间W1=Le1，W2=Le2求和空间求和空间WW11WW22。比较：集合比较：集合WW11WW22和集合和集合WW11WW22。如果如果WW1 1=Span Span 11，22，mm，W W22=Span
19、Span11，22，kk，则 则 WW11WW22=SpanSpan11，22，mm，11，22，kk 第33 页，本讲稿共66 页3、维数公式子空间的包含关系：dim dimWW11WW2 2dimdimWWiidimdimWW11 W W22dimdimVVnn（FF）。）。维数定理：dimdimWW1 1 dimdimWW2 2=dimdim（W W11WW2 2）dimdim（WW11WW22）证明：证明：第34 页，本讲稿共66 页4、子空间的直和分析：如果dim（W1W2）0，则dim（W1W2）dimW1dimW2所以：dim（W1W2）=dimW1dimW2dim（W1W2）=
20、0W1W2=0直和的定义：若 dim（W1W2）=0，则和为直和W=W1W2=W1W2，第35 页，本讲稿共66 页子空间的“和”为“直和”的充要条件：Theorem设W=W1W2，则下列各条等价：（1）W=W1W2（2）X W，X=X1X2的表是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1dimW2第36 页，本讲稿共66 页例P131.2.6例例设在Rnn中，子空间W1=AAT=A，W2=B BT=B，证明Rnn=W1W2。第37 页，本讲稿共66 页13线性变换(LinearTransformations)一、线性变换的概念线性变换的来历；Definition：（i）T
21、是V上的映射：T：V V。(ii)T具有线性性：T（）=T（）T（）(保持加法的三角形法则 保持加法的三角形法则)T（k）=kT（）(保持比例关系 保持比例关系)第38 页，本讲稿共66 页2线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）T()=T()（iii）33线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间设线性变换 设线性变换T T：V V V V，象空间 象空间Im Im(T T)=：V V，=T=T()零空间 零空间Ker(Ker(T T)=：V V，T T()=0=0 定义：定义：T T的秩 的秩=dim dimR R（T T）；）；T T的零度 的零度=dim dim N N（T
22、T）线性变换保持线线性变换保持线性相关性不变！性相关性不变！第39 页，本讲稿共66 页例(P018)Rn中的变换T：设A Rnn是一个给定的矩阵，X Rn，T(X)=AX。(1)T是线性变换；(2)Ker(T)是AX=0的解空间；(3)Im(T)=Spana1,a2,.,an,其中a1是矩阵A的列向量；(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n第40 页，本讲稿共66 页4 4线性变换的运算线性变换的运算设设T T1 1，TT22都都是是空空间间VV中 中的 的线 线性 性变 变换 换，常 常见 见的 的用 用它 它们 们构 构成 成的 的新的变换：新的变换：（i i）TT11TT22
23、VV，（TT11T T22）（）（）=T=T11（）TT22（）（iiii）T T11T T22V V，(TT11TT22)（）=T=T11（TT22（）（iii iii）kkTTVV，（kkT T）（）（）=kk（TT（）（iviv）若 若TT 1 1是可逆变换，是可逆变换，T T11 T T11()=当且仅当当且仅当T T()=。定义 定义第41 页，本讲稿共66 页二、线性变换的矩阵11线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式Purpose:Purpose:将抽象的线性变换与矩阵对应起来将抽象的线性变换与矩阵对应起来T的矩阵第42 页，本讲稿共66 页二、线性变换的矩阵1
24、线性变换的矩阵与变换的坐标式V上线性变换的特点分析：定义变换T确定基中向量的象T（i）。定义T（i）确定它在基下i的坐标Ai。定义变换T确定矩阵A=A1，A2，An第43 页，本讲稿共66 页例已知定义映射T：(1)证明T是V上的线性变换；(2)求V的一组基，并求T在这组基下的矩阵。第44 页，本讲稿共66 页2线性变换运算的矩阵对应：设V上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1T2）（A1A2）（ii）（T1T2）A1A2（iii）（kT）kA（iv）T1A1第45 页，本讲稿共66 页3不同基下的变换矩阵两组基 1，2，,n，1，2，,n，（12n）=
25、（12n）CT（12n）=（12n）AT（12n）=（12n）B 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC123第46 页，本讲稿共66 页*例（P025，例1.4.6）*例设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的线性变换P（x）=x-（x，u）u，1.求P在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。2.求P在标准正交基u，u2，u3下的变换矩阵。第47 页，本讲稿共66 页2.1内积与欧氏空间InnerProduct&EuclidianSpaces InnerProduct&EuclidianSpaces内积的作用：研究高维空间中的几
26、何问题。1Example:R3上的内积定义2内积的公理化定义Definition：要点内积(，)是二元运算：VVR(，)的公理性质(，)是任何满足定义的运算。讨论(，12),(，k)第48 页，本讲稿共66 页3常见的内积空间：Rn；Remark:对于同一个线性空间，可以定义不同的内积成为不同的欧氏空间Rmn；第49 页，本讲稿共66 页4向量的长度定义：|=5欧氏空间中向量的夹角：定义：0，0，夹角定义为：cos=性质：|kk|=kk|；三角不等式三角不等式(Cauchy(Cauchy不等式不等式)：，V,V,|(，)|。|和 和 正交 正交（，）=0=0 第50 页，本讲稿共66 页6线性
27、空间的内积及其计算：设1，2，,n 是内积空间V的基，V，则有=x11x22x n n=(12 n)X；=y11y22y n n=(1 2 n)Y(，)=Y HAX，定义内积在一个基 1，2，n中定义内积定义一个度量矩阵A。度量矩阵A度量矩阵的性质：第51 页，本讲稿共66 页2.2标准正交基OrthogonalBasis OrthogonalBasis1正交的向量组：定义：定义：11，22，nn为正交组为正交组(ii，jj)=0=0性质：性质：不含零向量的正交向量组线性无关。不含零向量的正交向量组线性无关。2标准正交基基基11，22，nn是标准正交基是标准正交基(i，j)=要点要点：是基，是
28、基，两两正交，两两正交，每一个向量是单位每一个向量是单位向量向量第52 页，本讲稿共66 页标准正交基的优点：度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=IA=I=(1122nn)XX，=(1122nn)YY，(，)=Y=YHHXX=xx1111xx2222xx n n nn，xxii=(，ii)和和正交正交其坐标其坐标XX和和YY正交正交坐 坐标 标空 空间 间Fn的 的内 内积 积标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤：1.Schmidt正交化2.标准化标准化第53 页，本讲稿共66 页例已知(1)证明(X,Y)是V上的内积；(2)求W的一组标准正交基。第54 页，本讲稿共66 页2.
29、4正交补定义:设W,U是实内积空间V 的子空间，(1)V,若 W,都有(,)=0,则称 与W 正交，记作 W;(2)若 W,U,都有(,)=0,则称W 与U 正交，记作W U;(3)若W U，并且W+U=V,则称U 为W 的正交补。注意：若W U，则W与U 的和必是直和。55第55 页，本讲稿共66 页正交补的存在唯一性定理:设W 是实内积空间V 的子空间，则W 的正交补存在且唯一，记该正交补为，并且56定理:设W 是实内积空间V 的有限维子空间，则第56 页，本讲稿共66 页向量的正投影定义:设W 是实内积空间V 的子空间，则称向量 为向量 在W上的正投影，称向量长度|g|为向量 到W 的距
30、离。WdOg第57 页，本讲稿共66 页垂线最短定理定理:设W 是实内积空间V 的子空间，V,为 在W上的正投影，则d W,有并且等号成立当且仅当=d。Wd 第58 页，本讲稿共66 页最小二乘法（1）可能无解，即任意 都可能使（2）不等于零，设法找实数组 使（2）最小 这样的 为方程组（1）的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题.1.问题提出，实系数线性方程组第59 页，本讲稿共66 页2.问题的解决设（3）用距离的概念，（2）就是 由（3）知 第60 页，本讲稿共66 页找 使（2）最小，等价于找子空间 中向量 使 到它的距离 比到 中其它向量的距离都短.设 为此必 这等价于（4）即 这样（
31、4）等价于 或（5）第61 页，本讲稿共66 页例题第62 页，本讲稿共66 页四、正交变换和酉变换讨论欧氏空间 讨论欧氏空间V V中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。1 1正交变换的定义；正交变换的定义；2 2正交变换的充要条件：正交变换的充要条件：（Theorem,Theorem,P042 P042）T T是内积空间 是内积空间V V上的线性变换，则下列命 上的线性变换，则下列命题等价：题等价：T T是正交变换 是正交变换T T保持向量的长度不变 保持向量的长度不变T T把 把V V的标准正交基变成标准正交基 的标准正交基变成标准正交基T T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵 在标准正交基
32、下的矩阵是正交矩阵3 3正交矩阵的性质 正交矩阵的性质正交矩阵 正交矩阵C C：C CT TC=I C=I正交矩阵的判定：正交矩阵的判定：A A是正交矩阵 是正交矩阵,每个行（列）向量是单位向量；每个行（列）向量是单位向量；每两行（列）正交。每两行（列）正交。第63 页，本讲稿共66 页常见的基本正交变换常见的基本正交变换：平面上的旋转平面上的旋转几何描述：几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个 绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。角。变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，R R33空间中的镜像变换空间中的镜像变换定义：定义：S S（x x）=x x 2 2（x x，u u）u u。变换矩阵与
33、几何意义 变换矩阵与几何意义空间中的旋转空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的 几何描述：绕空间中过原点的 一根直线 一根直线L L，旋转一 旋转一 个 个 角。角。变换矩阵 变换矩阵第64 页，本讲稿共66 页五、酉空间和酉变换把内积空间中的数域换成复数域 把内积空间中的数域换成复数域C,C,复内积空间 复内积空间(酉空间 酉空间)1 1酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；2 2酉变换和正交变换 酉变换和正交变换 3 3正规变换与正规矩阵的定义；正规变换与正规矩阵的定义；4SchurLema;4SchurLema;5Hermite 5Hermite矩阵的性质；矩阵的性质；6 6矩阵的奇异值。矩阵的奇异值。第65 页，本讲稿共66 页推荐练习题：第一、二章P026：4；5；6；10；11；13；14P053：2；5；10第66 页，本讲稿共66 页