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1、18.1 多元函数多元函数的极限与连续的极限与连续平面点集平面点集多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性小结小结 思考题思考题 作业作业 function of many variables第1页/共38页一维数轴上的邻域一维数轴上的邻域:回忆一、平面点集一、平面点集第2页/共38页3（1）邻域）邻域(Neighborhood)将邻域去掉中心称之为去心邻域.第3页/共38页4（2）区域）区域第4页/共38页5第5页/共38页6连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，第6页/共38页7有界闭区域；有界闭区域；无
2、界开区域无界开区域例如，例如，第7页/共38页8OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域第8页/共38页9（3）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点第9页/共38页10 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第10页/共38页11（4）n维空间维空间 n维空
3、间的记号为维空间的记号为说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 第11页/共38页12 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：设两点为设两点为第12页/共38页13（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数第13页/共38页14多元函数定义域多元函数定义域:定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的自变量取值的全体的自变量取值的全体.实际问题中的函数:的自变量取值的全体.纯数
4、学问题的函数:定义域为使运算有意义第14页/共38页15例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为第15页/共38页16解解Oxy定义域是有界半开半闭区域有界半开半闭区域第16页/共38页17一元函数的图形一元函数的图形一元函数的图形是平面上的一元函数的图形是平面上的一条曲线一条曲线回忆第17页/共38页18 二元函数的图形是二元函数的图形是空间的空间的一张曲面一张曲面二元函数的图形二元函数的图形第18页/共38页19例例上半球面上半球面下半个圆锥面下半个圆锥面2D第19页/共38页20例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,右图球面右图球面.单值分支单值分支:第20页/共38页21
5、 的图形是双曲抛物面(马鞍面).又如,它在xOy平面上的投影是全平面.第21页/共38页22回忆:一元函数的极限 讨论二元函数讨论二元函数 二、多元函数的极限第22页/共38页 有有 简写简写第23页/共38页24Oxy路径又是多种多样的.方向有任意多个,Oxy说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；第24页/共38页25（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似(double limit)第25页/共38页26例例2 2 求证求证 证证由夹逼准则，原结论成立由夹逼准则，
6、原结论成立第26页/共38页27例例3 3 求极限求极限 解解其中其中第27页/共38页28例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在第28页/共38页29确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第29页/共38页30极限极限 是否存在？是否存在？取取解解 极限不存在极限不存在.取取第30页/共38页31 关于二元函数的极限概念可相应地推广关于二元函数的极限概念可相应地推广到到n元函数上去元函数上去.第31页/共38页32三、多元函数的连续性定义定义3 3第32页/共38页33例例6 6 讨论函数讨论函数在(0,0)的连续性解解取取其
7、值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续第33页/共38页34闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值 f(P)f(P)是有界闭区域是有界闭区域D D上的多元连续函数，则上的多元连续函数，则f(P)f(P)在在D D上可取得介于任意上可取得介于任意两个不同函数值两个不同函数值之之间的任何值间的任何值（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理第34页/共38页35多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第35页/共38页36例例解解第36页/共38页37作业习题习题8.1(8.1(第第313313页页)第37页/共38页38感谢您的观看！第38页/共38页