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1、目录上页下页返回结束 第五章 第二节第二节一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限与二、多元函数的极限与连续性性三、多元三、多元连续函数的性函数的性质多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录上页下页返回结束一、多元函数的概念一、多元函数的概念引例引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式目录上页下页返回结束定定义1.设非空点集点集 D 称为函数的定定义域域;数集称为函数的值域域.特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作目录上页下页返回结束例如,二元函数定义域为圆域说明明:二元函数 z=f(x,y)
2、,(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球目录上页下页返回结束等等值线：另一种表示函数z=f(x,y)的方法是利用xOy面上的曲线族。当点(x,y)在其中每一条曲线f(x,y)都取相同的值所谓的等值线f(x,y）=C，其中C为常数。它表示上变化时.函数目录上页下页返回结束容 易 看 出，等 值 线f(x,y)=C实际上就是曲面 z=f(x,y)与 平 面 z=C 的交线在xOy平面上的投影。因此,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度z=C处就不 难 想 象 出 曲 面z=f(x,y)的图像目录上页下页返回结束例
3、例 画出函数画出函数的等值线，并由此等值线解解:显然等值线为可知，此曲面仅位于xOy平面的上方，与xOy平面讨论此曲面的形状。容易看出，当C0时，等值线是以原点为中心的同心圆，C越小半径越小;C=0时为原点O(0,0);C0时无轨迹。由此切于原点，在xOy平面上方与水平平面z=C的截面都是圆，且越往上开口半径越大目录上页下页返回结束定定义 设非空点集是自变量;是因变量，显然，一个n元向量值函数y y=f f(x x)对应于m 个n 元数量值函数映射称为定义 在 D 上的 n 元向量元向量值函数函数,也可记作目录上页下页返回结束为运算方便，有时把其中与中的向量写成列向量，在这种情况下nn元向量元
4、向量值函数函数 也可记作目录上页下页返回结束例我们知道,空间中曲线的参数方程为它可以看做是从 到 的一个映射，即一元其中向量函数目录上页下页返回结束二、多元函数的极限和二、多元函数的极限和连续性性定定义2.3 设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切目录上页下页返回结束例例1.设求证:证:故总有要证 目录上页下页返回结束例例2.设求证：证：故总有要证 目录上页下页返回结束如图xx0 xx注：当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数
5、说明：目录上页下页返回结束xoX0XD对二元函数 f(X),如图有 点X以任何方式趋近于X0时,f(X)的极限都存在且为A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo目录上页下页返回结束例例3.设设f(x,y)=证明证明 f(x,y)在在(0,0)点的极限不存点的极限不存在在.证证:只须证明当只须证明当X 沿不同的线路趋于沿不同的线路趋于(0,0)时时,函函数数f(x,y)对应的极限也不同即可对应的极限也不同即可.目录上页下页返回结束考察 X=(x,y)沿平面直线 y=kx 趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy目录上页下页返回结束从而从而,当当 X=(x,y)沿沿 y=kx 趋于趋于(
6、0,0)时时,函数极限函数极限当当当当 k k 不同时不同时不同时不同时,极限也不同极限也不同极限也不同极限也不同.因此因此因此因此,f f(x x,y y)在在在在(0,0)(0,0)的极限不存在的极限不存在的极限不存在的极限不存在.请考察当请考察当X=(x,y)沿沿 x 轴轴,沿沿 y 轴趋于轴趋于(0,0)的情形的情形.目录上页下页返回结束沿 x 轴,y=0.函数极限=0沿 y 轴,x=0.函数极限=0但不能由此断定该二重极限为0目录上页下页返回结束例例 .求累次极限解：解：和二元函数还可以定义两个累次极限 和累次极限累次极限 目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注
7、注.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.目录上页下页返回结束注：多元数量注：多元数量值函数极限的概念可推广到多函数极限的概念可推广到多元向量元向量值函数的情形函数的情形定定义：设 D为一点集则称 a 为函数为一n元向量值函数对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切是 D 的聚点目录上页下页返回结束多元函数的多元函数的连续性性 定定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,目录上页下页返回结束例如例如,函数
8、在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.目录上页下页返回结束定理定理：设是紧集，是 A 上的(2)f在 A 上可取得最大值 M 及最小值 m;(最值定理)(3)对任意(介值定理)三三.多元多元连续函数的性函数的性质:的连续函数，则(有界性定理)(1)f在A上有界;目录上页下页返回结束定理定理：设 是紧集，在A 上连续,f 必在A 上一致连续,即(证明略)时，恒有注：注：有界有界闭区域都是区域都是连通的通的紧集，故上述定理集，故上述定理对有界闭区域上的连续函数都成立。(一致连续性定理)目录上页下页返回结束解解:原式例例
9、5.求例例6.求函数的连续域.解解:目录上页下页返回结束内容小内容小结1.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数目录上页下页返回结束有2.多元函数的极限3.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P61 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P129 题 3;*4思考与思考与练习目录上页下页返回结束解答提示解答提示:P61 题 2.称为二次齐次函数.P61 题 4.P61 题 5(3).定义域P61 题 5(5).定义域目录上页下页返回结束P62 题 8.间断点集P129 题 3.定义域P129 题*4.令 y=k x，若令,则 可见极限不存在目录上页下页返回结束 P61 5(2),(4),(6)6 (2),(3),(5),(6)*7，*10第二节作作 业 目录上页下页返回结束备用用题1.设求解法解法1 令目录上页下页返回结束1.设求解法解法2 令即目录上页下页返回结束2.是否存在？解解:利用所以极限不存在.目录上页下页返回结束 3.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得