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1、定积分的起源 积分思想出现在求面积、体积等问题中，在中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法.第1页/共41页 中国魏晋时代的刘徽在其九章算术注（公元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”第2页/共41页 如：古希腊的阿基米德（公元前287前212）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷竭法”.他运用穷竭法还解决了大量的几何图形的面积、体积、弧长等计算问题。第3页/共41页 16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题，并不断加以改进
2、.天文学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型.他注意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努力探求计算体积的正确方法，写成测量酒桶体积的新科学一书，他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积.第4页/共41页第一节第一节 特殊和式的极限特殊和式的极限定积分的概念定积分的概念 主要内容：主要内容：一、定积分概念的两个现实原型一、定积分概念的两个现实原型二、定积分的概念二、定积分的概念三、可积条件三、可积条件四、定积分的性质四、定积分的性质第5页/共41页abxyo原型 （求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念的两个现实原型第6页/共41页“分割-近似-求和-取极限”将曲边梯形
3、的底，即a,b进行分割(用垂直于x轴的直线).).第一步 分割；曲边梯形的面积的解决思路：a bxyo第7页/共41页取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步 近似；a bxyo用矩形面积近似用矩形面积近似小曲边梯形面积小曲边梯形面积底底典型小区域面积 第8页/共41页a bxyo第三步 求和；有误差有误差将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.矩形面积和与曲边梯形面积不相等第9页/共41页第四步 取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.a bxyo第10页/共41页第11页/共41页原型 （求变速直线运动的路程）思路思路：因
4、为速度因为速度 v(t)连续，所以在充分短的时间间隔连续，所以在充分短的时间间隔里可以里可以“以匀速代变速以匀速代变速”。如果物体作匀速运。如果物体作匀速运动那么动那么 路程速度路程速度时间。时间。分割分割求和求和取极限取极限近似近似第12页/共41页（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和（4）取极限）取极限路程的精确值（2）近似）近似第13页/共41页二、定积分的定义定义定义以直代曲求和第14页/共41页被被积积函函数数被被积积表表达达式式积分上限积分下限积积分分变变量量积分和取取极极限限第15页/共41页注意：注意：第16页/共41页总结原型总结原型和
5、和定积分的几何意义定积分的几何意义第17页/共41页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义第18页/共41页几何意义第19页/共41页例1解解第20页/共41页第21页/共41页例例2 将下列平面图形的面积表示成定积分。将下列平面图形的面积表示成定积分。第22页/共41页练习题练习题第23页/共41页定理定理 （可积的充分条件）（可积的充分条件）定理定理 （可积的必要条件）（可积的必要条件）三、可积条件可导必连续可导必连续,连续必可积连续必可积,可积必有界可积必有界.第24页/共41页对定积分的补充规定对定积分的补充规定:四、定积分的性质第25页/
6、共41页定理定理用定积分的定义证明用定积分的定义证明第26页/共41页证证定理定理用定积分定义证明用定积分定义证明第27页/共41页补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.定理定理 （积分区间的可加性）（积分区间的可加性）第28页/共41页定理定理第29页/共41页定理定理（保序性保序性）推论（保号性）推论（保号性）第30页/共41页练习题练习题第31页/共41页定理定理 （有界性）（有界性）第32页/共41页例3解解.第33页/共41页第34页/共41页定理（绝对值不等式）定理（绝对值不等式）第35页/共41页第36页/共41页定理（积分中值定理）定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释第37页/共41页3典型问题典型问题（1）利用几何意义计算定积分）利用几何意义计算定积分（2）估计积分值）估计积分值五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限 2定积分的性质定积分的性质第38页/共41页练练 习习 题题积分变量 被积函数积分区间第39页/共41页 第40页/共41页谢谢大家观赏！第41页/共41页