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1、一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线以及两直线以及两直线所围成所围成,求其面积求其面积 A.矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积第1页/共21页解决步骤解决步骤:1)划分划分.在区间在区间 a,b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2)近似替代近似替代.在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以为底为底,为高的小矩形为高的小矩形,并以此小并以此小矩形面积近似代替相应矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积得得第2页/共21
2、页3)求和求和.4)取极限取极限.令令则曲边梯形面积则曲边梯形面积第3页/共21页2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,且且求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)划分划分.将它分成将它分成 n在每个小段上物体经在每个小段上物体经2)近似替代近似替代.任取任取 得得已知速度已知速度个小段个小段过的路程为过的路程为第4页/共21页3)求和求和.4)取极限取极限.第5页/共21页3.总成本问题总成本问题设边际成本设边际成本 C(x)为产量为产量 x 的连续函数，的连续函数，求产量求产量 x从从 变到变到 时的总
3、成本时的总成本.解决步骤解决步骤:1)划分划分.分成分成 n2)近似替代近似替代.任取任取 ，个小产量段个小产量段在区间在区间段的近似平均成本，有段的近似平均成本，有中任意插入 n 1 个分点,把作为第 i第6页/共21页3)求和求和.4)取极限取极限.上述三个问题的上述三个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同:“划分划分,近似替代近似替代,求和求和,取极限取极限”所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限第7页/共21页二、定积分定义二、定积分定义(P165)若对若对a,b上上任一种任一种分法分法任取任取总趋于确定的极限总趋于确定的
4、极限 I,则称此极限则称此极限 I 为函数为函数在区间在区间上的上的定积分定积分,即即此时称此时称 f(x)在在 a,b 上上可积可积.记作记作函数 f(x)在a,b上有界，第8页/共21页积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和第9页/共21页定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和第10页/共21页质点以速度质点以速度 v=v(t)作直线运动，从时刻作直线运动，从时刻 T1 到到 T2所通过的所通过的路程路程为：为：边际成本边际成本 C(x)在产
5、量在产量 x 从从 变到变到 时的时的总成本总成本：第11页/共21页1、定积分仅与被积函数及积分区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即说明说明:不定积分 定积分 所有的原函数一个确定的数值注：第12页/共21页（1）规定规定:（2）2、可积的充分条件:定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点且只有有限个间断点(证明略证明略)第13页/共21页取取例例 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解:将将 0,1 n 等分等分,分点为分点为第14页/共21页注注 第15页/共21页内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限曲边梯形面积曲边梯形面积直线运动物体的路程直线运动物体的路程总成本总成本2.定积分的意义定积分的意义第18页/共21页4、可积的充分条件可积的充分条件:定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点且只有有限个间断点 3、5、第19页/共21页思考与练习思考与练习1.用定积分的几何意义求用定积分的几何意义求:第20页/共21页感谢您的欣赏！第21页/共21页