随机变量的定义及分布.pptx

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1、1.1 1.1 概率的基本术语概率的基本术语 随机试验(Random Experiment):满足下列三个条件的试验称为随机试验：(1)在相同条件下可重复进行；(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确；(3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。例：投掷硬币(Toss a coin)The outcome varies in an unpredictable fashion when the experiment is repeated under the same conditions.第1页/共68页随机事件(Random Event):在随机试验中，对试验中可能出现也可能不出现、

2、而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情，称为随机事件，简称为事件。如投掷硬币出现正面就是一个随机事件。第2页/共68页基本事件(Elementary Event):随机试验中最简单的随机事件称为基本事件，如投掷骰子出现1、2、.、6点是基本事件，出现偶数点是随机事件，但不是基本事件。(简单事件Simple Event)第3页/共68页样本空间(Sample Space)随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间.Toss a coin：S=Head,Tail=H,TToss a die:S=1,2,3,4,5,6第4页/共68页关于样本空间的注释：离散的样本空间Toss a die:S=1

3、,2,3,4,5,6连续的样本空间由多次子试验构成的样本空间看下例第5页/共68页IF we toss a coin three times and let the triplet xyz denote the outcome“x on the first toss,y on the second toss,z on the third toss”,then the sample space of the experiment isS=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTTThe event“one head and two tails”is defined byE=H

4、TT,THT,TTH第6页/共68页关于样本空间的注释：离散的样本空间Toss a die:S=1,2,3,4,5,6连续的样本空间由多次子试验构成的样本空间可数无穷的样本空间S=S1 S1=HH,HT,TH,TT,S1=H,T第7页/共68页频率和概率(Frequency and Probability):n次重复试验中，事件A发生的次数nA：-事件A的频数比值nA/n:-事件A发生的频率概率频率反映了事件A发生的频繁程度，若事件A发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。第8页/共68页1.2 随机变量的定义(Definition of a random variable)设随机试验

5、E的样本空间为S=e，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。随机变量是定义在样本空间S上的单值函数1.定义第9页/共68页Interpretation of random variable:SeReal lineRandom variable is a function that assigns a numerical value to the outcome of the experiment.第10页/共68页A coin tossSe1Real line10e2Mapping of the outcom

6、e of a coin toss into the set of real number第11页/共68页A discrete random variable is a random variable that can be take on at most a countable number of possible values根据随机变量取值的不同可以分为：连续型随机变量(Continuous random variable)离散型随机变量(Discrete random variable)第12页/共68页2.概率分布列Xx1x2.xnpkp1p2.pnProbability mass

7、function(PMF)第13页/共68页(1)(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为PMF:0 1第14页/共68页Bernoulli random variableLet A be an event of interest in some experiment,e.g.,a device is not defective.We say that a“success”occurs if A occurs when we perform the experiment.Bernoulli random variable IA is equal to 1 if A occ

8、urs and zero otherwise.第15页/共68页(2)Binomial 独立地进行n次贝努利试验，事件A发生m次的概率刚好是 展开的第m+1项的系数例：雷达双门限检测器第16页/共68页Example:Transmission error in a binary communications channel.Let X be the number of errors in n independent transmissions.Find the PMF of X.Find the probability of one or fewer errors01011-1-第17页/共6

9、8页The probability of k errors in n bits transmissions is given by the probability of an error pattern that k 1s and n-k 0s X is a binomial random variable第18页/共68页例：信息传输问题（Message Transmissions）Let X be the number of times needs to be transmitted until it arrivers correctly at its destination.Find t

10、he probability that X is an a even number.X is a discrete random variable taking on values from S=1,2,3,.(3)geometric random variable第19页/共68页The event X=k occurs if k-1 consecutive erroneous transmissions(failures)followed by a error-free one(success)X is called the geometric random variable第20页/共6

11、8页泊松分布(Poisson distribution)例：交通路口在单位时间内通过的车辆数第21页/共68页1.3 分布函数和概率密度函数Probability Density Function,（PDF）Distribution Function or Cumulative Distribution Function,(CDF)1.定义第22页/共68页右连续2.分布函数的性质（Properties of the CDF）第23页/共68页分布函数是右连续的不减函数，在负无穷处为零，正无穷处为1。对于连续型随机变量，取某一特定值的概率是为零的。即PX=x=0第24页/共68页对于离散型随机

12、变量，分布函数为阶梯函数，阶梯的跳变点出现在随机变量的取值点上，跳变的高度为随机变量取该值的概率。第25页/共68页对于离散型随机变量，PMF与CDF的关系为第26页/共68页概率密度随机变量落入(x1,x2)的概率 第27页/共68页对于离散型随机变量，它的概率密度函数是一串函数之和，函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。第28页/共68页第29页/共68页3.常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正态分布概率密度 标准正态分布函数第30页/共68页瑞利分布（Rayl

13、eigh）瑞利分布概率密度2 02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第31页/共68页指数（Exponential）分布指数分布概率密度 0123456700.511.5第32页/共68页 对数正态分布（LogNormal）高分辨率雷达杂波分布01234567891000.10.20.30.40.5对数正态分布概率密度 为尺度参数为形状参数第33页/共68页1.4 多维随机变量及其分布 Multiple Random Variables and Distributions 1.定义Se第34页/共68页2.二维分布函数和概率密度 Bivariate CDF

14、 and PDF 二维分布函数图解 定义：第35页/共68页二维分布函数性质：边缘（Marginal）分布由二维分布函数可以求出一维分布函数 第36页/共68页二维概率密度：由二维概率密度可以求出边缘概率密度第37页/共68页随机变量落在某个区域的概率 第38页/共68页3.条件分布(Conditional Distribution)条件分布函数条件概率密度称随机变量X、Y独立第39页/共68页Example:Communication Channel with Discrete Input and Continuous Outputnoise voltage NU(-2,2)通信信道X:+1

15、 or -1Find PX=+1,Y0Y第40页/共68页Solution:1/2When the input X=1,the output Y is uniformly distributed in the interval Therefore第41页/共68页1.5 随机变量的数字特征 均值 方差 协方差与相关系数 协方差矩阵 举例第42页/共68页1.均值（Mean)算术平均：所有可能取值等概率加权统计平均值：所有可能取值按概率加权连续型随机变量：离散型随机变量：第43页/共68页性质：如果X和Y相互独立，如果EXY=0，则称X和Y正交(Orthogonal)。第44页/共68页2.方差

16、(Variance)方差反映了随机变量X的取值偏离其均值的偏离程度或分散程度，D(X)越大，则X的取值越分散。第45页/共68页性质：如果X1,X2,.,Xn相互独立。第46页/共68页Variance is a nonlinear operator第47页/共68页3.协方差和相关系数(Covariance and Correlation coefficient)如果X和Y相互独立，则rXY=0，|rXY|=1的充要条件是PY=aX+b=1第48页/共68页we define X and Y to be uncorrelatedIf ,If X and Y are independent,t

17、hen X and Y are uncorrelated.X and Y are independentX and Y are uncorrelatedTrueFalse第49页/共68页The correlation coefficient provides a measure of how good a prediction of the value of one of the two RVs can be formed based on an observed value of the other.1 indicates a high degree of linear between X

18、 and Y+1 means b0 and -1 means b0第50页/共68页Independent:UncorrelatedOrthogonal:第51页/共68页不相关就认为X与Y没有关系吗？例：为零均值正态随机变量，Y 与X相关吗？Y是依赖于X的(Dependence)，但Y与X不相关(Uncorrelated),线性不相关的。第52页/共68页Independent implies zero covariance but zero covariance does not imply independence.Example:Uncorrelated but dependent r

19、andom variablesLet be uniformly distributed in the interval(0,2)。LetX and Y are uncorrelated but dependent第53页/共68页注意英文单词的区别:Correlation(Uncorrelated)Dependent（Independent)It can be shown that 第54页/共68页4.协方差矩阵（Covariance Matrix）多维随机变量通常用协方差矩阵来描述随机变量之间的相互关系。第55页/共68页协方差矩阵是对称（共轭对称）的；如果变量之间是不相关的，则K是一个对

20、角阵。第56页/共68页例1:(0,1)分布随机变量，PX=1=p,PX=0=q=1-p,求X的均值和方差5.Expected value of some important random variableEX=1PX=1+0 PX=0=pEX2=12 PX=1+02 PX=0=pD(X)=E(X2)-(EX)2=p-p2=pq解:第57页/共68页例2(a,b)上均匀分布的随机变量，求均值和方差 第58页/共68页例3 求瑞利分布随机变量的均值和方差。第59页/共68页常用分布及其数字特征归纳Uniform Random Variable第60页/共68页Exponential Random

21、 Variable第61页/共68页Gaussian Random VariableRemark:Under a wide range of conditions X can be used to approximate the sum of a large number of independent random variable.第62页/共68页Gamma Random VariableRemark:Chi-Square random variable with k degree of freedom:k=2,=1/2第63页/共68页Laplacian Random Variable第64页/共68页Rayleigh Random Variable第65页/共68页随机变量的定义与分布（1）概率的基本术语：随机试验 基本事件 随机事件 样本空间，频率与概率（2）随机变量的定义 从样本空间到实轴的映射（3）随机变量的分布 PMF CDF PDF 典型随机变量的分布（4）条件分布 小结第66页/共68页随机变量的数字特征1.均值 反映随机变量取值的统计平均值2.方差 随机变量取值偏离均值的偏离程度3.相关系数 X与Y线性程度的度量 注意：线性不相关并不意味他们没有关系 注意与独立的差别4.协方差矩阵5.常见随机变量的数字特征第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页