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1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念高中数学 选修2-2 人教A版第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用1.曲边梯形如图,由直线x=a,x=b(ab),y=0以及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.1|曲边梯形的面积1.5 定积分的概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用2.求曲边梯形的面积的步骤(1)分割:把区间a,b分成多个小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形.(2)近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值
2、.(3)求和:对由近似代替得到的每个小曲边梯形的面积的近似值求和.(4)取极限:当小曲边梯形的个数趋于无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋于一个定值,该定值即曲边梯形的面积.求变速直线运动路程的步骤:分割;近似代替;求和;取极限.2|变速直线运动的路程第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用3|定积分的概念如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0 x1xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式f(i)x=f(i)(其中x为小区间的长度),当n时,上述和式无限接近某个常数,这
3、个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作,即f(x)dx=f(i).这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用4|定积分的几何意义5|定积分的性质从几何上看,如果在区间a,b上,函数f(x)连续且恒有f(x)0,那么定积分f(x)dx表示由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积,这就是定积分f(x)dx的几何意义.根据定积分的定义,得出定积分的性质如下:性质1:kf(x)dx=k
4、f(x)dx(k为常数)(定积分的线性性质);性质2:f1(x)f2(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx(定积分的线性性质);性质3:f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中acb)(定积分对积分区间的可加性).第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用1.当n很大时,函数f(x)=x2在区间上的一个值能用近似代替.()2.=()提示:定积分大小只与被积函数和积分上下限有关,故正确.3.0,根据定积分的定义可知,所表示的面积小于所表示的面积,故正确.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一
5、章 导数及其应用导数及其应用1|求曲边梯形的面积正确理解曲边梯形的概念是研究曲边梯形面积的关键,实际上,曲边梯形是由曲线段和直线段围成的平面图形.“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是前者有一边是曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段.求曲边梯形面积的基本步骤是分割、近似代替、求和、取极限.在“近似代替”中,在每个小区间上通常取某一端点的值代入计算,这样做是为了计算简便.当f(i)为负值时,取|(i)|为一边的长构造小矩形.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用求和时常用的一些公式1+2+3+n=,12+22+32+n2=,13+23+33+n3
6、=.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用()利用定积分的定义,计算.解析解析令f(x)=3x+2.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入(n-1)个分点,将区间1,2等分成n个小区间(i=1,2,n),每个小区间的长度x=-=.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用(2)近似代替、求和取i=(i=1,2,n),则Sn=fx=0+1+2+(n-1)+5=+5=-.(3)取极限(3x+2)dx=Sn=.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用跟踪训练跟踪训练1()
7、求由直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形的面积.参考公式:12+22+n2=n(n+1)(2n+1).解析解析令f(x)=x2+1.(1)分割将区间0,2n等分,分点依次为x0=0,x1=,x2=,xn-1=,xn=2.第i个区间为(i=1,2,n),每个小区间的长度为x=-=.(2)近似代替、求和第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用取i=(i=1,2,n),则Sn=fx=i2+2=(12+22+n2)+2=+2=+2.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用(3)取极限(x2+
8、1)dx=Sn=,即所求曲边梯形的面积为.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积之间的关系:求汽车行驶的路程实际上是求时间-速度坐标系中的曲边梯形的面积,所以求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积的方法一样.2|求变速直线运动的路程第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用()一辆汽车做变速直线运动,设汽车在t时的速度v(t)=,求汽车在t=1到t=2这段时间内运动的路程s.解析解析(1)画出图象(2)分割把区间1,2等分成n个小区间(i=1,2,n),每个小区间的长度为t=,
9、把每个时间段内汽车行驶的路程记为si(i=1,2,n).故路程和sn=si.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用(3)近似代替取i=(i=1,2,n),于是sivt=6=(i=1,2,3,n).(4)求和sn=6n=6n.(5)取极限s=sn=3.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用跟踪训练跟踪训练2()有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0t2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用解析解析(1)分割在区间0,2上等间隔地插入(n-1)个分点,将它分成n个小区间(i=1,2,n),每个小区间的长度为t=-=.每个时间段上行驶的路程记为si(i=1,2,n),则显然有sn=si.(2)近似代替取i=(i=1,2,n),于是sivt=32+2=+(i=1,2,n).第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 导数及其应用导数及其应用(3)求和sn=(12+22+n2)+4=+4=8+4.(4)取极限s=sn=8+4=8+4=12,所以这段时间内行驶的路程为12km.