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1、问题的提出实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.1、已知圆的直径 d 的分布，求园的面积S=d 2 的分布.例如：2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布已知，求 位移S=vt的分布.归纳：1、随机变量X 的分布已知，Y=g(X)，求 Y 的分布？2、设随机变量(X,Y)的联合分布已知，Z=g(X,Y),如何 由(X,Y)的分布求 Z的分布？第1页/共37页一、一维随机变量函数Y=G(X)的分布解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13X=a与Y=2a+3两事件同时发生，两者具有相同的概率.故1、离散型Y=g(X)第2页/共37页X -2 -1 0 1 2Y 2 0
2、0 2 6 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3Y 0 2 6P0.2 0.5 0.3再对等值合并第3页/共37页解：设X，U的分布函数分别为 FX(x),FU(u)2、连续型Y=g(X)设函数Y=g(X)严格单调(递增)Y=g(X)非严格单调时，分段单调，分段求反函数即可。第4页/共37页U 的概率密度第5页/共37页当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，解：设Y和X的分布函数分别为 ，第6页/共37页则 Y=X2 的概率密度为：第7页/共37页 启示：从例3-4中看到，在求F(y)=P(Yy)过程中，关键就是设法从 g(X)y 中解出X，从而得到与 g(X)y 等价的X
3、的不等式.目的：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率.求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。第8页/共37页 例5（P63,例4）设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布。求：（1）(略).（2）Y=-2lnX的概率密度.第9页/共37页二、二维(X,Y)函数的分布1、离散型Z=g(X,Y)第10页/共37页X Y -1 1 2-12 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20（X，Y）(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解:将(X,Y)及各函数值列表如下：第11页/
4、共37页合并后可得各变量的分布律如下：Z=X+Y -2 0 1 3 4P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20W=X-Y -3 -2 0 1 3P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20M=max(X,Y)-1 1 2P 5/20 2/20 13/20 N=min(X,Y)-1 1 2P 16/20 3/20 1/20 第12页/共37页设(X，Y)的联合概率密度为 f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.分析:Z=X+Y的分布函数是积分区域D=(x,y):x+y z是直线x+y=z 左下方半平面2、Z=X+Y的分布(重点）FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)第13页/
5、共37页Z=X+Y的概率密度为 由对称性特别:当X和Y独立时，设(X,Y)的边际密度为fX(x),fY(y)卷积公式 第14页/共37页解:由卷积公式第15页/共37页解:由卷积公式第16页/共37页第17页/共37页设X、Y是两相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布函数.3、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布（重点）FM(z)=P(Mz)=P(max(X,Y)z)=P(Xz,Yz)=P(Xz)P(Yz)=FX(z)FY(z)即 FM(z)=FX(z)FY(z)FN(z)=P(Nz)=P(min(X,Y)z)=
6、1-P(min(X,Y)z)=1-P(Xz,Yz)=1-P(Xz)P(Yz)即 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)第18页/共37页特例:当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时N=min(X1,Xn)的分布函数是M=max(X1,Xn)的分布函数为:FN(z)=1-1-F(z)n推广:设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 (i=0,1，,n)，则FM(z)=F(z)n第19页/共37页解（1）串联方式：系统L的寿命 Z=min(X,Y)第20页/共37页第21页/共37页（2）并联方式：系统L的寿命 Z=max(X,Y)第22页/共37页（3）备用方式
7、：系统L的寿命 Z=X+Y第23页/共37页本节重点总结一、连续型随机变量函数Y=g(X)的分布二、二维连续型(X,Y)函数的分布 1、Z=X+Y的分布。2、M=Max(X,Y)和N=Min(X,Y)的分布。第24页/共37页1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算；2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算；3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率；4、边际分布律、边际概率密度；4、随机变量独立的定义与性质；5、连续型随机变量函数的分布计算 Y=g(X)、相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。本章重点总结第25页/共37页备选1：若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,
8、1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.解:=a0br+a1br-1+arb0 由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,第26页/共37页解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 n)记1-p=q 备选2：设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.n=0,1,2,第27页/共37页解二:P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)=P(max(X1,X2)n)-P(max(X1,X2)n-1)=P(X1 n,X2n)-P(X1 n-1,X2 n-1)n=0,1,2,第28页/共37页第29页/共37页第30页/共37页第31页/共37页第32页/共37页=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X ）当0y1时,第33页/共37页=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X ）而第34页/共37页由独立性第35页/共37页 备选8 随机变量X和Y 独立，它们服从相同的分布N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度。第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页