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1、 第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第1页/共30页一、一、区区域域1.邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为第2页/共30页在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.第3页/共30页2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E
2、,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.第4页/共30页D(2)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E
3、 的边界,记作E;第5页/共30页例如，例如，在平面上在平面上开区域闭区域第6页/共30页 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域D,若存在正数 K,使一切点PD 与某定点A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无第7页/共30页二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式第8页/共30页定义定义1.设非空点设非空点集集点集 D 称为函数的定义域定义域;数集称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函
4、数,记作第9页/共30页例如例如,二元函二元函数数定义域为圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第10页/共30页三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设 n 元函数聚点,则称 A 为函数 f(P)(也称为 n 重极限)二元函数的极限可写作：P0 是 D 的若存在常数 A,记作都有 f(P)无限地接近于 A，当点P 以任意方式趋近于P0时,第11页/共30页例例1.设设则解解:原式例例2.求多元函数有与一元函数类似的极限运算法则.第12页/共30页 若当点趋于不同值或有
5、的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数第13页/共30页仅知其中一个累次极限存在,推不出其它二者存在.注注.二重极二重极限限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.第14页/共30页四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.
6、则称 n 元函数连续.连续,第15页/共30页例如例如,函函数数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第16页/共30页例例4.证明：证明：在全平面连续.证证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得第17页/共30页解解:原式例例5.求这一步使用了二元函数在(0,0)点的连续性.第18页/共30页定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性
7、质:第19页/共30页第二节第二节一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 第20页/共30页定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:一、偏导数定义及其计算法第21页/共30页同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,第22页/共30页例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上
8、的函数.偏导数定义为(请自己写出)第23页/共30页例例1.求求解法解法1解法解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求第24页/共30页例例2.设设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证第25页/共30页偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,第26页/共30页二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对y 轴的第27页/共30页函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!第28页/共30页第二节 课 堂 测 验1.证明2.设,求4.求微分方程的通解5.求特解：第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页